湘教版九年级数学下册集体备课教案
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文档简介
1.1 建立反比例函数模型
教学目标：
一、知识与技能
1、从现实情境和已有的知识、经验出发、讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数、函数概念的理解。
2、经历抽象反比例函数概念的过程，体会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，能根据已知条件，确定反比例函数表达式。
二、过程与方法
1、经历对两个变量之间相依关系的讨论，培养学生的辨证唯物主义观点。
2、经历抽象反比例函数概念的过程，发展学生的抽象思维能力，提高数学化意识。
三、情感态度与价值观
1、经历抽象反比例函数概念的过程，体会数学学习的重要性。
2、通过分组讨论，培养学生合作交流意识和探索精神。
教学重难点：
重点：理解和领会反比例函数的概念。
难点：领悟反比例的概念。
教学过程：
一、创设情境，导入新课
活动1
问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？
(1)思剑高速公路贯通后全程为157km，到时从思南到剑河乘坐汽车所用时间t（单位:h）随该汽车平均速度v（单位:km/h）的变化而变化；
（2）城北江岸名都住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长为y随宽x的变化；
（3）已知思南县的总面积为2230.5平方千米，人均占有土地面积S（单位：平方千米/人）随全县人口n（单位:人）的变化而变化.
先让学生进行小组合作交流,再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看着函数,了解所讨论的函数的表达形式.
教师组织学生讨论,提问学生,师生互动.
在此活动中老师应重点关注学生:
能否积极主动地合作交流。
能否用语言说明两个变量间的关系。
能否了解所讨论的函数表达形式，形成反比例函数概念的具体形象。
分析及解答：（1），其中v是自变量，t是v的函数；
（2） ，x是自变量，y是x的函数；
（3），n是自变量，s是n的函数；
上面的函数关系式，都具有的形式，其中k是常数，且k≠0。
概念：一般地，如果两个变量与之间的关系可以表示成
（为常数，≠0）
的形式，那么称是的反比例函数（反比例函数的自变量x不能为零）。
注意：反比例函数的表达式还可以写成：=（为常数，≠0）或=（为常数，≠0）因此，反比例函数解析式有三种形式，虽然形式不同，但表达形式是等价的，两个变量之间的关系只要满足其中一种形式，即可判断其为反比例函数。
反比例函数的文字语言描述: 是的反比例函数或与成反比例.
二、例题解析，领悟反比例函数的概念
活动2
问题1：下列哪个等式中的y是x的反比例函数？
， ， ，
问题2：已知y是x的反比例函数，当x=5时，y=10
（1）写出y与x的函数关系式：
（2）求当x=3时，y的值。
师生行为：
学生独立思考，然后小组合作交流。教师巡视，查看学生完成的情况，并给予及时引导。在此活动中教师应重点关注：
①学生能否领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；
②学生能否积极主动地参与小组活动。
分析及解答：
1、只有xy=123是反比例函数。
2、分析：因为y是x的反比例函数，所以，再把x=2和y=6代入上式就可求出常数k的值。
解：（1）设，因为x=5时，y=10,
所以有
解得k=50
因此
（2）把x=3代入，得
三、巩固提高
活动4
1、已知y是x的反比例函数，并且当x=3时，y=-8。
（1）写出y与x之间的函数关系式。
（2）求y=2时x的值。
学生独立练习，而后再与同桌交流，上讲台演示，教师要重点关注“学困生”。
四、课时小结
本节课我们学习了从实际问题中抽象出了反比例函数模型，反比例函数的概念是指：一般地，如果两个变量与之间的关系可以表示成（为常数，≠0）的形式，那么称是的反比例函数（反比例函数的自变量x不能为零）。反比例函数解析式有三种形式：（为常数，≠0）；=（为常数，≠0）或=（为常数，≠0）。虽然形式不同，但表达形式是等价的，两个变量之间的关系只要满足其中一种形式，即可判断其为反比例函数; 反比例函数的文字语言描述: 是的反比例函数或与成反比例.
( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )五、随堂练习
课本P3练习1、2
六、布置作业：
课本P4习题1.1 A组1、2 B组1、2
教学反思：
1.2 反比例函数的图像与性质（1）
教学目标：
一、知识与技能
1、初步会用描点法画反比例函数图象, 培养学生动手作图、观察、分析、概括等能力．
2、通过观察，让学生能根据图象说出反比例函数的图象性质．
二、过程与方法
通过观察反比例函数图象，分析和探究反比例函数的性质，培养学生的探究，归纳及概括能力。在探究过程中渗透分类讨论思想和数形结合的思想。
三、情感态度与价值观
1、积极参与探索活动，注意多和同伴交流看法。
2、在动手做图的过程中体会乐趣，养成勤于动手，乐于探索的习惯。
教学重难点：
重点：画反比例函数的图象，根据图象说出其性质．
难点：画反比例函数的图象.
教学过程
一、复习导入
（1）什么是反比例函数？
（2）作出一次函数的图象，图象是什么形状？作图的步骤是什么？
猜测：反比例函数的图象会是什么形状呢？我们可以用什么方法画这个反比例函数的图象？
通过引导学生复习画一次函数图象，激发学生参与课堂学习的热情，为学习画反比例函数的图象奠定基础.
二、探索新知
师生共同合作画反比例函数的图象．
1．列表：
讨论：让x取些什么样的值？因为x取非零实数，为了使图象更加直观，我们可以让自变量ｘ 尽量多取一些正负对应的值（说明：沿0的两侧取三对或三对以上互为相反数的数，如1和-1，2和-2，3和-3等），并且计算出相应的函数值，列成下表：
x -4 -2 -1 - 1 2 4
y= - -1 -2 -4 4 2 1
2．描点：如何在平面直角坐标系内描点？让学生回忆在画一次函数图象时，是如何描点的． 指导学生以x的值为横坐标，以y的值为纵坐标，以表里各组对应的x，y值作为点的坐标，在平面直角坐标系中，描出各点．
3．观察和分析图1-1
问题一：让学生观察图象，在图1-1 中，y轴右边的点，当横坐标x逐渐增大时，纵坐标y怎样变化呢？（引导学生得出：纵坐标y反而减小．）
问题二：y 轴左边的点也有这样的性质吗？
可以证明，对于反比例函数 ，当x>0时，函数值随自变量取值的增大而减小；当x<0时，也有这一性质．
4．连线：由ｙ 轴右边与左边的描点的过程可知，在平面直角坐标系中不能形成一条具有连续性的直线，那么我们可用平滑的曲线将ｙ 轴右边的点依次连接，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将y 轴左边的各点依次连起来，得到图象的第二分支，这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．
让学生观察图1－1，讨论：
（1）在图1－1 中，在各分支中，y 是如何随x 的变化而变化？（y 随x 增大而减小，图象从左至右呈下降趋势）；在各分支中，x 与y 的取值有何特征？（x 为正y也为正，x 为负y也为负，x 不可取0，y 也不为0等）；这两个分支在平面直角坐标中成什么对称？ （既中心对称又轴对称）．
（2）两支曲线会与x 轴及y 轴相交吗？（x 不能取0，则曲线不会与y 轴相交；y 不能取0，则曲线不会与x 轴相交）．
指出：当k>0 时，反比例函数ｙ＝的图象也有上述性质，那么我们以后画的图象时，只要用“列表、描点、连线”三步就行了．
（三）应用新知
1. 画出反比例函数的图象，比较函数与的图象的共同特征．
2. 在图象画法，画反比例函数与画正比例函数y = x的图象中再画出y＝ ，y ＝的图象，你有什么新的发现？
（四）课堂小结
比较正比例函数y＝2x 与反比例函数y ＝的的过程中有哪些不同？那么，你认为在画反比例函数的图象的过程中应注意些什么？
(五)布置作业：课本P7练习．
教学反思：
课题：1.2 反比例函数的图象和性质(2)
教学目标：
一、知识与技能
1. 掌握反比例函数的图象画法，进一步培养学生动手作图、观察与分析等能力．
2. 通过观察，让学生能根据图象说出反比例函数的图象性质．
3. 了解反比例函数ｙ＝与ｙ＝－的图象之间的联系．
二、过程与方法
通过观察反比例函数图象，分析和探究反比例函数的性质，培养学生的探究，归纳及概括能力。在探究过程中渗透分类讨论思想和数形结合的思想。
三、情感态度与价值观
1、积极参与探索活动，注意多和同伴交流看法。
2、在动手做图的过程中体会乐趣，养成勤于动手，乐于探索的习惯。
教学重难点：
重点：画反比例函数的图象，了解反比例函数的性质．
难点：描点法画的图象
教学过程：
（一）创设情境
完成列表，你有什么新的发现？
ｘ －６ -4 -2 -1 - - 1 2 4 6
y= - - -1 -2 -4 -6 6 4 2 1
y=- 4 -6 -4 -
（二）探究新知
问题：如何画反比例函数的图象？
多媒体演示或小黑板出示反比例函数的图象，那么的图象与的图象有什么关系？让学生观察列表，出示图1－3，当x＝4时，y＝＝，y＝-＝－，那么在直角坐标系中可得到A(4,－),B(4，-)两点．
引导学生思考：点A与点B有什么关系？你又有什么新的发现？
在分析Ａ 点与Ｂ 点之间关系的基础上归纳出：当ｘ 取任一非零实数ａ 时，都有点P(a,－)与点Q( a, )关于ｘ轴对称．那么画的图象只要将的图象沿x轴翻折并将图象“复印”下来就行了．动画演示或其他媒体演示，得到图1－4．指导学生观察图1－4，讨论：
①在图1－4 中，在各分支中，y是如何随x的变化而变化的 （在各分支中y随x增大而增大，图象从左至右呈上升趋势）
②在各分支中，x与y的取值有何特征 （x为正则y为负,x为负则y为正，x不可取0，y 也不可取0等）
③这两个分支在平面直角坐标系中成什么对称 （中心对称且同时轴对称）
④两支曲线与x 轴、y 轴相交吗？（都不相交）
并引导学生得出：
当ｋ<0时，反比例函数具有与一样的性质，以后画反比例函数的图象时，可以直接按“列表、描点、连线”三个步骤就可以了，不必先画，再翻折．
（三）例题讲解
例：课本P8的例题．
分析：
1.为了使图象更加直观准确，在列表中自变量x尽量多取一些正、负对应的值．
2.各点的坐标，一定要在平面直角坐标系中找准对应的点的位置．
3.y 轴左、右边各点分别用平滑的曲线连接（如图1-4）．
［解］见课本P8．
（四）应用新知
课本P9练习题．
（五）课堂小结
你能用两种方法画反比例函数的图象吗？分别说出这两种画法的特点．
（六）思考与拓展
已知某函数图象与的图象关于ｘ轴对称，且点A(2,3）在的图象上，则前一个函数图象的解析式为________．(答案：．)
（七）布置作业
1.课本P11 习题A组第1题．
2.在同一平面直角坐标系中画出,的图象，你有什么发现？ 课后反思
课题 1.2反比例函数的图象与性质（3）
教学目标
一、知识与技能
1. 结合图象和解析式，探究并归纳反比例函数的性质，培养学生的观察、归纳等能力
2. 理解ｋ的正负性与反比例函数图象变化之间的关系
二、过程与方法
通过观察反比例函数图象，分析和探究反比例函数的性质，培养学生的探究，归纳及概括能力。在探究过程中渗透分类讨论思想和数形结合的思想。
三、情感态度与价值观
1、积极参与探索活动，注意多和同伴交流看法。
2、在动手做图的过程中体会乐趣，养成勤于动手，乐于探索的习惯。
重点：理解反比例函数（ｋ为常数且ｋ≠０）的性质．
难点：探究反比例函数性质的推理过程．
教学过程
（一）创设情境
指导学生完成课本P9“做一做”，即让学生在同一直角坐标系中画出和的图象．
（二）探究新知
引导学生思考下列问题：
1.观察课本P6-9中的图1－1，1－3，1－4，对于反比例函数的图象的两支曲线分别位于哪个象限，你发现了什么规律呢？
引导学生观察、分析得出：
（1）反比例函数的图象中两支曲线都与ｘ轴、y 轴不相交．
（2）当k>0时，图象位于第一和第三象限，当k<0时，位于第二和第四象限，并得出：反比例函数的图象是由两支曲线组成的，这两支曲线叫双曲线．
2.观察课本P6-8“探究”栏目中和的图象，你能归纳出反比例函数的性质吗？
引导学生得出：(1）当k>0时, 的图象在第一、第三象限内，函数值随自变量取值的增大而减小，在每个象限内，图象从左至右呈下降趋势．（2）当k<0 时，的图象在第二、第四象限内，函数值随自变量取值的增大而增大，在每个象限内，图象从左至右呈上升趋势．
（三）讲解例题
例1.已知反比例函数 的图象经过第一、三象限，求 m 的取值范围．
分析：反比例函数图象经过第一、三象限比例系数k>0，即4m-1>0．
［解］∵ 图象经过第一、三象限
∴4m-1>0
∴ m>
例2.已知点P(，）与Q（，）在反比例函数的图象上，且，判断与的大小关系．
［解］∵ 比例系数ｋ＝２＞０
∴ 在第一、三象限内，y随x增大而减小
又∵
∴ 点P与点Q都在第一象限
∴ >
或－ ＝ － ＝
∵
∴ ，
∴
即 － > 0，
∴ >
（四）应用新知
1.已知一个反比例函数图象在分布的象限内ｙ随ｘ增大而减小，则其解析式可以是_______. ( 答案：，k > 0)
2.在同一坐标中，函数与的图象的交点在第______象限．(答案：二、四．)
（五）课堂小结
结合图象，学生观察，自主归纳比较与的联系与区别：
正比例函数 反比例函数
ｋ> 0 图象
性质 函数值随自变量的增大而增大 各分支：函数值随自变量的增大而减小
ｋ< 0 图象
性质 函数值随自变量的增大而减小 各分支：函数值随自变量的增大而增大
自变量x的取值范围 取全体实数 取ｘ≠０的全体实数
图象的形状 直线 双曲线
对称性 既是轴对称图形又是中心对称图形 既是轴对称图形又是中心对称图形
（六）布置作业
课本P11习题1.2A组2，P12习题B组1．
课后反思:
1.3实际生活中的反比例函数
教学目标：
一、知识与技能
1. 能用反比例函数的性质解释生活中某些实际问题．
2. 能从实际问题中，建立反比例函数模型
3．能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决一些实际问题．
二、过程与方法
1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
三、情感态度与价值观
1．积极参与交流，并积极发表意见．
2．体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．
教学重难点：
重点：掌握从实际问题中建构反比例函数模型．
难点：从实际问题中寻找变量之间的关系．
教学过程
（一）创设情境
1. 实验：让学生进行实验，用劲踩气球时气球导致爆炸．
思考：为什么使劲踩气球时，气球就会爆炸？
2. 多媒体演示或介绍故事情境：小明的奶奶纳鞋底的情景．
思考：人们纳鞋底为什么用锥子而不用小铁棍？
（二）探究新知
师生共同讨论，用反比例函数的有关知识进行解释说明．
（1）在温度不变的情况下，有pV ＝ k （k 为常数，k ＞０）,那么气球内气体的压强p（Pa）与它的体积V（ｍ３）成什么关系呢？
∵ pV ＝ k （k 为常数，k ＞０），
∴ ．
故 p是V的反比例函数．
∵k＞０，V＞０，根据反比例函数，当k＞０ 且x＞０ 时，函数值随自变量取值的减小而增大．
∴ｐ 随Ｖ 的减小而增大，当ｐ 值达到已超过气球可承受的压强时，气球自然就会爆炸了．
（2） ∵ 压力＝ 压强× 受力面积，即F＝pS．
∴ 当压力一定时，压强ｐ 与受力面积成反比例关系．
即（F为常数，F＞０）．
∵ F＞０，又S＞０，根据反比例函数，当ｋ ＞０ 且ｘ ＞０ 时，函数值随自变量取值的减小而增大．
∴ p随S的减小而增大，因此用锥子比用小铁棍更容易纳鞋底．
问题：生活中还存在哪些与上述类似的情况呢？
引导学生思考回答．
（三）应用新知
1、课本P14练习．
2、市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室．
(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系
(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下挖进多深
(3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)。
（四）课堂小结
通过反比例函数的研究，你能说说数学与物理学科之间有什么联系吗？数学与现实生活有什么联系？
（五）思考与拓展
某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关系：
x(元) 3 4 5 6
y(个) 20 15 12 10
(1)根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对(x，y)的对应点；
(2)猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；
(3)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出w与x之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润 ．
（六）布置作业
课本P15习题1.3A组和Ｂ 组．
教学反思：
第２ 章 二次函数
2.1 建立二次函数模型
教学目标：
（一）知识与技能：
1. 通过对实际问题情境分析，建立二次函数的模型.
2. 能够表示变量之间的二次函数关系.
（二）过程与方法：
1. 经历探索和表示二次函数关系的过程.
2. 体验如何用二次函数表示变量之间的关系.
（三）情感态度与价值观:
1. 积极参与探索活动、乐于和同伴交流与合作，敢于在交流中发表意见，并能听取别人的不同见解.
2. 体验二次函数模型是描述实际生活的有效工具.
3. 进一步体验建立数学模型的思想方法.
重点：建立二次函数数学模型和理解二次函数概念．
难点：建立二次函数数学模型．
教学过程
（一）创设情境
1．欣赏一组录像画面：篮球场上同学们传球投篮，田径场上同学们投掷铅球，同学们课余游戏抛硬币，石拱桥的桥拱……
2．观察：篮球投篮时，掷铅球时，抛硬币时……在空中运行的路线是一条什么样的路线？
（二）复习引入
我们已知道，可以建立数学模型一次函数来刻画直线，反比例函数来刻画双曲线，那么像前面所看到的曲线，我们又该建立一个什么样的数学模型来刻画它们呢？
要刻画它，我们今天还需要学习一种新的函数关系———二次函数． （点出课题）
（三）探求新知
1.认真阅读课本P21“动脑筋”中问题———植物园的面积随着砌法的不同怎样变化
（1）学生阅读审题，独立思考，自主探索．
设与围墙相邻的每一面墙的长都为ｍ，则与围墙相对的一面墙的长为ｍ，于是矩形植物园的面积S=，即S=．
（2）学生合作讨论 的取值范围．
由 得．
（3）概括． 由上述（1）、（2）可得关系式S=，，有了这个关系式，我们对植物园的面积S 随着砌法的不同而变化的情况就了如指掌了．
2.认真阅读课本P21“动脑筋”中问题———电脑的价格．
师生共同分析交流，得出：平均降价率与售价之间的关系：
，．
即 ，．
引导学生观察上述两个函数解析式，并说出函数关系式S=，()和()有什么共同特点？通过上述分析抽象出：
函数解析式是自变量的二次多项式，这样的函数称为二次函数，它的一般形式为（，， 是常数，）．
二次函数的自变量的取值范围是所有实数． 但对于实际问题中的二次函数的自变量的取值范围一般会有一些限制．
二次函数有下列特殊形式：
(，＝0，＝0)；
(，，＝0)；
(，，）．
（四）讲解例题
例1．下列函数中，哪些是二次函数？
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
例2.已知是二次函数，求ｍ 的值．
解：略
（五）应用新知
课本P22 练习题．
让两名学生上台板演解题过程，师生共同评价订正．
（六）课堂小结
1.判断一个函数是否是二次函数，关键看什么？
自变量最高次数是2，二次项系数．
2.二次函数中，自变量取值有什么限制？
从两方面考虑：一是自变量取值要使函数解析式有意义；二是自变量取值要使实际问题有意义．
（七）布置作业
课本P23习题A组第1，2 题．
教学反思:
2.2 二次函数的图象与性质（一）
教学目标:
(一)知识与技能：
1. 会用描点法画二次函数的图象．
2. 能结合图象直观初步了解函数的某些性质．
3. 让学生经历探索二次函数 的图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯．
(二)过程与方法：
经历探索二次函数图像的画法与过程，获得作函数图象的经验.
(三)情感态度价值观:
二次函数的图像美扩展到数学美
重点：会用描点法画出二次函数的图象以及探索函数性质．
难点：探索二次函数性质．
教学过程：
（一）复习引入
1．什么是二次函数？一般形式是什么？
2．反比例函数的图象是什么呢？它有哪些性质？
3．二次函数的图象是什么呢？它又有哪些性质？
（二）探究新知
问题一:如何作二次函数 的图象呢？
引导学生探索二次函数的图象的画法．
（1）列表． 让学生讨论，引导学生先给自变量取值，再算出相应的函数值． 列表如下．
-3 - -2 -1 - 0 1 2 3
2 0 2
（2）描点． 在平面直角坐标系内，以的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图2－1．
观察和分析：①从图2－1看出，点A和点A′，点B和点B′……它们有什么关系？②ｙ轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？
学生通过观察、分析、思考、讨论和交流，得出：
的图象关于轴对称；
轴右边，函数值随自变量的增大而增大，简称为“右升”．
（3）连线．用一条光滑曲线把原点和ｙ轴右边各点顺次连接起来，然后利用对称性，画出图象在ｙ轴左边的部分（把ｙ轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来），这样就得到了 的图象，如图2－2．
问题二 二次函数的图象有哪些性质呢？
引导学生探索二次函数的图象性质．
二次函数的图象关于ｙ轴对称和“右升”外，还有哪些特性？
①对称轴与图象的交点是O(0，0），图象开口向上；
②图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，简称为“左降”．
③当ｘ＝0时，函数值最小．
由此归纳出：二次函数的图象画法和性质：
（1）的图象画法：先用描点法（列表、描点、连线）画出图象在ｙ轴右边的部分，然后利用对称性画出图象在ｙ轴左边的部分．
（2）的性质：
①对称轴是ｙ 轴；
②对称轴与图象的交点是O(0，0），图象开口向上；
③当＝0 时，函数值最小为0．
（三）讲解例题
例 课本P27例１．
分析：先用描点法画出图象在ｙ轴右边的部分，然后利用对称性画出图象在ｙ轴左边的部分．(解见课本P27)
（四）应用新知
课本P27练习题．
（五）课堂小结
引导学生思考以下两个问题：
１.画二次函数的图象的步骤有哪些？列函数值表要注意些什么？
２.什么叫二次函数的图象的“左降”和“右升”？
（六）思考与拓展
1.若二次函数的图象与对称轴的交点是原点，则＝_______．
2.若函数的图象与直线只有一个交点，则a＝____．
(七)布置作业
1.填空：二次函数的图象开口向_____，对称轴是______，在对称轴的左边部分，ｙ随ｘ的增大而__________，在对称轴的右边部分,ｙ随ｘ的增大而_______，图象与对称轴的交点坐标是__________，当ｘ＝__________时，函数ｙ有最小值___________．
2.画出函数的图象．
课后反思:
2.1 二次函数的图象与性质（二）
教学目标:
(一)知识与技能：
1. 会用描点法画出二次函数的图象
2. 了解与的图象的位置关系．
3. 进一步体验类比迁移的思想方法.
（二）过程与方法：
通过作图、观察、分析和小组合作探究，进一步理解二次函数的图象和性质.
（三）情感态度与价值观：
向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点，培养学生数形结合、类比的思想和动手操作能力.
重点：理解抛物线的有关概念，体会“轴反射”在作函数图象中的应用．
难点：区别与的图象性质．
教学过程：
（一）复习引入
1．怎样画出函数的图象？
2．我们已经画过的图象，能不能由它得出的图象？
（二）探究新知
（1）讨论回顾:反比例函数与的图象有什么关系？当画出了双曲线后，又怎样得到双曲线？（突出图象“复印”这一点）
（2）请你猜一猜的图象与的图象会是怎样的关系呢？(运用类比迁移的思想方法，可以猜想出：的图象与的图象关于ｘ轴对称．)
（3）验证猜想:你能验证你的猜想吗？引导学生分析讨论．
在的图象上任取一点P(，).点P关于轴对称的点Q的坐标是(，).检验Q点是否在的图象上．当＝时，＝，所以Q点在的图象上．
由此可知，的图象与的图象关于轴对称．因此，只要把的图象沿轴翻折并将图象“复印”下来，就得到的图象．(有条件的话，用多媒体动画演示图2－3，让同学们真实体验“复印”过程．)
（4）的图象有哪些性质？
引导学生观察、分析图2－3，并结合课本P28“观察”栏目，进行自主探索，得出的性质．
用类比的方法归纳出的性质：
①图象开口向下，对称轴是轴，图象与对称轴的交点是（0，0）；当＝0时，函数值最大，最大值＝0；
②对称轴右边图象，随的增大而减小(右降），对称轴左边图象, 随的增大而增大（左升）．
（三）讲解例题
例：（课本P29例2）画二次函数的图象．
［解］①列表：(略) ②描点和连线：画出图象在轴右边的部分．利用对称性画出轴左边的部分．这样就得到了的图象，如图．
引导学生探索抛物线的有关概念．
（1）说一说，的图象跟实际生活中的什么相像？
（2）让同学们合作交流，抽象概括出抛物线的有关概念，不完整的地方，教师补充完整．
二次函数的图象叫做抛物线，关于轴对称，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点，抛物线的顶点是原点．
（四）应用新知
课本P30练习第1,2题．学生独立完成后，抽样上台板演，集体评价，交流解题思路.便于大家共同提高．
（五）课堂小结
1.二次函数图象是什么？刻画它的数学模型是什么？
二次函数图象是抛物线，刻画抛物线的数学模型是二次函数解析式．
2.抛物线的哪些性质与无关，哪些性质与有关？
抛物线顶点，对称轴与无关．抛物线开口方向，函数值ｙ与自变量ｘ的变化关系都与有关．
3.谈谈你对这节课的学习体会，大家交流．
（六）思考与拓展
1.当为何值时，抛物线的开口向下，对称轴是轴；当为何值时，随的增大而减小？
2.已知抛物线绕顶点旋转180°得到抛物线，求ａ．
（七）布置作业
1.填空．
（1）抛物线的开口向_____，顶点坐标是_____，对称轴是_____，当_____0时，随的增大而增大，当_____0 时，随的增大而减小，当_____0 时，有最_____值为_____．
（2）抛物线的开口向_____，顶点坐标是_____，对称轴是_____，当_____0时，随的增大而增大，当_____ 0 时，随的增大而减小，当_____0 时，有最______值为_____．
2.在同一坐标中画出下列二次函数的图象，并探究图象开口大小规律．
（1）；（2）；(3）；（4）．
课后反思：
2.2二次函数的图象与性质（三）
教学目标:
（一）知识与技能
1.运用平移知识理解二次函数与 的图象的位置关系．
2.能说出抛物线的对称轴，顶点坐标和开口方向．
3.会用描点法画二次函数的图象．
（二）过程与方法：
通过作图、观察、分析和小组合作探究，进一步理解二次函数的图象和性质.
（三）情感态度与价值观：
向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点，培养学生数形结合、类比的思想和动手操作能力.
重点：用描点法画二次函数的图象；理解二次函数的性质．
难点：理解二次函数的图象与二次函数的图象之间的相互关系.
教学活动
（一）创设情境
1．设计一个小船平移的多媒体动画进行演示．
引导学生回顾，什么叫平移？平移由那些要素决定？平移有哪些性质？
2．提问：抛物线是否也可以这样平移？
将抛物线进行多媒体动画演示，沿轴左、右平移，或沿着轴上、下平移．让学生观察有哪些改变了，哪些没有改变．
3．引入：将抛物线平移后，形状和开口方向没有改变，但位置发生了变化，那么平移后的抛物线所对应的二次函数解析式还会是吗？如果不是，那么解析式会发生什么变化呢？
（二）探究新知
学生活动一:
（1）观察课本P31图2－7．
把二次函数的图象E向右平移1个单位后得到图象F，如图．
（2）各自记录观察结果，然后进行
交流讨论，合作填好下表
图象 原象E抛物线E： 象F图形F也是抛物线
顶点
对称轴
开口方向
教师:
（1）指导观察：注意平移性质——平移不改变图象形状和大小，只改变位置．
（2）引导讨论：突出“向右平移1个单位后”，抛物线改变位置，这意味着什么？（意味着顶点的改变，对称轴的改变．）
（3）提出问题：抛物线F是哪个函数的图象呢？
这是已知抛物线找出刻画它的函数模型，即二次函数解析式．
学生活动二:
（1）自主探索．在抛物线上任取一点Ｐ，它在向右平移1个单位后，P的象点Q的坐标是什么？
（2）小组合作讨论交流：把P点的横坐标ａ加上1，纵坐标不变，就得到象点Q的坐标为(a+1，)． 设ｂ=a+1，则ａ＝ｂ－１，从而点Q的坐标为(ｂ, )。所以抛物线F是二次函数的图象． 它的顶点是（1，0），它的对称轴是过点O′（1，0）且平行于ｙ轴的直线ｌ′，直线ｌ′为ｘ＝１，抛物线 的开口向上．
由此引导学生归纳出函数的图象性质：
函数的图象是抛物线，它的对称轴是直线，它的顶点坐标是(ｈ，0）．当ａ＞0时，抛物线开口向上；当ａ＜0时，开口向下．
（三）讲解例题
例：课本P32例3．
分析：先找出顶点坐标和对称轴，再列表、描点、连线画出二次函数图象在对称轴右边的部分，最后利用对称性画出对称轴左边的部分．
（四）应用新知
学生随堂练习，课本P33练习题第1，2题．
（五）课堂小结
1．抛物线沿ｘ轴左右平移，实际上只改变了顶点横坐标，纵坐标不变．
2．如何作（ａ≠0）的图象？
（六）思考与拓展
让学生自主探索，小组交流讨论，教师引导点拨，解决以下问题．
1．抛物线向左平移1个单位后，得到抛物线 ，如果将抛物线向右平移1个单位后，又是怎样的抛物线呢？
2．
（1）抛物线向左平移3个单位后得到的抛物线是 ．
（2）抛物线 向右平移4个单位后得到的抛物线是 ．
(七)布置作业
1．填空．
（1）抛物线与关于 对称．
（2）抛物线向右平移3个单位后，得到的抛物线是 .
（3）抛物线开口向下，顶点坐标是 ，对称轴是直线 ，当 时，随的增大而减小．
2．选择题．
（1）比较和的图象的不同之处是（ ）
A.对称轴 B.顶点坐标 C.开口方向 D.开口大小
（2）对于抛物线 (ａ≠０），下列叙述正确的是（ ）
A.ａ越大开口越大 B.ａ越大开口越小
C.｜ａ｜越大开口越大 D.｜ａ｜越大开口越小
课后反思：
2.2二次函数的图象与性质（四）
教学目标:
(一)知识与技能
1．理解的图象与的图象的关系．
2．能说出抛物线的对称轴，顶点坐标和开口方向．
3．让学生经历的性质的探究过程，理解二次函数图象性质．
（二）过程与方法：
通过作图、观察、分析和小组合作探究，进一步理解二次函数的图象和性质.
（三）情感态度与价值观：
向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点，培养学生数形结合、类比的思想和动手操作能力.
重点：探索二次函数的图象的性质以及画二次函数的图象．
难点：理解与的图象之间的关系.
教学过程:
（一）复习引入
1.填空．
（1）抛物线的顶点是___ _，对称轴是_ __，开口向___ __．
（2）抛物线的顶点是___ __，对称轴是_ _，开口向_____．
2.说一说，下列函数是将抛物线经过怎样的平移得到的？
（1）； （2）．
3.引入：将抛物线经过怎样的平移可以得到抛物线？
（二）探究新知
1．理解抛物线与抛物线的平移关系．
（1）引导学生完成下表．
（2）指导学生观察上表中两个函数，当图象上的点的横坐标相同时，纵坐标相差3.
从而理解由抛物线向下平移3个单位后，就得到抛物线． 它的对称轴是直线＝－1，顶点坐标为（－1，－3）．
2．探索的图象性质．
用观察比较的方法得到的图象性质：
函数的图象是抛物线，它的对称轴是直线，它的顶点坐标是（，）． 当ａ＞0时，抛物线开口向上；当ａ＜0时，开口向下．
3．探索ｙ=a(x-h)2+k的图象画法．
（1）师生共同探讨：讨论从图形平移入手，抛物线平移不改变形状和开口
方向，只改变顶点坐标．因此，要画抛物线，先必须找出顶点坐标和对称轴．
（2）师生共同归纳概括图象画法的步骤．
第一步.写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点．
第二步.列表（自变量从顶点横坐标开始取值），描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分．
第三步.利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分．
（三）讲解例题
例：课本P34 例4．
分析：按画二次函数的图象的三个步骤进行．
（四）应用新知
课本P35练习第１，２ 题．
（五）课堂小结
1.抛物线沿轴左右平移，只改变顶点的横坐标；沿ｙ轴上下平移，只改变顶点的纵坐标．即
沿x轴平移｜h｜个单位→沿ｙ轴平移｜ｋ｜个单位→?? ｈ＞０向右，ｈ＜０向左 ｋ＞０向上，ｋ＜０向下
2.说出下列二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
（1） （2）； （3）
(六)布置作业
（1）将抛物线向左平移2个单位后，再向上平移2个单位所得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
（2）将抛物线向右平移3个单位后，再向下平移5个单位所得到的抛物线是
（3）抛物线与抛物线的开口方向和形状相同，只是位置不同，则ａ、ｈ 的值分别是（ ）
Ａ)ａ＝－２.５，ｈ＝２； Ｂ)ａ＝２.５，ｈ＝２；
Ｃ)ａ＝－２.５，ｈ＝－２； Ｄ)ａ＝２.５，ｈ＝ －２．
（4）函数．它的图象开口向____，顶点坐标是______，对称轴是直线______，当______时，随的增大而增大，当______时随的增大而减小，当______时，有最______值是_______．
课后反思：
2.2二次函数的图象与性质（五）
教学目标:
(一)知识与技能
1.会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴；会求它的最大值与最小值．
2.会用描点法画出二次函数的图象．
（二）过程与方法：
通过作图、观察、分析和小组合作探究，进一步理解二次函数的图象和性质.
（三）情感态度与价值观：
向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点，培养学生数形结合、类比的思想和动手操作能力.
重点：用配方法确定抛物线的顶点和对称轴．
难点：用配方法将转化为的形式．
教学过程:
（一）复习引入
已知二次函数，，．
分别说出它们图象的开口方向、顶点坐标、对称轴．
（二）创设情境
二次函数的图象的对称轴是直线，顶点坐标是（，）．如果已知二次函数，你能求出其图象的顶点坐标吗？
（三）探究新知
1.如何将二次函数化成的形式？
配方： (教师板演配方步骤)
2．探索二次函数的图象画法．
如何画二次函数ｙ=-2x2+6x-1的图象呢？
分析:
(1)用配方法将化成的形式，其顶点为(,)，对称轴是直线．
（2）用描点法和对称性画出的图象．
学生动手：结合课本P36完成例5，教师画出抛物线
3．探索二次函数的图象性质．
当ｘ等于多少时，函数有最大值？最大值是多少？
引导学生得出：当时，有最大值.
一般地，对于二次函数（ａ≠0），通过配方后，可直接找到它的图象的有关性质．
配方：= a(x＋)2＋
由此可得：顶点坐标是(－,), 对称轴是直线ｘ＝－.
当ａ＞0时，抛物线开口向上，当ｘ＝－(顶点的横坐标）时，ｙ最小值＝（顶点的纵坐标）．当ａ＜０时，抛物线开口向下，当ｘ＝－(顶点的横坐标）时，ｙ最大值＝（顶点的纵坐标）．
（四）讲解例题
例（课本P37的例6）求函数ｙ=－x2＋2x－1的最大值．
（五）应用新知
课本P38练习第1，2，3 题．
组织学生独立自练．第１ 题提醒学生规范解题过程，按课本Ｐ。３６例５的步骤进行，用描点法和对称性完成画图过程．第２题既可用配方法求顶点坐标，也可用顶点坐标公式求解．
（六）课堂小结
1.任何一个二次函数都可用配方法转化为的形式.此时能直接找到函数图象的顶点坐标是(，）.对称轴是直线，请你说说配方步骤．
２.本书研究了二次函数的哪些性质？(主要从抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、函数的增减性，最大值或最小值等方面进行研究．)
３.请你简单说说二次函数图象的画法．
（１）用配方法或顶点坐标公式，求出图象的顶点坐标和对称轴．
（２）用描点法和对称性画出函数图象．
布置作业
一、课堂作业:课本P39习题A组第2题；B组第1，2题．
二、课外作业:课本P39习题A 组第1，3，4题．
［略解］配方得：ｙ=－（x－2）2＋1 ∵ ａ＝－＜０，∴ 当ｘ＝２时，ｙ最大值＝１．(注：也可以用顶点坐标公式求．)
课后反思:
2.3.1把握变量之间的依赖关系
教学目标:
(一)知识与技能
1.初步学会运用二次函数解决简单的实际问题．
2.在体验将实际问题抽象成二次函数的活动过程中，培养学生分析、解决问题的能力．
(二)过程与方法
1、经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，进一步发展符号感和抽象思维；
2、能发现实际情景中的变量及其相互关系，并确定其中的自变量或因变量；
3、能从表格、图象中分析出某些变量之间的关系，并能用自己的语言进行表达.
(三)情感态度与价值观
1、能根据具体问题，选取用表格或代数式来表示某些变量之间的关系；
2、结合对变量之间关系的分析，尝试对变化趋势进行初步的预测.
重点：理解二次函数的概念，建立二次函数的模型，解决简单的实际问题．
难点：建立二次函数模型，渗透数形结合的思想．
教学过程:
（一）复习引入
1.复习二次函数的解析式、图象及性质．
2.在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题．例如拱桥的跨度、拱高的计算等．
本节课，请同学们共同研究，尝试利用二次函数的有关知识解决实际问题．
（二）创设情境
问题：一座拱桥的纵截面是抛物线的一段，拱桥的跨度是4.9ｍ，水面宽4ｍ 时，拱顶离水面2ｍ，如图所示．想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？
（三）探究新知
引导学生思考下列问题：
（1）拱桥的纵截面是什么样的函数？(是抛物线的一段)
（2）怎样建立直角坐标系比较简便？(以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 轴建立直角坐标系．)
（3）如何写出抛物线的解析式？(抛物线的函数解析式)
找到抛物线上的已知点A的坐标（2，－2），代入解析式，求出待定系数.
于是得抛物线的解析式为，其中｜ｘ｜是水面宽度的一半，ｙ是拱顶离水面高度的相反数．
（4）自变量ｘ 的取值范围是多少？(－2.45≤ｘ≤2.45)
引导学生思考：你能求出当水面宽3ｍ 时，拱顶离水面高多少米吗？
（四）讲解例题
例:课本P42例1．
说明：成本函数、利润函数，学生初次遇到，教师要引导学生认真理解题意，
把握变量之间的相依关系．
［解］见课本P42．
（五）应用新知
如图2－7所示，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB）的薄壳屋顶，它的拱宽AB为4ｍ，拱高CO为0.8ｍ，施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？
分析：以AB的垂直平分线为ｙ轴，以过点O的ｙ轴的垂线为ｘ轴，建立直角坐标系，求得函数关系式是： ．根据这个关系式，容易画出模板的轮廓线．
（六）课堂小结
你能小结出从实际问题建立二次函数的步骤吗？
（七）布置作业
一、课本P43练习第1，2题．
P49习题A组第1，2 题．
二、补充题：
1.一个涵洞成抛物线形，它的截面如图2－8 所示．现测得，当水面宽AB＝1.6ｍ 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4ｍ．这时，离开水面1.5ｍ处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1ｍ？
答案：ED＝ｍ，不会超过1ｍ．
2.某幢建筑物，从10ｍ高的窗口A向外喷水，喷出的水流呈抛物线状落下（抛物线所在平面与墙面垂直），如图所示．如果抛物线最高点Ｍ离墙水平距离为1ｍ，水流落地点B离墙3ｍ．
（1）求抛物线关系式；
（2）求水流最大高度．
答案：（1）（２）水流最大高度为m
课后反思:
2.3.2二次函数与一元二次方程的联系
教学目标:
(一)知识与技能
1．通过探索，使学生进一步了解二次函数与一元二次方程的联系．
2．会运用二次函数的图象和性质去解决实际问题．
3．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
(二)过程与方法
1.通过观察二次函数与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.
2.理解一元二次方程的根就是二次函数与直线图象交点的横坐标.
(三)情感态度与价值观
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会二次函数与方程之间的联系.
2.通过探索二次函数与一元二次方程的关系,使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性.
重点：能够运用二次函数的图象和性质去解决实际问题．
难点：培养学生综合解题能力，渗透转化及数形结合的数学思想．
一、复习引入
1、二次函数与一元二次方程的联系是什么？
①一元二次方程的根抛物线与ｘ轴交点的横坐标． ②求抛物线与轴交点的横坐标与求抛物线与轴的交点坐标的联系与区别 ③抛物线与轴交点的个数与（其中，，为一元二次方程中各项的系数）的关系．
2、已知二次函数的函数值，求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程．
反之，解一元二次方程能不能借助二次函数呢？
组织学生讨论后得出：
我们可以先画出抛物线的图象，然后找出它与ｘ轴的交点的横坐标，即得一元二次方程的解．这种解一元二次方程的方法叫作图象法．因为作图的误差，所以得出的是近似值．
二、新知探究
例1.求一元二次方程的解的近似值．
说明：解题时要准确画出图象，仔细观察分析图象，明确图象上的点的横坐标为值，纵坐标为函数中的值，方程的解是纵坐标的点的横坐标的值．
例2．已知抛物线和直线相交于点P（3，4m）．
（1）求这两个函数的关系式；
（2）当ｘ取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标．
［解］（1）因为点P（3，4m）在直线上，
所以，解得．所以，P（3，4）．
因为P（3，4）在抛物线上．
所以有，解得．所以．
（2）依题意，得
解这个方程组得
所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是（3，4），（1.5，2.5）．
三、课堂练习
1.课本P47练习第2,4题
补充题：
2.用图象法求方程的近似解．
答案：，．
3.如图2－11所示，今有网球从斜坡Ｏ 点处被击出，网球经过的路线为一条抛物线，其关系式为，斜坡ＯＡ的关系式为，其中ｙ是铅直高度，ｘ是与O的水平距离．
（1）网球落地时撞击斜坡的落点为A，写出Ａ 点的铅直高度及点A与点O的水平距离；
（2）设网球所能达到的最高点为B，求出OB与水平线Oｘ之间夹角的正切值．
［解］（1）A为抛物线与直线（斜坡） 的交点，
则，解这个方程组，得
即交点A(7，) ∴A点的铅直高度为ｍ，它到O点的水平距离为7ｍ．
（２）配方得
∴ B(4，8），tan∠BOX＝＝2．
（四）布置作业
课本P49习题Ａ组第5题．
P49习题Ｂ组第4题．
课后反思:
2.3.3优化问题
教学目标:
(一)知识与技能
1.会运用配方法将变形为的形式．
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，使实际问题获得最优决策．
（二）过程与方法：
通过具体实例的探究学习，掌握不同类型优化问题的解决办法.
（三）情感态度与价值观：
通过对生活中实际问题的研究，形成数学建模的思想，感受数学的作用.
重点：利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思．
难点：将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策．
（一）复习引入
用配方法把下列二次函数化成的形式．
①； ②； ③．
（二）创设情境
最大面积问题，最大利润问题是实际生活中常见的问题．
例如：
问题一 学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形植物园． 如图所示．现在已备足可以砌100m长的墙的材料，怎样砌法，才能使矩形植物园的面积最大？
问题二 某商场将进货单价为18元的商品，按每件20元销售，每天可销售100件．如果每提价1元（每件），日销售量就要减少10件，那么该商品的售出价格为多少时，才能使每日获得利润最大？最大利润为多少？
本节课，我们就探究如何利用二次函数的相关知识来解决这类优化问题．
（三）探究新知
1.对于问题1，先进行自主分析，再小组讨论、交流．
分析：从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际问题．板书解题过程，详见教科书P48．
2.问题2,让一学生在黑板上板书其解答过程，师生共同评析．
［解］设该商品的定价为ｘ 元，每天获得利润为ｙ元．
根据题意，得 ，
即 ．
所以当该商品的售出价格定为每件24元时，才能使每天获得最大利润．最大利润为360元．
（四）应用新知
利用投影仪出示题目:如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可使用长度a=10ｍ）．
（1）如果所围成的花圃的面积为45ｍ２，试求宽ＡＢ的长；
（2）按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请
求出最大面积，并说明围法．如果不能，请说明理由．
先让学生独立思考完成，再用投影仪展示学生的解题过程，师生评析．
［解］ （1）设花圃的宽AB＝ｘｍ，则长BC为（）ｍ，面积．
当时，得，解得，．
若，BC＝24－3×3＝15＞10，不合题意，舍去．
若，BC＝24－3×5＝9． 故AB的长为５ｍ．
（2）能围成面积比45m2更大的矩形花圃．
由（1）知．
∵0＜≤10
∴．由抛物线知，当 时，随的增大而增大；当 时随的增大而减小．
∴当时，有最大值．且最大值为．此时ｍ，BC＝10ｍ，即围成长为10ｍ，宽为ｍ 的矩形面积最大．
说明：学生容易犯的错误是认为当时，有最大面积为48ｍ２，忽略了的取值范围．
（五）课堂小结
让学生谈谈，通过本节课的学习，有哪些体验，如何将实际问题转化为二次函数问题．从而利用二次函数的性质解决最大利润问题、最大面积问题等．
课后反思:
3.1.1 圆的对称性
教学目标:
(一)知识与技能
1．理解圆的概念;
2.理解圆的对称性;
3.掌握和圆的对称性有关的性质.
(二)过程与方法
经历形成圆的概念的过程,经历探索圆的对称性及垂径定理的过程,并体会和理解研究几何图形的各种方法.
(三)情感态度与价值观
能通过积极参与数学活动产生对数学的好奇心与求知欲,体验数学充满着探索与创造,通过观察、实验、归纳、推断获得数学猜想。
教学重难点：
重点：圆的定义、圆的对称性和垂径定理。
难点：圆的定义、圆的对称性和垂径定理。
教学过程：
（一）情境导入
日常生活中同学们经常见到的汽车、摩托车、自行车等一些交通运输工具的车轮是什么形状的？
请同学们思考一个问题，为什么车轮要做成圆形呢？能否做成长方形或正方形？（圆形车轮行进时，较平稳；方形车轮运转不方便，颠簸较大，行走不平稳……）。
通过我们平常乘坐汽车，或骑自行车感受到，圆形的车轮只要路面平整，车子就不会上下颠簸，人坐在车上就感到平稳、舒服．假如车轮是方形的，那么车子在行进中，就会对人产生一种上下颠簸，坐着不舒服的感觉．
（二）探究新知
同学们以前画过圆，画一个圆很简单．将圆规的一个脚固定，另一个带有铅笔头的脚转一圈，一个圆就画出来了．固定的那一点称为圆心．所画得的圆圈叫圆周．从画圆的过程中可以看到，圆规两个脚之间的长度始终保持不变，也就是说圆心到圆周上任意一点的距离都相等．这是圆的一个重要而又最基本的性质．人们就是用圆的这种性质来制造车轮的，车轴总是安装在车轮的圆心位置上，这样，车轴到车轮边缘的距离处处相等．也就是说，车子在行进中，车轴离路面的距离总是一样的．车子在平路上行走较平稳，假如是方形的，车轴到路面的距离时大时小，车子就会产生颠簸．
这样我们就得到了圆的定义：
平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆(circle)．其中，定点叫做圆心(Centre of a circle)，定长叫做半径(radius)．（圆也可以看成是平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径.）.如图1，点O是圆心，线段OA是一条半径，线段OA的长度也叫半径，以点O为圆心的圆叫做圆O，记做⊙O，读作“圆O”．
连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图1中，线段CD是一条弦。经过圆心的弦叫做直径，如图1中，线段EF是⊙O的一条直径，线段EF的长度也称为直径。(直径是弦，但弦不一定是直径．)
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)．弧用符号“⌒”表示弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor arc)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如图2中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作)，劣弧ABD(记作)．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．
如图2，∠AOB叫做所对的圆心角，叫做圆心角∠AOB所对的弧.
注意：确定一个圆需要两个要素，一是位置，二是大小．圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径，虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确定．只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定．
以前我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？(如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．)
我们是用什么方法研究了轴对称图形？(折叠)
接下来我们继续用前面的方法来研究圆的对称性．
用一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆,它们的半径相等,把白纸放在硬纸板上面,使两个圆的圆心重合,观察这两个圆是否重合.(重合)
再用一根大头针穿过这两个圆的圆心.让硬纸板保持不动,让白纸绕圆心旋转任意角度.观察旋转后,白纸上的圆是否仍然与硬纸板上的圆重合. (重合)
能够重合的两个圆叫做相等的圆,或等圆.
由以上操作我们可以得出圆具有以下性质:圆是旋转对称图形,即圆绕圆心旋转任意角度,都能与自身重合.特别地,圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心.
下面我们一起来做一做：
按下面的步骤做一做：
1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．
2．得到一条折痕CD．
3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．
4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图．
通过第一步，我们可以得到什么？(圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．)
在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？
AM＝BM，，．
为什么呢？(因为折痕AM与BM互相重合，A点与B点重合．)
还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？
如图3，连接OA、OB得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是Rt△，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．因此AM＝BM，=，=．
在上述操作过程中，你会得出什么结论？
师生共同总结:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意；①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．
下面，我们一起看一下定理的证明：
(教师边板书，边叙述)
如上图，连结OA、OB，则OA＝OB．
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∵OA＝OB，OM＝OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM，
∴AM＝BM．
∴点A和点B关于CD对称．
∵⊙O关于直径CD对称，
∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．
∴=，=．
为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．
即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：
下面，我们通过求解例1，来熟悉垂径定理：
[例1]如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心)，其中CD＝600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90m，求这段弯路的半径．
分析:要求弯路的半径，连结OC，只要求出OC的长便可以了．因为已知OE⊥CD，所以CF＝CD＝300cm，OF＝OE－EF，此时就得到了一个Rt△CFO.
解:连结OC，设弯路的半径为R m，则
OF＝(R－90)m，∵OE⊥CD，
∴CF＝CD＝×600＝300(m)．
据勾股定理，得
OC2＝CF2＋OF2，
即R2＝3002＋(R－90)2
解这个方程，得R＝545．
∴这段弯路的半径为545m．
注:在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应在今后的解题过程中注意运用．
下面我们来想一想
如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．
上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？(它是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线．)
可用什么方法验证上述结论的？大家互相交流讨论一下，你还有什么发现？
通过折叠的方法，与刚才垂径定理的探索方法类似，在一张纸上画一个⊙O，作一条不是直径的弦AB，将圆对折，使点A与点B重合，便得到一条折痕CD与弦AB交于点M．CD就是⊙O的对称轴，A点、B点关于直径CD对称．由轴对称可知，AB⊥CD，=，=．
大家想想还有别的方法吗？互相讨论一下．
如上图．连接OA、OB便可得到一个等腰△OAB，即OA＝OB，又AM＝MB，即M点为等腰△OAB底边上的中线．由等腰三角形三线合一的性质可知CD⊥AB，又CD是⊙O的对称轴，当圆沿CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．
在上述的探讨中，你会得出什么结论？
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
为什么上述条件要强调“弦不是直径”？
因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的．
我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理．
同学们，你能写出它的证明过程吗？
解:如上图，连结OA、OB，则OA＝OB．
在等腰△OAB中，∵AM＝MB，
∴CD⊥AB(等腰三角形的三线合一)．
∵⊙O关于直径CD对称．
∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．∴=，=．
同时,我们还证明了圆还有下述性质:圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.
(三)随堂练习：
1.课本P61\62练习．
2.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？
答：相等．
理由：如下图示，过圆心O作垂直于弦的直径EF，由垂径定理设=，=，用等量减等量差相等，得－=－，即=，故结论成立．
符合条件的图形有三种情况：(1)圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3)在平行弦内，但理由相同．
(四)．课时小结
1．本节课我们探索了圆的对称性．
2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理．
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
(五)．布置作业
课本P69-70，习题3.1A组1、2、6、7
教学反思:
3.1.2 圆周角
教学目标
（一）知识与技能
1.知道什么样的角是圆周角。
2.了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。
3.能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征进行简单的证明和计算。
（二）过程与方法
1.通过对圆心角和圆周角关系的探索，培养学生运用已有知识，进行实验、猜想、论证，从而得到新知的能力。
2.通过圆周角定理的证明使学生进一步体会分类讨论的思想；继续培养学生的归纳和逻辑推理能力。
（三）情感态度与价值观
1.通过圆周角定理的证明向学生渗透由“特殊到一般”，再由“一般到特殊”的数学思想方法，体现了辩证唯物主义从未知到已知的认知规律。
2.培养学生积极追求真理的精神，使学生进一步从数的角度理解圆的完美性。
教学重点:
1.了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。
2.能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题。
教学难点: 对圆心角和圆周角关系的探索，分类思想的应用。
学法引导
教学方法：指导探索研究发现法。
学生学法：主动探索研究发现法。
教学用具:圆规、量角器、三角板。
教学过程
（一）情境导入
如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。
如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。
(二)实践与探索1：圆周角
究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的角就叫做圆周角，而图（2）、（4）、（5）中的角都不是圆周角。图（3）中的角有哪些特点？同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。
圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。（板书）
巩固练习1：图中哪个图含有圆周角？
（三）实践与探索2：
1.探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？而的圆周角所对的弦是否是直径？
1）动手操作
如图1，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B）， 那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎么样的角？为什么呢？
启发学生用量角器量出的度数，而后让同学们再画几个直径AB所对的圆周角，并测量出它们的度数，通过测量，同学们感性认识到直径所对的圆周角等于（或直角）。
2）大胆猜想 直径所对的圆周角等于（或直角）。
3）推理证明
证明：∵ OA＝OB＝OC
∴ △AOC、△BOC都是等腰三角形
∴∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB.
又∵∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°
∴∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝＝90°
∴不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°。
4）归纳总结
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。
反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径。
2.探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
1）动手操作1
（1） 分别量一量图2中弧AB所对的两个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化. 你发现其中有什么规律吗？
（2） 分别量出图2中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？
我们可以发现，圆周角的度数没有变化. 并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半。
2）大胆猜想
由上述操作可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。
动手操作2
如图3所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况：（1） 折痕是圆周角的一条边，（2） 折痕在圆周角的内部，（3） 折痕在圆周角的外部。
归纳总结：由上述操作可以发现，虽然一条弧所对的圆周角有无数个，但根据它们与圆心角的位置关系，归纳起来却只有三种情况：（1）圆心在圆周角的边上；（2）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角的外部。因此我们可以分三种情况证明这一猜想。
3）推理证明
已知：在⊙O中，弧AB所对的圆周角是∠ACB所对的圆心角是∠AOB
求证：∠ACB=∠AOB
证明：分三种情况讨论。
（1）圆心在圆周角的边上，即BC过圆心如图3（1）
∵OA=OC
∴∠A=∠C
∵∠AOB是△AOC的外角
∴∠AOB=∠ACB+∠A=2∠ACB
∴∠ACB=∠AOB
（2）圆心在圆周角的内部，如图3（2）
作直径CD
利用（1）的结论，有
∠1=∠AOD，∠2=∠BOD
∴∠ACB=∠1+∠2=∠AOB
（3）圆心在圆周角的外部，如图3（3）
作直径CD
利用（1）的结论，有
∠ACD=∠AOD，∠2=∠BOD
∠1=∠ACD-∠2=∠AOD-∠BOD=（∠AOD-∠BOD）=∠AOB
即∠ACB=∠AOB
4）归纳总结
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半； 反之，相等的圆周角所对的弧相等。
巩固练习2：试找出两图中所有相等的圆周角。
（四）应用与拓展
例2如图，如图4，AB是⊙O的直径，∠A＝80°．求∠ABC的度数．
解：∵AB⊙O是直径
∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角都相等，都等于90°）
∴∠ABC＝180°-∠A-∠ACB
＝180°-80°-90°
＝10°
巩固练习3：在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x＋100）°和（5x－30）°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数.
例3试分别求出图5中∠x的度数。
分析：根据同弧所对的圆周角相等，容易求得。
解：略（学生自己完成）
巩固练习3：说出圆中的度数。
（五）总结与扩展
本节课我们一同学习探究了两个知识点
圆周角的定义：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理及其定理应用：
1）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。
90°（直角）的圆周角所对的弦是圆的直径
2）同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧相等。等结论，希望同学们通过复习，记住这些知识，并能做到灵活应用他们解决相关问题。
方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”，再由“一般到特殊”的数学思想方法和分类讨论的思想。
（六）布置作业：
课本70页习题6、7、8
教学反思:
3.1.3过不在同一直线上的三点作圆
教学目标：
(一)知识与技能
1、了解不在同一直线上的三点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三点作圆的方法；
2、了解并辨认三角形的外接圆、三角形的外心等概念。
（二）过程与方法
经历不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程，进一步体会解决数学问题的策略。
（三）情感态度与价值观
积极参与探索活动，在活动中独立思考，并发表个人见解，有意和他人合作，交流看法，互相学习，并尊重他人的意见，在动手操作的过程中体会学习数学的乐趣。
教学重难点：
重点：掌握确定圆的方法和会作三角形的外接圆
难点：对“不在同一直线上的三个点确定一个圆”中的存在性和唯一性的理解
教学过程：
（一）创设情境引入
问题：车间工人能将一个如图所示的破损的圆盘复原，你知道用什么办法吗？
（根据学生的预习情况进行衔接教学）
——指出标题
——指出讨论1：“三个点的位置在什么地方？”
讨论2：“三个点为什么会不在同 一直线上？”
讨论3：“画一个圆需要知道什么”
上图中的圆心在什么位置？上图的圆的半径有多大？
（二）探究发现，认识新知
探索：为什么一定要三个点？
1：经过一个已知点A能作多少个圆
结论：经过一个已知点A能作无数个圆!
2：经过两个已知点A,B能作多少个圆？
结论：经过两个已知点A,B能作无数个圆!
讨论1：把这些圆的圆心用光滑线连接是什么图形？
讨论2：这条直线的位置能确定吗？怎样画这条直线？
3：经过三个已知点A、B、C能作多少个圆？
讨论1：怎样找到这个圆的圆心？
讨论2：这个圆的圆心到点A、B、C的距离相等吗？为什么？即OA=OB=OC
结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆
（三）初步应用：
1：现在你知道了怎样要将一个如图所示的破损的圆盘 复原了吗？
方法:
找圆弧所在圆的圆心,只要在圆弧上任取三点,作其连线段的垂直平分线,其
交点即为圆心。
2：已知△ABC,用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆。
概念教学
定义：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做圆的内接三角形.
举例、1：⊙O是△ABC的外接圆, △ABC是⊙O的内接三角形,点O是△ABC的外心即外接圆的圆心。
2：三角形的外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点.
试一试
1：画出过以下三角形的顶点的圆，并比较圆心的位置？
2：练一练
a：下列命题不正确的是 ( )
A.过一点有无数个圆. B.过两点有无数个圆.
C.弦是圆的一部分. D.过同一直线上三点不能画圆.
b：三角形的外心具有的性质是 ( )
A.到三边的距离相等. B.到三个顶点的距离相等.
C.外心在三角形的外. D.外心在三角形内.
（四）知识小结
1：不在同一直线上的三点确定一个圆。
——你知道是怎样的三点吗？
2：画已知圆或圆弧的圆心是在圆或圆弧上先取三点,连成两条线段,再做两线段的垂直平分线,则其交点即为所求的圆心。
——你会画了吗？
3：三角形的外接圆，圆的内接三角形、外心的概念
——你会辨别吗？
（五）布置作业
书本P62页课内练习
书本P62页作业题
预习P63页3.2圆的轴对称（1）
教学反思：
3.2.1 点、直线与圆的位置关系
教学目标:
(一)知识与技能
1、理解直线与圆的三种位置关系——相交、相切、相离。
2、能利用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系判别直线与圆的位置关系。
(二)过程与方法
经历探索直线与圆位置关系的过程。
(三)情感态度与价值观
通过本节知识的学习,掌握类比思想的运用,发展空间观念和推理能力,深刻体会分类讨论思想与数形结合思想在探索数学知识中的广泛应用.
教学重难点:
重点: 利用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系判别直线与圆的位置关系
难点: 圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系和对应位置关系联系的探索
教学过程
(一)、创设情境
1、回忆：（1）点和圆有哪几种位置关系？
（2）怎样判定点和圆的位置关系？
2、看书P72,（1）欣赏图3.31。
（2）从图片中你看到哪些图形？它们之间有几种位置关系？
(二)、操作与思考
1、在纸上画一个圆，上、下移动直尺。在移动过程中直线与圆的位置关系发生了怎样的变化
你能描述这种变化吗？
2、直线与圆的3种位置关系：
（1）相交：直线与圆有 公共点时，叫做直线与圆相交,这条直线叫做圆的割线。
（2）相切：直线与圆有 公共点时，叫做直线与圆相切。这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。
（3）相离：直线与圆有 公共点时，叫做直线与圆相离。
3、问题：上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化，还有什么量在变化？
如果⊙O的半径为,圆心O到直线的距离为d，那么：
（1）直线和⊙O相交d＜r；
（2）直线和⊙O相切d=r；
（3）直线和⊙O相离d＞r。
(三)、例题精讲
例1、在△ABC中，∠A=45°，AC=4，以C为圆心，r为半径的圆与直线有怎样的位置关系？为什么？
（1） （2） （3）
变式：r为何值时，⊙C与线段AB
(1)只有一个公共点？(2)有两个公共点？(3)没有公共点？(4)有公共点？
小结：判断直线和圆的位置关系一般步骤是什么？
。
练习：课本129页练习1、2
例2、如图，点A是一个半径为300m的润扬森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000m的笔直公路将两村连通。经测得∠ABC=45°，∠ACB=30°，问此公路是否会穿过森林公园？请通过计算进行说明．
(四)、巩固练习：
1、⊙O的直径为4，圆心到直线的l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是( ）
A、相离 B、相切 C、相交 D、相切或相交
2、⊙O的半径为5，点A在直线l上，若OA=5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A、相离 B、相切 C、相交 D、相切或相交
3、设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，若直线l与圆有公共点，则r与d的关系是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、在⊙O的半径为1，当 时，直线与圆相切。
5、在以C为圆心，r为半径的圆与直线AB相切，则r＝ 。
6、如图，以o为圆心的两个同心圆的半径分别为5和3，大圆的弦AB交小圆于点C、D，则弦AB的取值范围是 。
7、如图，⊙O的直径AB＝8，弦CD=,且∥,判断以CD为直径的圆与直线AB有怎样的位置关系，为什么？
（五）布置作业：
课本P80习题3.2A组1、2
教学反思：
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3.2.2 圆的切线的判定、性质和画法
教学目标：
(一).知识与技能：
（1）掌握切线的判定定理.
（2）应用切线的判定定理证明直线是圆的切线，初步掌握圆的切线证明问题中辅助线的添加方法.
(二).过程与方法：
（1）培养学生动手操作能力.
（2）培养学生观察、探索、分析、总结、推理论证等能力.
(三).情感态度与价值观：
通过直观教具的演示和指导学生动手操作的过程，激发学生学习几何的积极性.
教学重难点
重点：切线的判定定理.
难点：圆的切线证明问题中，辅助线的添加方法.
教学过程：
（一）复习引入
回答下列问题：（投影显示）
1.直线和圆有哪三种位置关系？这三种位置关系是如何定义？如何判定的？
2.什么叫做圆的切线？根据这个定义我们可以怎样来判定一条直线是不是一个圆的切线？
（要求学生举手回答，教师用教具演示）
我们可以用切线的定义来判定一条直线是不是一个圆的切线，但有时使用起来很不方便，为此，我们还要学习切线的判定定理.
（二）新课讲解
1.切线判定定理的导出
上节课讲了“圆心到一条直线的距离等于该圆的半径，则该直线就是一条切线”.下面请同学们按我口述的上不骤作图（一同学到黑板上作）：
先画⊙O，在⊙O上任取一点A，边结OA，过A点作⊙O的切线L.
请学生回顾作图过程，切线L是如何作出来的？它满足哪些条件？
引导学生总结出：①经过关径外端，②垂直于这条半径.
如果一条直线满足以上两个条件，它就是一条切线，这就是本节要讲的“切线的判定定理”.（板书定理）
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
请同学们思考一下，该判定定理的两个条件缺少一个可以吗？
下图中L是不是圆的切线？（用教具演示下面两个反例）
图（1）中直线L经过半径外端，但不与半径垂直.
图（2）中直线L与半径垂直，但不经过径外端.
从以上两个反例可看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线.
接着提出问题：若把定理中的“半径”改为“直径”可以吗？答案是肯定的.
然后引导学生分析，切线的判定定理是由前一节所讲的“圆心到直线的距离等于半径时直线与圆相切”直接得到的，只是为了便于应用才把它改写成“经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这种形式，所以定理不再需要另加证明.
提问：判定一条直线是圆的切线，我们有多少种方法呢？
经过学生讨论后，师生小结以下三种方法（板书）：
①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.
②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
③经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.切线性质定理的导出
如图，直线l是圆O的切线，切点为A，圆O的半径为r.
（1）圆心O到切线l的垂线段的长度等于什么？(圆心O到切线l的垂线段的长度是圆心O到切线l的距离d，从而它等于半径r. )
（2）由于圆心O到切线l的垂线段的长度等于半径OA的长度，且点A在切线l上，因此圆心O到切线l的垂线段就是 .(圆的半径)
师生共同总结：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
3.应用举例
例1：已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.
求证：直线AB是⊙O的切线.
分析：已知直线AB和⊙O有一个公共点C，
要证AB是⊙O的切线，只需连结这个公共点
C和圆心O，得到半径OC，再证这条半径和直
线AB垂直即可.
证明：连结OC
∵OA=OB，CA=CB
∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线 ∴AB⊥OC
直线AB经过半径OC的外端C，并且垂直于半径OC，所以AB是⊙O的切线.
例2：已知：⊙O的直径长6cm，OA=OB=5cm，AB=8cm.
求证：AB与⊙O相切.
分析：题目中不明确直线和圆有公共点，故证
明相切，宜用方法2，因此只要证点O到直线AB
的距离等于半径即可，从而想到作辅助线OC⊥
AB于C.
证明：过O点作OC⊥AB于C
∵OA=OB=5cm，AB=8cm
∴AC=BC=4cm
∴OC===3cm.
又∵⊙O的直径长6cm
∴圆心O到直线AB的距离OC等于半径等于3cm.
∴AB与⊙O相切.
让学生根据以上例题总结一下，证明直线与圆相切时，作辅助线的一般规律，以及证明方法的一般规律.
经学生讨论后得出：
①已明确直线和圆有公共点，辅助线的作法是连结圆心和公共点，即得“半径”，再证“直线与半径垂直”.
②不明确直线和圆有公共点，辅助线的作法是过圆心作直线的垂线，再证“圆心到直线的距离等于半径”.
注意：当题目中不明确直线和圆有公共点时，不能将圆上任意一点当作公共点而连结出半径.
（三）.课堂练习
课本P77练习1、2
（四）.课堂小结
本节课你学到了什么？请你谈谈你有什么收获。（学生举手回答）
（五）.布置作业
课本P80习题3.2A组3、4
教学反思：
3.2.3 三角形的内切圆
教学目标:
（一）知识与技能
1、使学生了解画三角形的内切圆的方法；
2、了解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念；
应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力；
（二）过程与方法
经历探索三角形内切圆尺规作图的过程，并会用来解决现实生活中的实际问题。
（三）情感态度与价值观
激发学生动手、动脑主动参与课堂教学活动，体验数学活动的乐趣。
教学重难点：
重点：三角形内切圆的作法和三角形的内心概念与性质的应用．
难点：三角形内切圆的作法和三角形的内心概念与性质的应用．
教学方法：
1、在教学中，组织学生自己画图、类比、分析、深刻理解三角形内切圆的概念及内心的性质；
2、在教学中，类比“三角形外接圆的画图、概念、性质”，开展活动式教学．
教学过程：
（一）新课讲解：
试一试：
一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮。
分析：画圆应先定圆心，后定半径。
在△ABC内只需作各内角的平分线交于点I，以I为圆心，I到AB的距离为半径作圆，则⊙I必与△ABC的三条边都相切。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心。这个三角形叫做圆的外切三角形。
内心就是三角形三条内角平分线的交点。
注意：1、一个三角形的内切圆是唯一的。
2、内心与外心的区别。
3、准确画出三角形的内切圆与外接圆。
内心与外心类比：
名称 确定方法 图形 性质
外心（三角形外接圆的圆心） 三角形三边中垂线的交点 （1）OA=OB=OC；（2）外心不一定在三角形的内部．
内心（三角形内切圆的圆心） 三角形三条角平分线的交点 （1）到三边的距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；（3）内心在三角形内部．
（二）例题精讲
例1．如图，△ABC中，内切圆O和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若∠FDE＝70°，求∠A的度数。
例2、⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，试说明
（1）∠BOC＝90°＋∠BAC
（2）△ABC三边长分别为a、b、c，⊙O的半径r，则有S△ABC＝r(a＋b＋c)
（3）△ABC中，若∠ACB＝90°，AC＝b , BC＝a , AB＝c,求内切圆半径r的长。
（4）若∠ACB＝90°，且BC＝3，AC＝4，AB＝5，△ABC的内切圆圆心O与它的外接圆圆心的距离。
例3、探究活动一、 问题：如图，有一张三角形纸片，其中BC=6cm，AC=8cm，∠C=90°．今需在△ABC中剪出一个半圆，使得此半圆直径在三角形一边上，并且与另两边都相切，请设计出所有可能方案，并通过计算说明如何设计使得此半圆面积最大，最大为多少？（ 应用类比思想分析、深刻理解三角形内切圆的概念）
探究活动二
问题：如图1，有一张四边形ABCD纸片，且AB=AD=6cm，CB=CD=8cm，∠B=90°．
（1）要把该四边形裁剪成一个面积最大的圆形纸片，你能否用折叠的方法找出圆心，若能请你度量出圆的半径；
（2）计算出最大的圆形纸片的半径（要求精确值）．
（三）课堂小结：
问题：这节课学习了哪些概念 怎样画已知三角形的内切圆 学习时应该注意哪些问题
(1)学习了三角形内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形概念．
(2)利用作三角形的内角平分线，任意两条角平分线的交点就是内切圆的圆心，交点到任意一边的距离是圆的半径．
(3)在学习有关概念时，应注意区别“内”与“外”，“接”与“切”；还应注意“连结内心和三角形顶点”这一辅助线的添加和应用．
（四）随堂练习
课本P79练习1-5
（五）布置作业
课本P80习题3.2A组5、6
教学反思：
3.3 圆与圆的位置关系
教学目标：
（一）知识与技能
了解圆与圆之间的几种位置关系；了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．
（二）过程与方法
经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力；通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力．
（三）情感态度与价值观
通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性；经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维．
教学重难点：
重点：探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．
难点：探索两个圆之间的位置关系，以及外切、 内切时两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的过程．
教学过程
（一）预习检测
1．圆和圆的位置关系有_______________________________.
2.如果两圆的半径分别为R、r,圆心距为d,则
两圆外离 ________________
两圆外切 ________________
两圆相交 ________________
两圆内切 ________________
两圆内含 ________________
2.如果两圆的半径为5、9，圆心距为3，那么两圆的位置关系是（ ）
A、外离 B、相切 C、相交 D、内含
3．⊙O 和⊙O′相内切，若O O′=3，⊙O 的半径为7，则⊙O′的半径为 （ ）
A 、4 B、6 C、0 D、以上都不对
（二）创设情境，引发探究
我们已经研究过点和圆的位置关系，分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种；还探究了直线和圆的位置关系，分别为相离、相切、相交．它们的位置关系都有三种．今天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系，那么结果是不是也是三种呢 没有调查就没有发言权．
下面我们就来进行有关探讨．
师生互动、探究新知
在纸上画两个圆，它们的圆心分别为，，半径分别为，，设＜，两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距，用d表示.
在一张透明纸上作一个⊙O．再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2．把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系
提示：(1)外离：当圆心距d＞+时，两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，称这两个圆外离；
(2)外切：当d =+时，两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，称这两个圆外切，这个公共点叫做切点.
(3)相交：当-＜d ＜+ (设≤)时，两个圆恰好有两个不同的公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部，称这两个圆相交；
(4)内切：当d =- (设＜)时，两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，称这两个圆内切，这个公共点叫做切点；
(5)内含但不同心：当0＜d ＜- (设＜)时，两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，称这两个圆内含但不同心；
(6)内含且同心(同心圆):当d=0且≠时，两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两个圆的圆心重合，称这两个圆内含且同心，简称它们为同心圆；
(7) 重合:当d=0且=时，两个圆重合.
注：外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点，相交有两个公共点．
（三）例题讲解
例1．已知圆和圆的半径分别为3cm， 7cm，圆心距d=5cm，判断这两个圆的位置关系.
解 由于 7-3=4，7+3=10，d = 5，
因此 4＜d＜10，
从而这两个圆相交
例2．已知圆和圆内切，圆心距为13cm，⊙的半径为12cm，求⊙的半径.
解 设⊙的半径为r，
由于⊙与⊙内切，
因此圆心距d=r-12，或d=12-r.
如果 d = r -12，
那么 r=d+12=13+12=25(cm).
如果 d = 12-r，
那么 r =12-d=12-13=-1(舍去).
所以⊙的半径为25cm.
（四）延伸拓展
已知图中各圆两两相切，⊙O的半径为2R，⊙O1、⊙O2的半径为R，求⊙O3的半径．
分析：根据两圆相外切连心线的长为两半径之和，如果设⊙O3的半径为r，则O1O3=O2O3＝R+r，连接OO3就有OO3⊙O1O2，所以OO2O3构成了直角三角形，利用勾股定理可求得⊙O3的半径r.
（五）课时小结
1．探索圆和圆的五种位置关系；
2．探讨圆和圆的五种位置关系圆心距d与R和r之间的关系．
（六）课堂检测
1．⊙O1和⊙O2的半径分别为3 cm和4cm，若两圆外切，则d＝_____；若两圆内切；d＝____．
2．两圆的半径分别为10 cm和R、圆心距为13 cm，若这两个圆相切，则R的值是____.
3．半径为5 cm的⊙O外一点P，则以点P为圆心且与⊙O相切的⊙P能画_______个．
4．两圆半径之比为3：5，当两圆内切时，圆心距为4 cm，则两圆外切时圆心距的长为_____．
5．两圆内切时圆心距是2，这两圆外切时圆心距是5，两圆的半径分别是______、_______
6．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 .
7．已知O1与O2的半径分别为R,r(R>r),圆心距为d,且两圆相交,判定关于x的一元二次方程x2—2（d—R）x+r2=0根的情况。
（七）布置作业
课本P85习题3.3 A组4、5
B组1、2
教学反思：
3.4.1 弧长和扇形的面积
教学目标:
（一）知识与技能
了解弧长计算公式及扇形面积的计算公式，并会应用公式解决有关问题．
（二）过程与方法
经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程
（三）情感态度与价值观
体验数学活动充满着探索性和创造性，在独立思考的基础上，积极参与数学问题的讨论，敢于发表自己的观点。
教学重难点:
重点：利用弧长公式时应注意的问题及扇形面积公式的灵活运用．
难点：利用弧长公式时应注意的问题及扇形面积公式的灵活运用．
学习方法:
学生互相交流探索法.
教学过程:
（一）情境与探究1：弧长公式
如图1是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°．你能求出这段铁轨的长度吗 （取3.14）我们容易看出这段铁轨是圆周长的，所以铁轨的长度 l≈＝157.0（米）.
问题：上面求的是的圆心角所对的弧长，若圆心角为，如何计算它所对的弧长呢？
请同学们计算半径为，圆心角分别为、、、、所对的弧长。
等待同学们计算完毕，与同学们一起总结出弧长公式（这里关键是圆心角所对的弧长是多少，进而求出的圆心角所对的弧长。）
弧长的计算公式为：
半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长l为：
练习：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。
(二)情境与探究2：扇形的面积。
如图2，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形
问：右图中扇形有几个？
同求弧长的思维一样，要求扇形的面积，应思考圆心角为的扇形面积圆
面积的几分之几？进而求出圆心角的扇形面积。
如果设圆心角是n°的扇形面积为S，圆的半径为r，那么扇形的面积为
因此扇形面积的计算公式为：
半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积S为：
或
其中l是n°的圆心角所对的弧长。
练习:1、如果扇形的圆心角是230°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的____________；
2、扇形的面积是它所在圆的面积的，这个扇形的圆心角的度数是_______°.
3、扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧长是_____________
（三）应用与拓展
例1如图，圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的面积和周长．（π≈3.14）
例2、右图是某工件形状，圆弧BC的度数为，，点B到点C的距离等于AB，，求工件的面积。
（四）课堂小结
本节课我们共同探寻了弧长和扇形面积的计算公式，一方面，要理解公式的由来，另一方面，能够应用它们计算有关问题，在计算力求准确无误。
（五）布置作业课本P92习题3.4A组1、2、3
教学反思：
3.4.2 圆锥的侧面积和全面积
教学目标：
（一）知识与技能
了解圆锥的侧面展开图是一个扇形，会使用圆锥的侧面积公式解决问题。
（二）过程与方法
经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，体会扇形与圆锥的侧面之间的关系。
（三）情感态度与价值观
积极参与探索活动，在探索活动中勇于发表意见，感受成功的乐趣。
教学重难点：
重点：探索圆锥侧面积计算公式的过程．
难点：探索圆锥侧面积计算公式．
教学方法：观察——想象——实践——总结
教学目标：
一、知识与技能
1、从现实情境和已有的知识、经验出发、讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数、函数概念的理解。
2、经历抽象反比例函数概念的过程，体会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，能根据已知条件，确定反比例函数表达式。
二、过程与方法
1、经历对两个变量之间相依关系的讨论，培养学生的辨证唯物主义观点。
2、经历抽象反比例函数概念的过程，发展学生的抽象思维能力，提高数学化意识。
三、情感态度与价值观
1、经历抽象反比例函数概念的过程，体会数学学习的重要性。
2、通过分组讨论，培养学生合作交流意识和探索精神。
教学重难点：
重点：理解和领会反比例函数的概念。
难点：领悟反比例的概念。
教学过程：
一、创设情境，导入新课
活动1
问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？
(1)思剑高速公路贯通后全程为157km，到时从思南到剑河乘坐汽车所用时间t（单位:h）随该汽车平均速度v（单位:km/h）的变化而变化；
（2）城北江岸名都住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长为y随宽x的变化；
（3）已知思南县的总面积为2230.5平方千米，人均占有土地面积S（单位：平方千米/人）随全县人口n（单位:人）的变化而变化.
先让学生进行小组合作交流,再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看着函数,了解所讨论的函数的表达形式.
教师组织学生讨论,提问学生,师生互动.
在此活动中老师应重点关注学生:
能否积极主动地合作交流。
能否用语言说明两个变量间的关系。
能否了解所讨论的函数表达形式，形成反比例函数概念的具体形象。
分析及解答：（1），其中v是自变量，t是v的函数；
（2） ，x是自变量，y是x的函数；
（3），n是自变量，s是n的函数；
上面的函数关系式，都具有的形式，其中k是常数，且k≠0。
概念：一般地，如果两个变量与之间的关系可以表示成
（为常数，≠0）
的形式，那么称是的反比例函数（反比例函数的自变量x不能为零）。
注意：反比例函数的表达式还可以写成：=（为常数，≠0）或=（为常数，≠0）因此，反比例函数解析式有三种形式，虽然形式不同，但表达形式是等价的，两个变量之间的关系只要满足其中一种形式，即可判断其为反比例函数。
反比例函数的文字语言描述: 是的反比例函数或与成反比例.
二、例题解析，领悟反比例函数的概念
活动2
问题1：下列哪个等式中的y是x的反比例函数？
， ， ，
问题2：已知y是x的反比例函数，当x=5时，y=10
（1）写出y与x的函数关系式：
（2）求当x=3时，y的值。
师生行为：
学生独立思考，然后小组合作交流。教师巡视，查看学生完成的情况，并给予及时引导。在此活动中教师应重点关注：
①学生能否领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；
②学生能否积极主动地参与小组活动。
分析及解答：
1、只有xy=123是反比例函数。
2、分析：因为y是x的反比例函数，所以，再把x=2和y=6代入上式就可求出常数k的值。
解：（1）设，因为x=5时，y=10,
所以有
解得k=50
因此
（2）把x=3代入，得
三、巩固提高
活动4
1、已知y是x的反比例函数，并且当x=3时，y=-8。
（1）写出y与x之间的函数关系式。
（2）求y=2时x的值。
学生独立练习，而后再与同桌交流，上讲台演示，教师要重点关注“学困生”。
四、课时小结
本节课我们学习了从实际问题中抽象出了反比例函数模型，反比例函数的概念是指：一般地，如果两个变量与之间的关系可以表示成（为常数，≠0）的形式，那么称是的反比例函数（反比例函数的自变量x不能为零）。反比例函数解析式有三种形式：（为常数，≠0）；=（为常数，≠0）或=（为常数，≠0）。虽然形式不同，但表达形式是等价的，两个变量之间的关系只要满足其中一种形式，即可判断其为反比例函数; 反比例函数的文字语言描述: 是的反比例函数或与成反比例.
( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )五、随堂练习
课本P3练习1、2
六、布置作业：
课本P4习题1.1 A组1、2 B组1、2
教学反思：
1.2 反比例函数的图像与性质（1）
教学目标：
一、知识与技能
1、初步会用描点法画反比例函数图象, 培养学生动手作图、观察、分析、概括等能力．
2、通过观察，让学生能根据图象说出反比例函数的图象性质．
二、过程与方法
通过观察反比例函数图象，分析和探究反比例函数的性质，培养学生的探究，归纳及概括能力。在探究过程中渗透分类讨论思想和数形结合的思想。
三、情感态度与价值观
1、积极参与探索活动，注意多和同伴交流看法。
2、在动手做图的过程中体会乐趣，养成勤于动手，乐于探索的习惯。
教学重难点：
重点：画反比例函数的图象，根据图象说出其性质．
难点：画反比例函数的图象.
教学过程
一、复习导入
（1）什么是反比例函数？
（2）作出一次函数的图象，图象是什么形状？作图的步骤是什么？
猜测：反比例函数的图象会是什么形状呢？我们可以用什么方法画这个反比例函数的图象？
通过引导学生复习画一次函数图象，激发学生参与课堂学习的热情，为学习画反比例函数的图象奠定基础.
二、探索新知
师生共同合作画反比例函数的图象．
1．列表：
讨论：让x取些什么样的值？因为x取非零实数，为了使图象更加直观，我们可以让自变量ｘ 尽量多取一些正负对应的值（说明：沿0的两侧取三对或三对以上互为相反数的数，如1和-1，2和-2，3和-3等），并且计算出相应的函数值，列成下表：
x -4 -2 -1 - 1 2 4
y= - -1 -2 -4 4 2 1
2．描点：如何在平面直角坐标系内描点？让学生回忆在画一次函数图象时，是如何描点的． 指导学生以x的值为横坐标，以y的值为纵坐标，以表里各组对应的x，y值作为点的坐标，在平面直角坐标系中，描出各点．
3．观察和分析图1-1
问题一：让学生观察图象，在图1-1 中，y轴右边的点，当横坐标x逐渐增大时，纵坐标y怎样变化呢？（引导学生得出：纵坐标y反而减小．）
问题二：y 轴左边的点也有这样的性质吗？
可以证明，对于反比例函数 ，当x>0时，函数值随自变量取值的增大而减小；当x<0时，也有这一性质．
4．连线：由ｙ 轴右边与左边的描点的过程可知，在平面直角坐标系中不能形成一条具有连续性的直线，那么我们可用平滑的曲线将ｙ 轴右边的点依次连接，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将y 轴左边的各点依次连起来，得到图象的第二分支，这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．
让学生观察图1－1，讨论：
（1）在图1－1 中，在各分支中，y 是如何随x 的变化而变化？（y 随x 增大而减小，图象从左至右呈下降趋势）；在各分支中，x 与y 的取值有何特征？（x 为正y也为正，x 为负y也为负，x 不可取0，y 也不为0等）；这两个分支在平面直角坐标中成什么对称？ （既中心对称又轴对称）．
（2）两支曲线会与x 轴及y 轴相交吗？（x 不能取0，则曲线不会与y 轴相交；y 不能取0，则曲线不会与x 轴相交）．
指出：当k>0 时，反比例函数ｙ＝的图象也有上述性质，那么我们以后画的图象时，只要用“列表、描点、连线”三步就行了．
（三）应用新知
1. 画出反比例函数的图象，比较函数与的图象的共同特征．
2. 在图象画法，画反比例函数与画正比例函数y = x的图象中再画出y＝ ，y ＝的图象，你有什么新的发现？
（四）课堂小结
比较正比例函数y＝2x 与反比例函数y ＝的的过程中有哪些不同？那么，你认为在画反比例函数的图象的过程中应注意些什么？
(五)布置作业：课本P7练习．
教学反思：
课题：1.2 反比例函数的图象和性质(2)
教学目标：
一、知识与技能
1. 掌握反比例函数的图象画法，进一步培养学生动手作图、观察与分析等能力．
2. 通过观察，让学生能根据图象说出反比例函数的图象性质．
3. 了解反比例函数ｙ＝与ｙ＝－的图象之间的联系．
二、过程与方法
通过观察反比例函数图象，分析和探究反比例函数的性质，培养学生的探究，归纳及概括能力。在探究过程中渗透分类讨论思想和数形结合的思想。
三、情感态度与价值观
1、积极参与探索活动，注意多和同伴交流看法。
2、在动手做图的过程中体会乐趣，养成勤于动手，乐于探索的习惯。
教学重难点：
重点：画反比例函数的图象，了解反比例函数的性质．
难点：描点法画的图象
教学过程：
（一）创设情境
完成列表，你有什么新的发现？
ｘ －６ -4 -2 -1 - - 1 2 4 6
y= - - -1 -2 -4 -6 6 4 2 1
y=- 4 -6 -4 -
（二）探究新知
问题：如何画反比例函数的图象？
多媒体演示或小黑板出示反比例函数的图象，那么的图象与的图象有什么关系？让学生观察列表，出示图1－3，当x＝4时，y＝＝，y＝-＝－，那么在直角坐标系中可得到A(4,－),B(4，-)两点．
引导学生思考：点A与点B有什么关系？你又有什么新的发现？
在分析Ａ 点与Ｂ 点之间关系的基础上归纳出：当ｘ 取任一非零实数ａ 时，都有点P(a,－)与点Q( a, )关于ｘ轴对称．那么画的图象只要将的图象沿x轴翻折并将图象“复印”下来就行了．动画演示或其他媒体演示，得到图1－4．指导学生观察图1－4，讨论：
①在图1－4 中，在各分支中，y是如何随x的变化而变化的 （在各分支中y随x增大而增大，图象从左至右呈上升趋势）
②在各分支中，x与y的取值有何特征 （x为正则y为负,x为负则y为正，x不可取0，y 也不可取0等）
③这两个分支在平面直角坐标系中成什么对称 （中心对称且同时轴对称）
④两支曲线与x 轴、y 轴相交吗？（都不相交）
并引导学生得出：
当ｋ<0时，反比例函数具有与一样的性质，以后画反比例函数的图象时，可以直接按“列表、描点、连线”三个步骤就可以了，不必先画，再翻折．
（三）例题讲解
例：课本P8的例题．
分析：
1.为了使图象更加直观准确，在列表中自变量x尽量多取一些正、负对应的值．
2.各点的坐标，一定要在平面直角坐标系中找准对应的点的位置．
3.y 轴左、右边各点分别用平滑的曲线连接（如图1-4）．
［解］见课本P8．
（四）应用新知
课本P9练习题．
（五）课堂小结
你能用两种方法画反比例函数的图象吗？分别说出这两种画法的特点．
（六）思考与拓展
已知某函数图象与的图象关于ｘ轴对称，且点A(2,3）在的图象上，则前一个函数图象的解析式为________．(答案：．)
（七）布置作业
1.课本P11 习题A组第1题．
2.在同一平面直角坐标系中画出,的图象，你有什么发现？ 课后反思
课题 1.2反比例函数的图象与性质（3）
教学目标
一、知识与技能
1. 结合图象和解析式，探究并归纳反比例函数的性质，培养学生的观察、归纳等能力
2. 理解ｋ的正负性与反比例函数图象变化之间的关系
二、过程与方法
通过观察反比例函数图象，分析和探究反比例函数的性质，培养学生的探究，归纳及概括能力。在探究过程中渗透分类讨论思想和数形结合的思想。
三、情感态度与价值观
1、积极参与探索活动，注意多和同伴交流看法。
2、在动手做图的过程中体会乐趣，养成勤于动手，乐于探索的习惯。
重点：理解反比例函数（ｋ为常数且ｋ≠０）的性质．
难点：探究反比例函数性质的推理过程．
教学过程
（一）创设情境
指导学生完成课本P9“做一做”，即让学生在同一直角坐标系中画出和的图象．
（二）探究新知
引导学生思考下列问题：
1.观察课本P6-9中的图1－1，1－3，1－4，对于反比例函数的图象的两支曲线分别位于哪个象限，你发现了什么规律呢？
引导学生观察、分析得出：
（1）反比例函数的图象中两支曲线都与ｘ轴、y 轴不相交．
（2）当k>0时，图象位于第一和第三象限，当k<0时，位于第二和第四象限，并得出：反比例函数的图象是由两支曲线组成的，这两支曲线叫双曲线．
2.观察课本P6-8“探究”栏目中和的图象，你能归纳出反比例函数的性质吗？
引导学生得出：(1）当k>0时, 的图象在第一、第三象限内，函数值随自变量取值的增大而减小，在每个象限内，图象从左至右呈下降趋势．（2）当k<0 时，的图象在第二、第四象限内，函数值随自变量取值的增大而增大，在每个象限内，图象从左至右呈上升趋势．
（三）讲解例题
例1.已知反比例函数 的图象经过第一、三象限，求 m 的取值范围．
分析：反比例函数图象经过第一、三象限比例系数k>0，即4m-1>0．
［解］∵ 图象经过第一、三象限
∴4m-1>0
∴ m>
例2.已知点P(，）与Q（，）在反比例函数的图象上，且，判断与的大小关系．
［解］∵ 比例系数ｋ＝２＞０
∴ 在第一、三象限内，y随x增大而减小
又∵
∴ 点P与点Q都在第一象限
∴ >
或－ ＝ － ＝
∵
∴ ，
∴
即 － > 0，
∴ >
（四）应用新知
1.已知一个反比例函数图象在分布的象限内ｙ随ｘ增大而减小，则其解析式可以是_______. ( 答案：，k > 0)
2.在同一坐标中，函数与的图象的交点在第______象限．(答案：二、四．)
（五）课堂小结
结合图象，学生观察，自主归纳比较与的联系与区别：
正比例函数 反比例函数
ｋ> 0 图象
性质 函数值随自变量的增大而增大 各分支：函数值随自变量的增大而减小
ｋ< 0 图象
性质 函数值随自变量的增大而减小 各分支：函数值随自变量的增大而增大
自变量x的取值范围 取全体实数 取ｘ≠０的全体实数
图象的形状 直线 双曲线
对称性 既是轴对称图形又是中心对称图形 既是轴对称图形又是中心对称图形
（六）布置作业
课本P11习题1.2A组2，P12习题B组1．
课后反思:
1.3实际生活中的反比例函数
教学目标：
一、知识与技能
1. 能用反比例函数的性质解释生活中某些实际问题．
2. 能从实际问题中，建立反比例函数模型
3．能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决一些实际问题．
二、过程与方法
1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
三、情感态度与价值观
1．积极参与交流，并积极发表意见．
2．体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．
教学重难点：
重点：掌握从实际问题中建构反比例函数模型．
难点：从实际问题中寻找变量之间的关系．
教学过程
（一）创设情境
1. 实验：让学生进行实验，用劲踩气球时气球导致爆炸．
思考：为什么使劲踩气球时，气球就会爆炸？
2. 多媒体演示或介绍故事情境：小明的奶奶纳鞋底的情景．
思考：人们纳鞋底为什么用锥子而不用小铁棍？
（二）探究新知
师生共同讨论，用反比例函数的有关知识进行解释说明．
（1）在温度不变的情况下，有pV ＝ k （k 为常数，k ＞０）,那么气球内气体的压强p（Pa）与它的体积V（ｍ３）成什么关系呢？
∵ pV ＝ k （k 为常数，k ＞０），
∴ ．
故 p是V的反比例函数．
∵k＞０，V＞０，根据反比例函数，当k＞０ 且x＞０ 时，函数值随自变量取值的减小而增大．
∴ｐ 随Ｖ 的减小而增大，当ｐ 值达到已超过气球可承受的压强时，气球自然就会爆炸了．
（2） ∵ 压力＝ 压强× 受力面积，即F＝pS．
∴ 当压力一定时，压强ｐ 与受力面积成反比例关系．
即（F为常数，F＞０）．
∵ F＞０，又S＞０，根据反比例函数，当ｋ ＞０ 且ｘ ＞０ 时，函数值随自变量取值的减小而增大．
∴ p随S的减小而增大，因此用锥子比用小铁棍更容易纳鞋底．
问题：生活中还存在哪些与上述类似的情况呢？
引导学生思考回答．
（三）应用新知
1、课本P14练习．
2、市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室．
(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系
(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下挖进多深
(3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)。
（四）课堂小结
通过反比例函数的研究，你能说说数学与物理学科之间有什么联系吗？数学与现实生活有什么联系？
（五）思考与拓展
某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关系：
x(元) 3 4 5 6
y(个) 20 15 12 10
(1)根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对(x，y)的对应点；
(2)猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；
(3)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出w与x之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润 ．
（六）布置作业
课本P15习题1.3A组和Ｂ 组．
教学反思：
第２ 章 二次函数
2.1 建立二次函数模型
教学目标：
（一）知识与技能：
1. 通过对实际问题情境分析，建立二次函数的模型.
2. 能够表示变量之间的二次函数关系.
（二）过程与方法：
1. 经历探索和表示二次函数关系的过程.
2. 体验如何用二次函数表示变量之间的关系.
（三）情感态度与价值观:
1. 积极参与探索活动、乐于和同伴交流与合作，敢于在交流中发表意见，并能听取别人的不同见解.
2. 体验二次函数模型是描述实际生活的有效工具.
3. 进一步体验建立数学模型的思想方法.
重点：建立二次函数数学模型和理解二次函数概念．
难点：建立二次函数数学模型．
教学过程
（一）创设情境
1．欣赏一组录像画面：篮球场上同学们传球投篮，田径场上同学们投掷铅球，同学们课余游戏抛硬币，石拱桥的桥拱……
2．观察：篮球投篮时，掷铅球时，抛硬币时……在空中运行的路线是一条什么样的路线？
（二）复习引入
我们已知道，可以建立数学模型一次函数来刻画直线，反比例函数来刻画双曲线，那么像前面所看到的曲线，我们又该建立一个什么样的数学模型来刻画它们呢？
要刻画它，我们今天还需要学习一种新的函数关系———二次函数． （点出课题）
（三）探求新知
1.认真阅读课本P21“动脑筋”中问题———植物园的面积随着砌法的不同怎样变化
（1）学生阅读审题，独立思考，自主探索．
设与围墙相邻的每一面墙的长都为ｍ，则与围墙相对的一面墙的长为ｍ，于是矩形植物园的面积S=，即S=．
（2）学生合作讨论 的取值范围．
由 得．
（3）概括． 由上述（1）、（2）可得关系式S=，，有了这个关系式，我们对植物园的面积S 随着砌法的不同而变化的情况就了如指掌了．
2.认真阅读课本P21“动脑筋”中问题———电脑的价格．
师生共同分析交流，得出：平均降价率与售价之间的关系：
，．
即 ，．
引导学生观察上述两个函数解析式，并说出函数关系式S=，()和()有什么共同特点？通过上述分析抽象出：
函数解析式是自变量的二次多项式，这样的函数称为二次函数，它的一般形式为（，， 是常数，）．
二次函数的自变量的取值范围是所有实数． 但对于实际问题中的二次函数的自变量的取值范围一般会有一些限制．
二次函数有下列特殊形式：
(，＝0，＝0)；
(，，＝0)；
(，，）．
（四）讲解例题
例1．下列函数中，哪些是二次函数？
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
例2.已知是二次函数，求ｍ 的值．
解：略
（五）应用新知
课本P22 练习题．
让两名学生上台板演解题过程，师生共同评价订正．
（六）课堂小结
1.判断一个函数是否是二次函数，关键看什么？
自变量最高次数是2，二次项系数．
2.二次函数中，自变量取值有什么限制？
从两方面考虑：一是自变量取值要使函数解析式有意义；二是自变量取值要使实际问题有意义．
（七）布置作业
课本P23习题A组第1，2 题．
教学反思:
2.2 二次函数的图象与性质（一）
教学目标:
(一)知识与技能：
1. 会用描点法画二次函数的图象．
2. 能结合图象直观初步了解函数的某些性质．
3. 让学生经历探索二次函数 的图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯．
(二)过程与方法：
经历探索二次函数图像的画法与过程，获得作函数图象的经验.
(三)情感态度价值观:
二次函数的图像美扩展到数学美
重点：会用描点法画出二次函数的图象以及探索函数性质．
难点：探索二次函数性质．
教学过程：
（一）复习引入
1．什么是二次函数？一般形式是什么？
2．反比例函数的图象是什么呢？它有哪些性质？
3．二次函数的图象是什么呢？它又有哪些性质？
（二）探究新知
问题一:如何作二次函数 的图象呢？
引导学生探索二次函数的图象的画法．
（1）列表． 让学生讨论，引导学生先给自变量取值，再算出相应的函数值． 列表如下．
-3 - -2 -1 - 0 1 2 3
2 0 2
（2）描点． 在平面直角坐标系内，以的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图2－1．
观察和分析：①从图2－1看出，点A和点A′，点B和点B′……它们有什么关系？②ｙ轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？
学生通过观察、分析、思考、讨论和交流，得出：
的图象关于轴对称；
轴右边，函数值随自变量的增大而增大，简称为“右升”．
（3）连线．用一条光滑曲线把原点和ｙ轴右边各点顺次连接起来，然后利用对称性，画出图象在ｙ轴左边的部分（把ｙ轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来），这样就得到了 的图象，如图2－2．
问题二 二次函数的图象有哪些性质呢？
引导学生探索二次函数的图象性质．
二次函数的图象关于ｙ轴对称和“右升”外，还有哪些特性？
①对称轴与图象的交点是O(0，0），图象开口向上；
②图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，简称为“左降”．
③当ｘ＝0时，函数值最小．
由此归纳出：二次函数的图象画法和性质：
（1）的图象画法：先用描点法（列表、描点、连线）画出图象在ｙ轴右边的部分，然后利用对称性画出图象在ｙ轴左边的部分．
（2）的性质：
①对称轴是ｙ 轴；
②对称轴与图象的交点是O(0，0），图象开口向上；
③当＝0 时，函数值最小为0．
（三）讲解例题
例 课本P27例１．
分析：先用描点法画出图象在ｙ轴右边的部分，然后利用对称性画出图象在ｙ轴左边的部分．(解见课本P27)
（四）应用新知
课本P27练习题．
（五）课堂小结
引导学生思考以下两个问题：
１.画二次函数的图象的步骤有哪些？列函数值表要注意些什么？
２.什么叫二次函数的图象的“左降”和“右升”？
（六）思考与拓展
1.若二次函数的图象与对称轴的交点是原点，则＝_______．
2.若函数的图象与直线只有一个交点，则a＝____．
(七)布置作业
1.填空：二次函数的图象开口向_____，对称轴是______，在对称轴的左边部分，ｙ随ｘ的增大而__________，在对称轴的右边部分,ｙ随ｘ的增大而_______，图象与对称轴的交点坐标是__________，当ｘ＝__________时，函数ｙ有最小值___________．
2.画出函数的图象．
课后反思:
2.1 二次函数的图象与性质（二）
教学目标:
(一)知识与技能：
1. 会用描点法画出二次函数的图象
2. 了解与的图象的位置关系．
3. 进一步体验类比迁移的思想方法.
（二）过程与方法：
通过作图、观察、分析和小组合作探究，进一步理解二次函数的图象和性质.
（三）情感态度与价值观：
向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点，培养学生数形结合、类比的思想和动手操作能力.
重点：理解抛物线的有关概念，体会“轴反射”在作函数图象中的应用．
难点：区别与的图象性质．
教学过程：
（一）复习引入
1．怎样画出函数的图象？
2．我们已经画过的图象，能不能由它得出的图象？
（二）探究新知
（1）讨论回顾:反比例函数与的图象有什么关系？当画出了双曲线后，又怎样得到双曲线？（突出图象“复印”这一点）
（2）请你猜一猜的图象与的图象会是怎样的关系呢？(运用类比迁移的思想方法，可以猜想出：的图象与的图象关于ｘ轴对称．)
（3）验证猜想:你能验证你的猜想吗？引导学生分析讨论．
在的图象上任取一点P(，).点P关于轴对称的点Q的坐标是(，).检验Q点是否在的图象上．当＝时，＝，所以Q点在的图象上．
由此可知，的图象与的图象关于轴对称．因此，只要把的图象沿轴翻折并将图象“复印”下来，就得到的图象．(有条件的话，用多媒体动画演示图2－3，让同学们真实体验“复印”过程．)
（4）的图象有哪些性质？
引导学生观察、分析图2－3，并结合课本P28“观察”栏目，进行自主探索，得出的性质．
用类比的方法归纳出的性质：
①图象开口向下，对称轴是轴，图象与对称轴的交点是（0，0）；当＝0时，函数值最大，最大值＝0；
②对称轴右边图象，随的增大而减小(右降），对称轴左边图象, 随的增大而增大（左升）．
（三）讲解例题
例：（课本P29例2）画二次函数的图象．
［解］①列表：(略) ②描点和连线：画出图象在轴右边的部分．利用对称性画出轴左边的部分．这样就得到了的图象，如图．
引导学生探索抛物线的有关概念．
（1）说一说，的图象跟实际生活中的什么相像？
（2）让同学们合作交流，抽象概括出抛物线的有关概念，不完整的地方，教师补充完整．
二次函数的图象叫做抛物线，关于轴对称，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点，抛物线的顶点是原点．
（四）应用新知
课本P30练习第1,2题．学生独立完成后，抽样上台板演，集体评价，交流解题思路.便于大家共同提高．
（五）课堂小结
1.二次函数图象是什么？刻画它的数学模型是什么？
二次函数图象是抛物线，刻画抛物线的数学模型是二次函数解析式．
2.抛物线的哪些性质与无关，哪些性质与有关？
抛物线顶点，对称轴与无关．抛物线开口方向，函数值ｙ与自变量ｘ的变化关系都与有关．
3.谈谈你对这节课的学习体会，大家交流．
（六）思考与拓展
1.当为何值时，抛物线的开口向下，对称轴是轴；当为何值时，随的增大而减小？
2.已知抛物线绕顶点旋转180°得到抛物线，求ａ．
（七）布置作业
1.填空．
（1）抛物线的开口向_____，顶点坐标是_____，对称轴是_____，当_____0时，随的增大而增大，当_____0 时，随的增大而减小，当_____0 时，有最_____值为_____．
（2）抛物线的开口向_____，顶点坐标是_____，对称轴是_____，当_____0时，随的增大而增大，当_____ 0 时，随的增大而减小，当_____0 时，有最______值为_____．
2.在同一坐标中画出下列二次函数的图象，并探究图象开口大小规律．
（1）；（2）；(3）；（4）．
课后反思：
2.2二次函数的图象与性质（三）
教学目标:
（一）知识与技能
1.运用平移知识理解二次函数与 的图象的位置关系．
2.能说出抛物线的对称轴，顶点坐标和开口方向．
3.会用描点法画二次函数的图象．
（二）过程与方法：
通过作图、观察、分析和小组合作探究，进一步理解二次函数的图象和性质.
（三）情感态度与价值观：
向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点，培养学生数形结合、类比的思想和动手操作能力.
重点：用描点法画二次函数的图象；理解二次函数的性质．
难点：理解二次函数的图象与二次函数的图象之间的相互关系.
教学活动
（一）创设情境
1．设计一个小船平移的多媒体动画进行演示．
引导学生回顾，什么叫平移？平移由那些要素决定？平移有哪些性质？
2．提问：抛物线是否也可以这样平移？
将抛物线进行多媒体动画演示，沿轴左、右平移，或沿着轴上、下平移．让学生观察有哪些改变了，哪些没有改变．
3．引入：将抛物线平移后，形状和开口方向没有改变，但位置发生了变化，那么平移后的抛物线所对应的二次函数解析式还会是吗？如果不是，那么解析式会发生什么变化呢？
（二）探究新知
学生活动一:
（1）观察课本P31图2－7．
把二次函数的图象E向右平移1个单位后得到图象F，如图．
（2）各自记录观察结果，然后进行
交流讨论，合作填好下表
图象 原象E抛物线E： 象F图形F也是抛物线
顶点
对称轴
开口方向
教师:
（1）指导观察：注意平移性质——平移不改变图象形状和大小，只改变位置．
（2）引导讨论：突出“向右平移1个单位后”，抛物线改变位置，这意味着什么？（意味着顶点的改变，对称轴的改变．）
（3）提出问题：抛物线F是哪个函数的图象呢？
这是已知抛物线找出刻画它的函数模型，即二次函数解析式．
学生活动二:
（1）自主探索．在抛物线上任取一点Ｐ，它在向右平移1个单位后，P的象点Q的坐标是什么？
（2）小组合作讨论交流：把P点的横坐标ａ加上1，纵坐标不变，就得到象点Q的坐标为(a+1，)． 设ｂ=a+1，则ａ＝ｂ－１，从而点Q的坐标为(ｂ, )。所以抛物线F是二次函数的图象． 它的顶点是（1，0），它的对称轴是过点O′（1，0）且平行于ｙ轴的直线ｌ′，直线ｌ′为ｘ＝１，抛物线 的开口向上．
由此引导学生归纳出函数的图象性质：
函数的图象是抛物线，它的对称轴是直线，它的顶点坐标是(ｈ，0）．当ａ＞0时，抛物线开口向上；当ａ＜0时，开口向下．
（三）讲解例题
例：课本P32例3．
分析：先找出顶点坐标和对称轴，再列表、描点、连线画出二次函数图象在对称轴右边的部分，最后利用对称性画出对称轴左边的部分．
（四）应用新知
学生随堂练习，课本P33练习题第1，2题．
（五）课堂小结
1．抛物线沿ｘ轴左右平移，实际上只改变了顶点横坐标，纵坐标不变．
2．如何作（ａ≠0）的图象？
（六）思考与拓展
让学生自主探索，小组交流讨论，教师引导点拨，解决以下问题．
1．抛物线向左平移1个单位后，得到抛物线 ，如果将抛物线向右平移1个单位后，又是怎样的抛物线呢？
2．
（1）抛物线向左平移3个单位后得到的抛物线是 ．
（2）抛物线 向右平移4个单位后得到的抛物线是 ．
(七)布置作业
1．填空．
（1）抛物线与关于 对称．
（2）抛物线向右平移3个单位后，得到的抛物线是 .
（3）抛物线开口向下，顶点坐标是 ，对称轴是直线 ，当 时，随的增大而减小．
2．选择题．
（1）比较和的图象的不同之处是（ ）
A.对称轴 B.顶点坐标 C.开口方向 D.开口大小
（2）对于抛物线 (ａ≠０），下列叙述正确的是（ ）
A.ａ越大开口越大 B.ａ越大开口越小
C.｜ａ｜越大开口越大 D.｜ａ｜越大开口越小
课后反思：
2.2二次函数的图象与性质（四）
教学目标:
(一)知识与技能
1．理解的图象与的图象的关系．
2．能说出抛物线的对称轴，顶点坐标和开口方向．
3．让学生经历的性质的探究过程，理解二次函数图象性质．
（二）过程与方法：
通过作图、观察、分析和小组合作探究，进一步理解二次函数的图象和性质.
（三）情感态度与价值观：
向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点，培养学生数形结合、类比的思想和动手操作能力.
重点：探索二次函数的图象的性质以及画二次函数的图象．
难点：理解与的图象之间的关系.
教学过程:
（一）复习引入
1.填空．
（1）抛物线的顶点是___ _，对称轴是_ __，开口向___ __．
（2）抛物线的顶点是___ __，对称轴是_ _，开口向_____．
2.说一说，下列函数是将抛物线经过怎样的平移得到的？
（1）； （2）．
3.引入：将抛物线经过怎样的平移可以得到抛物线？
（二）探究新知
1．理解抛物线与抛物线的平移关系．
（1）引导学生完成下表．
（2）指导学生观察上表中两个函数，当图象上的点的横坐标相同时，纵坐标相差3.
从而理解由抛物线向下平移3个单位后，就得到抛物线． 它的对称轴是直线＝－1，顶点坐标为（－1，－3）．
2．探索的图象性质．
用观察比较的方法得到的图象性质：
函数的图象是抛物线，它的对称轴是直线，它的顶点坐标是（，）． 当ａ＞0时，抛物线开口向上；当ａ＜0时，开口向下．
3．探索ｙ=a(x-h)2+k的图象画法．
（1）师生共同探讨：讨论从图形平移入手，抛物线平移不改变形状和开口
方向，只改变顶点坐标．因此，要画抛物线，先必须找出顶点坐标和对称轴．
（2）师生共同归纳概括图象画法的步骤．
第一步.写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点．
第二步.列表（自变量从顶点横坐标开始取值），描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分．
第三步.利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分．
（三）讲解例题
例：课本P34 例4．
分析：按画二次函数的图象的三个步骤进行．
（四）应用新知
课本P35练习第１，２ 题．
（五）课堂小结
1.抛物线沿轴左右平移，只改变顶点的横坐标；沿ｙ轴上下平移，只改变顶点的纵坐标．即
沿x轴平移｜h｜个单位→沿ｙ轴平移｜ｋ｜个单位→?? ｈ＞０向右，ｈ＜０向左 ｋ＞０向上，ｋ＜０向下
2.说出下列二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
（1） （2）； （3）
(六)布置作业
（1）将抛物线向左平移2个单位后，再向上平移2个单位所得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
（2）将抛物线向右平移3个单位后，再向下平移5个单位所得到的抛物线是
（3）抛物线与抛物线的开口方向和形状相同，只是位置不同，则ａ、ｈ 的值分别是（ ）
Ａ)ａ＝－２.５，ｈ＝２； Ｂ)ａ＝２.５，ｈ＝２；
Ｃ)ａ＝－２.５，ｈ＝－２； Ｄ)ａ＝２.５，ｈ＝ －２．
（4）函数．它的图象开口向____，顶点坐标是______，对称轴是直线______，当______时，随的增大而增大，当______时随的增大而减小，当______时，有最______值是_______．
课后反思：
2.2二次函数的图象与性质（五）
教学目标:
(一)知识与技能
1.会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴；会求它的最大值与最小值．
2.会用描点法画出二次函数的图象．
（二）过程与方法：
通过作图、观察、分析和小组合作探究，进一步理解二次函数的图象和性质.
（三）情感态度与价值观：
向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点，培养学生数形结合、类比的思想和动手操作能力.
重点：用配方法确定抛物线的顶点和对称轴．
难点：用配方法将转化为的形式．
教学过程:
（一）复习引入
已知二次函数，，．
分别说出它们图象的开口方向、顶点坐标、对称轴．
（二）创设情境
二次函数的图象的对称轴是直线，顶点坐标是（，）．如果已知二次函数，你能求出其图象的顶点坐标吗？
（三）探究新知
1.如何将二次函数化成的形式？
配方： (教师板演配方步骤)
2．探索二次函数的图象画法．
如何画二次函数ｙ=-2x2+6x-1的图象呢？
分析:
(1)用配方法将化成的形式，其顶点为(,)，对称轴是直线．
（2）用描点法和对称性画出的图象．
学生动手：结合课本P36完成例5，教师画出抛物线
3．探索二次函数的图象性质．
当ｘ等于多少时，函数有最大值？最大值是多少？
引导学生得出：当时，有最大值.
一般地，对于二次函数（ａ≠0），通过配方后，可直接找到它的图象的有关性质．
配方：= a(x＋)2＋
由此可得：顶点坐标是(－,), 对称轴是直线ｘ＝－.
当ａ＞0时，抛物线开口向上，当ｘ＝－(顶点的横坐标）时，ｙ最小值＝（顶点的纵坐标）．当ａ＜０时，抛物线开口向下，当ｘ＝－(顶点的横坐标）时，ｙ最大值＝（顶点的纵坐标）．
（四）讲解例题
例（课本P37的例6）求函数ｙ=－x2＋2x－1的最大值．
（五）应用新知
课本P38练习第1，2，3 题．
组织学生独立自练．第１ 题提醒学生规范解题过程，按课本Ｐ。３６例５的步骤进行，用描点法和对称性完成画图过程．第２题既可用配方法求顶点坐标，也可用顶点坐标公式求解．
（六）课堂小结
1.任何一个二次函数都可用配方法转化为的形式.此时能直接找到函数图象的顶点坐标是(，）.对称轴是直线，请你说说配方步骤．
２.本书研究了二次函数的哪些性质？(主要从抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、函数的增减性，最大值或最小值等方面进行研究．)
３.请你简单说说二次函数图象的画法．
（１）用配方法或顶点坐标公式，求出图象的顶点坐标和对称轴．
（２）用描点法和对称性画出函数图象．
布置作业
一、课堂作业:课本P39习题A组第2题；B组第1，2题．
二、课外作业:课本P39习题A 组第1，3，4题．
［略解］配方得：ｙ=－（x－2）2＋1 ∵ ａ＝－＜０，∴ 当ｘ＝２时，ｙ最大值＝１．(注：也可以用顶点坐标公式求．)
课后反思:
2.3.1把握变量之间的依赖关系
教学目标:
(一)知识与技能
1.初步学会运用二次函数解决简单的实际问题．
2.在体验将实际问题抽象成二次函数的活动过程中，培养学生分析、解决问题的能力．
(二)过程与方法
1、经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，进一步发展符号感和抽象思维；
2、能发现实际情景中的变量及其相互关系，并确定其中的自变量或因变量；
3、能从表格、图象中分析出某些变量之间的关系，并能用自己的语言进行表达.
(三)情感态度与价值观
1、能根据具体问题，选取用表格或代数式来表示某些变量之间的关系；
2、结合对变量之间关系的分析，尝试对变化趋势进行初步的预测.
重点：理解二次函数的概念，建立二次函数的模型，解决简单的实际问题．
难点：建立二次函数模型，渗透数形结合的思想．
教学过程:
（一）复习引入
1.复习二次函数的解析式、图象及性质．
2.在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题．例如拱桥的跨度、拱高的计算等．
本节课，请同学们共同研究，尝试利用二次函数的有关知识解决实际问题．
（二）创设情境
问题：一座拱桥的纵截面是抛物线的一段，拱桥的跨度是4.9ｍ，水面宽4ｍ 时，拱顶离水面2ｍ，如图所示．想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？
（三）探究新知
引导学生思考下列问题：
（1）拱桥的纵截面是什么样的函数？(是抛物线的一段)
（2）怎样建立直角坐标系比较简便？(以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 轴建立直角坐标系．)
（3）如何写出抛物线的解析式？(抛物线的函数解析式)
找到抛物线上的已知点A的坐标（2，－2），代入解析式，求出待定系数.
于是得抛物线的解析式为，其中｜ｘ｜是水面宽度的一半，ｙ是拱顶离水面高度的相反数．
（4）自变量ｘ 的取值范围是多少？(－2.45≤ｘ≤2.45)
引导学生思考：你能求出当水面宽3ｍ 时，拱顶离水面高多少米吗？
（四）讲解例题
例:课本P42例1．
说明：成本函数、利润函数，学生初次遇到，教师要引导学生认真理解题意，
把握变量之间的相依关系．
［解］见课本P42．
（五）应用新知
如图2－7所示，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB）的薄壳屋顶，它的拱宽AB为4ｍ，拱高CO为0.8ｍ，施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？
分析：以AB的垂直平分线为ｙ轴，以过点O的ｙ轴的垂线为ｘ轴，建立直角坐标系，求得函数关系式是： ．根据这个关系式，容易画出模板的轮廓线．
（六）课堂小结
你能小结出从实际问题建立二次函数的步骤吗？
（七）布置作业
一、课本P43练习第1，2题．
P49习题A组第1，2 题．
二、补充题：
1.一个涵洞成抛物线形，它的截面如图2－8 所示．现测得，当水面宽AB＝1.6ｍ 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4ｍ．这时，离开水面1.5ｍ处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1ｍ？
答案：ED＝ｍ，不会超过1ｍ．
2.某幢建筑物，从10ｍ高的窗口A向外喷水，喷出的水流呈抛物线状落下（抛物线所在平面与墙面垂直），如图所示．如果抛物线最高点Ｍ离墙水平距离为1ｍ，水流落地点B离墙3ｍ．
（1）求抛物线关系式；
（2）求水流最大高度．
答案：（1）（２）水流最大高度为m
课后反思:
2.3.2二次函数与一元二次方程的联系
教学目标:
(一)知识与技能
1．通过探索，使学生进一步了解二次函数与一元二次方程的联系．
2．会运用二次函数的图象和性质去解决实际问题．
3．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
(二)过程与方法
1.通过观察二次函数与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.
2.理解一元二次方程的根就是二次函数与直线图象交点的横坐标.
(三)情感态度与价值观
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会二次函数与方程之间的联系.
2.通过探索二次函数与一元二次方程的关系,使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性.
重点：能够运用二次函数的图象和性质去解决实际问题．
难点：培养学生综合解题能力，渗透转化及数形结合的数学思想．
一、复习引入
1、二次函数与一元二次方程的联系是什么？
①一元二次方程的根抛物线与ｘ轴交点的横坐标． ②求抛物线与轴交点的横坐标与求抛物线与轴的交点坐标的联系与区别 ③抛物线与轴交点的个数与（其中，，为一元二次方程中各项的系数）的关系．
2、已知二次函数的函数值，求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程．
反之，解一元二次方程能不能借助二次函数呢？
组织学生讨论后得出：
我们可以先画出抛物线的图象，然后找出它与ｘ轴的交点的横坐标，即得一元二次方程的解．这种解一元二次方程的方法叫作图象法．因为作图的误差，所以得出的是近似值．
二、新知探究
例1.求一元二次方程的解的近似值．
说明：解题时要准确画出图象，仔细观察分析图象，明确图象上的点的横坐标为值，纵坐标为函数中的值，方程的解是纵坐标的点的横坐标的值．
例2．已知抛物线和直线相交于点P（3，4m）．
（1）求这两个函数的关系式；
（2）当ｘ取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标．
［解］（1）因为点P（3，4m）在直线上，
所以，解得．所以，P（3，4）．
因为P（3，4）在抛物线上．
所以有，解得．所以．
（2）依题意，得
解这个方程组得
所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是（3，4），（1.5，2.5）．
三、课堂练习
1.课本P47练习第2,4题
补充题：
2.用图象法求方程的近似解．
答案：，．
3.如图2－11所示，今有网球从斜坡Ｏ 点处被击出，网球经过的路线为一条抛物线，其关系式为，斜坡ＯＡ的关系式为，其中ｙ是铅直高度，ｘ是与O的水平距离．
（1）网球落地时撞击斜坡的落点为A，写出Ａ 点的铅直高度及点A与点O的水平距离；
（2）设网球所能达到的最高点为B，求出OB与水平线Oｘ之间夹角的正切值．
［解］（1）A为抛物线与直线（斜坡） 的交点，
则，解这个方程组，得
即交点A(7，) ∴A点的铅直高度为ｍ，它到O点的水平距离为7ｍ．
（２）配方得
∴ B(4，8），tan∠BOX＝＝2．
（四）布置作业
课本P49习题Ａ组第5题．
P49习题Ｂ组第4题．
课后反思:
2.3.3优化问题
教学目标:
(一)知识与技能
1.会运用配方法将变形为的形式．
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，使实际问题获得最优决策．
（二）过程与方法：
通过具体实例的探究学习，掌握不同类型优化问题的解决办法.
（三）情感态度与价值观：
通过对生活中实际问题的研究，形成数学建模的思想，感受数学的作用.
重点：利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思．
难点：将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策．
（一）复习引入
用配方法把下列二次函数化成的形式．
①； ②； ③．
（二）创设情境
最大面积问题，最大利润问题是实际生活中常见的问题．
例如：
问题一 学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形植物园． 如图所示．现在已备足可以砌100m长的墙的材料，怎样砌法，才能使矩形植物园的面积最大？
问题二 某商场将进货单价为18元的商品，按每件20元销售，每天可销售100件．如果每提价1元（每件），日销售量就要减少10件，那么该商品的售出价格为多少时，才能使每日获得利润最大？最大利润为多少？
本节课，我们就探究如何利用二次函数的相关知识来解决这类优化问题．
（三）探究新知
1.对于问题1，先进行自主分析，再小组讨论、交流．
分析：从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际问题．板书解题过程，详见教科书P48．
2.问题2,让一学生在黑板上板书其解答过程，师生共同评析．
［解］设该商品的定价为ｘ 元，每天获得利润为ｙ元．
根据题意，得 ，
即 ．
所以当该商品的售出价格定为每件24元时，才能使每天获得最大利润．最大利润为360元．
（四）应用新知
利用投影仪出示题目:如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可使用长度a=10ｍ）．
（1）如果所围成的花圃的面积为45ｍ２，试求宽ＡＢ的长；
（2）按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请
求出最大面积，并说明围法．如果不能，请说明理由．
先让学生独立思考完成，再用投影仪展示学生的解题过程，师生评析．
［解］ （1）设花圃的宽AB＝ｘｍ，则长BC为（）ｍ，面积．
当时，得，解得，．
若，BC＝24－3×3＝15＞10，不合题意，舍去．
若，BC＝24－3×5＝9． 故AB的长为５ｍ．
（2）能围成面积比45m2更大的矩形花圃．
由（1）知．
∵0＜≤10
∴．由抛物线知，当 时，随的增大而增大；当 时随的增大而减小．
∴当时，有最大值．且最大值为．此时ｍ，BC＝10ｍ，即围成长为10ｍ，宽为ｍ 的矩形面积最大．
说明：学生容易犯的错误是认为当时，有最大面积为48ｍ２，忽略了的取值范围．
（五）课堂小结
让学生谈谈，通过本节课的学习，有哪些体验，如何将实际问题转化为二次函数问题．从而利用二次函数的性质解决最大利润问题、最大面积问题等．
课后反思:
3.1.1 圆的对称性
教学目标:
(一)知识与技能
1．理解圆的概念;
2.理解圆的对称性;
3.掌握和圆的对称性有关的性质.
(二)过程与方法
经历形成圆的概念的过程,经历探索圆的对称性及垂径定理的过程,并体会和理解研究几何图形的各种方法.
(三)情感态度与价值观
能通过积极参与数学活动产生对数学的好奇心与求知欲,体验数学充满着探索与创造,通过观察、实验、归纳、推断获得数学猜想。
教学重难点：
重点：圆的定义、圆的对称性和垂径定理。
难点：圆的定义、圆的对称性和垂径定理。
教学过程：
（一）情境导入
日常生活中同学们经常见到的汽车、摩托车、自行车等一些交通运输工具的车轮是什么形状的？
请同学们思考一个问题，为什么车轮要做成圆形呢？能否做成长方形或正方形？（圆形车轮行进时，较平稳；方形车轮运转不方便，颠簸较大，行走不平稳……）。
通过我们平常乘坐汽车，或骑自行车感受到，圆形的车轮只要路面平整，车子就不会上下颠簸，人坐在车上就感到平稳、舒服．假如车轮是方形的，那么车子在行进中，就会对人产生一种上下颠簸，坐着不舒服的感觉．
（二）探究新知
同学们以前画过圆，画一个圆很简单．将圆规的一个脚固定，另一个带有铅笔头的脚转一圈，一个圆就画出来了．固定的那一点称为圆心．所画得的圆圈叫圆周．从画圆的过程中可以看到，圆规两个脚之间的长度始终保持不变，也就是说圆心到圆周上任意一点的距离都相等．这是圆的一个重要而又最基本的性质．人们就是用圆的这种性质来制造车轮的，车轴总是安装在车轮的圆心位置上，这样，车轴到车轮边缘的距离处处相等．也就是说，车子在行进中，车轴离路面的距离总是一样的．车子在平路上行走较平稳，假如是方形的，车轴到路面的距离时大时小，车子就会产生颠簸．
这样我们就得到了圆的定义：
平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆(circle)．其中，定点叫做圆心(Centre of a circle)，定长叫做半径(radius)．（圆也可以看成是平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径.）.如图1，点O是圆心，线段OA是一条半径，线段OA的长度也叫半径，以点O为圆心的圆叫做圆O，记做⊙O，读作“圆O”．
连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图1中，线段CD是一条弦。经过圆心的弦叫做直径，如图1中，线段EF是⊙O的一条直径，线段EF的长度也称为直径。(直径是弦，但弦不一定是直径．)
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)．弧用符号“⌒”表示弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor arc)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如图2中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作)，劣弧ABD(记作)．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．
如图2，∠AOB叫做所对的圆心角，叫做圆心角∠AOB所对的弧.
注意：确定一个圆需要两个要素，一是位置，二是大小．圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径，虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确定．只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定．
以前我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？(如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．)
我们是用什么方法研究了轴对称图形？(折叠)
接下来我们继续用前面的方法来研究圆的对称性．
用一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆,它们的半径相等,把白纸放在硬纸板上面,使两个圆的圆心重合,观察这两个圆是否重合.(重合)
再用一根大头针穿过这两个圆的圆心.让硬纸板保持不动,让白纸绕圆心旋转任意角度.观察旋转后,白纸上的圆是否仍然与硬纸板上的圆重合. (重合)
能够重合的两个圆叫做相等的圆,或等圆.
由以上操作我们可以得出圆具有以下性质:圆是旋转对称图形,即圆绕圆心旋转任意角度,都能与自身重合.特别地,圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心.
下面我们一起来做一做：
按下面的步骤做一做：
1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．
2．得到一条折痕CD．
3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．
4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图．
通过第一步，我们可以得到什么？(圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．)
在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？
AM＝BM，，．
为什么呢？(因为折痕AM与BM互相重合，A点与B点重合．)
还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？
如图3，连接OA、OB得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是Rt△，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．因此AM＝BM，=，=．
在上述操作过程中，你会得出什么结论？
师生共同总结:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意；①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．
下面，我们一起看一下定理的证明：
(教师边板书，边叙述)
如上图，连结OA、OB，则OA＝OB．
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∵OA＝OB，OM＝OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM，
∴AM＝BM．
∴点A和点B关于CD对称．
∵⊙O关于直径CD对称，
∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．
∴=，=．
为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．
即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：
下面，我们通过求解例1，来熟悉垂径定理：
[例1]如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心)，其中CD＝600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90m，求这段弯路的半径．
分析:要求弯路的半径，连结OC，只要求出OC的长便可以了．因为已知OE⊥CD，所以CF＝CD＝300cm，OF＝OE－EF，此时就得到了一个Rt△CFO.
解:连结OC，设弯路的半径为R m，则
OF＝(R－90)m，∵OE⊥CD，
∴CF＝CD＝×600＝300(m)．
据勾股定理，得
OC2＝CF2＋OF2，
即R2＝3002＋(R－90)2
解这个方程，得R＝545．
∴这段弯路的半径为545m．
注:在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应在今后的解题过程中注意运用．
下面我们来想一想
如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．
上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？(它是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线．)
可用什么方法验证上述结论的？大家互相交流讨论一下，你还有什么发现？
通过折叠的方法，与刚才垂径定理的探索方法类似，在一张纸上画一个⊙O，作一条不是直径的弦AB，将圆对折，使点A与点B重合，便得到一条折痕CD与弦AB交于点M．CD就是⊙O的对称轴，A点、B点关于直径CD对称．由轴对称可知，AB⊥CD，=，=．
大家想想还有别的方法吗？互相讨论一下．
如上图．连接OA、OB便可得到一个等腰△OAB，即OA＝OB，又AM＝MB，即M点为等腰△OAB底边上的中线．由等腰三角形三线合一的性质可知CD⊥AB，又CD是⊙O的对称轴，当圆沿CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．
在上述的探讨中，你会得出什么结论？
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
为什么上述条件要强调“弦不是直径”？
因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的．
我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理．
同学们，你能写出它的证明过程吗？
解:如上图，连结OA、OB，则OA＝OB．
在等腰△OAB中，∵AM＝MB，
∴CD⊥AB(等腰三角形的三线合一)．
∵⊙O关于直径CD对称．
∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．∴=，=．
同时,我们还证明了圆还有下述性质:圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.
(三)随堂练习：
1.课本P61\62练习．
2.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？
答：相等．
理由：如下图示，过圆心O作垂直于弦的直径EF，由垂径定理设=，=，用等量减等量差相等，得－=－，即=，故结论成立．
符合条件的图形有三种情况：(1)圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3)在平行弦内，但理由相同．
(四)．课时小结
1．本节课我们探索了圆的对称性．
2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理．
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
(五)．布置作业
课本P69-70，习题3.1A组1、2、6、7
教学反思:
3.1.2 圆周角
教学目标
（一）知识与技能
1.知道什么样的角是圆周角。
2.了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。
3.能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征进行简单的证明和计算。
（二）过程与方法
1.通过对圆心角和圆周角关系的探索，培养学生运用已有知识，进行实验、猜想、论证，从而得到新知的能力。
2.通过圆周角定理的证明使学生进一步体会分类讨论的思想；继续培养学生的归纳和逻辑推理能力。
（三）情感态度与价值观
1.通过圆周角定理的证明向学生渗透由“特殊到一般”，再由“一般到特殊”的数学思想方法，体现了辩证唯物主义从未知到已知的认知规律。
2.培养学生积极追求真理的精神，使学生进一步从数的角度理解圆的完美性。
教学重点:
1.了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。
2.能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题。
教学难点: 对圆心角和圆周角关系的探索，分类思想的应用。
学法引导
教学方法：指导探索研究发现法。
学生学法：主动探索研究发现法。
教学用具:圆规、量角器、三角板。
教学过程
（一）情境导入
如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。
如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。
(二)实践与探索1：圆周角
究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的角就叫做圆周角，而图（2）、（4）、（5）中的角都不是圆周角。图（3）中的角有哪些特点？同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。
圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。（板书）
巩固练习1：图中哪个图含有圆周角？
（三）实践与探索2：
1.探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？而的圆周角所对的弦是否是直径？
1）动手操作
如图1，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B）， 那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎么样的角？为什么呢？
启发学生用量角器量出的度数，而后让同学们再画几个直径AB所对的圆周角，并测量出它们的度数，通过测量，同学们感性认识到直径所对的圆周角等于（或直角）。
2）大胆猜想 直径所对的圆周角等于（或直角）。
3）推理证明
证明：∵ OA＝OB＝OC
∴ △AOC、△BOC都是等腰三角形
∴∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB.
又∵∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°
∴∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝＝90°
∴不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°。
4）归纳总结
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。
反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径。
2.探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
1）动手操作1
（1） 分别量一量图2中弧AB所对的两个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化. 你发现其中有什么规律吗？
（2） 分别量出图2中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？
我们可以发现，圆周角的度数没有变化. 并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半。
2）大胆猜想
由上述操作可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。
动手操作2
如图3所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况：（1） 折痕是圆周角的一条边，（2） 折痕在圆周角的内部，（3） 折痕在圆周角的外部。
归纳总结：由上述操作可以发现，虽然一条弧所对的圆周角有无数个，但根据它们与圆心角的位置关系，归纳起来却只有三种情况：（1）圆心在圆周角的边上；（2）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角的外部。因此我们可以分三种情况证明这一猜想。
3）推理证明
已知：在⊙O中，弧AB所对的圆周角是∠ACB所对的圆心角是∠AOB
求证：∠ACB=∠AOB
证明：分三种情况讨论。
（1）圆心在圆周角的边上，即BC过圆心如图3（1）
∵OA=OC
∴∠A=∠C
∵∠AOB是△AOC的外角
∴∠AOB=∠ACB+∠A=2∠ACB
∴∠ACB=∠AOB
（2）圆心在圆周角的内部，如图3（2）
作直径CD
利用（1）的结论，有
∠1=∠AOD，∠2=∠BOD
∴∠ACB=∠1+∠2=∠AOB
（3）圆心在圆周角的外部，如图3（3）
作直径CD
利用（1）的结论，有
∠ACD=∠AOD，∠2=∠BOD
∠1=∠ACD-∠2=∠AOD-∠BOD=（∠AOD-∠BOD）=∠AOB
即∠ACB=∠AOB
4）归纳总结
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半； 反之，相等的圆周角所对的弧相等。
巩固练习2：试找出两图中所有相等的圆周角。
（四）应用与拓展
例2如图，如图4，AB是⊙O的直径，∠A＝80°．求∠ABC的度数．
解：∵AB⊙O是直径
∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角都相等，都等于90°）
∴∠ABC＝180°-∠A-∠ACB
＝180°-80°-90°
＝10°
巩固练习3：在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x＋100）°和（5x－30）°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数.
例3试分别求出图5中∠x的度数。
分析：根据同弧所对的圆周角相等，容易求得。
解：略（学生自己完成）
巩固练习3：说出圆中的度数。
（五）总结与扩展
本节课我们一同学习探究了两个知识点
圆周角的定义：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理及其定理应用：
1）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。
90°（直角）的圆周角所对的弦是圆的直径
2）同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧相等。等结论，希望同学们通过复习，记住这些知识，并能做到灵活应用他们解决相关问题。
方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”，再由“一般到特殊”的数学思想方法和分类讨论的思想。
（六）布置作业：
课本70页习题6、7、8
教学反思:
3.1.3过不在同一直线上的三点作圆
教学目标：
(一)知识与技能
1、了解不在同一直线上的三点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三点作圆的方法；
2、了解并辨认三角形的外接圆、三角形的外心等概念。
（二）过程与方法
经历不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程，进一步体会解决数学问题的策略。
（三）情感态度与价值观
积极参与探索活动，在活动中独立思考，并发表个人见解，有意和他人合作，交流看法，互相学习，并尊重他人的意见，在动手操作的过程中体会学习数学的乐趣。
教学重难点：
重点：掌握确定圆的方法和会作三角形的外接圆
难点：对“不在同一直线上的三个点确定一个圆”中的存在性和唯一性的理解
教学过程：
（一）创设情境引入
问题：车间工人能将一个如图所示的破损的圆盘复原，你知道用什么办法吗？
（根据学生的预习情况进行衔接教学）
——指出标题
——指出讨论1：“三个点的位置在什么地方？”
讨论2：“三个点为什么会不在同 一直线上？”
讨论3：“画一个圆需要知道什么”
上图中的圆心在什么位置？上图的圆的半径有多大？
（二）探究发现，认识新知
探索：为什么一定要三个点？
1：经过一个已知点A能作多少个圆
结论：经过一个已知点A能作无数个圆!
2：经过两个已知点A,B能作多少个圆？
结论：经过两个已知点A,B能作无数个圆!
讨论1：把这些圆的圆心用光滑线连接是什么图形？
讨论2：这条直线的位置能确定吗？怎样画这条直线？
3：经过三个已知点A、B、C能作多少个圆？
讨论1：怎样找到这个圆的圆心？
讨论2：这个圆的圆心到点A、B、C的距离相等吗？为什么？即OA=OB=OC
结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆
（三）初步应用：
1：现在你知道了怎样要将一个如图所示的破损的圆盘 复原了吗？
方法:
找圆弧所在圆的圆心,只要在圆弧上任取三点,作其连线段的垂直平分线,其
交点即为圆心。
2：已知△ABC,用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆。
概念教学
定义：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做圆的内接三角形.
举例、1：⊙O是△ABC的外接圆, △ABC是⊙O的内接三角形,点O是△ABC的外心即外接圆的圆心。
2：三角形的外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点.
试一试
1：画出过以下三角形的顶点的圆，并比较圆心的位置？
2：练一练
a：下列命题不正确的是 ( )
A.过一点有无数个圆. B.过两点有无数个圆.
C.弦是圆的一部分. D.过同一直线上三点不能画圆.
b：三角形的外心具有的性质是 ( )
A.到三边的距离相等. B.到三个顶点的距离相等.
C.外心在三角形的外. D.外心在三角形内.
（四）知识小结
1：不在同一直线上的三点确定一个圆。
——你知道是怎样的三点吗？
2：画已知圆或圆弧的圆心是在圆或圆弧上先取三点,连成两条线段,再做两线段的垂直平分线,则其交点即为所求的圆心。
——你会画了吗？
3：三角形的外接圆，圆的内接三角形、外心的概念
——你会辨别吗？
（五）布置作业
书本P62页课内练习
书本P62页作业题
预习P63页3.2圆的轴对称（1）
教学反思：
3.2.1 点、直线与圆的位置关系
教学目标:
(一)知识与技能
1、理解直线与圆的三种位置关系——相交、相切、相离。
2、能利用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系判别直线与圆的位置关系。
(二)过程与方法
经历探索直线与圆位置关系的过程。
(三)情感态度与价值观
通过本节知识的学习,掌握类比思想的运用,发展空间观念和推理能力,深刻体会分类讨论思想与数形结合思想在探索数学知识中的广泛应用.
教学重难点:
重点: 利用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系判别直线与圆的位置关系
难点: 圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系和对应位置关系联系的探索
教学过程
(一)、创设情境
1、回忆：（1）点和圆有哪几种位置关系？
（2）怎样判定点和圆的位置关系？
2、看书P72,（1）欣赏图3.31。
（2）从图片中你看到哪些图形？它们之间有几种位置关系？
(二)、操作与思考
1、在纸上画一个圆，上、下移动直尺。在移动过程中直线与圆的位置关系发生了怎样的变化
你能描述这种变化吗？
2、直线与圆的3种位置关系：
（1）相交：直线与圆有 公共点时，叫做直线与圆相交,这条直线叫做圆的割线。
（2）相切：直线与圆有 公共点时，叫做直线与圆相切。这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。
（3）相离：直线与圆有 公共点时，叫做直线与圆相离。
3、问题：上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化，还有什么量在变化？
如果⊙O的半径为,圆心O到直线的距离为d，那么：
（1）直线和⊙O相交d＜r；
（2）直线和⊙O相切d=r；
（3）直线和⊙O相离d＞r。
(三)、例题精讲
例1、在△ABC中，∠A=45°，AC=4，以C为圆心，r为半径的圆与直线有怎样的位置关系？为什么？
（1） （2） （3）
变式：r为何值时，⊙C与线段AB
(1)只有一个公共点？(2)有两个公共点？(3)没有公共点？(4)有公共点？
小结：判断直线和圆的位置关系一般步骤是什么？
。
练习：课本129页练习1、2
例2、如图，点A是一个半径为300m的润扬森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000m的笔直公路将两村连通。经测得∠ABC=45°，∠ACB=30°，问此公路是否会穿过森林公园？请通过计算进行说明．
(四)、巩固练习：
1、⊙O的直径为4，圆心到直线的l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是( ）
A、相离 B、相切 C、相交 D、相切或相交
2、⊙O的半径为5，点A在直线l上，若OA=5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A、相离 B、相切 C、相交 D、相切或相交
3、设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，若直线l与圆有公共点，则r与d的关系是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、在⊙O的半径为1，当 时，直线与圆相切。
5、在以C为圆心，r为半径的圆与直线AB相切，则r＝ 。
6、如图，以o为圆心的两个同心圆的半径分别为5和3，大圆的弦AB交小圆于点C、D，则弦AB的取值范围是 。
7、如图，⊙O的直径AB＝8，弦CD=,且∥,判断以CD为直径的圆与直线AB有怎样的位置关系，为什么？
（五）布置作业：
课本P80习题3.2A组1、2
教学反思：
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3.2.2 圆的切线的判定、性质和画法
教学目标：
(一).知识与技能：
（1）掌握切线的判定定理.
（2）应用切线的判定定理证明直线是圆的切线，初步掌握圆的切线证明问题中辅助线的添加方法.
(二).过程与方法：
（1）培养学生动手操作能力.
（2）培养学生观察、探索、分析、总结、推理论证等能力.
(三).情感态度与价值观：
通过直观教具的演示和指导学生动手操作的过程，激发学生学习几何的积极性.
教学重难点
重点：切线的判定定理.
难点：圆的切线证明问题中，辅助线的添加方法.
教学过程：
（一）复习引入
回答下列问题：（投影显示）
1.直线和圆有哪三种位置关系？这三种位置关系是如何定义？如何判定的？
2.什么叫做圆的切线？根据这个定义我们可以怎样来判定一条直线是不是一个圆的切线？
（要求学生举手回答，教师用教具演示）
我们可以用切线的定义来判定一条直线是不是一个圆的切线，但有时使用起来很不方便，为此，我们还要学习切线的判定定理.
（二）新课讲解
1.切线判定定理的导出
上节课讲了“圆心到一条直线的距离等于该圆的半径，则该直线就是一条切线”.下面请同学们按我口述的上不骤作图（一同学到黑板上作）：
先画⊙O，在⊙O上任取一点A，边结OA，过A点作⊙O的切线L.
请学生回顾作图过程，切线L是如何作出来的？它满足哪些条件？
引导学生总结出：①经过关径外端，②垂直于这条半径.
如果一条直线满足以上两个条件，它就是一条切线，这就是本节要讲的“切线的判定定理”.（板书定理）
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
请同学们思考一下，该判定定理的两个条件缺少一个可以吗？
下图中L是不是圆的切线？（用教具演示下面两个反例）
图（1）中直线L经过半径外端，但不与半径垂直.
图（2）中直线L与半径垂直，但不经过径外端.
从以上两个反例可看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线.
接着提出问题：若把定理中的“半径”改为“直径”可以吗？答案是肯定的.
然后引导学生分析，切线的判定定理是由前一节所讲的“圆心到直线的距离等于半径时直线与圆相切”直接得到的，只是为了便于应用才把它改写成“经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这种形式，所以定理不再需要另加证明.
提问：判定一条直线是圆的切线，我们有多少种方法呢？
经过学生讨论后，师生小结以下三种方法（板书）：
①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.
②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
③经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.切线性质定理的导出
如图，直线l是圆O的切线，切点为A，圆O的半径为r.
（1）圆心O到切线l的垂线段的长度等于什么？(圆心O到切线l的垂线段的长度是圆心O到切线l的距离d，从而它等于半径r. )
（2）由于圆心O到切线l的垂线段的长度等于半径OA的长度，且点A在切线l上，因此圆心O到切线l的垂线段就是 .(圆的半径)
师生共同总结：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
3.应用举例
例1：已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.
求证：直线AB是⊙O的切线.
分析：已知直线AB和⊙O有一个公共点C，
要证AB是⊙O的切线，只需连结这个公共点
C和圆心O，得到半径OC，再证这条半径和直
线AB垂直即可.
证明：连结OC
∵OA=OB，CA=CB
∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线 ∴AB⊥OC
直线AB经过半径OC的外端C，并且垂直于半径OC，所以AB是⊙O的切线.
例2：已知：⊙O的直径长6cm，OA=OB=5cm，AB=8cm.
求证：AB与⊙O相切.
分析：题目中不明确直线和圆有公共点，故证
明相切，宜用方法2，因此只要证点O到直线AB
的距离等于半径即可，从而想到作辅助线OC⊥
AB于C.
证明：过O点作OC⊥AB于C
∵OA=OB=5cm，AB=8cm
∴AC=BC=4cm
∴OC===3cm.
又∵⊙O的直径长6cm
∴圆心O到直线AB的距离OC等于半径等于3cm.
∴AB与⊙O相切.
让学生根据以上例题总结一下，证明直线与圆相切时，作辅助线的一般规律，以及证明方法的一般规律.
经学生讨论后得出：
①已明确直线和圆有公共点，辅助线的作法是连结圆心和公共点，即得“半径”，再证“直线与半径垂直”.
②不明确直线和圆有公共点，辅助线的作法是过圆心作直线的垂线，再证“圆心到直线的距离等于半径”.
注意：当题目中不明确直线和圆有公共点时，不能将圆上任意一点当作公共点而连结出半径.
（三）.课堂练习
课本P77练习1、2
（四）.课堂小结
本节课你学到了什么？请你谈谈你有什么收获。（学生举手回答）
（五）.布置作业
课本P80习题3.2A组3、4
教学反思：
3.2.3 三角形的内切圆
教学目标:
（一）知识与技能
1、使学生了解画三角形的内切圆的方法；
2、了解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念；
应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力；
（二）过程与方法
经历探索三角形内切圆尺规作图的过程，并会用来解决现实生活中的实际问题。
（三）情感态度与价值观
激发学生动手、动脑主动参与课堂教学活动，体验数学活动的乐趣。
教学重难点：
重点：三角形内切圆的作法和三角形的内心概念与性质的应用．
难点：三角形内切圆的作法和三角形的内心概念与性质的应用．
教学方法：
1、在教学中，组织学生自己画图、类比、分析、深刻理解三角形内切圆的概念及内心的性质；
2、在教学中，类比“三角形外接圆的画图、概念、性质”，开展活动式教学．
教学过程：
（一）新课讲解：
试一试：
一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮。
分析：画圆应先定圆心，后定半径。
在△ABC内只需作各内角的平分线交于点I，以I为圆心，I到AB的距离为半径作圆，则⊙I必与△ABC的三条边都相切。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心。这个三角形叫做圆的外切三角形。
内心就是三角形三条内角平分线的交点。
注意：1、一个三角形的内切圆是唯一的。
2、内心与外心的区别。
3、准确画出三角形的内切圆与外接圆。
内心与外心类比：
名称 确定方法 图形 性质
外心（三角形外接圆的圆心） 三角形三边中垂线的交点 （1）OA=OB=OC；（2）外心不一定在三角形的内部．
内心（三角形内切圆的圆心） 三角形三条角平分线的交点 （1）到三边的距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；（3）内心在三角形内部．
（二）例题精讲
例1．如图，△ABC中，内切圆O和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若∠FDE＝70°，求∠A的度数。
例2、⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，试说明
（1）∠BOC＝90°＋∠BAC
（2）△ABC三边长分别为a、b、c，⊙O的半径r，则有S△ABC＝r(a＋b＋c)
（3）△ABC中，若∠ACB＝90°，AC＝b , BC＝a , AB＝c,求内切圆半径r的长。
（4）若∠ACB＝90°，且BC＝3，AC＝4，AB＝5，△ABC的内切圆圆心O与它的外接圆圆心的距离。
例3、探究活动一、 问题：如图，有一张三角形纸片，其中BC=6cm，AC=8cm，∠C=90°．今需在△ABC中剪出一个半圆，使得此半圆直径在三角形一边上，并且与另两边都相切，请设计出所有可能方案，并通过计算说明如何设计使得此半圆面积最大，最大为多少？（ 应用类比思想分析、深刻理解三角形内切圆的概念）
探究活动二
问题：如图1，有一张四边形ABCD纸片，且AB=AD=6cm，CB=CD=8cm，∠B=90°．
（1）要把该四边形裁剪成一个面积最大的圆形纸片，你能否用折叠的方法找出圆心，若能请你度量出圆的半径；
（2）计算出最大的圆形纸片的半径（要求精确值）．
（三）课堂小结：
问题：这节课学习了哪些概念 怎样画已知三角形的内切圆 学习时应该注意哪些问题
(1)学习了三角形内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形概念．
(2)利用作三角形的内角平分线，任意两条角平分线的交点就是内切圆的圆心，交点到任意一边的距离是圆的半径．
(3)在学习有关概念时，应注意区别“内”与“外”，“接”与“切”；还应注意“连结内心和三角形顶点”这一辅助线的添加和应用．
（四）随堂练习
课本P79练习1-5
（五）布置作业
课本P80习题3.2A组5、6
教学反思：
3.3 圆与圆的位置关系
教学目标：
（一）知识与技能
了解圆与圆之间的几种位置关系；了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．
（二）过程与方法
经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力；通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力．
（三）情感态度与价值观
通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性；经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维．
教学重难点：
重点：探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．
难点：探索两个圆之间的位置关系，以及外切、 内切时两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的过程．
教学过程
（一）预习检测
1．圆和圆的位置关系有_______________________________.
2.如果两圆的半径分别为R、r,圆心距为d,则
两圆外离 ________________
两圆外切 ________________
两圆相交 ________________
两圆内切 ________________
两圆内含 ________________
2.如果两圆的半径为5、9，圆心距为3，那么两圆的位置关系是（ ）
A、外离 B、相切 C、相交 D、内含
3．⊙O 和⊙O′相内切，若O O′=3，⊙O 的半径为7，则⊙O′的半径为 （ ）
A 、4 B、6 C、0 D、以上都不对
（二）创设情境，引发探究
我们已经研究过点和圆的位置关系，分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种；还探究了直线和圆的位置关系，分别为相离、相切、相交．它们的位置关系都有三种．今天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系，那么结果是不是也是三种呢 没有调查就没有发言权．
下面我们就来进行有关探讨．
师生互动、探究新知
在纸上画两个圆，它们的圆心分别为，，半径分别为，，设＜，两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距，用d表示.
在一张透明纸上作一个⊙O．再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2．把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系
提示：(1)外离：当圆心距d＞+时，两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，称这两个圆外离；
(2)外切：当d =+时，两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，称这两个圆外切，这个公共点叫做切点.
(3)相交：当-＜d ＜+ (设≤)时，两个圆恰好有两个不同的公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部，称这两个圆相交；
(4)内切：当d =- (设＜)时，两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，称这两个圆内切，这个公共点叫做切点；
(5)内含但不同心：当0＜d ＜- (设＜)时，两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，称这两个圆内含但不同心；
(6)内含且同心(同心圆):当d=0且≠时，两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两个圆的圆心重合，称这两个圆内含且同心，简称它们为同心圆；
(7) 重合:当d=0且=时，两个圆重合.
注：外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点，相交有两个公共点．
（三）例题讲解
例1．已知圆和圆的半径分别为3cm， 7cm，圆心距d=5cm，判断这两个圆的位置关系.
解 由于 7-3=4，7+3=10，d = 5，
因此 4＜d＜10，
从而这两个圆相交
例2．已知圆和圆内切，圆心距为13cm，⊙的半径为12cm，求⊙的半径.
解 设⊙的半径为r，
由于⊙与⊙内切，
因此圆心距d=r-12，或d=12-r.
如果 d = r -12，
那么 r=d+12=13+12=25(cm).
如果 d = 12-r，
那么 r =12-d=12-13=-1(舍去).
所以⊙的半径为25cm.
（四）延伸拓展
已知图中各圆两两相切，⊙O的半径为2R，⊙O1、⊙O2的半径为R，求⊙O3的半径．
分析：根据两圆相外切连心线的长为两半径之和，如果设⊙O3的半径为r，则O1O3=O2O3＝R+r，连接OO3就有OO3⊙O1O2，所以OO2O3构成了直角三角形，利用勾股定理可求得⊙O3的半径r.
（五）课时小结
1．探索圆和圆的五种位置关系；
2．探讨圆和圆的五种位置关系圆心距d与R和r之间的关系．
（六）课堂检测
1．⊙O1和⊙O2的半径分别为3 cm和4cm，若两圆外切，则d＝_____；若两圆内切；d＝____．
2．两圆的半径分别为10 cm和R、圆心距为13 cm，若这两个圆相切，则R的值是____.
3．半径为5 cm的⊙O外一点P，则以点P为圆心且与⊙O相切的⊙P能画_______个．
4．两圆半径之比为3：5，当两圆内切时，圆心距为4 cm，则两圆外切时圆心距的长为_____．
5．两圆内切时圆心距是2，这两圆外切时圆心距是5，两圆的半径分别是______、_______
6．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 .
7．已知O1与O2的半径分别为R,r(R>r),圆心距为d,且两圆相交,判定关于x的一元二次方程x2—2（d—R）x+r2=0根的情况。
（七）布置作业
课本P85习题3.3 A组4、5
B组1、2
教学反思：
3.4.1 弧长和扇形的面积
教学目标:
（一）知识与技能
了解弧长计算公式及扇形面积的计算公式，并会应用公式解决有关问题．
（二）过程与方法
经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程
（三）情感态度与价值观
体验数学活动充满着探索性和创造性，在独立思考的基础上，积极参与数学问题的讨论，敢于发表自己的观点。
教学重难点:
重点：利用弧长公式时应注意的问题及扇形面积公式的灵活运用．
难点：利用弧长公式时应注意的问题及扇形面积公式的灵活运用．
学习方法:
学生互相交流探索法.
教学过程:
（一）情境与探究1：弧长公式
如图1是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°．你能求出这段铁轨的长度吗 （取3.14）我们容易看出这段铁轨是圆周长的，所以铁轨的长度 l≈＝157.0（米）.
问题：上面求的是的圆心角所对的弧长，若圆心角为，如何计算它所对的弧长呢？
请同学们计算半径为，圆心角分别为、、、、所对的弧长。
等待同学们计算完毕，与同学们一起总结出弧长公式（这里关键是圆心角所对的弧长是多少，进而求出的圆心角所对的弧长。）
弧长的计算公式为：
半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长l为：
练习：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。
(二)情境与探究2：扇形的面积。
如图2，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形
问：右图中扇形有几个？
同求弧长的思维一样，要求扇形的面积，应思考圆心角为的扇形面积圆
面积的几分之几？进而求出圆心角的扇形面积。
如果设圆心角是n°的扇形面积为S，圆的半径为r，那么扇形的面积为
因此扇形面积的计算公式为：
半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积S为：
或
其中l是n°的圆心角所对的弧长。
练习:1、如果扇形的圆心角是230°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的____________；
2、扇形的面积是它所在圆的面积的，这个扇形的圆心角的度数是_______°.
3、扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧长是_____________
（三）应用与拓展
例1如图，圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的面积和周长．（π≈3.14）
例2、右图是某工件形状，圆弧BC的度数为，，点B到点C的距离等于AB，，求工件的面积。
（四）课堂小结
本节课我们共同探寻了弧长和扇形面积的计算公式，一方面，要理解公式的由来，另一方面，能够应用它们计算有关问题，在计算力求准确无误。
（五）布置作业课本P92习题3.4A组1、2、3
教学反思：
3.4.2 圆锥的侧面积和全面积
教学目标：
（一）知识与技能
了解圆锥的侧面展开图是一个扇形，会使用圆锥的侧面积公式解决问题。
（二）过程与方法
经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，体会扇形与圆锥的侧面之间的关系。
（三）情感态度与价值观
积极参与探索活动，在探索活动中勇于发表意见，感受成功的乐趣。
教学重难点：
重点：探索圆锥侧面积计算公式的过程．
难点：探索圆锥侧面积计算公式．
教学方法：观察——想象——实践——总结
同课章节目录
- 第1章 反比例函数
- 1.1 反比例函数
- 1.2 反比例函数的图像与性质
- 1.3 反比例函数的应用
- 第2章 一元二次方程
- 2.1 一元二次方程
- 2.2 一元二次方程的解法
- 2.3 一元二次方程根的判别式
- 2.4 一元二次方程根与系数的关系
- 2.5 一元二次方程的应用
- 第3章 图形的相似
- 3.1 比例线段
- 3.2 平行线分线段成比例
- 3.3 相似图形
- 3.4 相似三角形的判定与性质
- 3.5 相似三角形的应用
- 3.6 位似
- 第4章 锐角三角函数
- 4.1 正弦和余弦
- 4.2 正切
- 4.3 解直角三角形
- 4.4 解直接三角形的应用
- 第5章 用样本推断总体
- 5.1 总体平均数与方差的估计
- 5.2 统计的简单应用