2.5 一元二次方程的根与系数的关系—北师大版数学九年级上册课堂同步练(含答案)

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北师大版数学九年级上册课堂同步练
第二章 一元二次方程
*2.5　一元二次方程的根与系数的关系
分类练
知识点一　利用根与系数的关系直接求两根之和或两根之积
1. 设方程x2－3x＋2＝0的两个根分别是x1，x2，则x1＋x2的值为( )
A.3 B.－ C. D.－2
2. 若x1，x2是一元二次方程2x2－4x－5＝0的两个根，则x1·x2的值为( )
A.－ B. C.－2 D.2
3. 已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根分别为x1＝3，x2＝4，则m＋n的值是　 　 .
知识点二　利用根与系数的关系求与两根相关的代数式的值
4. 若方程－x2－2x＋4＝0的两个实数根为α，β，则α2＋β2的值为( )
A.12 B.10 C.4 D.－4
5. 已知m，n是一元二次方程x2－3x－2＝0的两个根，则+＝　 　.
知识点三　利用根与系数的关系求方程的另一个根和待定字母的值
6. 若关于x的一元二次方程(k＋1)x2－3x－3k－2＝0有一个根为－1，则k的值和它的另一个根分别是　 　.
7. 已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－6，求a的值.
8. 已知关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)若1－是该方程的一个实数根，求k的值.
提升练
9. 若，β是关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0的两个实数根，且+＝－，则m的值为( )
A.－2 B.－3 C.2 D.3
10. 设，β是方程x2＋x＋2022＝0的两个实数根，则2＋2＋β的值为( )
A.－2022 B.2022 C.2023 D.－2023
11. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程－3x2＋6x＋k－1＝0的两个实数根，且x12＋x22－x1x2＝13，则k的值为　 　.
12. 等腰三角形的一边长是4，另外两边的长是关于x的方程x2－6x＋m＝0的两个根，则m的值是　 　.
13. 已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求实数k的取值范围；
(2)若x1，x2满足x12＋x22＝16＋x1x2，求实数k的值.
拓展练
14. 已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋3m2＝0.
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值.
参 考 答 案
1.A
2.A
3.5
4.A
5.－
6.1，
7.解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，∴m＋n＝3，mn＝a. ∵(m－1)(n－1)＝mn－(m＋n)＋1＝－6，∴a－3＋1＝－6，解得a＝－4，即a的值为－4.
8.解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即(－2)2－4(－k)＞0，解得k＞－1.
(2)∵1－是该方程的一个实数根，设另一个根为x2，可得(1－）+x2＝2，（1﹣）·x2＝－k，∴x2＝1＋，k＝1.
9.B
10.D
11.10
12.8或9
13.解：(1)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，∴Δ＝(2k－1)2－4(k2－1)＝－4k＋5≥0，解得k≤，∴实数k的取值范围为k≤.
(2)由题意得x1＋x2＝1－2k，x1x2＝k2－1. ∵x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16＋x1x2，∴(1－2k)2－2﹣(k2－1)＝16＋(k2－1)，即k2－4k－12＝0，解得k＝－2或k＝6(不符合题意，舍去)，∴实数k的值为－2.
14.解：(1)∵a＝1，b＝－4m，c＝3m2，∴Δ＝b2－4ac＝(－4m)2－4﹣1﹣3m2＝4m2. ∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，∴原方程总有两个实数根.
(2)∵x2－4mx＋3m2＝0，即(x－m)(x－3m)＝0，∴x1＝m，x2＝3m. ∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，∴3m－m＝2，解得m＝1.
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