(共38张PPT)
4．5 增长速度的比较
4．6 函数的应用(二)
4．7 数学建模活动：生长规律的描述
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
【课程标准】
掌握指数函数、对数函数、幂函数的增长速度，结合实例理解用函数构建数学模型的基本过程，学会用模型思想发现和提出问题，分析和解决问题的方法．
新知初探·自主学习
教 材 要 点
知识点一 常见的增长模型
1．线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
2．指数函数模型：能利用_________________表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速度越来越快，常形象地称为指数爆炸．
3．对数函数模型：能用_________________表达的函数模型叫做对数函数模型，对数函数增长的特点是______________，函数值增长速度________．
4．幂函数模型：幂函数y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．
指数函数(底数a＞1)
对数函数(底数a＞1)
随自变量的增大
越来越慢
状元随笔 函数模型的选取
(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．
(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值越小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快．
知识点二 数学建模
1．审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．
2．建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
3．解模：求解数学模型，得出数学结论．
4．还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
状元随笔
基 础 自 测
1．下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是( )
A．y＝ex B．y＝100 ln x
C．y＝x100 D．y＝100·2x
答案：A
解析：指数函数增长速度快于幂函数．幂函数增长速率快于对数函数．
2．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( )
A．减少7.84% B．增加7.84%
C．减少9.5% D．不增不减
答案：A
解析：设某商品原来价格为a，依题意得：
a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a，
(0.921 6－1)a＝－0.078 4a，
所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%.
3．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是( )
A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c
C．y＝a·ex＋b D．y＝a ln x＋b
答案：B
解析：由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.
4．计算机的价格大约每3年下降，那么今年花8 100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．
300
解析：设计算机价格平均每年下降p%，
由题意可得＝(1－p%)3，∴p%＝1－，
∴9年后的价格大约为y＝8 100×
＝8 100×＝300(元)．
课堂探究·素养提升
题型1 平均变化率的大小比较[数学运算]
例1 已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，h(x)＝log3x，比较这三个函数在区间[a，a＋1](a>1)上的平均变化率的大小．
【解析】 因为＝＝2×3a，
＝＝2，
＝＝log3(1＋)，
又因为a>1，所以2×3a>2×31＝6，
log3(1＋)
因此在区间[a，a＋1]上，f(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小．
状元随笔 计算平均变化率，再利用指数与对数函数的性质比较大小．
方法归纳
不同函数平均变化率大小的比较
计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率；利用指数、对数函数的性质比较大小，一般选取一个中间值进行比较，以确定平均变化率的大小．
跟踪训练1 若函数f(x)＝x，g(x)＝x2，h(x)＝x3在[0，1]上的平均变化率分别记为m1，m2，m3，则下面结论正确的是( )
A．m1＝m2＝m3 B．m1>m2>m3
C．m2>m1>m3 D．m1答案：A
解析：函数f(x)＝x在[0，1]上的平均变化率为m1＝＝1；函数g(x)＝x2在[0，1]上的平均变化率为m2＝＝1；
函数h(x)＝x3在[0，1]上的平均变化率为m3＝＝1.
所以m1＝m2＝m3.
题型2 几类函数模型的增长差异[经典例题]
例2 (1)下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2 018x B．y＝x2 018
C．y＝log2 018x D．y＝2 018x
【答案】 A
【解析】 比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快．
(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
则关于x呈指数型函数变化的变量是________．
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
y2
【解析】 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．
状元随笔 (1)由题意，指数函数增长速度最快．
(2)观察变量y1，y2，y3，y4的变化情况→
跟踪训练2 分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上的增长情况．
解析：指数函数y＝2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，y2－y1＝23－21＝6；
对数函数y＝log2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，而y2－y1＝log23－log21≈1.585 0.
由此可知，在区间[1，＋∞)上，指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快，而对数函数y＝log2x的增长速度缓慢．
状元随笔 在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象，从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：
题型3 指数、对数函数模型[教材P43例题2]
例3 按照《国务院关于印发“十三五”节能减排综合工作方案的通知》(国发〔2016〕74号)的要求，到2020年，全国二氧化硫排放总量要控制在1 580万吨以内，要比2015年下降15%.假设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比都相等，2015年后第t(t＝0，1，2，3，4，5)年的二氧化硫排放总量最大值为f(t)万吨．
(1)求f(t)的解析式；
(2)求2019年全国二氧化硫排放总量要控制在多少万吨以内(精确到1万吨)．
【解析】 (1)设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比均为r，因为f(0)表示2015年的排放总量，所以由题意可知
f(t)＝f(0)(1－r)t，t＝0，1，2，3，4，5.
又因为
所以f(0)＝，1－r＝，从而
f(t)＝，t＝0，1，2，3，4，5.
(2)由(1)可知
f(4)＝≈1 632，
因此2019年全国二氧化硫排放总量要控制在1 632万吨以内．
方法归纳
应用指数函数模型应注意的问题
(1)指数函数模型的应用类型．常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．
(2)应用指数函数模型时的关键．关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．
(3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．
跟踪训练3 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg 1.12≈0.05, lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
答案：B
解析：设经过x年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则130(1＋12%)x>200，即1.12x> x>＝≈＝3.8，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年．
题型4 函数模型的选择问题[经典例题]
例4 某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
【解析】 借助信息技术画出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象(图1)．观察图象发现，在区间[10，1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．
图1
下面通过计算确认上述判断．
先计算哪个模型的资金总数不超过5万元．
对于模型y＝0.25x，它在区间[10，1 000]上单调递增，而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；
对于模型y＝1.002x，由函数图象，并利用信息技术，可知在区间(805，806)内有一个点x0满足＝5，由于它在区间[10，1 000]上单调递增，因此当x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；
对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10, 1 000]上单调递增，而且当x＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．
再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1 000]时，是否有y≤0.25x，即log7x＋1≤0.25x成立．
令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10，1 000]，利用信息技术画出它的图象(图2)．
图2
由图象可知函数f(x)在区间[10，1 000]上单调递减，因此f(x)≤f(10)≈－0.316 7＜0，
即log7x＋1＜0.25x.
所以，当x∈[10，1 000]时，y≤0.25x，说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润25%.
综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司要求．
状元随笔 本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系．由于公司总的利润目标为1 000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润．于是，只需在区间[10，1 000]上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的25%，即y≤0.25x.
不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．
方法归纳
数学知识来源于客观实际，服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具，其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题，选择合适的数学模型是一件非常重要的事情，根据三种不同的增长模型的特点，选择符合自己的模型，才能产生更大的经济效益．
跟踪训练4 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型： y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？
解析：由题意，将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37)这4个数据．
(1)设模拟函数为y＝ax＋b时，将B，C两点的坐标代入函数式，得解得
所以有关系式y＝0.1x＋1.
由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1 000双，这是不太可能的．
(2)设模拟函数为y＝ax2＋bx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得
解得所以有关系式y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.
结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴为x＝3.5)，不合实际．
(3)设模拟函数为y＝abx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得
由①，得ab＝1－c，代入②③，得则解得则a＝＝－0.8.所以有关系式y＝－0.8×0.5x＋1.4.结论为：当把x＝4代入得y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.
比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而该指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y＝-0.8×0.5 x＋1.4模拟比较接近客观实际．
状元随笔 通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．(共35张PPT)
第2课时 对数函数的图象和性质
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
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基 础 自 测
1．比较下列各组值的大小：
(1)0.5________0.6；
(2)log1.51.6________log1.51.4；
(3)log0.57________log0.67；
(4)log3π________log20.8.
＞
＞
＞
＞
解析：(1)因为函数y＝x是减函数，且0.5＜0.6，所以0.6.
(2)因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6＞1.4，所以log1.51.6＞log1.51.4.
(3)因为0＞log70.6＞log70.5，所以＜，即log0.67＜log0.57.
(4)因为log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，所以log3π＞log20.8.
2．若log3a＜0，＞1，则( )
A．a＞1，b＞0 B．0＜a＜1，b＞0
C．a＞1，b＜0 D．0＜a＜1，b＜0
答案：D
解析：由函数y＝log3x，y＝的图象知，0＜a＜1，b＜0.
3．函数y＝log2x在区间(0，2]上的最大值是( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
答案：B
解析：函数y＝log2x在(0，2]上递增，故x＝2时，y的值最大，最大值是1.
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题型1 比较大小[经典例题]
例1 (1)已知bA．2a>2b>2c B．2b>2a>2c
C．2c>2b>2a D．2c>2a>2b
【答案】 B
【解析】 由于函数y＝x为减函数，因此由ba>c，又由于函数y＝2x为增函数，所以2b>2a>2c.
(2)设a＝log32，b＝log2，c＝2log32，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【答案】 B
【解析】 因为0＝log31＜a＝log32＜log33＝1，
b＝log2＜log21＝0，c＝2log32＝log34＞1，
所以a，b，c的大小关系为b＜a＜c.
(3)若a＝log20.2，b＝20.2，c＝log0.20.3，则下列结论正确的是( )
A．b>c>a B．c>a>b
C．a>b>c D．c>b>a
【答案】 A
【解析】 ∵a＝log20.220＝1，0＝log0.21c>a.
状元随笔 构造对数函数，利用函数单调性比较大小.
方法归纳
比较对数值大小时常用的三种方法
跟踪训练1 (1)设a＝log2π，b＝π，c＝π－2，则( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．c＞b＞a
答案：C
解析：a＝log2π＞1，b＝π＜0，c＝π－2∈(0，1)，所以a＞c＞b.
(2)设a＝，b＝，c＝log3，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．b答案：B
解析：因为a＝＝log32，
b＝＝log3，c＝log3，
又y＝log3x是单调增函数，所以log3即c状元随笔 (1)选择中间量0和1，比较大小．
(2)利用对数函数的单调性比较大小．
题型2 解对数不等式[经典例题]
例2 (1)已知log0.72x＜log0.7(x－1)，则x的取值范围为________；
【解析】 ∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
∴由log0.72x＜log0.7(x－1)得解得x＞1，
即x的取值范围是(1，＋∞).
(1，＋∞)
(2)已知loga(x－1)≥loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围；
【解析】 loga(x－1)≥loga(3－x)，
当a＞1时，有解得2≤x＜3.
当0＜a＜1时，有解得1＜x≤2.
综上可得，
当a＞1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围为[2，3)；
当0＜a＜1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围是(1，2].
状元随笔 (1)利用函数y＝log0.7x的单调性求解．
(2)分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论，解不等式．
(3)求函数y＝的定义域．
【解析】 由已知可得
解得x≥1，
故函数的定义域为x∈[1，＋∞).
方法归纳
两类对数不等式的解法
(1)形如logaf(x)＜logag(x)的不等式．
①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞g(x)＞0；
②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜g(x).
(2)形如logaf(x)＜b的不等式可变形为logaf(x)＜b＝logaab.
①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞ab；
②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜ab.
跟踪训练2 (1)满足不等式log3x＜1的x的取值集合为__________；
(1)log33＝1.
(2)由对数函数的单调性求解．
解析：因为log3x＜1＝log33，
所以x满足的条件为
即0＜x＜3.所以x的取值集合为{x|0＜x＜3}．
{x|0＜x＜3}
(2)根据下列各式，确定实数
a的取值范围：
①log1.5(2a)＞log1.5(a－1)；
②log0.5(a＋1)＞log0.5(3－a).
解析：①函数y＝log1.5x在(0，＋∞)上是增函数．
因为log1.5(2a)＞log1.5(a－1)，所以解得a＞1，
即实数a的取值范围是a＞1.
②函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，因为log0.5(a＋1)＞log0.5(3－a)，
所以解得－1＜a＜1.即实数a的取值范围是－1＜a＜1.
(3)函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，] B．(，)
C．(，] D．[，＋∞)
答案：C
解析：由题意可得 (5x－2)≥0且5x－2>0，即 (5x－2)≥1且5x－2>0，
整理可得0<5x－2≤1，
解得：所以函数y＝的定义域为(，].
题型3 有关对数复合函数的值域与最值问题[逻辑推理、数学运算]
例3 求下列函数的值域：
(1)y＝log2(x2＋4)；
【解析】 y＝log2(x2＋4)的定义域是R.
因为x2＋4≥4，
所以log2(x2＋4)≥log24＝2.
所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞).
(2)y＝ (3＋2x－x2)；
【解析】 由3＋2x－x2>0得定义域为(－1，3).
设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.
因为u>0，所以0又y＝u在(0，＋∞)上为减函数，
所以u≥4＝－2，
所以y＝ (3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞).
(3)f(x)＝(lg x)2－2lg x2＋3(1≤x≤1 000).
【解析】 令lg x＝t，因为1≤x≤1 000，所以0≤t≤3.
所以y＝t2－4t＋3＝(t－2)2－1，0≤t≤3，
当t＝2时，y取得最小值－1，当t＝0时，y取得最大值3，
所以值域为[－1，3].
状元随笔 求出函数的定义域 求出真数的范围 根据对数函数的单调性求出函数的值域．
方法归纳
复合函数值域的求法
(1)求对数函数或与对数函数相关的复合函数的值域(最值)，关键是根据单调性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围．
(2)对于形如y＝logaf(x)(a>0且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；
②求f(x)的定义域；
③求u的取值范围；
④利用y＝logau的单调性求解．
跟踪训练3 求下列函数的值域：
(1)y＝ (4x－x2)；
【解析】 由4x－x2>0，得0令t＝4x－x2，则y＝t，
因为t＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，0所以0因为函数y＝t在(0，4]上单调递减，
所以y＝t≥4＝－2，
所以函数的值域为[－2，＋∞).
(2)f(x)＝log2(x2＋8)；
【解析】 设t＝x2＋8，则t≥8，又函数y＝log2t在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)≥log28＝3.函数的值域为[3，＋∞).
(3)f(x)＝(log2x)2－log2x2－3.
【解析】 因为f(x)＝(log2x－1)2－4(x>0)，所以当log2x＝1，
即x＝2时，f(x)取最小值－4；
f(x)没有最大值；
故函数的值域为[－4，＋∞).
题型4 对数函数性质的综合应用[经典例题]
例4 设函数f(x)＝ln (2＋x)－ln (2－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0，2)上是增函数
B．奇函数，且在(0，2)上是减函数
C．偶函数，且在(0，2)上是增函数
D．偶函数，且在(0，2)上是减函数
【答案】 A
【解析】 因为f(－x)＝ln (2－x)－ln (2＋x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数；
因为y＝ln (2＋x)与y＝－ln (2－x)在(0，2)内都是增函数，
所以f(x)在(0，2)上是增函数．
方法归纳
解答y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数需注意的问题
(1)要注意变量的取值范围．例如，f(x)＝log2x，g(x)＝x2＋x，则f(g(x))＝log2(x2＋x)中需要g(x)＞0；g(f(x))＝(log2x)2＋log2x中需要x＞0.
(2)判断y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断．
跟踪训练4 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)＝ (－x＋1).
(1)求f(0)，f(1)；
【解析】 因为当x≤0时，f(x)＝ (－x＋1)，
所以f(0)＝0.
又函数f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(1)＝f(－1)＝ [－(－1)＋1]＝2＝－1，即f(1)＝－1.
(2)求函数f(x)的解析式．
【解析】 令x>0，则－x<0，
所以f(－x)＝ (x＋1)＝f(x)，
所以x>0时，f(x)＝ (x＋1).
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝(共29张PPT)
第1课时 对数函数的概念
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【课程标准】
(1)通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．
(2)知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1).
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教 材 要 点
知识点一 对数函数的概念
函数__________________叫做对数函数，其中________是自变量，函数的定义域是________．
状元随笔 形如y＝2log2x，y＝log2都不是对数函数，可称其为对数型函数．
y＝logax(a＞0，且a≠1)
x
(0，＋∞)
知识点二 对数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1
图像
性质 定义域________ 值域________ 过点________，即当x＝1时，y＝0 在(0，＋∞)上是________ 在(0，＋∞)上是________
(0，＋∞)
R
(1，0)
增函数
减函数
状元随笔 底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
基 础 自 测
1．下列函数中是对数函数的是( )
A．y＝x B．y＝ (x＋1)
C．y＝2x D．y＝x＋1
答案：A
解析：形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的函数才是对数函数，只有A是对数函数．
2．已知对数函数的图象过点M(9，2)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝log2x B．y＝log3x
C．y＝x D．y＝x
答案：B
解析：设函数为y＝logax，则2＝loga9，∴a2＝9.
∵a>0，∴a＝3.
∴对数函数的解析式为y＝log3x.
3．函数f(x)＝ln (1－x)的定义域是( )
A．(0，1) B．[0，1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
答案：D
解析：要使f(x)有意义，则1－x>0，∴x<1，∴f(x)的定义域为(－∞，1)．
4．在同一个坐标系下，函数y＝2x与函数y＝x的图象都正确的是( )
答案：A
解析：指数函数y＝2x是增函数，对数函数y＝x是减函数，故选A.
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题型1 对数函数的概念[经典例题]
例1 下列函数中，哪些是对数函数？
(1)y＝loga(a＞0，且a≠1)；
(2)y＝log2x＋2；
(3)y＝8log2(x＋1)；
(4)y＝logx6(x＞0，且x≠1)；
(5)y＝log6x.
用对数函数的概念例如y＝logax(a＞0且a≠1)来判断．
【解析】 (1)中真数不是自变量x，不是对数函数．(2)中对数式后加2，所以不是对数函数．(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数．
方法归纳
判断一个函数是对数函数的方法
跟踪训练1
(1)若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________；
1
解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.
又底数a＋1＞0，且a＋1≠1，所以a＝1.
(2)若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________．
－3
解析：由题意设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，
则f(4)＝loga4＝－2，
所以a－2＝4，故a＝，
即f(x)＝x，
所以f(8)＝8＝－3.
题型2 求函数的定义域[经典例题]
例2 求下列函数的定义域：
(1)y＝log3x2;
(2)y＝loga(4－x)(a＞0，且a≠1).
真数大于0.
【解析】 (1)因为x2＞0，即x≠0，所以函数y＝log3x2的定义域是{x|x≠0}．
(2)因为4－x＞0，即x＜4，所以函数y＝loga(4－x)的定义域是{x|x＜4}．
方法归纳
求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式(数)非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．
跟踪训练2 求下列函数的定义域：
(1)y＝lg (x＋1)＋；
(2)y＝log(x－2)(5－x).
真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．
解析：(1)要使函数有意义，
需即
∴－1＜x＜1，∴函数的定义域为(－1，1)．
(2)要使函数有意义，需∴
∴定义域为(2，3)
题型3 对数函数的图象问题
例3 (1)函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是下图中的( )
【答案】 C
【解析】 A中，由y＝x＋a的图象知a＞1，而y＝logax为减函数，A错；B中，0＜a＜1，而y＝logax为增函数，B错；C中，0＜a＜1，且y＝logax为减函数，所以C对；D中，a＜0，而y＝logax无意义，也不对．
(2)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________．
【解析】 依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－，故f(x)＝3x－，f(log32)＝－＝2－＝.
(3)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为_____________.
b＞a＞1＞d＞c
【解析】 由题干图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1，0＜d＜1.
过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c.
状元随笔 (1)由函数y＝x＋a的图象判断出a的范围．
(2)依据loga1＝0，a0＝1，求定点坐标．
(3)沿直线y＝1自左向右看，对数函数的底数由小变大．
方法归纳
解决对数函数图象的问题时要注意
(1)明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．
(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a＞1，还是0＜a＜1.
(3)牢记特殊点．对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象经过点：(1，0)，(a，1)和.
跟踪训练3 (1)如图所示，曲线是对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象，已知a取，，，，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为( )
A.，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
增函数底数a＞1，
减函数底数0＜a＜1.
答案：A
解析：方法一 作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C1，C2，C3，C4对应的a值分别为，故选A.
方法二 由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C1，C2，C3，C4，即.故选A.
(2)函数y＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为 ( )
先去绝对值，再利用单调性判断．
解析：函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1，故选A.
答案：A
(3)函数f(x)＝loga(2x－3)(a＞0，a≠1)的图象过定点( )
A．(0，) B．(，0)
C．(0，2) D．(2，0)
解析：函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1，故选A.
答案：A(共31张PPT)
4．2.2 对数运算法则
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【课程标准】
理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．
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教 材 要 点
知识点一 对数的运算性质
若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
(1)loga(MN)＝____________，
(2)loga＝____________，
(3)logaMn＝________(n∈R).
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
状元随笔 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．
知识点二 对数换底公式
logab＝_________(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0).
特别地：logab·logba＝________(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)．
1
状元随笔 对数换底公式常见的两种变形
(1)logab·logba＝1，即＝logba ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 .
(2)logN nMm＝logNM，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的倍．
基 础 自 测
1．下列等式成立的是( )
A．log2(8－4)＝log28－log24
B．＝log2
C．log28＝3log22
D．log2(8＋4)＝log28＋log24
答案：C
解析：由对数的运算性质易知C正确．
2.的值为( )
A． B．2 C． D．
答案：B
解析：原式＝log39＝2.
3．2log510＋log50.25＝( )
A．0 B．1 C．2 D．4
答案：C
解析：原式＝log5102＋log50.25
＝log5(102×0.25)＝log525＝2.
4．已知ln 2＝a，ln 3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为________.
解析：log32＝＝.
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题型1 用已知对数表示其他对数[经典例题]
例1 用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg (xyz)； (2)lg ；
(3)lg ； (4)lg.
【解析】 (1)lg (xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.
(2)lg ＝lg (xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.
(3)lg ＝lg (xy3)－lg ＝lg x＋3lg y－lg z.
(4)lg ＝lg －lg (y2z)＝lg x－2lg y－lg z.
方法归纳
用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：
(1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；
(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；
(3)注意一些派生公式的使用．
跟踪训练1 如果lg 2＝m，lg 3＝n，则等于( )
A． B．
C． D．
答案：C
解析：因为lg 2＝m，lg 3＝n，
所以＝＝＝.
题型2 对数运算性质的应用[经典例题]
例2 (1)计算lg 2＋lg 5＋2log510－log520的值为( )
A．21 B．20
C．2 D．1
逆用对数的运算法则合并求值．
【答案】 C
【解析】 lg 2＋lg 5＋2log510－log520
＝1＋log5＝1＋1＝2.
(2)求值：log2＋log212－log242.
【解析】 原式＝(log27－log248)＋log23＋2log22－(log22＋log23＋log27)＝log27－log23－log216＋log23＋2－log27－＝－.
方法归纳
(1)对于同底的对数的化简，常用方法是：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).
(2)对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．
跟踪训练2 (1)计算：lg ＋2lg 2－＝________．
利用对数运算性质化简求值．
－1
解析：lg ＋2lg 2－＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.
(2)求下列各式的值．
①log53＋log5；
②(lg 5)2＋lg 2·lg 50；
③lg 25＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
解析：①log53＋log5＝log5＝log51＝0.
②(lg 5)2＋lg 2·lg 50
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2
＝(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5
＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.
③原式＝lg 25＋＋lg ·lg (10×2)＋(lg 2)2
＝lg 25＋lg 4＋(lg 10－lg 2)(lg 10＋lg 2)＋(lg 2)2
＝lg 100＋(lg 10)2－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3.
题型3 对数换底公式的应用[经典例题]
例3 (1)已知2x＝3y＝a，＋＝2，则a的值为( )
A．36 B．6
C．2 D．
【答案】 D
【解析】 因为2x＝3y＝a，
所以x＝log2a，y＝log3a，
所以＝＝loga2＋loga3＝loga6＝2，
所以a2＝6，解得a＝±.
又a＞0，所以a＝.
(2)计算：log89·log2732.
【解析】 log89·log2732＝·
＝·＝·＝.
(3)已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645.
【解析】 方法一 因为log189＝a，所以9＝18a.
又5＝18b，所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818.
又因为log2×1818＝＝＝＝＝，所以原式＝.
方法二 ∵18b＝5，∴log185＝b.
∴log3645＝＝＝＝＝＝.
状元随笔 (1)利用换底公式化简．
(2)利用对数运算性质化简求值．
方法归纳
(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底．
(2)换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb； bm＝logab.
跟踪训练3 (1)式子log916·log881的值为( )
A．18 B．
C． D．
答案：C
解析：原式＝4＝2log32·log23＝.
(2)已知log62＝p，log65＝q，则lg 5＝________；(用p，q表示)
解析：lg 5＝＝＝.
(3)①已知log147＝a，14b＝5，用a，b表示log3528；
②设3x＝4y＝36，求＋的值．
【解析】 ①∵log147＝a，14b＝5，∴b＝log145.
∴log3528＝＝＝＝.
②∵3x＝36，4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436，
∴＝＝＝log363，＝＝＝log364，
∴＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1.
状元随笔 (1)方法一 对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值．方法二 先求出a、b，再利用换底公式化简求值．
(2)利用换底公式化简求值．(共40张PPT)
第2课时 指数函数的图象和性质
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基 础 自 测
1．函数f(x)＝的定义域为( )
A．R B．(0，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(－∞，0)
答案：B
解析：要使函数有意义，则2x－1>0，∴2x>1，∴x>0.
2．下列判断正确的是( )
A．1.51.5＞1.52
B．0.52＜0.53
C．e2＜e
D．0.90.2＞0.90.5
答案：D
解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.2，
所以0.90.2＞0.90.5.
3．已知y1＝，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为( )
答案：A
解析：方法一 y2＝3x与y4＝10x单调递增；y1＝与y3＝10－x＝单调递减，在第一象限内作直线x＝1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A.
方法二 y2＝3x与y4＝10x单调递增，且y4＝10x的图象上升得快，y1＝与y2＝3x的图象关于y轴对称，y3＝10－x与y4＝10x的图象关于y轴对称，所以选A.
4．已知函数f(x)＝4＋ax－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
(1，5)
解析：令x－1＝0，得x＝1，此时f(1)＝5.所以函数f(x)＝(a＞0且a≠1)的图象恒过定点P(1，5)．
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题型1 指数函数的图象问题[经典例题]
例1 (1)如图所示是下列指数函数的图象：
①y＝ax ②y＝bx ③y＝cx ④y＝dx
则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
【答案】：B
【解析】 可先分为两类，③④的底数一定大于1，①②的底数一定小于1，然后再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B.
(2)函数y＝2－|x|的大致图象是( )
【解析】 函数y＝2－|x|＝
因为y＝2－|x|是偶函数，所以图象关于y轴对称，
所以函数图象在y轴右侧为减函数，0左侧为增函数，0【答案】 C
(3)若直线y＝2a与函数y＝│ax－1|＋1(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．
(，1)
【解析】 当a>1时，通过平移变换和翻折变换可得如图 (1)所示的图象，则由图知1＜2a＜2，即＜a＜1，与a>1矛盾．当0＜a＜1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图(2)所示的图象，则由图可知1＜2a＜2，即＜a＜1，即为所求．
方法归纳
1．指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：
(1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．
(2)指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大．
2．图象变换法适用于相关函数图象已知或容易画出的情况，要熟悉y＝2x，y＝()x，y＝10x，y＝()x的图象．
3．画函数图象时，若解析式不是最简形式，需先化简解析式；若是分段函数，则分别画出各部分的图象，最后得到所求函数的整体图象．
跟踪训练1 (1)已知函数y＝ax、y＝bx、y＝cx、y＝dx的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是( )
A．b＋d>a＋c B．b＋dC．a＋d>b＋c D．a＋d作出直线x ＝1，得到c >d >1 >a >b，即得解．
答案：B
解析：如图，作出直线x＝1，得到c>d>1>a>b，
所以b＋d(2)若a＞1，－1＜b＜0，则函数y＝ax＋b的图象一定在( )
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
答案：A
解析：∵a＞1，且－1＜b＜0，故其图象如图所示．
(3)函数y＝|2x－1|的大致图象是( )
答案：D
解析：y＝|2x－1|＝，
当x＜0时，y＝1－2x的图象是将y＝2x图象先沿x轴对称下来，再沿y轴向上平移1个单位，此时x＜0时的图象在x轴上方，且为增函数，渐近线为y＝1，
只有C项满足题意．
(3)函数y＝|2x－1|的大致图象是( )
解析：y＝|2x－1|＝，
当x＜0时，y＝1－2x的图象是将y＝2x图象先沿x轴对称下来，再沿y轴向上平移1个单位，此时x＜0时的图象在x轴上方，且为增函数，渐近线为y＝1，
只有C项满足题意．
答案：C
题型2 解简单的指数不等式[经典例题]
例2 (1)不等式3x－2＞1的解集为__________；
(2，＋∞)
【解析】 3x－2＞1 3x－2＞30 x－2＞0 x＞2，所以解为(2，＋∞)．
(2)若ax＋1＞(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．
【解析】 因为ax＋1＞，所以当a＞1时，y＝ax为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.
当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.
综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)，
当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞)．
状元随笔 首先确定指数不等式对应函数的单调性，然后根据单调性确定x的取值范围．
方法归纳
解指数不等式应注意的问题
(1)形如ax＞ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；
(2)形如ax＞b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．
跟踪训练2 (1)解不等式)≤3；
(1)化成同底，确定指数函数的单调性．
解析：＝(3－1)x2－2＝，
∴原不等式等价于≤31.
∵y＝3x是R上的增函数，∴2－x2≤1.
∴x2≥1，即x≥1或x≤－1.
∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}．
(2)已知(a2＋2a＋3)x＞(a2＋2a＋3)1－x，求x的取值范围．
(2)判断a2＋2a＋3的范围．
解析：∵a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2＞1，
∴y＝(a2＋2a＋3)x在R上是增函数．
∴x＞1－x，解得x＞.
∴x的取值范围是.
(3)函数y＝的定义域是________．
解析：根据函数有意义条件可得，2x－1－8≥0，
即2x－1≥23.
因为函数y＝2x在R上单调递增，
所以x－1≥3，
所以x≥4.
[4，＋∞)
题型3 指数型函数的定义域与值域
例3 (1)求y＝的值域；
【解析】 ∵对一切x∈R，3x≠－1；
∴函数的定义域为R；
∵y＝＝1－；
又∵3x>0，1＋3x>1；
∴0<<1，∴－1<－<0；
∴0<1－<1，∴值域为(0，1)．
(2)若函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a等于________；
【解析】 当a＞1时，函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)在[0，2]上单调递增，
则，解得：a＝
当a＜1时，函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)在[0，2]上单调递减，
则无解，
故a＝.
(3)已知函数y＝a2x－2ax－1(a＞0，a≠1)在区间[－1，1]上最大值是14，求a的值；
【解析】 y＝(ax－1)2－2；
∵y＝(ax－1)2－2在区间[－1，1]上最大值是14，
∴(ax)max＝5；
故当a＞1时，a＝5；
当0＜a＜1时，a－1＝5，
故a＝.
综上所述，a＝5或a＝.
(4)已知函数f(x)＝的值域是( )
A．(－∞，2] B．(0，2]
C．[2，＋∞) D．
【解析】 由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
所以0<()x2－2x≤()－1＝2，
所以函数f(x)＝()x2－2x的值域是(0，2].
【答案】 B
方法归纳
复合函数的值域
(1)分层：一般分为外层y＝at，内层t＝f(x)．
(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数．
(3)值域复合：先求内层t的值域，再利用单调性求y＝at的值域．
跟踪训练3 (1)函数f(x)＝，x∈[0，3]时f(x)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．(e－3，1)
C．[e－4，1] D．(e－4，＋∞)
先求得x2 －2x －3的取值范围，再求得f(x)的值域．
答案：C
解析：g(x)＝x2－2x－3的开口向上，对称轴为x＝1，所以最小值为g(1)＝－4，最大值为g(3)＝0，所以x2－2x－3∈[－4，0]，y＝ex在[－4，0]上递增，最小值为e－4，最大值为1，
所以f(x)在区间[0，3]上的值域为[e－4，1].
(2)求函数y＝4x－2x＋1的定义域、值域．
解析：函数的定义域为R：
y＝(2x)2－2x＋1＝(2x－)2＋；
∵2x>0，∴2x＝，即x＝－1时，y取最小值；
同时y可以取一切大于的实数；
∴值域为[，＋∞)．
题型4 指数函数性质的综合应用
例4 已知函数f(x)＝a－(x∈R)．
(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；
【解析】 证明：因为f(x)的定义域为R，任取x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝
＝.
因为x1＜x2，
所以＜0，
又)＞0.
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
所以不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
(2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间[1，5]上的最小值．
【解析】 因为f(x)在x∈R上为奇函数，
所以f(0)＝0，
即a－＝0，解得a＝.
所以f(x)＝，
由(1)知，f(x)为增函数，
所以f(x)在区间[1，5]上的最小值为f(1)．
因为f(1)＝＝，
所以f(x)在区间[1，5]上的最小值为.
状元随笔 (1)用定义法证明函数的单调性需4步：
①取值；②作差变形；③定号；④结论．
(2)先由f(x)为奇函数求a , 再由单调性求最小值．
方法归纳
(1)求解含参数的由指数函数复合而成的奇、偶函数中的参数问题，可利用奇、偶函数的定义，根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，结合指数运算性质建立方程求参数；
(2)若奇函数在原点处有定义，则可利用f(0)＝0，建立方程求参数．
跟踪训练4 已知定义在R上的函数f(x)＝2x＋，a为常数，若f(x)为偶函数，
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上
的单调性，并用单调性定义给予
证明；
(3)求函数f(x)的值域．
(1)由偶函数求a.
(2)4步法证明f(x)在(0，＋∞)上的单调性．
(3)利用单调性求最值，得值域．
解析：(1)由f(x)为偶函数得对任意实数x都有2x＋＝成立，即2x(1－a)＝·(1－a)，
所以1－a＝0，
所以a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝2x＋，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
证明如下：任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝＝＝＝＝，
因为x1＜x2，且x1，x2∈(0，＋∞)，
所以＞1，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)由(2)知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
又由f(x)为偶函数知函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，
所以f(x)≥f(0)＝2.
故函数f(x)的值域为[2，＋∞).(共34张PPT)
第1课时 指数函数的概念
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【课程标准】
(1)通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．
(2)能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．
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教 材 要 点
知识点一 指数函数的定义
函数________(a>0且a≠1)称为指数函数，其中x是自变量．定义域为R.
y＝ax
状元随笔 1.指数函数解析式的3个特征
(1)底数a为大于0且不等于1的常数．
(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.
(3)ax的系数是1.
2．为什么指数函数的底数a>0，且a≠1
提示：(1)如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义．
(2)如果a＜0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝，…，该函数无意义．
(3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1.
知识点二 指数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域 ________ 值域 ________ 过定点 过点______，即x＝______时，y＝______ 函数值 的变化 当x>0时，________； 当x<0时，________ 当x>0时，________；
当x<0时，________
单调性 是R上的________ 是R上的________
R
(0，＋∞)
(0，1)
0
1
y>1
00y>1
增函数
减函数
状元随笔 底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0基 础 自 测
1．下列各函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝3x－1 D．y＝
答案：D
解析：根据指数函数的定义y＝ax(a>0且a≠1)可知只有D项正确．
2．若指数函数f(x)的图象经过点(2，9)，则f(x)＝________，f(－1)＝
________．
解析：设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，
因为f(x)的图象经过点(2，9)，
代入得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍去)，
所以f(x)＝3x，所以f(－1)＝3－1＝.
3．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝的图象之间的关系是( )
A．关于y轴对称
B．关于x轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
答案：A
解析：由两函数图象可知，两函数图象关于y轴对称，故选A.
4．当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝ax－3－2必过定点________．
(3，－1)
解析：当a＞0且a≠1时，总有f(3)＝a3－3－2＝－1，所以函数f(x)＝ax－3－2必过定点(3，－1)．
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题型1 指数函数概念的应用[经典例题]
例1 (1)已知指数函数f(x)过点(－2，4)，则f(6)＝( )
A. B．
C． D．
先设指数函数为f(x)＝ax，借助条件图象过点(－2 ，4)求a，最后求值．
【答案】B
【解析】 设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
所以f(－2)＝a－2＝4，解得a＝，
所以f(6)＝()6＝.
(2)指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(4)·f(2)等于________．
64
【解析】 设y＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，所以a－2＝，所以a＝2，
所以f(4)·f(2)＝24×22＝64.
(3)若指数函数f(x)＝(2a－1)x是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0，1) B．(1，＋∞)
C．(，1) D．(－∞，1)
【答案】C
【解析】 由已知，得0<2a－1<1，则方法归纳
(1)判断一个函数是指数函数的方法
①看形式：只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．
②明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数．
(2)已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤
(3)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．因为底数a是大于0且不等于1的实数，所以a＝－3应舍去．
跟踪训练1
(1)若函数y＝(3－2a)x为指数函数，则实数a的取值范围是__________________；
指数函数系数为1．底数>0且≠1.
(－∞，1)
解析：若函数y＝(3－2a)x为指数函数，
则解得a<且a≠1.
(2)下列函数中是指数函数的是________．(填序号)
①y＝2·()x ②y＝2x－1 ③y＝ ④y＝xx ⑤y＝ ⑥y＝.
③
解析：①中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.
题型2 指数函数的图象
例2 (1)函数y＝3－x的图象是( )
【答案】B
【解析】 由y＝3－x＝()x知：函数在定义域内单调递减，且y>0恒成立，
∴只有B所表示的函数图象符合要求．
(2)已知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为( )
A．(0，1) B．(2，3)
C．(3，2) D．(2，2)
【答案】B
【解析】 任意a>0且a≠1，当x－2＝0，即x＝2时，恒有ax－2＝1，即f(2)＝a2－2＋2＝3，
所以函数f(x)＝ax－2＋2的图象恒过定点A(2，3)，即A的坐标为(2，3)．
状元随笔 (1)根据指数函数的性质知：y＝3－x单调递减，且函数值恒大于0，即可知正确选项．
(2)由y＝ax过定点(0，1)来求f(x)过定点．
方法归纳
指数型函数图象过定点问题的解法
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)．
跟踪训练2 (1)当a>1时，函数y＝ax和y＝(a－1)x2的图象只可能是( )
答案：A
解析：当a>1时，指数函数y＝ax为增函数，二次函数y＝(a－1)x2的图象开口向上，且函数y＝(a－1)x2图象的对称轴为y轴，
因此，函数y＝ax和y＝(a－1)x2的图象只可能是A选项中的图象．
(2)已知函数f(x)＝ax＋1－(a>0，且a≠1)的图象过定点(m，n)，则m＋n＝( )
A． B．
C．－ D．－
答案：D
解析：由解析式知：f(－1)＝a0－＝1－＝，故f(x)过定点(－1，)．
∴m＝－1，n＝，则m＋n＝－.
题型3 利用指数函数的单调性比较大小
例3 (1)利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
①0.8－0.1与0.8－0.2；
②2.5a与2.5a＋1.
【解析】 ①因为0.8－0.1与0.8－0.2都是以0.8为底的幂值，所以考察函数y＝0.8x，由于这个函数在实数集R上是减函数，又因为－0.1>－0.2，所以0.8－0.1<0.8－0.2.
②因为2.5a与2.5a＋1都是以2.5为底的幂值，所以考察函数y＝2.5x，由于这个函数在实数集R上是增函数，又因为a(2)已知a＝，b＝20.2，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>b>a
【答案】C
【解析】因为y＝0.3x在R上为减函数，且>0.2>0，
所以<0.30.2<0.30，即<0.30.2<1，
因为y＝2x在R上为增函数，且0.2>0，
所以20.2>20＝1，
所以<0.30.2<1<20.2，所以b>c>a.
状元随笔 (1)要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较．可以利用函数y＝0.8x和y＝2.5x的单调性，以及“x＝0时，y＝1”这条性质把它们联系起来．
(2)利用指数函数的性质比较即可．
方法归纳
1．由例题可以看出，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系．
2．比较幂值大小的三种类型及处理方法
跟踪训练3 (1)比较下列各题中两个值的大小：
①与；
②与；
③0.20.3与0.30.2.
解析：(1)①因为0＜＜1，所以函数y＝在其定义域R上单调递减，又－1.8＞－2.5，所以＜.
②在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝与y＝的图象，如图所示．当x＝－0.5时，由图象观察可得＞.
③因为0＜0.2＜0.3＜1，所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝的图象在函数y＝0.3x的图象的下方，所以0.20.2＜0.30.2.
又根据指数函数y＝0.2x的性质可得，所以0.20.3＜0.30.2.
(2)已知a＝1.80.8，b＝0.81.8，c＝1.81.8，则( )
A．aC．c答案：B
解析：设函数y＝1.8x，∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数，可得1.80.8>1.80＝1，且1.80.8<1.81.8；设函数y＝0.8x.∵0.8<1，∴y＝0.8x在R上为减函数，可得b＝0.81.8<0.80＝1.综上所述，0.81.8<1.80.8<1.81.8，即b4．1.1 实数指数幂及其运算
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【课程标准】
通过对有理数指数幂(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．
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教 材 要 点
知识点一 n次方根及根式的概念
1．a的n次方根的定义：一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得______，则x称为a的n次方根．
2．a的n次方根的表示
(1)当n是奇数时，a的n次方根表示为______，a∈______．
(2)当n是偶数时，a的n次方根表示为______，其中______表示a的负的n次方根，a∈________．
3．根式：当有意义的时候，______称为根式，这里n称为______，a称为________．
状元随笔 根式的概念中要求n>1，且n∈N*.
xn＝a
R
±
－
[0，＋∞)
根指数
被开方数
状元随笔 ()n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而中a∈R.知识点二 根式的性质
(1)()n＝______(n∈R＋，且n>1)；
(2) ＝
状元随笔 ()n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而中a∈R.
a
a
|a|
知识点三 分数指数幂的意义及有理数指数幂的运算性质
1．分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定：＝________(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂
规定：＝＝________(a>0，m，n∈N*，且n>1)
性质 0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂________
0
无意义
2.无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个__________．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
3．实数指数幂的运算法则(a>0，b>0，r，s∈R)
(1)aras＝________．
(2)(ar)s＝________．
(3)(ab)r＝________．
确定的实数
ar＋s
ars
arbr
基 础 自 测
1.＋π等于( )
A．4 B．2π－4
C．2π－4或4 D．4－2π
答案：A
解析： ＋π＝4－π＋π＝4.故选A.
2．b4＝3(b>0)，则b等于( )
A．34 B．
C．43 D．35
答案：B
解析：因为b4＝3(b>0)，∴b＝＝.
3．(多选)下列各式错误的是( )
A．＝－3 B．＝a
C．()3＝－2 D．＝2
答案：ABD
解析：由于＝3，＝|a|, ＝－2，故选项A、B、D错误．
4．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是( )
A．－＝(x≥0) B．＝(x≤0)
C．＝(x>0) D．＝－(x≠0)
答案：C
解析：A.－＝(x≥0)，故错误；
B．＝(x≤0)，故错误；
＝＝ (x>0)，故正确；
＝(x≠0)，故错误．
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题型1 利用根式的性质化简求值[经典例题]
例1 (1)下列各式正确的是( )
A．＝a B．a0＝1
C. ＝－4 D. ＝－5
【答案】 D
【解析】 由于＝则选项A，C排除，D正确，B需要加条件a≠0.
(2)计算下列各式：
①＝________．
②＝________．
③－－＝________．
－a
π－3
【解析】 ① ＝－a.
② ＝＝π－3.
③ ＝ ＝＝.
状元随笔 首先确定式子中n的奇偶，再看式子的正负，最后确定化简结果．
方法归纳
根式化简或求值的策略
(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
跟踪训练1 求下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
解析：(1) ＝－2；
(2) ＝ ＝ ；
(3) ＝|3－π|＝π－3；
(4)＝|x－y|＝
由根式被开方数正负讨论x≥y，x题型2 根式与分数指数幂的互化[经典例题]
例2 (1)将分数指数幂(a>0)化为根式为________．
【解析】 ＝＝.
(2)化简：(a2·)÷(·)＝________(用分数指数幂表示).
【解析】 (a2·)÷(·)＝＝.
(3)将下列根式与分数指数幂进行互化：
①a3·；
②(a>0，b>0).
利用根式与分数指数幂的性质意义化为根式或分数指数幂．
【解析】 ①a3·＝＝.
② ＝＝.
方法归纳
根式与分数指数幂互化的方法及思路
(1)方法：根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．
跟踪训练2 (1)化简的结果是( )
A． B．x
C．1 D．x2
答案：C
解析：＝＝＝x0＝1.
(2)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A．－＝(x>0) B．＝(y<0)
C．＝ (x>0) D．＝－(x≠0)
答案：C
解析：(1)＝＝＝x0＝1.
(2)－＝－(x>0)；＝＝－(y<0)；
＝(x>0)；＝＝(x≠0)．
题型3 分数指数幂的运算与化简
例3 (1)化简下列各式：
①(－1.8)0＋()－2·－＋；
②；
【解析】 (1)①原式＝＝1＋()2·()2－10＋27＝29－10＝19.
②＝
＝.
＝＝＝a－1＝.
(2)已知＋＝，求的值．
【解析】 由已知可得：x＋x－1＝)2－2＝()2－2＝3.
x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2＝32－2＝7.
原式＝＝－.
状元随笔 (1)①先进行指数运算，在进行指数运算时可将底数化成幂的形式，再利用幂的乘方进行运算；②对于零次幂，直接运用a0＝1(a≠0)得出结论；③底数为带分数的化成假分数，进而将底数化成幂的形式；④底数为小数的一般化成分数来运算；⑤先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减．
(2)将已知的式子反复利用完全平方公式，将x的指数升高，再代入求值．
方法归纳
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
跟踪训练3 计算：
(1)(a>0，b>0)；
(2)已知＋＝3，求下列各式的值：
①a＋a－1；②a2＋a－2；③
解析：(1)原式＝＝2××8＝.
(2)①将＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，
所以a＋a－1＝7.
②对(1)中的式子两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，
所以a2＋a－2＝47.
③＝
＝a＋a－1＋1＝8.