课件23张PPT。湖南省新邵县酿溪中学王军旗
1.1 建立一元二次方程模型 www.themegallery.com问题1： 建造一个面积为20平方米，长比宽多 1 米的长方形花坛，问它的宽是多少？设宽为x米，你能建立方程吗？ 【解】：设宽为x米，则长
为（x+1）米
依题意得：x(x+1)=20www.themegallery.com新课引言 问题2：如图，一块长和宽分别为：40cm, 28cm的矩形铁片，在它的四个角截取四个全等的小正 方形，折成一个无盖的长方形盒子，使它的底面积为364cm2， 截取的小正方形边长应该是多少？设截取的小正方形边长应该为xcm，你能建立方程吗？ ? ? ? 【解】：底面长为
(40-2x)cm,宽为（28-2x）cm,
依题意得：
（40-2x）(28-2x)=364 ? www.themegallery.com x(x+1)=20 （40-2x）(28-2x)=364 ? 这两个方程有什么特点？怎样解这样的方程呢？www.themegallery.com主题一. 一元二次方程模型 动脑筋 问题一 、如图，某住宅小区内有一栋建筑物，占地为边长35m的正方形，现打算折除建筑物并在其中 间铺上一面积为900m2 的正方形草坪，使四周 人行道的宽度相等，问 人行道宽度为多少米？ ? www.themegallery.com主题讲解 问题一 、如图，某住宅小区内有一栋建筑物，占地为边长35m的正方形，现打算折除建筑物并在其中间铺上一面积为900m2的正方形草坪，使四周人行道的宽度相等，问人行道宽度为多少米？ ? ? 【解】：设人行道宽为x米， 则草坪的边长为（35-2x）米
依题意得：(35-2x)2=900 ?www.themegallery.com主题讲解3535900m2问题二、小明和小亮分别从家里出发骑车去学校，在离学校还有1km处第一次相遇，此时他们的骑车速度分别是3m/s和2m/s,小明继续以3m/s的速度匀速前进，而小亮则逐渐加快速度，以0.01m/s2的加速度匀加速前进，已知匀加速运动求路程s的公式是： s=v0t+0.5at2， 其中t是时间，v0是初速度的大小，a是加速度的大小，你能计算出经过多长时间他们再次相遇吗？ www.themegallery.com问题二小明和小亮分别从家里出发骑车去学校，在离学校还有1km处第一次相遇，此时他们的骑车速度分别是3m/s和2m/s,小明继续以3m/s的速度匀速前进，而小亮则逐渐加快速度，以0.01m/s2的加速度匀加速前进，已知匀加速运动求路程s的公式是：s=v0t+0.5at2，其中t是时间，v0是初速度的大小，a是加速度的大小，你能计算出经过多长时间他们再次相遇吗？ 思考：（1）小明和小亮的运动情况有什么区别？两种不同的运动求路程的公式有什么区别？
【答】：小明匀速前进，小亮是匀加速前进） 匀速运动s=vt，匀加速匀速s=v0t+0.5at2）www.themegallery.com 问题二、小明和小亮分别从家里出发骑车去学校，在离学校还有1km处第一次相遇，此时他们的骑车速度分别是3m/s和2m/s,小明继续以3m/s的速度匀速前进，而小亮则逐渐加快速度，以0.01m/s2的加速度匀加速前进，已知匀加速运动求路程s的公式是：s=v0t+0.5at2，其中t是时间，v0是初速度的大小，a是加速度的大小，你能计算出经过多长时间他们再次相遇吗？ 思考：(2)题中的等量关系是什么？
从第一次相遇到第二次相遇：
小明走的路程=小亮走的路程www.themegallery.com问题二小明和小亮分别从家里出发骑车去学校，在离学校还有1km处第一次相遇，此时他们的骑车速度分别是3m/s和2m/s,小明继续以3m/s的速度匀速前进，而小亮则逐渐加快速度，以0.01m/s2的加速度匀加速前进，已知匀加速运动求路程s的公式是：s=v0t+0.5at2，其中t是时间，v0是初速度的大小，a是加速度的大小，你能计算出经过多长时间他们再次相遇吗？ 思考：（3）如果设经过ts后第二次相遇，小明和小亮走的路程怎么表示？
小明：3t,
小亮：2t+0.5×0.01t2www.themegallery.com 问题二小明和小亮分别从家里出发骑车去学校，在离学校还有1km处第一次相遇，此时他们的骑车速度分别是3m/s和2m/s,小明继续以3m/s的速度匀速前进，而小亮则逐渐加快速度，以0.01m/s2的加速度匀加速前进，已知匀加速运动求路程s的公式是：s=v0t+0.5at2，其中t是时间，v0是初速度的大小，a是加速度的大小，你能计算出经过多长时间他们再次相遇吗？ 思考：(4) 怎样列方程？
3t=2t+0.5×0.01t2,www.themegallery.com 你能把方程： （1）x(x+1)=20； （2） （40-2x）(28-2x)=364 ?（3） (35-2x)2=900 （4） 3t=2t+0.5×0.01t2 化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式吗？ 【解】:（1）x2+x-20=0
（2）x2-34x+189=0
（3）4x2-140x+325=0
（4）0.01t2-2t=0www.themegallery.com 这些方程有什么共同特点呢？
(1) 是等号右边为0,
(2) 等号左边只含有一个未知数，
(3)等号左边是关于未知数的二次式。www.themegallery.com（1）x2+x-20=0
（2）x2-34x+189=0
（3）4x2-140x+325=0
（4）0.01t2-2t=0 如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，这样的方程叫一元二次方程。 一般形式是：ax2+bx+c=0(a≠0)其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项。 为什么(a≠0)?www.themegallery.com【例1】判断题（下列方程中，是一元二次方程的在括号内划“√”，不是一元二次方程的，在括号内划“×”） （1）、5x2+1=0 ( ) （ 2）、 ( ) （ 3）、4x2=ax(其中a为常数) ( ) （4）、x2+y-20=0 ( ) （5 ( ) （6）、｜x2+2x｜=4 ( ) www.themegallery.com应用迁移√×√√√× 关于x的方程： (m－4)x2+(m+4)x+2m+3=0， 当m______时，是一元二次方程， 当m______时，是一元一次方程. www.themegallery.com【变式练习】≠4=4 【例2】将方程3x （x-1）= 5 （x+2） 化成一元二次方程的一般形式， 并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 【解】去括号， 得： 3x2 -3x = 5x+10.
移项， 合并同类项， 得一元二次方程的一般形式:3x2 -8x-10 ＝ 0.
其中二次项系数为3， 一次项系数为-8， 常数项为-10.www.themegallery.com 【变式练习】 1.方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是( ) A.x2－5x+5=0 B.x2+5x+5=0 C.x2+5x－5=0 D.x2+5=0 2.一元二次方程7x2－2x=0的二次项、一次项、常数项依次是( ) A.7x2,2x,0 B.7x2,－2x，无常数项 C.7x2,0,2x D.7x2,－2x,0 www.themegallery.comAD 【例3 】一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离为8m，如图梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端下滑多少米？ 【解】：设底端下滑x米，那么下滑后梯子的底端距离墙_______m,依题意得： _______________________. （8-1）2+（6+x）2=102www.themegallery.com8m1mxm(x+6)【变式练习】 （2013江苏南京）已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：_____________。 www.themegallery.com(x?1)2=25 课堂检测， (25′×4=100′) 1．方程（x+3）（x-4）=5，化成一般形式是________． 2．若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程，则k的取值范围是_________． 3.方程 x2+3=2 x-4的二次项系数，一次项系数及常数项的乘积为______ 4.如果两个连续奇数的积是323，求这两个数，如果设较小的一个奇数为x，你能列出求解x的方程吗？______________． www.themegallery.comx2-x-17=0k≠3-14 x(x+2)=323 ? 一元二次方程是刻画现实世界数量关系的一个工具。
一元二次方程是指化为一般形式之后，只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程。
一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a≠0)。
注意：二次项系数一定不能为0，一次项系数和常数项可以为0，因此，ax 2=0(a≠0), ax 2+bx=0(a≠0), ax 2+c=0(a≠0)都是一元二次方程。www.themegallery.com反思小结作业：P 4---5 A B ? ? ? ? ? ? 作业：P 4---5 A B
www.themegallery.com课件25张PPT。湖南省新邵县酿溪中学王军旗 1.2.1 因式分解法，直接开平方法（1） www.themegallery.com 1．（1）若a.b=0,则a=____或 b=___; (2)若x2=a(a≥0),则x=________ www.themegallery.com复习提问00 2.解方程： 【解】：两边同乘以6，得：
3（x-1)+2(2x+1)=6
去括号，得：3x-3+4x+2=6
化简，得：7x=7
未知数系数化为1，得：x=1.www.themegallery.comwww.themegallery.com解一元一次方程一般步骤： (1)去分母; (2)去括号; (3)移项合并同类项; (4)未知数系数化“1”. 上一节课，我们遇到这样一个方程： （35-2x）2=900 怎样解这个方程呢？ www.themegallery.com新课引言交流讨论：【解法1】 ：利用平方根的定义得到： 35-2x=30或35-2x=-30, 解得： x1=2.5,x2=32.5 思路是:
（ax+b)2=c(c ≥0)www.themegallery.com解方程：（35-2x）2=900这种方法叫直接开平方法ax+b= 【解法2】：利a.b=0,则a=0或b=0方程化为：
（35-2x）2-302=0，
∴(35-2x-30)（35-2x+30）=0
∴35-2x-30=0,35-2x+30=0
∴x1=2.5,x2=32.5www.themegallery.com这种方法叫因式分解法www.themegallery.com因式分解法一元二次方程思路：
ax+b=0,或cx+d=0.(ax+b)(cx+d)=0 考考你： 1.关于x的方程 (x+m)2=b能用直接开平方法求解的条件是（ ） A m为任意实数，b>0 B m为任意实数，b≥0 C m>0,b>0 D m<0,b>0 www.themegallery.comB2. 解一元二次方程的基本思路是: “降次”，把方程：x(x+4)= -4以化为下面方程求解正确的是（ ） A x=1 或x+4= -4 B x=-1或x+4= 4 C x+2=0 D 以上都不对 www.themegallery.comC注意！
（1）用直接开平方法解形如:
（ax+b）2=c(c≠0)的方程，这种形式的方程应该具备等号左边括号外系数为1，等号右边常数项为非负数。
（2）用因式分解法解方程应把方程左边化为两个一次因式的积右边为0的形式。
www.themegallery.com 【例1】 解方程; 4x2-25=0 【解法1】：原方程化为：(2x)2-52=0，
左边因式分解得：(2x+5)(2x-5)=0
因此，得到：2x+5=0或2x-5=0
解得：x1=-2.5,x2=2.5www.themegallery.com应用迁移【例1】 解方程： 4x2-25=0 www.themegallery.comwww.themegallery.comwww.themegallery.com 【例3】． 不解方程判断下列方程根的情况： www.themegallery.com【变式练习】 1.解方程： （1）9x2-49=0 ， （2）36-x2=0， （3）(x-3)2-16=0 （4）(1-2x)2-3=0 （5）16(x-1)2=9(x+1)2 www.themegallery.com【变式练习】 1.解方程： （1）9x2-49=0 ， （2）36-x2=0， （2）原方程化为：x2=36,
∴x1=6,x2=-6
www.themegallery.com【变式练习】 1.解方程：（3）(x-3)2-16=0 （4）(1-2x)2-3=0 【解】：(3) 原方程化为：(x-3)2=16,
∴x-3=4或x-3=-4
∴x1=7,x2=-1 www.themegallery.com【变式练习】 1.解方程:（5）16(x-1)2=9(x+1)2 【解】：(5)原方程化为：
16(x-1)2-9(x+1)2 =0
∴[4(x-1)+3(x+1)] [4(x-1)-3(x+1)]=0
即：（7x-1）(x-7)=0
∴7x-1=0或x-7=0
∴x1= ,x2=7.
www.themegallery.com2. 不解方程判断下列方程根的情况 （1）(5x-3)2=0（2）(2x+1)2+5=0 ? 【解】（1）方程有实数解。
（2）方程化为：(2x+1)2=-5<0,
所以方程无实数解。www.themegallery.com ? 2 ．方程3x2+9=0的根为（ ）． A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根 www.themegallery.com效果反馈(20′×5=100′)DD 3. 把方程4 (x+1)2-49=0化为两个一元一次方程求解正确的是（ ） A 4(x+1)+7=0或 4(x+1)-7=0 B2(x+1)+7=0或 2(x+1)-7=0 C 4x+1+7=0或4x+1-7=0 D2x+1+7=0或2x+1-7=0 4.已知等腰直角三角形的斜边长为32cm,求直角边的长。 【解】设等腰直角三角形直角边的长为xcm.则x2+x2=322
化为：2x2=322,x2=2×162,
由于x>0 ∴x=16www.themegallery.com效果反馈(20′×5=100′)B 这节课你有什么收获？ 1.形如（ax+b）2=c(c≠0)有解得条件是c≧0 2.（ax+b）2-c=0(c≥0)的方程可以利用平方根的定义化为两个一元一次方程，也可以分解因式化为两个一元一次方程求解。 www.themegallery.com反思小结 作业：P 19 1 www.themegallery.com课件19张PPT。酿溪中学王军旗 1.2.1 因式分解法、直接开平方法（2） www.themegallery.com1 .解一元二次方程的基本思路是______ 把一元二次方程化为____________.www.themegallery.com复习提问降次一元一次方程2 .形如 (ax+b)2=c(c≥0)的方程怎样解？ （1）用平方根的定义把方程化为：
求解；
（2）www.themegallery.com 上节课我们遇到过这样一个方程： 0.01t2-2t=0 怎样接这个方程呢?www.themegallery.com新课引言解方程：0.01t2-2t=0 【解】：方程左边分解因式得：
t(0.01t-2)=0,
∴t=0,或0.01t-2=0,
解得：t1=0,t2=200 www.themegallery.com主题讲解主题 .运用提公因式法解方程【变式练习】： 解方程：5x2+15x=0，小明同学是这样做的，你认为对吗？如果不对怎样改正？ ? 【解】：两边同除以x，得：5x+15=0, ∴x=-3 【方法总结】：
一元二次方程→ ax2+bx=0 → x(ax+b)=0 →x=0或ax+b=0
www.themegallery.com不对，漏掉了x=0的解。【变式练习】 解方程： x2-4x=0 【解】：x2-4x=0, x(x-4)=0,
∴x=0或x-4=0 ,
∴x1=0,x2=4
www.themegallery.com【例2】解方程（1）x(x-5)=3x (2)2x(5x-1)=3(5x-1) 【解】：（1）方程化为：x(x-5)-3x=0,
左边分解因式得：x(x-5-3)=0,
∴x=0,或x-5-3=0,
∴x1=0,x2=8
(2) 方程化为：2x(5x-1)-3(5x-1)=0，
左边分解因式得：(5x-1)(2x-3)=0.
∴5x-1=0,或者2x-3=0,
www.themegallery.com【变式练习】 解方程：2x(5x-1)=3(5x-1) 小明同学是这样解的： 两边同除以5x-1,得：2x=3, ∴x= ，这样解对吗？
www.themegallery.com不对，漏掉了一个解。【例3】 解方程：（1）7x (2x-3)=4 (3-2x) 【解】：（1）方程化为：
7x(2x-3)+4(2x-3)=0,
左边分解因式得：（2x-3）(7x+4)=0
∴2x-3=0,或者7x+4=0，
∴
www.themegallery.com应用迁移【例3】 解方程：（1）7x (2x-3)=4 (3-2x) www.themegallery.com应用迁移【变式练习】 解方程：方程3x(x+1)=3x+3的解为 （ ） A x=1 B x=-1 C x1=0,x2=-1 D x1=1,x2=-1 www.themegallery.comD【例4】对于向上抛的物体，在没有空气阻力 的情况下，有如下关系：h=vt - gt2 ,其中h是上升到高度，v是初速度，g是重力加速度，（为方便起见，本题中g取10米/秒2 ），t是抛出后所经过的时间。如果将一物体以每秒25米的初速向上抛，物体多少秒后落到地面？ 【解】：依题意得，h=0,g=10,v=25
因此，
25t-5 t2=0, 5t(5-t)=0, t=0,或者5-t=0,
∴t1=0(不合题意舍去) t2=5
答：经过5秒后，物体落到地面。
www.themegallery.com【变式练习】 已知△ABC的两边长分别是2和3，第三边长是方程（x2-2x）-5(x-2)=0的根，求△ABC的周长。 【解】原方程化为：x(x-2)-5（x-2）=0
∴(x-2)(x-5)=0
∴x-2=0或x-5=0
∴x1=2,x2=5
由于第三边x的范围是1 ∴x=2
因此这个三角形的周长为：2+2+3=7
www.themegallery.com1、方程x2-7x=0的解为_______________ 3x2=5x的解为____________ 2.解方程：(1) 2x(x-1)=1-x, (2) 5x(x+2)=4x+8 www.themegallery.com课堂检测25 ′ ×4=100 ′X1=0,x2=7X1=0,x2=3.解方程：(1) 2x(x-1)=1-x, (2) 5x(x+2)=4x+8【解】（1）2x(x-1)+(x-1)=0
∴(x-1)(2x+1)=0
∴x-1=0或2x+1=0
∴x1=1,x2=-0.5
(2)5x(x+2)-4(x+2)=0
∴(x+2)(5x-4)=0
∴ x1=-2,x2=www.themegallery.com4.如果 ，则关于x的一 元二次方程:ax2 +bx=0的解是_________ www.themegallery.comx1=0,x2=-1这节课你有什么收获？ 用因式分解法解方程，可以考虑提因式法和公式法将一元二次方程化为：（ax+b)(cx+d)=0的形式，然后转化为两个一元一次方程求解。 要注意，别把方程两边同除以一个代数式，否则会遗漏根。 www.themegallery.com反思小结 作业P 19 2 www.themegallery.com课件21张PPT。酿溪中学王军旗 1.2.2 配方法（1） www.themegallery.com 解方程：(x-3)2=1 【解】：x-3=±1
∴x1=4,x2=2www.themegallery.com复习提问 www.themegallery.com新课引言(x-3)2=1 x2-6x+8=0怎样解这个方程呢？【解】：x2-6x=-8,
∴ x2-6x+9=-8+9
∴（x-3)2=1
∴ x-3=±1
∴x1=4,x2=2www.themegallery.com主题讲解主题一、配方法的概念(x-3)2=1 x2-6x+8=0www.themegallery.com主题讲解主题一、配方法的概念(x-3)2=1 x2-6x+8=0配方法你还记得完全平方公式吗？www.themegallery.com主题讲解主题二、配方a2±2ab+b2=(a±b)2a2±2ba+b2=(a±b)2b是2b的一半考考你： 填空： ① x2+6x+（ ）2=(x+___)2, ②x2－4x+（ ）2=(x－___)2, ③x2+6x+4=x2+6x+9-___+4=(x+___)2 -__ ④x2－x=x2-x+(____)2=（ x－ ___ ）2 www.themegallery.com3322935【例1】解方程：x2+6x+4=0 【解】：把常数项移到等号的右边得：
x2+6x=-4
等号的两边同加上一次项系数的一半的平方：
x2+6x+32=-4+32
∴(x+3)2=5，因此，
∴www.themegallery.com主题三、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤主题讲解解形如：x2+px+q=0的方程解题步骤： ? 第一步：把方程移项化为：x2+px=-q
第二步：把方程两边同加上一次项系数一
半的平方：
第三步：配方成：
第四步：用因式分解法或直接开平方法解上面方程。
www.themegallery.com经验总结 【变式练习】 解方程：（1）x2+2x-5=0， （2）x2-4x+1=0 ? 【解】：
（1）x2+2x=5
x2+2x+12=5+12
∴(x+1)2=6
www.themegallery.com 【变式练习】 解方程：（1）x2+2x-5=0， （2）x2-4x+1=0 ? 【解】
（2）方程变形为：x2-4x=-1
x2-4x+22=-1+22
∴(x-2)2=3 www.themegallery.com题型一、用配方法解一元二次方程 【例2】 解方程: (1) x2+10x+9=0 (2) x2-12x-13=0, 【解】：（1）x2+10x=-9
x2+10x+52=-9+52
(x+5)2=16
x+5=±4
∴x1=-9, x2=-1
www.themegallery.com应用迁移题型一、用配方法解一元二次方程 【例2】 解方程: (1) x2+10x+9=0 (2) x2-12x-13=0, 【解】： (2) x2-12x=13
x2-12x+62=13+62
(x-6)2=49
∴x-6=±7
∴x1=13, x2=-1www.themegallery.com应用迁移题型二 配方法的实际应用 【例3】用配方法证明：无论x为何实数，代数式x2-4x+4.5的值恒大于零。 【解】:x2-4x+4.5=x2-4x+4-4+4.5
=（x-2）2+0.5
由于(x-2)2≥0,
∴（x-2）2+0.5>0
∴无论x为何值，代数式x2-4x+4.5的值恒大于零.
www.themegallery.com【变式练习】 代数式A=2m2+3m+7，,代数式B=m2+5m+5，试比较代数式A与B的大小。 ? 【解】：A-B= （2m2+3m+7）-( m2+5m+5)
=m2-2m+2
=(m-1)2+1>0
所以，A>B
www.themegallery.com2. 把一元二次方程x2+3x-4=0化为
（x+a）2=b的形式，b等于（ ）
www.themegallery.com课堂测验AC（25 ′ × 4=100）www.themegallery.com3.解下列方程 （1）x2+4x+1=0, (2) x2-8x-9=0 【解】（2）移项，得：x2-8x=9
两边同加上42，得：x2-8x+42=9+42
∴（x+4）2=25
∴x+4=±5
∴x1=-9,x2=1
www.themegallery.com3.解下列方程 （1）x2+4x+1=0, (2) x2-8x-9=0 4..用配方法说明代数式x2-2x+3的值恒大于0. 【解】：x2-2x+3=x2-2x+1+2
=(x-1)2+2
∵不论x为何值，(x+1)2≥0
∴(x-1)2+2>0 www.themegallery.com 这节课你有什么收获？ 解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： 移---配----解 www.themegallery.com反思小结作业：P 19 3 www.themegallery.com课件19张PPT。酿溪中学王军旗 1.2.2 配方法（2） www.themegallery.com解方程：x2+x-1=0 www.themegallery.com复习提问www.themegallery.com 做到这一步还有别的方法吗？ 当一元二次方程的二次项系数为“1”时，解方程步骤是： www.themegallery.com移配解 怎样解方程：2x2-4x-6=0？ www.themegallery.com新课引言 【例1】解方程：2x2-4x-6=0 【解】：原方程变形为：x2-2x-3=0
常数项移到等号左边得：x2-2x=3
等号两边加一次项系数的一半的平方得：
x2-2x+12=3+12∴(x-1)2=4
∴x-1=±2
∴x1=3, x2=-1www.themegallery.com主题讲解主题：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程【思路】：转化为二次项系数为“1”的方程【点评】 当二次项系数不是“1”时，或者不是一般形式时，要先化为一般形式，并两边同除以二次项系数把二次项系数化为1，再用配方法解。www.themegallery.com 【变式练习】 1. 下面三位同学用配方法解一元二次方程的配方过程是否正确？ www.themegallery.com【例 2】解方程： www.themegallery.com【变式练习】 1.解一元二次方程2x2+2x-3=0 ，配方正确的是（ ） ? www.themegallery.comA2．解下列方程 （1） 2x2+4x-3=0 （2）4x2-12x-1=0 ? www.themegallery.comwww.themegallery.com 【方法归纳】： 解一元二次方程时，首先考虑是否能用直接开平方法和因式分解法，如果不能，就考虑用配方法，先化为 ax2+bx+c=0的形式，然后两边同除以二 次项系数，化为 的形式，再移项配方。 www.themegallery.comwww.themegallery.com【例3】 一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系: h=15t-5t2 . 小球何时能达到10m的高度? 【解】：依题意，得：15t-5t2=10,
化为：t2-3t=-2
www.themegallery.com应用迁移 【变式练习】 代数式4x2+8x+5有最大值还是有最少值？是多少？ 【解】：设y=4 x2+8x+5
=4(x2+2x)+5
=4(x2+2x+1-1)+5
=4[(x+1)2-1]+5
=4(x+1)2+1≥1
所以，4 x2+8x+5最小值为1.www.themegallery.com 1.把方程3x2-6x+2=0,两边同除以3并移项得： ，然后等号两边同加上_____ 2.用配方法把3x2+12x化为a(x+m)2+h的形式得：___________________________ 3.解方程（1）3x2-15x+18=0， (2) 2x2=3x-1, (3) (2x+1)(x-3)=1 ? www.themegallery.com课堂测验（30′×2+40′)123（x-2)2-12答案（1）x=2或3，（2）x=1或0.5， （3） 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. www.themegallery.com反思小结 作业 P 19 3 (4) 补充作业： 解下列方程: (1).6x2 -7x+ 1 = 0; (2).5x2 -9x –18=0; (3).4x 2 –3x =52; (4). 5x2 =4-2x. www.themegallery.com课件22张PPT。酿溪中学王军旗 1.2.3 公式法（1） www.themegallery.com解方程：2x2-7x+3=0 www.themegallery.com复习提问 用配方法解一元二次方程的步骤：
能不能对一般形式的一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)使用这些步骤，求出解x得公式呢？如果能，可以省好几个步骤.www.themegallery.com新课引言二次项系数化为1移项配方求解 解方程；ax2+bx+c=0(a≠0) www.themegallery.com 主题一、一元二次方程的求根公式推导过程 主题讲解www.themegallery.com 解方程；ax2+bx+c=0(a≠0) 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac ≥0时 ，它的解是： www.themegallery.com一元二次方程的求根公式.公式法 注意！ 1.求根公式只适合一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0). 如果不是一般形式，应该先化为一般形式。
2.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).有解得条件是：b2-4ac≥0. www.themegallery.com 例1 解下列方程：（1）x2-x-2=0， （2）4x2+12x+5=0，（3）x2-2x=1 【解】（1）a=1,b=-1,c=-2(如果方程是一般形式，写出a,b,c的值)
b2-4ac=12-4×1×(-2)=9（求出b2-4ac的值）
∴x1=2, x2=-1 （确定方程的根）
www.themegallery.com应用迁移(把a,b,c的值带入公式)【解】（2） a=4,b=12,c=5
b2-4ac=122-4×4×5=64
www.themegallery.com 例1 解下列方程 （2）4x2+12x+5=0，（3）x2-2x=1 【解】：（3）化为一般形式：
x2-2x-1=0
a=1,b=-2,c=-1
b2-4ac=(-2)2-4×1×(-1)=8
www.themegallery.com 例1 解下列方程（3）x2-2x=1 用公式法解一元二次方程的步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出a,b,c 的值; 2、求出 b2-4ac的值 3、把a,b,c及b2-4ac的值代入求根公式； 4、写出方程的解。 注意！当 b2-4ac ≥0时，方程才有解，www.themegallery.com 【例2】 解方程： 9x2+12x+4=0 【解法1】∵a=9,b=12,c=4,
∴b2-4ac=122-4×9×4=0www.themegallery.com 【例2】 解方程：： 9x2+12x+4=0 【解法2】：方程化为: （3x+2)2=0, 因此,3x+2=± 0，
www.themegallery.com【例3】 用公式法解方程： 【解】：方程两边同乘以 3，得 ：
2 x2 -3x-2=0
∴ a=2，b= -3，c= -2.
∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25. www.themegallery.com【变式练习】 1.解方程： （1）x2-3x+2=0, (2) 2x2+5x+2=0 (3) 3x2=4x-1 (4) x2-3x+1=0 【解】：（1） a=1，b= -3，c= 2.
∴b2-4ac=(-3) 2-4×1×2=1.
∴x1=1, x2=2www.themegallery.com【变式练习】 1.解方程： （1）x2-3x+2=0, (2) 2x2+5x+2=0 (3) 3x2=4x-1 (4) x2-3x+1=0 【解】：（2） a=2，b= 5，c= 2.
∴b2-4ac=52-4×2×2=9.
www.themegallery.com【变式练习】 1.解方程： (3) 3x2=4x-1 (4) x2-3x+1=0 【解】：（3）化为： 3x2-4x+1=0
a=3，b= -4，c= 1.
∴b2-4ac=（-4）2-4×3×1=4.
www.themegallery.com【变式练习】 1.解方程： (3) 3x2=4x-1 (4) x2-3x+1=0 【解】：（4）a=1，b= -3，c= 1.
∴b2-4ac=（-3）2-4×1×1=5.
www.themegallery.com 2.解方程：（x-2)(1-3x)=6 ? 【解】：去括号：x-2-3x2+6x=6,
化简为一般式：-3x2+7x-8=0,
3x2-7x+8=0 这里 a=3, b= -7, c= 8 ∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8
= - 47< 0,
∴原方程没有实数根.www.themegallery.com 1.（25′）方程ax2-bx+c=0(a≠0, b2-4ac>0)的解是____________. 2.（25′×3=75′）解方程： （1）x2+4x+8=4x+11 (2) x(2x-4)=5-8x www.themegallery.com
课堂检测 一元二次方程的求根公式： ax2+bx+c=0(a≠0)， 注意！一元二次方程要先化为一般形式才能使用公式，在使用公式时要特别注意b的符号不要弄错了，有根的条件是b2-4ac≥0. www.themegallery.com
反思小结 作业：P19 A 4,5,6 www.themegallery.com课件25张PPT。酿溪中学王军旗 1.2.3 公式法（2） www.themegallery.com 对于方程(ax+b)2=c，当c>0时，方程的根有什么特点？当c=0时呢？当c<0时呢？ 【答】当c>0时，方程的两个根不相等，当c=0时，方程的两个根相等，当c<0时，方程没有实数根。www.themegallery.com复习提问2、方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根的情况与什么有关呢？ www.themegallery.com新课引言主题一、一元二次方程的根的判别式 1 （1）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
的求根公式是什么？
www.themegallery.com主题讲解∵a≠0, ∴2a2>0,
∴当b2-4ac≥0时，方程有实数解，
当b2-4ac<0时，方程无实数解。
www.themegallery.com配 方ax2+bx+c=0(a≠0) （2）b2-4ac>0与b2-4ac=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解情况有什么区别？ www.themegallery.com 对于方程ax2+bx+c=0(a≠0) （1）当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根。 （2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。 （3）当b2-4ac<0时，方程没有实数根。 www.themegallery.com经验总结
b2-4ac叫一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式
类型一、由b2-4ac的符号判断方程的根的情况。 【解】：（1）b2-4ac=42-4×3×﹙-3﹚
=52>0,
∴原方程有两个不相等的实数根。
www.themegallery.com应用迁移【例 1】不解方程判定下面方程的根的情况
（1）3x2+4x-3=0， （2）7y=5(y2+1)，（3）4x2=12x-9类型一、由b2-4ac的符号判断方程的根的情况。 【解】：（2）方程化为：5y2-7y+5=0,
b2-4ac=(-7)2-4×5×5=-51<0
∴原方程无实数根。www.themegallery.com应用迁移【例 1】不解方程判定下面方程的根的情况
（1）3x2+4x-3=0， （2）7y=5(y2+1)，（3）4x2=12x-9类型一、由b2-4ac的符号判断方程的根的情况。 【解】：（3）方程化为：4x2-12x+9=0,
b2-4ac=(-12)2-4×4×9=0 ,
∴原方程有两个相等的实数根。www.themegallery.com应用迁移【例 1】不解方程判定下面方程的根的情况
（1）3x2+4x-3=0， （2）7y=5(y2+1)，（3）4x2=12x-9【方法总结】 判断方程的根的情况，先要化为一般形式，再计数b2-4ac的值，然后由 b2-4ac的符号确定一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根的情况。 www.themegallery.com 【变式练习】 1. 不解方程， 判别下列方程的根的情况： （1）x2+3x-1=0; (2) x2-6x+9=0 (3) 2y2-3y+4=0, ? 【解】：（1）b2-4ac=32-4×1×﹙-1﹚
=13>0,
∴原方程有两个不相等的实数根。
www.themegallery.com 【变式练习】 1. 不解方程， 判别下列方程的根的情况： （1）x2+3x-1=0; (2) x2-6x+9=0 (3) 2y2-3y+4=0, ? 【解】（2）b2-4ac=(-6)2-4×1×9=0
∴原方程有两个相等的实数根。
www.themegallery.com 【变式练习】 1. 不解方程， 判别下列方程的根的情况： （1）x2+3x-1=0; (2) x2-6x+9=0 (3) 2y2-3y+4=0, ? 【解】（3）b2-4ac=(-3)2-4×2×4
=-23<0 ,
∴原方程无实数根。
www.themegallery.com 【变式练习】 1. 不解方程， 判别下列方程的根的情况： （1）x2+3x-1=0; (2) x2-6x+9=0 (3) 2y2-3y+4=0, ? 【解】
∴原方程有两个相等的实数根。
www.themegallery.com 【例2】. 当m为何值时，关于m2x2+(2m+1)x+1=0 （1）有两个不相等的实数根， （2）有两个相等的实数根， （3）没有实数根。 【解】：b2-4ac=(2m+1)2-4m2×1
=4m+1
（1）当4m+1>0且m≠0，即：m>-0.25且m≠0时，方程有两个不相等的实数根，
www.themegallery.com 【例2】. 当m为何值时，关于x的方程： m2x2+(2m+1)x+1=0 （1）有两个不相等的实数根， （2）有两个相等的实数根， （3）没有实数根。 【解】：b2-4ac=(2m+1)2-4m2×1=4m+1
（2）当4m+1=0时，即：m=-0.25时，
方程有两个相等的实数根，
（3）当4m+1<0,且m≠0，即：m<-0.25时，
方程没有实数根，
www.themegallery.com【变式练习】 （2013山东滨州）对于任意实数k，关于x的方程程x2－2(k+1)x－k2+2k－1=0的根的情况为（ ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 ? 【解】：∵a=1，b=-2(k+1)，c=-k2+2k-1，∴△=b2-4ac=[-2(k+1)]2-4×1×(-k2+2k-1)
=8+8k2＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根。
www.themegallery.comC.【例3】（2013四川泸州）若关于 的一元二次方程 kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ） A．K>1 B．K<1 且k ≠0 C．k ≥-1 且 D．K>-1 且 k ≠0 【解】:根据条件得:
(－2)2－4×k×(－1)＞0，且k≠0；
解得 k>-1且k≠0 ，所以选D．
www.themegallery.com 【变式练习】 （2013广西钦州）关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A． m＜3 B． m≤3 C． m＞3 D． m≥3 【解】：根据题意得:
（﹣6）2﹣4×3×m＞0，
即：-12m+36>0
解得:m＜3．
www.themegallery.comA1、下列方程中没有实数根的是（ ） A x2-x-1=0 B x2-6x+5=0 C x2-2 x+1=0 D 2x2+x+1=0 www.themegallery.com课堂测验（25 ′ ×4=100 ′）D2、（2012常德）若一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，则m的取值范围是 （ ） A. m≤-1, B m≤1 C m≤4 D m≤0.5 B 3、（2013·潍坊）已知关于 的方程kx2+(1-k)x-1=0，下列说法正确的是（ ） A．当k=0时，方程无解 B．当k=1时，方程有一个实数解 C．当k=-1时，方程有两个相等的实数解 D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解 www.themegallery.comC4、已知平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的方程x2-mx+0.5m-0.25=0的两个实数根，当m为何值时，四边形ABCD是菱形，并求出这时菱形的边长。 ? 【解】∵平行四边形ABCD是菱形，∴AB=AD
∴m2-4×1×(0.5m-0.25)
=m2-2m+1=(m-1)2=0
∴m=1
把m=1带入方程得：x2-x+0.25=0,解得：x1=x2=0.5
∴菱形ABCD的边长为0.5
?
www.themegallery.com 对于方程ax2+bx+c=0(a≠0) （1）当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根。 （2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。 （3）当b2-4ac<0时，方程没有实数根。 应用此规律时，要注意前提a≠0www.themegallery.com反思小结作业： ? ? ? ? ? ? ? ? ? 作业www.themegallery.com
