(共29张PPT)
第2课时 两点间的距离、中点
坐标公式及向量平行
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教 材 要 点
知识点一 平面直角坐标系内两点之间的距离公
式与中点坐标公式
设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，AB＝||＝.这就是平面直角坐标系内两点之间的距离公式．
x＝，y＝.这就是平面直角坐标系内的中点坐标公式．
知识点二 向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b x2y1＝x1y2.
状元随笔 已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
(1)当≠时，＝λ．
这是几何运算，体现了向量与的长度及方向之间的关系．
(2)x1y2－x2y1＝0.
这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
基 础 自 测
1．已知A(1，2)，B(－3，4)，的中点坐标为( )
A.(－4，2) B．(4，2)
C．(－1，3) D．(1，－3)
答案：C
解析：由A(1，2)，B(－3，4)，则中点坐标为()＝(－1，3)．
2．下列各组向量相互平行的是( )
A．a＝(－1，2)，b＝(3，5)
B．a＝(1，2)，b＝(2，1)
C．a＝(2，－1)，b＝(3，4)
D．a＝(－2，1)，b＝(4，－2)
答案：D
解析：D中，b＝－2a.
3．已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝( )
A．－9 B．9
C．3 D．－3
答案：B
解析：因为a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，若a∥b，则－6×(－3)－2m＝0，解得m＝9.
4．已知点A(2，－4)，B(2，3)，则||＝( )
A．1 B．7
C． D．
答案：B
解析：因为点A(2，－4)，B(2，3)，所以＝(0，7)，所以||＝＝7.
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题型1 直角坐标系内两点间距离公式和中点坐标公式
例1 (1)求线段AB的中点坐标：
①A(2，1)，B(4，3)；②A(－1，2)，B(3，6);
【解析】 ①∵A(2，1)，B(4，3)，
∴x＝＝3，y＝＝2，
∴AB的中点坐标为(3，2)；
②∵A(－1，2)，B(3，6)，
∴x＝＝1，y＝＝4，
∴AB的中点坐标为(1，4)；
(2)已知点A(2，－1)，B(－3，11)．
①求||的值；
②若点C满足＋3＝0，求点C坐标．
【解析】 ①因为＝(－5，12)，
所以||＝＝13；
②设点C的坐标为(x，y)，
则＝(x＋3，y－11)．
由＋3＝(3x＋4，3y－21)＝0，
得解得
所以点C的坐标为(－，7)．
跟踪训练1 (1)在平面直角坐标系内，已知三点A(2，0)，B(1，1)，C(3，5)，求：
①的坐标；
②||的值；
解析：①＝(1，1)－(2，0)＝(－1，1)，
＝(3，5)－(2，0)＝(1，5)．
②因为＝(－1，1)－(1，5)＝(－2，－4)，
所以||＝＝2.
(2)已知点A(－1，1)，B(2，－1)．
①若C是线段AB的中点，求C点坐标；
②若直线AB上的点D满足＝－2，求D点坐标．
解析：①设C(x，y)，又A(－1，1)，B(2，－1)，
则＝(x＋1，y－1)，＝(2－x，－1－y)，
∵C是线段AB的中点，
∴＝，即，解得，∴C(，0)
②设D(a，b)，又A(－1，1)，B(2，－1)
＝(a＋1，b－1)，＝(a－2，b＋1)，
∵＝－2，
∴，解得，∴D(1，－)．
题型2 向量共线的判定[经典例题]
例2 (1)下列各对向量中，共线的是( )
A．a＝(2，3)，b＝(3，－2)
B．a＝(2，3)，b＝(4，－6)
C．a＝(，－1)，b＝(1，)
D．a＝(1，)，b＝(，2)
【答案】 D
【解析】 由向量共线的充要条件可知：非零向量a与b共线，当且仅当存在唯一实数λ，使得b＝λa.而只有D满足：因为a＝(1，)，b＝(，2)，所以b＝a.
(2)已知点A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB与直线CD平行吗？
【解析】 因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，
＝(2－1，7－5)＝(1，2)，
因为2×2－1×4＝0，所以∥.
又＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2，6)，
＝(2，4)，2×4－2×6≠0，
所以与不平行．
所以A，B，C不共线，AB与CD不重合．
所以直线AB与CD平行．
状元随笔 (1)向量是否共线，利用向量共线的坐标表示或＝λ验证．
(2)判断∥，只要把点的坐标代入公式x1y2－x2y1＝0，看是否成立．
方法归纳
向量共线的判定方法
跟踪训练2 下列各组向量中，共线的是( )
A．a＝(－2，3)，b＝(4，6)
B．a＝(2，3)，b＝(3，2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7，14)
D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4)
答案：D
解析：由两向量共线的坐标表示知，对于D，(－3)×(－4)－2×6＝0，所以共线，其他均不满足．
状元随笔 ＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，若x1y2－x2y1＝0，则共线．
题型3 三点共线问题[经典例题]
例3 (1)在平面直角坐标系中，已知A(－2，－3)，B(0，1)，C(2，5)，求证：A，B，C三点共线．
【解析】 由已知得
＝(0，1)－(－2，－3)＝(2，4)，
＝(2，5)－(－2，－3)＝(4，8)．
因为2×8＝4×4，所以
∥，又与有公共点A，
因此A，B，C三点共线．
(2)若A(3，－6)，B(－5，2)，C(6，y)三点共线，则y＝( )
A．13 B．－13
C．9 D．－9
【答案】 D
【解析】 因为A，B，C三点共线，所以(－5－3)(y＋6)－(6－3)(2＋6)＝0，
所以y＝－9.
方法归纳
判断向量(或三点)共线的三个步骤
跟踪训练3 设向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线．
方法一 由已知求，利用＝λ，求k.
方法二 与共线，则x1y2－x2y1＝0，求k.
解析：方法一 ∵A，B，C三点共线，
∴存在实数λ，使得＝λ.
∵＝＝(4－k，－7)，
＝＝(10－k，k－12)，
∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，
即
解得k＝－2或k＝11.
方法二 由题意知共线．
∵＝＝(4－k，－7)，＝＝(10－k，k－12)，
∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，
∴k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.
题型4 向量共线的应用[经典例题]
例4 如图所示，已知△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，＝＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
先求C、D坐标，设出M(x，y)，利用与共线，求M.
【解析】 ∵＝＝(0，5)＝(0，)，∴C(0，)．
∵＝＝(4，3)＝(2，)，∴D(2，)．
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，
＝(2－0，－5)＝(2，－)．
∵∥，
∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①
又＝(x，y－)，＝(4，)，
∵∥，∴x－4(y－)＝0，即7x－16y＝－20.②
联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为(，2)．
方法归纳
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
跟踪训练4 若平行四边形ABCD的三个顶点为A(1，5)，B(－1，－2)，C(3，－1)，求顶点D的坐标．
设D(x，y)，由已知得 ＝，求D.
解析：设D点的坐标为(x，y)，则＝(x－1，y－5)，＝(4，1)，由题意知＝，即(x－1，y－5)＝(4，1)，得解得因此，D点的坐标为(5，6)．(共28张PPT)
6．1.4 数乘向量
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【课程标准】
通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义．
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教 材 要 点
知识点一 向量数乘运算
实数λ与向量a的积是一个__________，这种运算叫作向量的________，记作________，它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向______；
当λ<0时，λa的方向与a的方向______．
(3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.
向量
数乘
λa
相同
相反
状元随笔 理解数乘向量应注意的问题
(1)向量数乘的结果依然是向量，要从长度与方向加以理解．
(2)实数与向量可以相乘，但是不能相加、减，如λ＋，λ－均没有意义．
知识点二 共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使________．
b＝λa
状元随笔 向量共线定理的理解注意点及主要应用
(1)定理中a→≠不能漏掉. 若＝ ＝，则实数λ可以是任意实数；若＝，≠，则不存在实数λ，使得＝λ．
(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使t＋s＝，则与共线；若两个非零向量与不共线，且t＋s＝，则必有t＝s＝0.
基 础 自 测
1．存在两个非零向量a，b，满足b＝－3a，则有( )
A．a与b方向相同 B．a与b方向相反
C．|a|＝|3b| D．|a|＝|b|
答案：B
解析：因为－3<0，所以a与－3a方向相反．且|－3a|＝3|a|，即|b|＝3|a|，故选B.
2．设P，Q两点把线段AB三等分(P靠近A)，则下列向量表达式中错误的是( )
A．＝ B．＝
C．＝－ D．＝
答案：D
解析：由向量数乘的定义可以得到A、B、C中的表达式都是正确的，只有D错误．
3．6×(－a)( )
A．化简结果为2a B．与向量a同向
C．与向量a反向 D．其长度为2
答案：C
解析： 6×(－a)＝－2a，与向量a反向，其长度为2|a|.
4．点M在AB上，且＝，则等于( )
A．－3 B．
C．－ D．3
答案：B
解析：如图＝，所以＝.
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题型1 数乘向量的定义与数乘向量的运算[数学抽象、数学运算]例1 (1)设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________．
①|－λa|≥|a|；
②a与λ2a方向相同；
③|－2λa|＝2|λ|·|a|.
②③
【解析】 当0<λ<1 时，|－λa|<|a|，①错误；②③正确．
(2)化简下列各式：
①×4a；
②×2×9a；
③6×(－)a.
利用数乘向量的运算直接进行化简．
【解析】 ①×4a＝(×4)a＝2a；
②×2×9a＝6a；
③6×(－)a＝－3a.
方法归纳
(1)数乘向量与原来向量是共线的，其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小．
解决数乘向量问题的关键应注意两点：方向是相同还是相反，模长放大还是缩小．
(2)λa中的实数λ叫作向量a的系数，数乘向量运算就是把数与向量的系数相乘，作为新向量的系数．
数乘向量的运算可以与以前我们学习过的数乘单项式运算相类比．
跟踪训练1 (1)若两个非零向量a与(2x－1)a方向相同，则x的取值范围为________．
解析：由数乘向量定义可知，2x－1>0，即x>.
x>
(2)下列计算正确的个数是( )
①(－5)·3a＝－15a；
②3(a＋b)＝3a＋b；
③(－4＋1)(a＋2a)＝－9a.
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：C
解析：因为(－5)·3a＝－15a，故①正确；3(a＋b)＝3a＋3b，故②错误；(－4＋1)(a＋2a)＝ －3×3a＝－9a，故③正确．
(3)化简下列各式．
①4×(－)a.
②－2××(－3a).
解析：①4×(－)a＝－a.
②－2××(－3a)＝3a.
题型2 向量共线条件的应用
例2 (1)已知a＝2e, b＝－4e, 判断a，b是否平行，求|a|∶|b|的值；若a∥b，说出它们是同向还是反向；
【解析】 因为b＝－4e＝－2(2e)＝－2a ，
所以a∥b，且2|a|＝|b|，即|a|∶|b|＝1∶2.
向量a，b反向．
(2)已知＝e，＝－3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，说出点A是线段BC的几等分点．
利用数乘向量的定义解决．
【解析】 因为＝－3e＝－3 ，所以∥，
且有公共点B，所以A，B，C三点共线，
又因为BC＝3AB，且向量反向，
如图，所以点A是线段BC的三等分点．
方法归纳
向量共线定理的应用
(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．
(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若＝λ，则与共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
跟踪训练2 (1)已知线段上A，B，C三点满足＝2，则这三点在线段上的位置关系是( )
答案：A
解析：根据题意得到和是共线同向的，且BC＝2AB.
(2)下列结论成立的是( )
A．λa与a的方向相同
B．λa与a的方向相反的充要条件是λ<0
C．与a方向相同的单位向量可表示为
D．若平行四边形ABCD的对角线的交点为O，则＝(－)
答案：C
解析：当λ<0且a≠0时，λa 与a的方向相反，故A，B不正确；若平行四边形ABCD的对角线的交点为O，则＝)，D不正确；C正确．
题型3 用已知向量表示其它向量[经典例题]
例3 如图， ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，用a，b表示，，和.
【解析】 在 ABCD中，
＝＝a＋b，
＝＝a－b.
由平行四边形的两条对角线互相平分，得
＝－＝－(a＋b)＝－a－b，
＝＝(a－b)＝a－b，
＝＝a＋b，
＝－＝－a＋b.
方法归纳
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
跟踪训练3 如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．
(1)＝________；
(2)＝________．
结合图形：由已知得＝2，分别用1，2表示，．
e2＋e1
e1－e2
解析：因为∥，||＝2||，所以 ＝2，＝.
(1)＝＝e2＋e1.
(2)＝＝－＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.(共27张PPT)
6．1.3 向量的减法
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【课程标准】
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，理解其几何意义．
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教 材 要 点
知识点一 相反向量
与a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作________.
(1)零向量的相反向量仍是零向量，即－0＝0.
(2)任一向量与其相反向量的和是零向量，即a＋(－a)＝________.
(3)如果a，b是互为相反的向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
知识点二 向量的减法
(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的________．
(2)三角形法则：已知a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b可以表示为____________指向____________的向量．
－a
0
相反向量
从向量b的终点
向量a的终点
状元随笔 1.准确理解向量减法的三角形法则
(1)向量减法是向量加法的逆运算．
设＋＝，则＝－，
如图，设 ＝， ＝．
由向量加法的三角形法则可知
＝ ＋，
∴ ＝ －＝－．
(2)对于两个共起点的向量，它们的差就是连接这两个向量的终点，方向指向被减的向量．
(3)以向量＝，＝为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝＋， ＝－， ＝－.
2．若，是不共线向量，|＋|与|－|的几何意义比较，如图所示，设＝，＝．根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，有＝＋，＝－．因为四边形OACB是平行四边形，所以|＋ |＝||，|－ |＝||分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长．
基 础 自 测
1．(多选)非零向量m与n是相反向量，下列正确的是( )
A．m＝n B．m＝－n
C．|m|＝|n| D．方向相反
答案：BCD
解析：非零向量m与n是相反向量，则有m＝－n，|m|＝|n|.
2．在三角形ABC中，＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B．b－a
C．a＋b D．－a－b
答案：D
解析：＝＝－＝－a－b.
3.－＝________．
解析：＝.
4．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则可用a，b，c表示为________.
解析：＝＝＝a－b＋c.
a－b＋c
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题型1 已知向量作差向量[经典例题]
例1 (1)如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d；
【解析】 作法，如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d.则＝a－b，＝c－d.
(2)已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．
【解析】 因为|||－|||≤||≤||＋||，
且||＝9，||＝6，
所以3≤||≤15.
当与同向时，||＝3；
当与反向时，||＝15.
所以||的取值范围为[3，15].
方法归纳
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
跟踪训练1 (1)如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c；
先作－，再作－－.
解析：如图所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b.连接CB，得向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量＝(a－b)－c.则向量即为所求作的向量a－b－c.
(2)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8 B．4
C．2 D．1
答案：C
解析：由||＝||可知，与垂直，故△ABC为直角三角形，||即斜边BC的中线，所以||＝2.
题型2 向量的减法运算[经典例题]
例2 化简(－)－(－).
【解析】 方法一 (统一成加法)()－
()＝＝
＝＝＝0.
方法二 (利用＝) ()－()＝＝()－＝＝＝0.
方法三 (利用＝) 设O是平面内任意一点，则()－()＝＝()－()－()＋()＝＝0.
方法归纳
1．向量减法运算的常用方法
2．向量加减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和．
(2)起点相同且为差．
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
跟踪训练2 (1)在四边形ABCD中，－－＝________；
利用加法、减法的三角形法则求解．
解析：＝＝()＋＝＝.
(2)化简下列各向量的表达式：
①＋－；②(－)－(－)；③(＋＋)－(－－).
解析：①＝＝.
②()－()＝()－()＝＝0.
③()－()＝()－()＝＝0.
题型3 向量加减运算几何意义的应用——利用已知向量表示未知向量[直观想象、逻辑推理、数学运算]
例3 (1)已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，用a，b分别表示向量，；
【解析】 如图所示，由向量求和的平行四边形法则可知
＝＝a＋b.
按照减法的定义可知
＝＝a－b.
(2)如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
【解析】 因为四边形ACDE是平行四边形，
所以＝＝c，＝＝b－a，
故＝＝b－a＋c.
状元随笔 由平行四边形的性质可知 ＝＝，由向量的减法可知：＝－，由向量的加法可知＝＋.
方法归纳
利用已知向量表示其他向量的思路
解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加法、减法和共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系．当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法．
常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和(差)，即＝＋以及＝－ (M，N均是同一平面内的任意点).
跟踪训练3 如图，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
利用三角形法则，用已知向量表示未知向量．
解析：由题意知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则
(1)＝＝a＋d＋e.
(2)＝＝－＝－b－c.
(3)＝＝a＋b＋e.
(4)＝－＝－()＝－c－d.(共37张PPT)
6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
第1课时 平面向量的坐标及运算
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【课程标准】
1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
2.会用坐标表示平面向量的加法，减法与数乘运算.
3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
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教 材 要 点
知识点一 直线上向量的坐标
1．给定一条直线l及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时，x称为向量a的坐标．
状元随笔 值得注意的是，如果直线上向量的坐标为x，则x既能刻画的模，也能刻画向量的方向．事实上，此时
||＝|x|＝|x|||＝|x|；
而且：当x>0时，的方向与的方向相同；当x＝0时，是零向量；当x<0时，的方向与的方向相反．也就是说，在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定．
2．事实上，设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，O为坐标原点，则＝x1e，＝x2e，因此＝－＝x2e－x1e＝(x2－x1)e，所以不难看出AB＝||＝|x2－x1|.这就是数轴上两点之间的距离公式．
3．另外，假设M(x)是线段AB的中点，则＝ (＋)＝＝e，又因为＝xe，所以x＝.这就是数轴上的中点坐标公式．
知识点二 正交分解
1．向量垂直
平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b.为了方便起见，规定零向量与任意向量都垂直．
2．正交分解
如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．
知识点三 平面向量的坐标表示
一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y).
状元随笔 1.对平面向量坐标的几点认识
(1)设＝x ＋y (O为坐标原点)，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x，y).因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．
(2)两向量相等的等价条件是它们对应的坐标相等．
(3)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同．
2．符号(x，y)的意义
符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y).
知识点四 平面向量的坐标运算
(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么
a＋b＝______________，
a－b＝______________，
λa＝(λx1，λy1).
(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝______________．
即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的________的坐标减去________的坐标．
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(x2－x1，y2－y1)
终点
始点
基 础 自 测
1．数轴上两点，A的坐标为1，B的坐标为－2，的坐标为( )
A．3 B．(3，0)
C．－3 D．(－3，0)
答案：C
解析：A的坐标为1，B的坐标为－2，则的坐标为－3.
2．已知M(2，3)，N(3，1)，则的坐标是( )
A．(2，－1) B．(－1，2)
C．(－2，1) D．(1，－2)
答案：B
解析：＝(2－3，3－1)＝(－1，2)．
3．已知数轴上的一个单位向量e，向量a＝－e，b＝e，则下列式子正确的是( )
A．b＝a B．b＝－a
C．b＝2a D．b＝－2a
答案：B
解析：由题意，向量a＝－e，b＝e，所以a＝－2b，即b＝－a.
4．若向量＝(2，3)，＝(4，7)，则＝__________．
(－2，－4)
解析：＝＝＝(2，3)－(4，7)＝(－2，－4)．
课堂探究·素养提升
题型1 直线上向量的运算与坐标表示[经典例题]
例1 (1)若e是直线l上的一个单位向量，向量a＝e，b＝－e是这条直线上的向量，则|a＋2b|＝________．
【解析】 由题意，向量a，b的坐标分别为，－，
所以a＋2b的坐标为＋2×(－)＝－，
故|a＋2b|＝.
(2)已知A，B是数轴上的点，B(－2)，且的坐标为4，求：
①点A的坐标．
②线段BA的中点C的坐标．
【解析】 ①由题意知，的坐标为－2，
又＝，且的坐标为4，
所以的坐标为－6，即A(－6)．
②由①知，A(－6)，B(－2)，
所以中点C的坐标为＝－4，
即C(－4)．
状元随笔 利用数轴上两点之间的关系与中点坐标公式求解．
方法归纳
数轴上A点坐标为x1，B点坐标为x2
(1)坐标x2－x1，||＝|x2－x1|
(2)线段AB的中点坐标为
跟踪训练1 (1)数轴上向量a的坐标为－2，b的坐标为3，则a＋2b的坐标为( )
A．－1 B．－8
C．4 D．1
答案：C
解析：∵b的坐标为3，∴2b的坐标为6，
∴a＋2b的坐标为－2＋6＝4.
(2)已知直线上向量a，b的坐标分别为3，－4，求下列向量的坐标．
①2a＋b.
②5a－b.
解析：①2a＋b的坐标为2×3＋(－4)＝2.
②5a－b的坐标为5×3－×(－4)＝17.
(3)已知数轴上两点A，B的坐标分别为x1，x2，根据下列条件，分别求点A的坐标x1.
①x2＝－5，的坐标为－3；
②x2＝－1，||＝2.
解析：由题意，数轴上两点A，B的坐标分别为x1，x2，
①由向量的坐标为x1－(－5)＝－3，
所以x1＝－8.
②由||＝|－1－x1|＝2，
解得x1＝1或x1＝－3.
题型2 求向量的坐标[经典例题]
例2 如图，分别用基底{i，j}表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标．
结合坐标系，写出、、、的坐标．
【解析】 如题图可知，a＝＝2i＋3j，
所以a＝(2，3)．
同理，
b＝－2i＋3j＝(－2，3)，
c＝－2i－3j＝(－2，－3)，
d＝2i－3j＝(2，－3)．
方法归纳
求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．
(2)求一个向量时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．
跟踪训练2 在直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，分别求出它们的坐标．
由于向量，的起点在坐标原点，因此只需求出终点A，B的坐标．
解析：设点A(x，y)，B(x0，y0)，
∵|a|＝2，且∠AOx＝45°，
∴x＝2cos 45°＝，且y＝2sin 45°＝.又|b|＝3，∠xOB＝90°＋30°＝120°，
∴x0＝3cos 120°＝－，y0＝3sin 120°＝.故a＝＝()，b＝＝(－)．
题型3 平面向量的坐标运算[经典例题]
例3 (1)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A.(－7，－4) B．(7，4)
C．(－1，4) D．(1，4)
方法一先求C点坐标，再求.
方法二先求，再求.
【答案】 A
【解析】 方法一 设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.
方法二 ＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，
＝＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选A.
(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b，3a，2a＋3b的坐标．
【解析】 a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)，3a＝3(－1，2)＝(－3，6)，
2a＋3b＝2(－1，2)＋3(3，－5)＝(－2，4)＋(9，－15)＝(7，－11)．
方法归纳
平面向量坐标(线性)运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．
跟踪训练3 (1)已知A、B、C的坐标分别为(2，－4)、(0，6)、(－8，10)，则＋2＝____________，＝____________；
(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，3)，c＝(4，1)，若用a和b表示c，则c＝________．
(－18，18)
(－3，－3)
2a－b
解析：(1)∵A(2，－4)，B(0，6)，C(－8，10)，
∴＝(－2，10)，＝(－8，4)，＝(－10，14)，
∴＋2＝(－18，18)，＝(－3，－3)．
(2)设c＝xa＋yb，则(x，2x)＋(－2y，3y)＝(x－2y，2x＋3y)＝(4，1)．
故解得所以c＝2a－b.
状元随笔 (1)先求坐标，再计算 ＋2， －的值．
(2)设＝ ＋，建立方程组，求出x，y.
题型4 向量坐标运算的应用[经典例题]
例4 已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及＝＋t.
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
【解析】 ＝＋t＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t)．
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，
所以t＝－.
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，
所以t＝－.
若点P在第二象限，则
所以－＜t＜－.
(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【解析】 ＝(1，2)，＝(3－3t，3－3t)．
若四边形OABP为平行四边形，则＝，
所以该方程组无解．
故四边形OABP不能为平行四边形．
状元随笔 (1) ＝(1＋3t，2＋3t)，利用点在坐标轴及象限的特征求解．
(2)若四边形OABP为平行四边形，则有 ＝.
方法归纳
向量中含参数问题的求解策略
(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．
(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．
(3)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量，由此可建立相等关系求某些参数的值．
跟踪训练4 已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)．若＝＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时，
(1)点P在一、三象限的角平分线上；
(2)点P在第三象限内．
解析：设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，
＋λ＝[(5，4)－(2，3)]＋λ[(7，10)－(2，3)]
＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
因为＝＋λ，所以
则
(1)若P在一、三象限的角平分线上，
则5＋5λ＝4＋7λ，所以λ＝，
所以当λ＝时，点P在一、三象限的角平分线上．
(2)若P在第三象限内，则所以λ<－1，
所以当λ<－1时，点P在第三象限内．
