人教B版（2019）选择性必修第一册 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 同步练习（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）选择性必修第一册 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 同步练习（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 146.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-02 11:13:44 | ||
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文档简介
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
基础过关练
题组一 空间中向量的坐标及线性运算与坐标的关系
1.已知{e1,e2,e3}是单位正交基底,下列说法正确的是( )
A.若p=2e1-e2+3e3,则p=(2,1,3)
B.若q=-e1+2e2,则q=(-1,2)
C.若r=e1+3e2-e3,则r=(1,3,-1)
D.若s=-3e2,则s=(0,0,-3)
2.(2020陕西西安中学期末)已知{a,b,c}是空间向量的一组基底,{a+b,a-b,c}是空间向量的另外一组基底,若一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为( )
A. B.
C. D.
3.已知{i,j,k}为单位正交基底,且a=-i+j+3k,b=2i-3j-2k,则向量a-2b的坐标是 .
4.已知空间向量a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(λ,5,5),若a,b,c共面,则实数λ= .
题组二 空间向量数量积的坐标表示及其应用
5.(2020辽宁丹东检测)已知a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),且a·b=2,则实数x的值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
6.若a=(x,2,0),b=(3,2-x,x2),且a与b的夹角为钝角,则实数x的取值范围是( )
A.x>4 B.x<-4
C.07.(2021江苏连云港赣榆高级中学期末)已知空间中三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),向量a=(m,-1,n),且向量a分别与向量,垂直,则|a|=( )
A.4 B.2 C.2 D.
8.(2021浙江镇海中学期末 )已知空间中三点A(-2,0,8),P(m,m,m),B(4,-4,6),若向量与的夹角为60°,则实数m=( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
9.(2020北京十二中期中)已知点A(0,1,2),B(1,-1,3),C(1,5,-1).
(1)若D为线段BC的中点,求线段AD的长;
(2)若=(2,a,1),且·=1,求a的值,并求此时向量与夹角的余弦值.
题组三 空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
10.(2020甘肃兰州第一中学期末)下列与向量a=(1,-,1)共线的单位向量是( )
A. B.
C. D.
11.(2020安徽蚌埠模考)若在△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为( )
A. B.-
C.2 D.±
12.(2020重庆西南大学附中期末)已知在空间直角坐标系中,O为坐标原点,A(4,1,3),B(2,-5,1),若C为线段AB上一点且=,则点C的坐标为 ( )
A. B.
C. D.
13.(2021江苏南京宁海中学期末)已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.
(1)求a,b的夹角θ的余弦值;
(2)若向量ka+b,ka-2b互相垂直,求实数k的值;
(3)若向量λa-b,a-λb共线,求实数λ的值.
14.(2021山东临朐一中检测)已知a=(1,-2,4),b=(2,1,-3),c=(2,x,y).
(1)若a∥c,求x,y的值;
(2)是否存在x,y∈R,使得c⊥a且c⊥b 如果存在,求出c的坐标,如果不存在,请说明理由.
题组四 空间直角坐标系及其应用
15.如图,正方体OABC-O1A1B1C1的棱长为2,E是B1B上的点,且EB=2EB1,则点E的坐标为( )
A.(2,2,1) B.(2,2,2)
C. D.
16.在空间直角坐标系中,已知M(-1,0,2),N(3,2,-4),则线段MN的中点Q与坐标原点O间的距离为( )
A. B. C.2 D.3
17.关于空间直角坐标系中的点P(a,b,c)有下列叙述:
①点P(a,b,c)关于x轴的对称点P1的坐标是(a,-b,c);②点P(a,b,c)关于yOz平面的对称点P2的坐标是(a,-b,-c);③点P(a,b,c)关于y轴的对称点P3的坐标是(a,-b,c);④点P(a,b,c)关于坐标原点的对称点P4的坐标是(-a,-b,-c).其中叙述正确的是 .(填序号)
能力提升练
题组一 空间向量坐标的应用
1.(2020北京八中期末)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三个向量不能构成空间向量的一组基底,则实数λ的值为( )
A.0 B.5 C.9 D.
2.已知O为坐标原点,=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当·取得最小值时,点Q的坐标为( )
A. B.
C. D.
3.在空间直角坐标系中,O(0,0,0),E(2,0,0),F(0,2,0),B为EF的中点,C为空间中一点且满足||=||=3,若cos<,>=,则·=( )
A.9 B.7 C.5 D.3
4.(多选)(2020浙江丽水期末)在空间直角坐标系中,O为坐标原点,=(2a,2b,0),=(c-1,d,1),若a2+b2=1,c2+d2=4,则下列结论中正确的是( )
A.·的最小值为-6
B.·的最大值为10
C.||的最大值为
D.||的最小值为1
5.(2020陕西西安中学期末)已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则x+y= .
6.(2021江苏南京宁海中学期中)已知空间中三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)若点D在直线AC上,且⊥,求点D的坐标;
(2)求以BA,BC为邻边的平行四边形的面积.
题组二 空间直角坐标系的应用
7.(2020云南曲靖第一中学期末)三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中点,=λ(λ∈R),=3,若PN⊥BM,则λ=( )
A. B. C. D.
8.如图,正方形ABCD与正方形ADEF互相垂直,G是AF的中点,则( )
A.BE与CG异面且不互相垂直
B.BE与CG异面且互相垂直
C.BE与CG相交但不互相垂直
D.BE与CG相交且互相垂直
9.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,侧棱AA1⊥底面ABCD.已知AB=1,AA1=,E为线段AB上的一个动点,则|D1E|+|CE|的最小值为( )
A.2 B.
C.+1 D.2+
10.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=,AB=AC=AA1=1,G和E分别为A1B1和CC1的中点,D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点),若GD⊥EF,则线段DF的长度的取值范围为( )
A. B.
C. D.
11.(2020山西太原第五中学月考)如图,以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在线段AB上,点Q在线段DC上.
(1)当PB=2AP,且点P关于y轴的对称点为M时,求|PM|;
(2)当点P是AB的中点,点Q在DC上运动时,探究|PQ|的最小值.
12.(2021江苏常州期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,△APD是以AP为底的等腰直角三角形,AP=AB,E,F分别为AB,PC的中点,平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求证:BF∥平面PDE;
(2)在棱PB上是否存在一点G,使得EG⊥DE 并证明你的结论.
答案与分层梯度式解析
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
基础过关练
1.C 由空间向量的坐标的概念可知p=(2,-1,3),q=(-1,2,0),r=(1,3,-1),s=(0,-3,0).
2.B 设向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,
所以解得故p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为.
3.答案 (-5,7,7)
解析 由a=-i+j+3k,b=2i-3j-2k,得a-2b=(-i+j+3k)-2(2i-3j-2k)=(-i+j+3k)-(4i-6j-4k)=(-i-4i)+(j+6j)+(3k+4k)=-5i+7j+7k,则a-2b=(-5,7,7).
4.答案 4
解析 易知向量a,b不共线.
∵向量a,b,c共面,
∴存在唯一的实数对(x,y),使c=xa+yb,
即(λ,5,5)=x(2,-1,3)+y(-1,4,-2),
∴解得
5.C 因为a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),所以a·b=-3+2x-5=2,解得x=5.故选C.
6.B 由题意可知,a·b=3x+2(2-x)<0,解得x<-4,易知a,b不共线,故选B.
7.D 由题意得=(-2,-1,3),=(1,-3,2),
因为向量a分别与向量,垂直,
所以即解得
故a=(-1,-1,-1),
因此|a|==.故选D.
8.B ∵A(-2,0,8),P(m,m,m),B(4,-4,6),
∴=(-2-m,-m,8-m),=(4-m,-4-m,6-m),
由题意得cos 60°=
=,
∴m2-4m+4=0,∴m=2.
9.解析 (1)由题意得D(1,2,1),∴=(1,1,-1),∴||==,即线段AD的长为.
(2)易知=(1,-2,1),∴·=2-2a+1=1,解得a=1,∴=(2,1,1).
∴cos<,>===,
即向量与夹角的余弦值为.
10.C 因为|a|==2,
所以与向量a共线的单位向量是或.故选C.
11.D ∵在△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),∴=(-6,1,2k),=(-3,2,-k),⊥,∴·=(-6)×(-3)+1×2+2k×(-k)=-2k2+20=0,∴k=±.故选D.
解题指导 三角形中∠C=90°,意味着CB垂直于CA,应该考虑应用两垂直向量的数量积为0建立方程求参数的值.
12.C ∵C为线段AB上一点,且=,∴=,∴=+=+=(4,1,3)+(-2,-6,-2)=.故选C.
13.解析 (1)a==(1,1,0),b==(-1,0,2),
则cos θ===-.
(2)ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).
若向量ka+b,ka-2b互相垂直,
则(ka+b)·(ka-2b)=(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,∴2k2+k-10=0,
解得k=-或k=2.
(3)λa-b=(λ+1,λ,-2),a-λb=(1+λ,1,-2λ).
由向量λa-b,a-λb共线,
可设λa-b=μ(a-λb),μ∈R,
则解得λ=μ=±1.
14.解析 (1)由a∥c得==,解得x=-4,y=8.
(2)存在.因为c⊥a且c⊥b,所以
所以解得
即存在x=11,y=5,使得c⊥a且c⊥b,
此时c=(2,11,5).
15.D 由EB⊥xOy平面,B(2,2,0),可设E(2,2,z).因为EB=2EB1,所以BE=BB1=,则z=,故E.
16.A ∵M(-1,0,2),N(3,2,-4),∴线段MN的中点Q的坐标为(1,1,-1),∴点Q与坐标原点O间的距离|QO|==.故选A.
17.答案 ④
解析 点P(a,b,c)关于x轴的对称点P1的坐标是(a,-b,-c),故①错;点P(a,b,c)关于yOz平面的对称点P2的坐标是(-a,b,c),故②错;点P(a,b,c)关于y轴的对称点P3的坐标是(-a,b,-c),故③错;点P(a,b,c)关于坐标原点的对称点P4的坐标是(-a,-b,-c),故④正确.
能力提升练
1.D ∵a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),∴a与b不共线,又a,b,c三个向量不能构成空间向量的一组基底,∴a,b,c三个向量共面,∴存在唯一的实数对(x,y),使c=xa+yb,即∴λ=,故选D.
2.C ∵点Q在直线OP上运动,∴O,P,Q三点共线,∴存在唯一的实数λ使得=λ=(λ,λ,2λ),
∴=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),
∴·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)·(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6-,
当且仅当λ=时,上式取得最小值,
此时点Q的坐标为.故选C.
3.D 易得B(,,0),设C(x,y,z),则=(x,y,z),=(x-,y-,z),=(-2,2,0),
由cos<,>===,
整理可得x-y=-①.
由||=||=3,得=,化简得x+y=②.
联立①②,解得x=,y=,则·=·(0,2,0)=3.故选D.
4.ACD 根据题意可设a=cos θ,b=sin θ,c=2cos φ,d=2sin φ,θ,φ∈[-π,π],
则·=2a(c-1)+2bd=4cos(θ-φ)-2cos θ∈[-6,6],
当θ=0,φ=-π时,(·)min=-6;
当θ=π,φ=-π时,(·)max=6.
又||=
=
=
≤=,
当θ=0,φ=π时可以取得最大值,
进一步对上式变形,得||
=
≥
=.
令=t,t∈[1,3],
则||≥=≥1,
当t=2,即cos θ=-时取等号,
故||的最小值为1.故选ACD.
5.答案
解析 由题意可得⊥,⊥,⊥.
利用向量数量积的运算公式,可得解得
∴x+y=-=.
6.解析 (1)=(1,-3,2),由点D在直线AC上,可设=λ=λ(1,-3,2),λ∈R.
设O为坐标原点,则=+=(0,2,3)+λ(1,-3,2)=(λ,2-3λ,3+2λ),
=-=(λ,2-3λ,3+2λ)-(-2,1,6)=(λ+2,1-3λ,2λ-3),
故·=(1,-3,2)·(λ+2,1-3λ,2λ-3)=λ+2-3+9λ+4λ-6=14λ-7=0,∴λ=,∴=,∴D.
(2)∵=(2,1,-3),=(3,-2,-1),
∴||==,||==,
·=2×3+1×(-2)+(-3)×(-1)=7,
∴cos B=cos<,>===,∴sin B=,
故平行四边形的面积为××=7,
所以以BA,BC为邻边的平行四边形的面积为7.
7.C 如图,以AB,AC,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz,
则A(0,0,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),∴=(1,0,0),∴=(λ,0,0),则P(λ,0,1),又N,B(1,0,0),M,所以=,=,所以·=λ-+-=0,解得λ=.
故选C.
8.A 因为AD∥BC,AD∥EF,所以BC∥EF,所以BC与EF确定一个平面α,所以BE α.
因为C∈α,G α,所以BE与CG异面.
因为正方形ABCD与正方形ADEF互相垂直,平面ABCD∩平面ADEF=AD,DE 平面ADEF且DE⊥AD,所以DE⊥平面ABCD,又DC⊥AD,所以建立如图所示的空间直角坐标系,
设正方形的边长为1,则B(1,1,0),E(0,0,1),C(0,1,0),G,
所以=(-1,-1,1),=,
因为·=-1×1+(-1)×(-1)+1×=≠0,
所以与不垂直,即BE与CG不互相垂直.
9.B 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
则A(0,0,0),D1(0,1,),C(1,1,0).
∵E为线段AB上的一个动点,
∴设E(t,0,0)(0≤t≤1),
则|D1E|==,|CE|=,
故问题转化为求|D1E|+|CE|=+的最小值问题,即转化为求平面直角坐标系tOu中的一个动点P(t,0)到两定点M(0,-2),N(1,1)的距离之和的最小值的问题,如图所示.
由此可知,当M,P,N三点共线时,
==|MN|==,故选B.
10.A 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
则G,E,设D(0,y,0),F(x,0,0),其中x,y∈(0,1),则=,=,
∵GD⊥EF,∴·=0,即-x-y+=0,即x+2y=1,
又∵0又|DF|==
=,
∴当y=时,|DF|min==;当y=0时,|DF|=1;当y=时,|DF|=,故线段DF的长度的取值范围为.
11.解析 (1)由PB=2AP得P,
所以M,所以|PM|==.
(2)由题意得P.设点Q(a,1,a),a∈[0,1],则|PQ|===,所以当a=时,|PQ|取得最小值,此时点Q的坐标为.
12.解析 (1)证明:如图,取PD的中点M,连接FM,EM.
因为F是PC的中点,
所以MF∥CD且MF=CD,
在矩形ABCD中,E为AB的中点,
所以BE∥CD且BE=CD,
所以BE∥MF且BE=MF,
所以四边形BFME为平行四边形,
所以BF∥EM,
又BF 平面PDE,ME 平面PDE,
所以BF∥平面PDE.
(2)在棱PB上存在一点G,使得EG⊥DE,且G是棱PB的一个四等分点,满足BP=4BG.
证明如下:
因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,且PD⊥AD,PD 平面PAD,
所以PD⊥平面ABCD.
所以DA,DC,DP两两垂直,分别以DA,DC,DP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
设AD=DP=1,则AP=AB=,则D(0,0,0),P(0,0,1),B(1,,0),E,设存在实数λ∈[0,1],使得=λ=(λ,λ,-λ),
则G(λ,λ,1-λ),
所以=,=,
所以·=λ-1+×=2λ-=0,所以λ=,
所以G是棱PB的一个四等分点,且BP=4BG.
1.1 空间向量及其运算
1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
基础过关练
题组一 空间中向量的坐标及线性运算与坐标的关系
1.已知{e1,e2,e3}是单位正交基底,下列说法正确的是( )
A.若p=2e1-e2+3e3,则p=(2,1,3)
B.若q=-e1+2e2,则q=(-1,2)
C.若r=e1+3e2-e3,则r=(1,3,-1)
D.若s=-3e2,则s=(0,0,-3)
2.(2020陕西西安中学期末)已知{a,b,c}是空间向量的一组基底,{a+b,a-b,c}是空间向量的另外一组基底,若一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为( )
A. B.
C. D.
3.已知{i,j,k}为单位正交基底,且a=-i+j+3k,b=2i-3j-2k,则向量a-2b的坐标是 .
4.已知空间向量a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(λ,5,5),若a,b,c共面,则实数λ= .
题组二 空间向量数量积的坐标表示及其应用
5.(2020辽宁丹东检测)已知a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),且a·b=2,则实数x的值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
6.若a=(x,2,0),b=(3,2-x,x2),且a与b的夹角为钝角,则实数x的取值范围是( )
A.x>4 B.x<-4
C.0
A.4 B.2 C.2 D.
8.(2021浙江镇海中学期末 )已知空间中三点A(-2,0,8),P(m,m,m),B(4,-4,6),若向量与的夹角为60°,则实数m=( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
9.(2020北京十二中期中)已知点A(0,1,2),B(1,-1,3),C(1,5,-1).
(1)若D为线段BC的中点,求线段AD的长;
(2)若=(2,a,1),且·=1,求a的值,并求此时向量与夹角的余弦值.
题组三 空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
10.(2020甘肃兰州第一中学期末)下列与向量a=(1,-,1)共线的单位向量是( )
A. B.
C. D.
11.(2020安徽蚌埠模考)若在△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为( )
A. B.-
C.2 D.±
12.(2020重庆西南大学附中期末)已知在空间直角坐标系中,O为坐标原点,A(4,1,3),B(2,-5,1),若C为线段AB上一点且=,则点C的坐标为 ( )
A. B.
C. D.
13.(2021江苏南京宁海中学期末)已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.
(1)求a,b的夹角θ的余弦值;
(2)若向量ka+b,ka-2b互相垂直,求实数k的值;
(3)若向量λa-b,a-λb共线,求实数λ的值.
14.(2021山东临朐一中检测)已知a=(1,-2,4),b=(2,1,-3),c=(2,x,y).
(1)若a∥c,求x,y的值;
(2)是否存在x,y∈R,使得c⊥a且c⊥b 如果存在,求出c的坐标,如果不存在,请说明理由.
题组四 空间直角坐标系及其应用
15.如图,正方体OABC-O1A1B1C1的棱长为2,E是B1B上的点,且EB=2EB1,则点E的坐标为( )
A.(2,2,1) B.(2,2,2)
C. D.
16.在空间直角坐标系中,已知M(-1,0,2),N(3,2,-4),则线段MN的中点Q与坐标原点O间的距离为( )
A. B. C.2 D.3
17.关于空间直角坐标系中的点P(a,b,c)有下列叙述:
①点P(a,b,c)关于x轴的对称点P1的坐标是(a,-b,c);②点P(a,b,c)关于yOz平面的对称点P2的坐标是(a,-b,-c);③点P(a,b,c)关于y轴的对称点P3的坐标是(a,-b,c);④点P(a,b,c)关于坐标原点的对称点P4的坐标是(-a,-b,-c).其中叙述正确的是 .(填序号)
能力提升练
题组一 空间向量坐标的应用
1.(2020北京八中期末)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三个向量不能构成空间向量的一组基底,则实数λ的值为( )
A.0 B.5 C.9 D.
2.已知O为坐标原点,=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当·取得最小值时,点Q的坐标为( )
A. B.
C. D.
3.在空间直角坐标系中,O(0,0,0),E(2,0,0),F(0,2,0),B为EF的中点,C为空间中一点且满足||=||=3,若cos<,>=,则·=( )
A.9 B.7 C.5 D.3
4.(多选)(2020浙江丽水期末)在空间直角坐标系中,O为坐标原点,=(2a,2b,0),=(c-1,d,1),若a2+b2=1,c2+d2=4,则下列结论中正确的是( )
A.·的最小值为-6
B.·的最大值为10
C.||的最大值为
D.||的最小值为1
5.(2020陕西西安中学期末)已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则x+y= .
6.(2021江苏南京宁海中学期中)已知空间中三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)若点D在直线AC上,且⊥,求点D的坐标;
(2)求以BA,BC为邻边的平行四边形的面积.
题组二 空间直角坐标系的应用
7.(2020云南曲靖第一中学期末)三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中点,=λ(λ∈R),=3,若PN⊥BM,则λ=( )
A. B. C. D.
8.如图,正方形ABCD与正方形ADEF互相垂直,G是AF的中点,则( )
A.BE与CG异面且不互相垂直
B.BE与CG异面且互相垂直
C.BE与CG相交但不互相垂直
D.BE与CG相交且互相垂直
9.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,侧棱AA1⊥底面ABCD.已知AB=1,AA1=,E为线段AB上的一个动点,则|D1E|+|CE|的最小值为( )
A.2 B.
C.+1 D.2+
10.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=,AB=AC=AA1=1,G和E分别为A1B1和CC1的中点,D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点),若GD⊥EF,则线段DF的长度的取值范围为( )
A. B.
C. D.
11.(2020山西太原第五中学月考)如图,以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在线段AB上,点Q在线段DC上.
(1)当PB=2AP,且点P关于y轴的对称点为M时,求|PM|;
(2)当点P是AB的中点,点Q在DC上运动时,探究|PQ|的最小值.
12.(2021江苏常州期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,△APD是以AP为底的等腰直角三角形,AP=AB,E,F分别为AB,PC的中点,平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求证:BF∥平面PDE;
(2)在棱PB上是否存在一点G,使得EG⊥DE 并证明你的结论.
答案与分层梯度式解析
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
基础过关练
1.C 由空间向量的坐标的概念可知p=(2,-1,3),q=(-1,2,0),r=(1,3,-1),s=(0,-3,0).
2.B 设向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,
所以解得故p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为.
3.答案 (-5,7,7)
解析 由a=-i+j+3k,b=2i-3j-2k,得a-2b=(-i+j+3k)-2(2i-3j-2k)=(-i+j+3k)-(4i-6j-4k)=(-i-4i)+(j+6j)+(3k+4k)=-5i+7j+7k,则a-2b=(-5,7,7).
4.答案 4
解析 易知向量a,b不共线.
∵向量a,b,c共面,
∴存在唯一的实数对(x,y),使c=xa+yb,
即(λ,5,5)=x(2,-1,3)+y(-1,4,-2),
∴解得
5.C 因为a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),所以a·b=-3+2x-5=2,解得x=5.故选C.
6.B 由题意可知,a·b=3x+2(2-x)<0,解得x<-4,易知a,b不共线,故选B.
7.D 由题意得=(-2,-1,3),=(1,-3,2),
因为向量a分别与向量,垂直,
所以即解得
故a=(-1,-1,-1),
因此|a|==.故选D.
8.B ∵A(-2,0,8),P(m,m,m),B(4,-4,6),
∴=(-2-m,-m,8-m),=(4-m,-4-m,6-m),
由题意得cos 60°=
=,
∴m2-4m+4=0,∴m=2.
9.解析 (1)由题意得D(1,2,1),∴=(1,1,-1),∴||==,即线段AD的长为.
(2)易知=(1,-2,1),∴·=2-2a+1=1,解得a=1,∴=(2,1,1).
∴cos<,>===,
即向量与夹角的余弦值为.
10.C 因为|a|==2,
所以与向量a共线的单位向量是或.故选C.
11.D ∵在△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),∴=(-6,1,2k),=(-3,2,-k),⊥,∴·=(-6)×(-3)+1×2+2k×(-k)=-2k2+20=0,∴k=±.故选D.
解题指导 三角形中∠C=90°,意味着CB垂直于CA,应该考虑应用两垂直向量的数量积为0建立方程求参数的值.
12.C ∵C为线段AB上一点,且=,∴=,∴=+=+=(4,1,3)+(-2,-6,-2)=.故选C.
13.解析 (1)a==(1,1,0),b==(-1,0,2),
则cos θ===-.
(2)ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).
若向量ka+b,ka-2b互相垂直,
则(ka+b)·(ka-2b)=(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,∴2k2+k-10=0,
解得k=-或k=2.
(3)λa-b=(λ+1,λ,-2),a-λb=(1+λ,1,-2λ).
由向量λa-b,a-λb共线,
可设λa-b=μ(a-λb),μ∈R,
则解得λ=μ=±1.
14.解析 (1)由a∥c得==,解得x=-4,y=8.
(2)存在.因为c⊥a且c⊥b,所以
所以解得
即存在x=11,y=5,使得c⊥a且c⊥b,
此时c=(2,11,5).
15.D 由EB⊥xOy平面,B(2,2,0),可设E(2,2,z).因为EB=2EB1,所以BE=BB1=,则z=,故E.
16.A ∵M(-1,0,2),N(3,2,-4),∴线段MN的中点Q的坐标为(1,1,-1),∴点Q与坐标原点O间的距离|QO|==.故选A.
17.答案 ④
解析 点P(a,b,c)关于x轴的对称点P1的坐标是(a,-b,-c),故①错;点P(a,b,c)关于yOz平面的对称点P2的坐标是(-a,b,c),故②错;点P(a,b,c)关于y轴的对称点P3的坐标是(-a,b,-c),故③错;点P(a,b,c)关于坐标原点的对称点P4的坐标是(-a,-b,-c),故④正确.
能力提升练
1.D ∵a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),∴a与b不共线,又a,b,c三个向量不能构成空间向量的一组基底,∴a,b,c三个向量共面,∴存在唯一的实数对(x,y),使c=xa+yb,即∴λ=,故选D.
2.C ∵点Q在直线OP上运动,∴O,P,Q三点共线,∴存在唯一的实数λ使得=λ=(λ,λ,2λ),
∴=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),
∴·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)·(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6-,
当且仅当λ=时,上式取得最小值,
此时点Q的坐标为.故选C.
3.D 易得B(,,0),设C(x,y,z),则=(x,y,z),=(x-,y-,z),=(-2,2,0),
由cos<,>===,
整理可得x-y=-①.
由||=||=3,得=,化简得x+y=②.
联立①②,解得x=,y=,则·=·(0,2,0)=3.故选D.
4.ACD 根据题意可设a=cos θ,b=sin θ,c=2cos φ,d=2sin φ,θ,φ∈[-π,π],
则·=2a(c-1)+2bd=4cos(θ-φ)-2cos θ∈[-6,6],
当θ=0,φ=-π时,(·)min=-6;
当θ=π,φ=-π时,(·)max=6.
又||=
=
=
≤=,
当θ=0,φ=π时可以取得最大值,
进一步对上式变形,得||
=
≥
=.
令=t,t∈[1,3],
则||≥=≥1,
当t=2,即cos θ=-时取等号,
故||的最小值为1.故选ACD.
5.答案
解析 由题意可得⊥,⊥,⊥.
利用向量数量积的运算公式,可得解得
∴x+y=-=.
6.解析 (1)=(1,-3,2),由点D在直线AC上,可设=λ=λ(1,-3,2),λ∈R.
设O为坐标原点,则=+=(0,2,3)+λ(1,-3,2)=(λ,2-3λ,3+2λ),
=-=(λ,2-3λ,3+2λ)-(-2,1,6)=(λ+2,1-3λ,2λ-3),
故·=(1,-3,2)·(λ+2,1-3λ,2λ-3)=λ+2-3+9λ+4λ-6=14λ-7=0,∴λ=,∴=,∴D.
(2)∵=(2,1,-3),=(3,-2,-1),
∴||==,||==,
·=2×3+1×(-2)+(-3)×(-1)=7,
∴cos B=cos<,>===,∴sin B=,
故平行四边形的面积为××=7,
所以以BA,BC为邻边的平行四边形的面积为7.
7.C 如图,以AB,AC,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz,
则A(0,0,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),∴=(1,0,0),∴=(λ,0,0),则P(λ,0,1),又N,B(1,0,0),M,所以=,=,所以·=λ-+-=0,解得λ=.
故选C.
8.A 因为AD∥BC,AD∥EF,所以BC∥EF,所以BC与EF确定一个平面α,所以BE α.
因为C∈α,G α,所以BE与CG异面.
因为正方形ABCD与正方形ADEF互相垂直,平面ABCD∩平面ADEF=AD,DE 平面ADEF且DE⊥AD,所以DE⊥平面ABCD,又DC⊥AD,所以建立如图所示的空间直角坐标系,
设正方形的边长为1,则B(1,1,0),E(0,0,1),C(0,1,0),G,
所以=(-1,-1,1),=,
因为·=-1×1+(-1)×(-1)+1×=≠0,
所以与不垂直,即BE与CG不互相垂直.
9.B 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
则A(0,0,0),D1(0,1,),C(1,1,0).
∵E为线段AB上的一个动点,
∴设E(t,0,0)(0≤t≤1),
则|D1E|==,|CE|=,
故问题转化为求|D1E|+|CE|=+的最小值问题,即转化为求平面直角坐标系tOu中的一个动点P(t,0)到两定点M(0,-2),N(1,1)的距离之和的最小值的问题,如图所示.
由此可知,当M,P,N三点共线时,
==|MN|==,故选B.
10.A 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
则G,E,设D(0,y,0),F(x,0,0),其中x,y∈(0,1),则=,=,
∵GD⊥EF,∴·=0,即-x-y+=0,即x+2y=1,
又∵0
=,
∴当y=时,|DF|min==;当y=0时,|DF|=1;当y=时,|DF|=,故线段DF的长度的取值范围为.
11.解析 (1)由PB=2AP得P,
所以M,所以|PM|==.
(2)由题意得P.设点Q(a,1,a),a∈[0,1],则|PQ|===,所以当a=时,|PQ|取得最小值,此时点Q的坐标为.
12.解析 (1)证明:如图,取PD的中点M,连接FM,EM.
因为F是PC的中点,
所以MF∥CD且MF=CD,
在矩形ABCD中,E为AB的中点,
所以BE∥CD且BE=CD,
所以BE∥MF且BE=MF,
所以四边形BFME为平行四边形,
所以BF∥EM,
又BF 平面PDE,ME 平面PDE,
所以BF∥平面PDE.
(2)在棱PB上存在一点G,使得EG⊥DE,且G是棱PB的一个四等分点,满足BP=4BG.
证明如下:
因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,且PD⊥AD,PD 平面PAD,
所以PD⊥平面ABCD.
所以DA,DC,DP两两垂直,分别以DA,DC,DP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
设AD=DP=1,则AP=AB=,则D(0,0,0),P(0,0,1),B(1,,0),E,设存在实数λ∈[0,1],使得=λ=(λ,λ,-λ),
则G(λ,λ,1-λ),
所以=,=,
所以·=λ-1+×=2λ-=0,所以λ=,
所以G是棱PB的一个四等分点,且BP=4BG.