题型一：向量概念辨析
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等
D．若，则与方向相同或相反
2．（多选）下列说法错误的有（ ）
A．共线的两个单位向量相等
B．相等向量的起点相同
C．若直线，则一定存在唯一实数t，有，
D．若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上
3．有下列说法其中正确的说法为（ ）
A．若，则
B．若，则存在唯一实数使得
C．两个非零向量，若，则与共线且反向
D．若分别表示的面积，则
4．如图，是正六边形的中心，且，，．在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：
(1)与相等的向量有哪些？
(2)的相反向量有哪些？
(3)与的模相等的向量有哪些？
5．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，.
(1)用表示；
(2)求证：B，E，F三点共线．
题型二：向量的运算
(向量的法则运算)
6.如图所示，解答下列各题：
(1)用表示；(2)用表示；
(3)用表示；(4)用表示.
7.在平行四边形ABCD中，点E为DC中点，点F为BE中点，则=（ ）
A． B．
C． D．
（模以及特殊关系运算）
8．给出下列命题：①若，同向，则有；②若，不共线，则有；
③恒成立；④对任意两个向量、，总有；其中正确的命题是__________（填序号）．
9．已知向量，则下列命题中成立的有__________.
①； ②； ③；
④； ⑤(； ⑥.
（投影与心）
10.设平面向量、满足，，，则在方向上的投影向量与投影分别是多少？
11.己知O，N，P，I在△ABC所在的平面内，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则O是△ABC的外心
B．若，则P是△ABC的垂心
C．若，则N是△ABC的重心
D．若，则I是△ABC的垂心
（模长/数量积/夹角的运算）
12.已知单位向量满足，则（ ）
13．已知不共线的向量满足的夹角为.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
14.已知向量，满足，，．
(1)若，求实数的值；
(2)若设与的夹角为，求的大小．
15.在平面直角坐标系中，已知点．
(1)若，求的值；
(2)若，设实数满足，求的值．
17.已知，
(1)当时，求；
(2)当取得最大值时，求．
（向量基底运算）
18.如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于两点.
(1)求证：；
(2)设，，，，求的最小值.
19.如图，在中，D是的中点，.
(1)若，求；
(2)若，求的值.
20.如图所示，在△ABO中，，，AD与BC交于点M．设，．
(1)试用向量，表示；
(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M，设，，其中，．证明：为定值，并求出该定值．
题型三：解三角形
（辨析三角形形状）
21.(1)在中，若，，则形状为
(2)在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是
(3)P是所在平面内一点，若，则
22.已知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列命题正确的有（ ）
A．若为等边三角形且边长为2，则
B．若“”是“”的充分不必要条件
C．若满足，则
D．若，则为锐角三角形
23.下列命题中，正确的是（ ）
A．在中，，
B．在锐角中，不等式恒成立
C．在中，若，则必是等腰直角三角形
D．在中，若，，则必是等边三角形
24.在中，角、、所对的边长分别为、、，，.
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（求值）
25.在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值
26.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）求角B的大小；
（2）设a=2，c=3，求b和的值.
27.在中，，．
（1）求角B；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．条件①：；条件②：的周长为；条件③：的面积为；
28.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，.
（1）求A；
（2）若，且边上的高为，求的面积.
29.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.
（1）求角A；
（2）若，，求△ABC的面积.
30.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求A；
（2）若A为锐角，，的面积为，求的周长．
(求范围)
31.如图，在边长为2的等边三角形中，D是的中点.
(1)求向量与向量的夹角；
(2)若O是线段上任意一点，求的最小值.
32.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角C的值；
（2）若，当边c取最小值时，求的面积．
33.在中，设角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围.
34.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，．
（1）求角B的大小；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围．
35.的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
（综合运用）
36.如图，要测量底部不能到达的某铁塔的高度，在塔的同一侧选择C，D两观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为．在水平面上测得，C，D两地相距，则铁塔的高度是_______m．
37.如图，某登山者从山脚A处出发，沿着A→C→D的路线到达山顶D处．A，B，C，D四点共面．登山者在A处测得D的仰角为45°，C的仰角为15°，在C处测得D的仰角为60°，若D处的高度BD为1200米，则C处的高度为______米．
38.如图，在平面四边形ABCD中，对角线平分的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知.
(1)求B；
(2)若，且________，求线段的长.从下面①②中任选一个，补充在上面的空格中进行求解.①△ABC的面积；②.
39.在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.如图所示，在边长为的正方形中，点、分别在边、上移动(不含端点)，，，且________．
①；②；③.
(1)求的值；
(2)求的面积的最小值．(共47张PPT)
章末复面向量及其运用
一
二
三
教学目标
理解平面向量的基本概念
掌握平面向量的运算
能用平面向量的知识解决相关的问题
（解三角形和物理运用）
教学目标
复习回顾1 向量的基本概念
名称 定义
向量
零向量
单位向量
共线向量
相等向量
相反向量
问题1 请你回忆向量章节的知识，将下列表格填写好
复习回顾1 向量的基本概念
问题2 如何描述向量的共线定理？
向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa
追问：回忆下，共线向量有多少种表示形式？
请大家列举出来！
复习回顾1 向量的基本概念
问题3 该如何表示向量？
（1）有向线段（箭头表示）
（2）坐标表示（末减初）
问题4 平面向量的基本定理是什么
如果e1，e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
复习回顾1 向量的基本概念
问题5 什么是投影向量？什么是向量的投影？
投影向量：与向量b同向的单位向量为e，向量a与b的夹角为θ，则向量a在向量b的投影向量为|a|cos θ· e.
向量的投影：|a|cos θ
测
题型一：向量概念辨析
【答案】B
紧扣定义
【答案】ABD
测
【答案】CD
题型一：向量概念辨析
紧扣定义
数形结合
化归思想（面积比=线长比）
测
题型一：向量概念辨析
紧扣定义
数形结合+（注意方向）
测
紧扣定义（共线）
数形结合（注意方向）
复习回顾2 向量的运算
问题6 向量的线性运算有哪些？如何计算？
复习回顾2 向量的运算
复习回顾2 向量的运算
问题7 向量的数量积运算与其他关系的运算该如何表示？
测
题型二：向量的运算（加减运算法则）
向量加法法则
测
题型二：向量的运算（加减运算法则）
测
①④
【答案】②③④
题型二：向量的运算（模以及特殊关系运算）
测
题型二：向量的运算（投影与心）
ABCD
测
题型二：向量的运算（模长与数量积的运算）
移项，平方
测
测
题型二：向量的运算（向量的坐标运算）
共线与垂直公式的运用！
测
题型二：向量的运算（向量基底运算）
平面向量的基本定理的运用
测
题型二：向量的运算（向量基底运算）
测
题型二：向量的运算（向量基底运算）
平面向量的基本定理的运用
测
复习回顾3 解三角形
问题8 请大家回忆下正余弦公式,以及三角形的面积公式
实现边角互换
复习回顾3 解三角形
测
题型三：解三角形（辨析三角形形状）
【答案】C
测
ABD
题型三：解三角形（辨析三角形形状）
测
题型三：解三角形（求值）
牢记公式
测
题型三：解三角形（求值）
测
测
题型三：解三角形（求值）
测
测
题型三：解三角形（求范围）
测
测
题型三：解三角形（求范围）
测
测
题型三：解三角形（求范围）
小结
测
题型四：综合运用
测
题型四：综合运用
测
测
题型四：综合运用
测
测
题型四：综合运用
测
谢谢欣赏！
