人教B版（2019）选择性必修第一册 1.1.2 空间向量基本定理 同步练习（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）选择性必修第一册 1.1.2 空间向量基本定理 同步练习（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 125.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-02 11:11:53 | ||
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文档简介
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量基本定理
基础过关练
题组一 共线向量基本定理
1.(2020陕西汉中模考)设空间非零向量e1,e2不共线,若ke1+e2与e1+ke2共线,则实数k的值为 .
2.设e1,e2是空间中两个不共线的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,且A,B,D三点共线,则实数k的值为 .
题组二 共面向量定理
3.(2021安徽池州期末)已知空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若=m+n+p(m,n,p∈R),则“A,B,C,D四点共面”是“m=,n=,p=-1”的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(多选)若a,b,c不共面,则( )
A.b+c,b-c,a共面
B.b+c,b-c,2b共面
C.b+c,a,a+b+c共面
D.a+c,a-2c,c共面
5.(多选)下列命题错误的是( )
A.|a|-|b|<|a+b|是向量a,b不共线的充要条件
B.在空间四边形ABCD中,·+·+·=0
C.在棱长为1的正四面体A-BCD中,·=
D.已知O为平面ABC外一点,若=++,则P,A,B,C四点共面
6.(2022海南师范大学附属中学月考)已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外一点,若向量=++λ,且点P与A,B,C共面,则实数λ= .
7.(2020广东深圳外国语学校期中)已知A,B,C三点共线,如果对空间中任一点O,总存在三个不为0的实数λ,m,n,使得λ+m+n=0,那么λ+m+n的值为 .
题组三 对空间向量基本定理的理解
8.已知空间中四个点O,A,B,C,{,,}为空间向量的一组基底,则下列说法正确的是 ( )
A.O,A,B,C四点共线
B.O,A,B,C四点共面,但不共线
C.O,A,B,C四点不共面
D.||=||=||=1
9.(2020安徽六安一中期末)已知O,A,B,C为空间中不共面的四点,且向量a=++,向量b=+-,则不能与a,b共同构成空间向量的一组基底的向量是( )
A. B.
C. D.以上都不能
题组四 空间向量基本定理的应用
10.(2020广东深圳外国语学校期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E为PD的中点,若=a,=b,=c,则用基底{a,b,c}表示向量为( )
A.a-b+c B.a-b-c
C.a-b+c D.a-b+c
11.(2020湖北武汉华中师大附中段考)已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,将矩形ABCD沿对角线AC折起,使平面ABC与平面ACD垂直,则||=( )
A. B.
C. D.2
12.如图,在正四面体P-ABC中,M,N分别为PA,BC的中点,D是线段MN上一点,且ND=2DM,若=x+y+z(x,y,z∈R),则x+y+z的值为 .
13.(2021山东师范大学附属中学月考)如图,已知几何体ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,底面ABCD是正方形,AA1=3,AB=2,且∠C1CB=∠C1CD=60°,设=a,=b,=c.
(1)试用a,b,c表示 ;
(2)已知O为体对角线A1C的中点,求CO的长.
14.(2020江苏南京期末)在空间四边形OABC中,E是线段BC的中点,点G在线段AE上,且AG=2GE.
(1)试用{,,}表示向量;
(2)若OA=2,OB=3,OC=4,∠AOC=∠BOC=60°,求·的值.
能力提升练
题组一 共面向量定理的应用
1.(2021河南南阳期末)如图,正四面体A-BCD的棱长为1,△BCD的中心为O,过点O的平面α与棱AB,AC,AD所在的直线分别交于点P,Q,R(均不与点A重合),则++=( )
A. B.3
C. D.4
2.(2020江苏无锡实验中学质检)如图所示,若P为平行四边形ABCD所在平面外一点,H为PC上一点,且=,点G在AH上,且=m,若G,B,P,D四点共面,则m= .
题组二 空间向量基本定理的应用
3.(多选)(2021广东广州荔湾期末)在三棱锥O-ABC中,E,F分别是OA,BC的中点,P为线段EF上一点,且PF=2EP,设=a,=b,=c,则下列等式成立的是( )
A.=b+c
B.=-a+b+c
C.=-a+b+c
D.=a+b+c
4.(2020安徽芜湖期末)在棱长为2的正四面体A-BCD中,点M满足=x+y-(x+y-1),点N满足=λ+(1-λ),当AM,BN均最短时,·=( )
A.- B. C.- D.
5.(2020福建厦门模拟)已知P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1内部一动点,且||=2,当·的值最小时,与的夹角为 .
6.(2020湖北武汉期末)如图,在三棱锥P-ABC中,G为△ABC的重心,点M在PG上,且PM=3MG,过点M任意作一个平面分别交棱PA,PB,PC于三点D,E,F,若=m,=n,=t,求证:++为定值.
答案与分层梯度式解析
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量基本定理
基础过关练
1.答案 ±1
解析 ∵ke1+e2与e1+ke2共线,∴ke1+e2=t(e1+ke2)(t∈R),则(k-t)e1+(1-tk)e2=0.∵非零向量e1,e2不共线,∴k-t=0,1-kt=0,∴k=±1.
2.答案 -8
解析 由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2.∵A,B,D三点共线,∴与共线,即存在λ∈R,使得=λ,
∴2e1+ke2=λ(e1-4e2)=λe1-4λe2.
∵e1,e2不共线,∴∴k=-8.
3.A 若A,B,C,D四点共面,则m+n+p=1.当m=,n=,p=-1时,满足m+n+p=1,即必要性成立;当m+n+p=1时,不一定有m=,n=,p=-1,即充分性不成立,所以“A,B,C,D四点共面”是“m=,n=,p=-1”的必要不充分条件.
4.BCD ∵2b=(b+c)+(b-c),∴b+c,b-c,2b共面.
∵a+b+c=(b+c)+a,∴b+c,a,a+b+c共面.
∵a+c=(a-2c)+3c,∴a+c,a-2c,c共面.
故选BCD.
5.ACD 当非零向量a,b同向时,|a|-|b|<|a+b|成立,故A中命题错误;
在空间四边形ABCD中,·+·+·=(+)·-·-·=·(-)+·(-)=·+·=0,故B中命题正确;
在棱长为1的正四面体A-BCD中,·=1×1×cos 120°=-,故C中命题错误;
由共面向量定理可知,若P,A,B,C四点共面,则需满足=x+y+z,且x+y+z=1,因为++1=2≠1,所以P,A,B,C四点不共面,故D中命题错误.故选ACD.
6.答案
解析 由共面向量定理得++λ=1,∴λ=.
7.答案 0
解析 ∵A,B,C三点共线,∴存在唯一的实数k,使得=k,即-=k(-),∴(k-1)+-k=0,又λ+m+n=0,∴λ=k-1,m=1,n=-k,∴λ+m+n=0.
8.C ∵{,,}为空间向量的一组基底,
∴,,三个向量不共面,即O,A,B,C四点不共面.,,不一定为单位向量.故选C.
9.C ∵=(++)-(+-)=(a-b),∴与a,b共面,∴不能与a,b共同构成空间向量的一组基底.易知,均能与a,b共同构成空间向量的一组基底.故选C.
10.C 连接BD,∵E为PD的中点,∴=(+)=(-b++)=-b+(-+-)=-b+(a+c-2b)=a-b+c.故选C.
11.A 如图,过点B,D分别向AC作垂线,垂足分别为M,N,则AM=,BM=,CN=,DN=,MN=1.
易知BM⊥DN,所以·=0.
因为=++,所以||2=(++)2=||2+||2+||2+2(·+·+·)=+12++2×(0+0+0)=,所以||=.故选A.
12.答案
解析 =+=+=+ (-)=+=++,所以x=,y=z=,所以x+y+z=.
13.解析 (1)=++=-+-=---=-c-b-a.
(2)由题意知,|a|=2,|b|=2,|c|=3,
a·b=0,a·c=2×3×=3,b·c=2×3×=3,
∵==(a+b+c),
∴||==
==.
14.解析 (1)∵=2,∴-=2(-),∴3=2+.
又2=+,∴=++.
(2)∵=++,=-,∠AOC=∠BOC=60°,
∴·=·(-)=-++·-·=-×22+×32+×3×4×cos 60°-×2×4×cos 60°=,即·的值为.
能力提升练
1.B ∵O为△BCD的中心,∴=(++),设||=x,||=y,||=z,
则=++.
∵O,P,Q,R四点共面,∴++=1,即++=3,则++=3.
2.答案
解析 连接BD,BG.∵=-,=,∴==-.∵=+,∴=+-=-++.∵=,∴=,∴=(-++)=-++.又∵=-,∴=-++.∵=m,∴=m·=-++.∵=-+=-+,∴=++.又∵G,B,P,D四点共面,∴1-=0,解得m=.
方法点睛 证明点共面问题可转化为证明向量共面问题,如要证明P,A,B,C四点共面,只要能证明=x+y或对于空间中任意一点O,有=+x+y或=x+y+z(x+y+z=1)即可.
3.ABD 因为F为BC的中点,所以=+=b+c,故A正确;
==(-)=-×=-×a=-a+b+c,故B正确;
=-2=-2=a-b-c,故C错误;
=+=+=a+=a+b+c,故D正确.
4.A 由共面向量定理和共线向量基本定理可知,M∈平面BCD,N∈直线AC,当AM,BN均最短时,AM⊥平面BCD,BN⊥AC,此时M为△BCD的中心,N为AC的中点,连接MC,则||=×2sin 60°=.∵AM⊥平面BCD,MC 平面BCD,∴AM⊥MC,∴||===.
又=(+),∴·=(·+·)=-=-.故选A.
5.答案 90°
解析 由题意,取C1D1的中点M,则·=(+)·(+)=(+)·(-)=-=-1.因为||=2,所以点P在以A为球心,2为半径,且位于正方体ABCD-A1B1C1D1内部的球面上(包括球面与正方体的公共点),所以=||-2=3-2=1,此时·的值最小.因为||min=||,所以PD1⊥PC1,所以当·的值最小时,与的夹角为90°.
6.证明 连接AG并延长,交BC于点H,由题意,可令{,,}作为空间向量的一组基底,==(+)=+×=+×=+(-)+(-)=++.连接DM.因为点D,E,F,M共面,所以存在唯一的实数对(λ,μ),使=λ+μ,即-=λ(-)+μ(-),所以=(1-λ-μ)+λ+μ=(1-λ-μ)m+λn+μt.
由空间向量基本定理,知=(1-λ-μ)m,=λn,=μt,所以++=4(1-λ-μ)+4λ+4μ=4,为定值.
1.1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量基本定理
基础过关练
题组一 共线向量基本定理
1.(2020陕西汉中模考)设空间非零向量e1,e2不共线,若ke1+e2与e1+ke2共线,则实数k的值为 .
2.设e1,e2是空间中两个不共线的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,且A,B,D三点共线,则实数k的值为 .
题组二 共面向量定理
3.(2021安徽池州期末)已知空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若=m+n+p(m,n,p∈R),则“A,B,C,D四点共面”是“m=,n=,p=-1”的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(多选)若a,b,c不共面,则( )
A.b+c,b-c,a共面
B.b+c,b-c,2b共面
C.b+c,a,a+b+c共面
D.a+c,a-2c,c共面
5.(多选)下列命题错误的是( )
A.|a|-|b|<|a+b|是向量a,b不共线的充要条件
B.在空间四边形ABCD中,·+·+·=0
C.在棱长为1的正四面体A-BCD中,·=
D.已知O为平面ABC外一点,若=++,则P,A,B,C四点共面
6.(2022海南师范大学附属中学月考)已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外一点,若向量=++λ,且点P与A,B,C共面,则实数λ= .
7.(2020广东深圳外国语学校期中)已知A,B,C三点共线,如果对空间中任一点O,总存在三个不为0的实数λ,m,n,使得λ+m+n=0,那么λ+m+n的值为 .
题组三 对空间向量基本定理的理解
8.已知空间中四个点O,A,B,C,{,,}为空间向量的一组基底,则下列说法正确的是 ( )
A.O,A,B,C四点共线
B.O,A,B,C四点共面,但不共线
C.O,A,B,C四点不共面
D.||=||=||=1
9.(2020安徽六安一中期末)已知O,A,B,C为空间中不共面的四点,且向量a=++,向量b=+-,则不能与a,b共同构成空间向量的一组基底的向量是( )
A. B.
C. D.以上都不能
题组四 空间向量基本定理的应用
10.(2020广东深圳外国语学校期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E为PD的中点,若=a,=b,=c,则用基底{a,b,c}表示向量为( )
A.a-b+c B.a-b-c
C.a-b+c D.a-b+c
11.(2020湖北武汉华中师大附中段考)已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,将矩形ABCD沿对角线AC折起,使平面ABC与平面ACD垂直,则||=( )
A. B.
C. D.2
12.如图,在正四面体P-ABC中,M,N分别为PA,BC的中点,D是线段MN上一点,且ND=2DM,若=x+y+z(x,y,z∈R),则x+y+z的值为 .
13.(2021山东师范大学附属中学月考)如图,已知几何体ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,底面ABCD是正方形,AA1=3,AB=2,且∠C1CB=∠C1CD=60°,设=a,=b,=c.
(1)试用a,b,c表示 ;
(2)已知O为体对角线A1C的中点,求CO的长.
14.(2020江苏南京期末)在空间四边形OABC中,E是线段BC的中点,点G在线段AE上,且AG=2GE.
(1)试用{,,}表示向量;
(2)若OA=2,OB=3,OC=4,∠AOC=∠BOC=60°,求·的值.
能力提升练
题组一 共面向量定理的应用
1.(2021河南南阳期末)如图,正四面体A-BCD的棱长为1,△BCD的中心为O,过点O的平面α与棱AB,AC,AD所在的直线分别交于点P,Q,R(均不与点A重合),则++=( )
A. B.3
C. D.4
2.(2020江苏无锡实验中学质检)如图所示,若P为平行四边形ABCD所在平面外一点,H为PC上一点,且=,点G在AH上,且=m,若G,B,P,D四点共面,则m= .
题组二 空间向量基本定理的应用
3.(多选)(2021广东广州荔湾期末)在三棱锥O-ABC中,E,F分别是OA,BC的中点,P为线段EF上一点,且PF=2EP,设=a,=b,=c,则下列等式成立的是( )
A.=b+c
B.=-a+b+c
C.=-a+b+c
D.=a+b+c
4.(2020安徽芜湖期末)在棱长为2的正四面体A-BCD中,点M满足=x+y-(x+y-1),点N满足=λ+(1-λ),当AM,BN均最短时,·=( )
A.- B. C.- D.
5.(2020福建厦门模拟)已知P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1内部一动点,且||=2,当·的值最小时,与的夹角为 .
6.(2020湖北武汉期末)如图,在三棱锥P-ABC中,G为△ABC的重心,点M在PG上,且PM=3MG,过点M任意作一个平面分别交棱PA,PB,PC于三点D,E,F,若=m,=n,=t,求证:++为定值.
答案与分层梯度式解析
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量基本定理
基础过关练
1.答案 ±1
解析 ∵ke1+e2与e1+ke2共线,∴ke1+e2=t(e1+ke2)(t∈R),则(k-t)e1+(1-tk)e2=0.∵非零向量e1,e2不共线,∴k-t=0,1-kt=0,∴k=±1.
2.答案 -8
解析 由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2.∵A,B,D三点共线,∴与共线,即存在λ∈R,使得=λ,
∴2e1+ke2=λ(e1-4e2)=λe1-4λe2.
∵e1,e2不共线,∴∴k=-8.
3.A 若A,B,C,D四点共面,则m+n+p=1.当m=,n=,p=-1时,满足m+n+p=1,即必要性成立;当m+n+p=1时,不一定有m=,n=,p=-1,即充分性不成立,所以“A,B,C,D四点共面”是“m=,n=,p=-1”的必要不充分条件.
4.BCD ∵2b=(b+c)+(b-c),∴b+c,b-c,2b共面.
∵a+b+c=(b+c)+a,∴b+c,a,a+b+c共面.
∵a+c=(a-2c)+3c,∴a+c,a-2c,c共面.
故选BCD.
5.ACD 当非零向量a,b同向时,|a|-|b|<|a+b|成立,故A中命题错误;
在空间四边形ABCD中,·+·+·=(+)·-·-·=·(-)+·(-)=·+·=0,故B中命题正确;
在棱长为1的正四面体A-BCD中,·=1×1×cos 120°=-,故C中命题错误;
由共面向量定理可知,若P,A,B,C四点共面,则需满足=x+y+z,且x+y+z=1,因为++1=2≠1,所以P,A,B,C四点不共面,故D中命题错误.故选ACD.
6.答案
解析 由共面向量定理得++λ=1,∴λ=.
7.答案 0
解析 ∵A,B,C三点共线,∴存在唯一的实数k,使得=k,即-=k(-),∴(k-1)+-k=0,又λ+m+n=0,∴λ=k-1,m=1,n=-k,∴λ+m+n=0.
8.C ∵{,,}为空间向量的一组基底,
∴,,三个向量不共面,即O,A,B,C四点不共面.,,不一定为单位向量.故选C.
9.C ∵=(++)-(+-)=(a-b),∴与a,b共面,∴不能与a,b共同构成空间向量的一组基底.易知,均能与a,b共同构成空间向量的一组基底.故选C.
10.C 连接BD,∵E为PD的中点,∴=(+)=(-b++)=-b+(-+-)=-b+(a+c-2b)=a-b+c.故选C.
11.A 如图,过点B,D分别向AC作垂线,垂足分别为M,N,则AM=,BM=,CN=,DN=,MN=1.
易知BM⊥DN,所以·=0.
因为=++,所以||2=(++)2=||2+||2+||2+2(·+·+·)=+12++2×(0+0+0)=,所以||=.故选A.
12.答案
解析 =+=+=+ (-)=+=++,所以x=,y=z=,所以x+y+z=.
13.解析 (1)=++=-+-=---=-c-b-a.
(2)由题意知,|a|=2,|b|=2,|c|=3,
a·b=0,a·c=2×3×=3,b·c=2×3×=3,
∵==(a+b+c),
∴||==
==.
14.解析 (1)∵=2,∴-=2(-),∴3=2+.
又2=+,∴=++.
(2)∵=++,=-,∠AOC=∠BOC=60°,
∴·=·(-)=-++·-·=-×22+×32+×3×4×cos 60°-×2×4×cos 60°=,即·的值为.
能力提升练
1.B ∵O为△BCD的中心,∴=(++),设||=x,||=y,||=z,
则=++.
∵O,P,Q,R四点共面,∴++=1,即++=3,则++=3.
2.答案
解析 连接BD,BG.∵=-,=,∴==-.∵=+,∴=+-=-++.∵=,∴=,∴=(-++)=-++.又∵=-,∴=-++.∵=m,∴=m·=-++.∵=-+=-+,∴=++.又∵G,B,P,D四点共面,∴1-=0,解得m=.
方法点睛 证明点共面问题可转化为证明向量共面问题,如要证明P,A,B,C四点共面,只要能证明=x+y或对于空间中任意一点O,有=+x+y或=x+y+z(x+y+z=1)即可.
3.ABD 因为F为BC的中点,所以=+=b+c,故A正确;
==(-)=-×=-×a=-a+b+c,故B正确;
=-2=-2=a-b-c,故C错误;
=+=+=a+=a+b+c,故D正确.
4.A 由共面向量定理和共线向量基本定理可知,M∈平面BCD,N∈直线AC,当AM,BN均最短时,AM⊥平面BCD,BN⊥AC,此时M为△BCD的中心,N为AC的中点,连接MC,则||=×2sin 60°=.∵AM⊥平面BCD,MC 平面BCD,∴AM⊥MC,∴||===.
又=(+),∴·=(·+·)=-=-.故选A.
5.答案 90°
解析 由题意,取C1D1的中点M,则·=(+)·(+)=(+)·(-)=-=-1.因为||=2,所以点P在以A为球心,2为半径,且位于正方体ABCD-A1B1C1D1内部的球面上(包括球面与正方体的公共点),所以=||-2=3-2=1,此时·的值最小.因为||min=||,所以PD1⊥PC1,所以当·的值最小时,与的夹角为90°.
6.证明 连接AG并延长,交BC于点H,由题意,可令{,,}作为空间向量的一组基底,==(+)=+×=+×=+(-)+(-)=++.连接DM.因为点D,E,F,M共面,所以存在唯一的实数对(λ,μ),使=λ+μ,即-=λ(-)+μ(-),所以=(1-λ-μ)+λ+μ=(1-λ-μ)m+λn+μt.
由空间向量基本定理,知=(1-λ-μ)m,=λn,=μt,所以++=4(1-λ-μ)+4λ+4μ=4,为定值.