鲁教版（五四制）八年级数学上册 第1章因式分解 优生辅导训练（Word版，含解析）

2022-2023学年鲁教版八年级数学上册《第1章因式分解》优生辅导训练1（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．下列各式：①﹣x2﹣y2；②﹣a2b2+1； ③a2+ab+b2； ④﹣x2+2xy﹣y2；⑤﹣mn+m2n2，可以用公式法分解因式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　）
A．61和63 B．63和65 C．65和67 D．64和67
3．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
4．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．3 D．6
5．已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2021，且a、b、c互不相等，则c2（a+b）﹣2020＝（　　）
A．0 B．1 C．2020 D．2021
6．已知a、b、c为△ABC的三条边边长，且满足等式a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，则△ABC的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
7．已知：a＝2020x+2019，b＝2020x+2020，c＝2020x+2021，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（　　）
A．a＝ B．a＝2b C．a＝b D．a＝3b
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．分解因式：a3﹣6a2+9a＝　 　．
10．多项式x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），则m＝　 　．
11．因式分解：2xy+9﹣x2﹣y2＝　 　．
利用因式分解计算：（﹣2）2022+（﹣2）2021﹣22020＝　 　．
12．a，b，c是△ABC的三边，若（a2+b2）（a﹣b）＝c2（a﹣b），则△ABC的形状是　 　三角形．
13．分解因式：（p+1）（p﹣4）+3p＝　 　．
14．两位同学将同一个二次三项式进行因式分解时，一位同学因看错了一次项系数而分解成（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项而分解成（x﹣2）（x﹣4），则原多项式因式分解的正确结果是：　 　．
15．在日常生活中取款，上网等都需要密码，有一种“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．若对于x4y+xy4因式分解的结果是xy（x+y）（x2﹣xy+y2），若xy与（x+y）构成的密码是127，则（x2﹣xy+y2）对应的数字是多少　 　．
16．已知x为自然数，且x+11与x﹣72都是一个自然数的平方，则x的值为　 　．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．分解因式：
（1）a3﹣2a2b+ab2；
（2）a2（1﹣b）+b2（b﹣1）．
18．把下列各式分解因式：
（1）ax3﹣16ax；
（2）（2x﹣3y）2﹣2x（2x﹣3y）+x2；
（3）（m2+1）2﹣4m2．
19．已知x﹣y＝6，xy＝﹣8．
（1）求x2+y2的值；
（2）求（x﹣y﹣2021）2+（2021﹣xy）（x2+y2﹣2021）的值．
20．我们在课堂上学习了运用提取公因式法、公式法等分解因式的方法，但单一运用这些方法分解某些多项式的因式时往往无法分解．例如：a2+6ab+9b2﹣1，通过观察可知，多项式的前三项符合完全平方公式，通过变形后可以与第四项结合再运用平方差公式分解因式，解题过程如下：a2+6ab+9b2﹣1＝（a+3b）2﹣1＝（a+3b+1）（a+3b﹣1），我们把这种分解因式的方法叫做分组分解法．
利用这种分解因式的方法解答下列各题：
（1）分解因式：x2﹣y2﹣2x+1；
（2）若△ABC三边a、b、c满足a2﹣2bc+2ac﹣ab＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
21．所谓完全平方式，就是对一个整式M，如果存在另一个整式N，使M＝N2，则称M是完全平方式，如x4＝（x2）2、x2+2xy+y2＝（x+y）2，则称x4、x2+2xy+y2是完全平方式．
（1）下列各式中是完全平方式的有 　 　．（填写编号）
①a2+4a+4b2；②4x2；③x2﹣xy+y2；④y2﹣10y﹣25；⑤x2+12x+36；⑥a2﹣2a+49．
（2）证明：多项式x（x+4）2（x+8）+64是一个完全平方式．
（3）已知a、b、c是△ABC的三边长，满足a2+b2+2c2＝2c（a+b），判定△ABC的形状．
22．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1）﹣8＝2（x+1）2﹣8，则当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
根据材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣4x﹣5＝　 　；
（2）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值？并求出这个最大值；
（3）解方程a2+5b2﹣2ab﹣2b+1＝0，并求出a，b的值．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：①﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），因此①不能用公式法分解因式；
②﹣a2b2+1＝1﹣（ab）2＝（1+ab）（1﹣ab），因此②能用公式法分解因式；
③a2+ab+b2不符合完全平方公式的结果特征，因此③不能用公式法分解因式；
④﹣x2+2xy﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）＝﹣（x﹣y）2，因此④能用公式法分解因式；
⑤﹣mn+m2n2＝（﹣mn）2，因此⑤能用公式法分解因式；
综上所述，能用公式法分解因式的有②④⑤，
故选：B．
2．解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）
＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）
＝（224+1）（212+1）×65×63，
故选：B．
3．解：∵（x﹣2）（x+b）＝x2+bx﹣2x﹣2b＝x2+（b﹣2）x﹣2b＝x2﹣ax﹣1，
∴b﹣2＝﹣a，﹣2b＝﹣1，
∴b＝0.5，a＝1.5，
∴a+b＝2．
故选：A．
4．解：a2b+ab2﹣a﹣b
＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）
＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）
＝（ab﹣1）（a+b）
将a+b＝3，ab＝1代入，得
原式＝0．
故选：B．
5．解：∵a2（b+c）＝b2（a+c）．
∴a2b+a2c﹣ab2﹣b2c＝0．
∴ab（a﹣b）+c（a+b）（a﹣b）＝0．
∴（a﹣b）（ab+ac+bc）＝0．
∵a≠b．
∵a2（b+c）＝2021．
∴a（ab+ac）＝2021．
∴a（﹣bc）＝2021．
∴﹣abc＝2021．
∴abc＝﹣2021．
∴原式＝c（ac+bc）﹣2020＝c（﹣ab）﹣2020
＝﹣abc﹣2020
＝2021﹣2020
＝1．
故选：B．
6．解：a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，
a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，
即（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0且b﹣c＝0，即a＝b＝c，
则△ABC为等边三角形，
故选：B．
7．解：∵a＝2020x+2019，b＝2020x+2020，c＝2020x+2021，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1．
设S＝a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc，
则2S＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc．
∵2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc
＝a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2
＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2
＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2
＝6，
∴S＝3．
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝3．
故选：D．
8．解：由图形可知，
，
，
∵S2＝2S1，
∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），
∴a2﹣4ab+4b2＝0，
即（a﹣2b）2＝0，
∴a＝2b，
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：a3﹣6a2+9a＝a（a2﹣6a+9）＝a（a﹣3）2，
故答案为a（a﹣3）2
10．解：x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），得
x2+mx+6＝（x﹣2）（x+n），（x﹣2）（x+n）＝x2+（n﹣2）x﹣2n，
x2+mx+6＝x2+（n﹣2）x﹣2n，
﹣2n＝6，m＝n﹣2．
解得n＝﹣3，m＝﹣5，
故答案为：﹣5．
11．解：2xy+9﹣x2﹣y2
＝9﹣（x2+﹣2xy+y2）
＝32﹣（x﹣y）2
＝（3﹣x+y）（3+x﹣y）．
（﹣2）2022+（﹣2）2021﹣22020
＝22022﹣22021﹣22020
＝22020×（22﹣2﹣1）
＝22020×1
＝22020．
故答案为：（3﹣x+y）（3+x﹣y），22020．
12．解：∵（a2+b2）（a﹣b）＝c2（a﹣b）
∴（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0
∴a﹣b＝0或a2+b2﹣c2＝0，
①当a﹣b＝0时，
解得：a＝b，此时△ABC是等腰三角形；
②直角三角形，理由如下，如图所示：
在△ABC中，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，
四个全等直角三角拼接成边长为c的大正方形，边长为
a﹣b的小正方形，由面积的和差得：
S正方形ABMN＝S正方形CDEF+4 S△ABC，
∴＝a2﹣2ab+b2+2ab＝a2+b2
∴a2+b2﹣c2＝0
即△ABC是直角三角形；
故答案为等腰或直角．
13．解：（p+1）（p﹣4）+3p
＝p2﹣3p﹣4+3p
＝p2﹣4
＝（p+2）（p﹣2）．
14．解：根据题意得：（x﹣1）（x﹣9）＝x2﹣10x+9，（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣6x+8，
原多项式为x2﹣6x+9＝（x﹣3）2．
故答案为：（x﹣3）2．
15．解：∵第一位因式码xy和第二位因式码（x+y）构成的数是“127”，
∴xy＝12，x+y＝7或xy＝1，x+y＝27，
∴x2﹣xy+y2
＝（x+y）2﹣3xy
＝13；
x2﹣xy+y2
＝（x+y）2﹣3xy
＝272﹣3×1
＝726．
故答案为：13或726．
16．解：∵x为自然数，且x+11与x﹣72都是一个自然数的平方，
∴设a2＝x+11，b2＝x﹣72，
∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∴（a+b）（a﹣b）＝（x+11）﹣（x﹣72），
∴（a+b）（a﹣b）＝x+11﹣x+72，
∴（a+b）（a﹣b）＝83，
∴，
解得：，
∵a2＝x+11，
∴x＝a2﹣11
＝422﹣11
＝1764﹣11
＝1753．
故答案为：1753．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．解：（1）a3﹣2a2b+ab2
＝a（a2﹣2ab+b2）
＝a（a﹣b）2．
（2）a2（1﹣b）+b2（b﹣1）
＝a2（1﹣b）﹣b2（1﹣b）
＝（1﹣b）（a2﹣b2）
＝（1﹣b）（a+b）（a﹣b）．
18．解：（1）原式＝ax（x2﹣16）＝ax（x+4）（x﹣4）；
（2）原式＝（2x﹣3y﹣x）2＝（x﹣3y）2；
（3）原式＝（m2+1+2m）（m2+1﹣2m）＝（m+1）2（m﹣1）2．
19．解：（1）x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝36﹣16＝20．
（2）原式＝（6﹣2021）2+（2021+8）（20﹣2021）
＝20152﹣2029×2001
＝20152﹣（2015+14）（2015﹣14）
＝20152﹣20152+142＝196．
20．解：（1）x2﹣y2﹣2x+1
＝x2﹣2x+1﹣y2
＝（x﹣1）2﹣y2
＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）；
（2）△ABC为等腰三角形．理由如下：
∵a2﹣2bc+2ac﹣ab＝0，
∴a（a﹣b）+2c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a+2c）＝0，
∵a、b、c为△ABC三边，
∴a﹣b＝0，即a＝b，
∴△ABC是以a、b为腰的等腰三角形．
21．解：（1）①a2+4a+4b2，不是完全平方式，不符合题意．
②4x2＝（2x）2，符合题意．
③x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2+xy，不符合题意．
④y2﹣10y﹣25＝（y﹣5）2+50，不符合题意．
⑤x2+12x+36＝（x+6）2，符合题意．
⑥a2﹣2a+49＝（﹣7）2，符合题意．
故答案为：②⑤⑥．
（2）∵x（x+4）2（x+8）+64
＝（x2+8x）（x2+8x+16）+64
＝（x2+8x）2+16（x2+8x）+64
＝（x2+8x+8）2，
∴多项式x（x+4）2（x+8）+64是一个完全平方式．
（3）∵a2+b2+2c2＝2c（a+b）＝2ac+2bc，
∴a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2＝0，
∴（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣c＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
22．（1）原式＝（x2﹣4x+4）﹣9＝（x﹣2）2﹣9
＝（x﹣2﹣3）（x﹣2+3）
＝（x﹣5）（x+1）．
故答案为：（x﹣5）（x+1）．
（2）﹣2x2﹣4x+3＝﹣2（x2+2x+1﹣1）+3＝﹣2（x+1）2+5．
∵﹣2（x+1）2≤0．
∴当x＝﹣1时，原式有最大值，最大值为：0+5＝5．
故答案为：有最大值，最大值为5．
（3）∵a2+5b2﹣2ab﹣2b+1＝0．
∴a2+20b2﹣8ab﹣8b+4＝0．
∴a2﹣8ab+16b2+4b2﹣8b+4＝0．
∴（a﹣4b）2+2（b﹣1）2＝0
∵（a﹣4b）2≥0，2（b﹣1）2≥0．
∴a﹣4b＝0，b﹣1＝0．
∴a＝4，b＝1．
故答案为：a＝4，b＝1．