湘教版数学九年级上册2.2.3 因式分解法——十字相乘法解一元二次方程 教学设计（表格式）

课题名称 十字相乘法解一元二次方程
科 　目 数学 年 级 九年级上册
授课类型 新授课
教学时间 八分钟
教材分析 一元二次方程是湘教版数学教材九年级上册第二章内容，第二小节是一元二次方程的解法，包括有配方法、公式法、因式分解法三种。十字相乘法属于因式分解法中的一种。 十字相乘法并不适用于解全部的一元二次方程，但对于适用的来说，该方法能简捷方便地将二次方程化为一次方程，实现降次，且相较于配方法、公式法来说，计算简便不易出错。但在教材中对于十字相乘法并没有进行详尽的方法阐述，这便需要教师在教学而过程中将这一板块清晰明了地呈现给学生。 无论是何种方法解一元二次方程，本质上是在降次，十字相乘法则更加直接的显现了降次思想。此外，利用十字相乘法解一元二次方程需要对二次项系数、常数项进行拆分，往往不会一次性成功，这其中也蕴藏了对数感的要求。
学情分析 学生在此之前已熟悉了一元二次方程基本概念；掌握了配方法、公式法、及因式分解法中的提公因式、乘法公式的方法来解一元二次方程，这对于本堂课的学习和理解做了铺垫。 由于十字相乘法对学生数感有一定要求，又需要学生主动尝试、试错、分析才能领会该方法的要义，因此可能有些学生会产生畏惧心理，拒绝尝试，且由于学习过其他方法，学生认为利用配方法、公式法完全可以解所有一元二次方程，不需要再费心尝试拆分，这便需要教师给予及时的问题引导和帮助。
教学目标 知识与技能目标：能够熟练运用十字相乘法解一元二次方程 过程与方法目标：在解方程的过程中体会降次的思想 情感态度与价值观目标：在不断尝试的同时体会数字与数学运算之间的关系，逐渐发展数感；在面对未见过的题目时不退缩，少用一劳永逸的办法解决问题，勇于尝试。
教学重点 十字相乘法解一元二次方程
教学难点 十字相乘法的合理运用
教学方法 讲授法、探究法
教学准备 PPT
教学过程 设计意图
问题引入 师：同学们好，我们之前已经学会了配方法、公式法解一元二次方程，这两种方法可以用来解所有的一元二次方程。此外我们还介绍了其他两种方法：提公因式法、乘法公式法，进行因式分解来解方程，因为利用因式分解能更快得出方程的解，且无需进行大量计算，防止出错。于是今天我们在给大家介绍一种因式分解的方法——十字相乘法解一元二次方程。看一看这一个方程： 生1：它们没有公因式…… 生2：两个乘法公式也都不符合。 师：下面我们用十字相乘法把这个方程解出来。 问题解决 师：十字相乘十字相乘……因此我们现在草稿本上画一个十字花： 师：十字花指出来四个空位，把方程二次项拆成两个式子的乘积写在左边两个空位上，显然该方程二次项是，拆成如下所示： 师：类似地，把方程的常数项拆成两个数的乘积，写在右边两个空位上，同学们可以自己补全吗？没错，2可以拆成1与2的乘积，于是： 师：拆分完成后，同学们一定要记得验证拆的对不对，如何验证呢？还是利用这个十字花，顺着十字花的方向，我们的秘诀是“交叉相乘再相加”，看其结果是否与一次项相等，若相等就是拆成功啦！如果不相等就要重新拆分！下面来验证一下刚刚我们拆分的结果对不对呢？ 师：经过验证的确和原方程的一次项相同，所以拆分成功！可是刚刚这个过程只是草稿，如何书写分解结果呢？方法是“横写分解结果”，就像刚才这一过程，将x和1用一个括号括起来，再将x和2用一个括号括起来，从而得到十字相晨光的结果，如下： 结果： 师：有了这一结果，同学们应该都有能力继续求解了。如果，则或。因此上述方程的解为、 变式练习 师：有了上一题的经验，请同学们独自用十字相乘法对下列方程进行变形： 师：在上面的练习中出现了二次项系数不为1的方程，有的同学看到这样就犯了愁，但它并不影响我们的十字相乘，以为例，可以拆成，1可以拆成，然后同样“交叉相乘再相加”、验证、横写就可以了！ 总结归纳 总的来说，无论是一元二次方程的二次项系数是否为1，都可以利用十字相乘法来因式分解，进而求解。十字相乘法可以简单概括为三个小步骤：拆分——验证——横写。其中，拆分是分别对二次项与常数项进行，将其拆成两个数式的乘积，分别写于十字花四个空位处；随后顺着十字花“交叉相乘再相加”，来进行验证；最后横写拆分结果即可！ 回顾旧知，了解不同方法解方程的好处。 提出问题，设置悬念。 展示十字相乘方法的全过程，让学生更加清楚明了。 体会十字相乘中“十字花”的辅助作用 进一步明确拆分成功后的结果书写。 通过一道完整例题的讲解全面认识十字相乘法的妙用 结合上述例题，解决相似与变式问题，积累经验 梳理十字相乘法的步骤：拆分——验证——横写