人教B版（2019）选择性必修第一册 2.2.2 直线的方程 同步练习（Word含答案）

第二章　平面解析几何
2.2　直线及其方程
2.2.2　直线的方程
基础过关练
题组一　直线的点斜式与斜截式方程
1.(2021四川眉山期末)过点P(,-2)且倾斜角为135°的直线方程为(　　)
A.y=3x-4 B.y=x-
C.y=-x+ D.y=-x-
2.(2020浙江余姚中学期中)无论m为何值,直线mx-y+2m+1=0恒过定点(　　)
A. B.(-2,1)
C.(2,-1) D.
3.(2020天津第四十二中学月考)已知直线l1的方程是y=ax+b,l2的方程是y=bx-a(ab≠0,a≠b),则下列各图中,可能正确的是(　　)
4.(2021安徽芜湖期末)如果直线l上任意一点沿y轴向下平移1个单位长度,再沿x轴向右平移个单位长度后,仍在直线l上,那么直线l的倾斜角为(　　)
A. B. C. D.
5.(2022湖南长沙南雅中学期中)已知直线l的倾斜角等于直线y=x+1的倾斜角,且经过点(2,-3),则直线l的方程为　　　　.
6.(2022江西吉安一中开学考试)已知直线l经过点P(4,3),且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为　　　　　　　.
7.(2020广东东莞期末)已知△ABC的三个顶点都在第一象限,且A(1,1),B(5,1),∠A=45°,∠B=45°,求:
(1)AB边所在直线的方程;
(2)AC边和BC边所在直线的方程.
8.(2020江苏南京金陵中学检测)已知直线l:5ax-5y-a+3=0.
(1)求证:无论a为何值,直线l总经过第一象限;
(2)若直线l不经过第二象限,求a的取值范围.
题组二　直线的两点式与截距式方程
9.(2021甘肃兰州外国语高级中学期末)已知直线l在x轴上的截距为3,在y轴上的截距为-2,则l的方程为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
10.(2020北师大附中模考)已知直线l的两点式方程为=,则l的斜率为(　　)
A.- B. C.- D.
11.(2022安徽合肥六中期末)满足过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的条数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
12.(2020河北石家庄二中模考)过点P(1,3)的直线l与x轴,y轴分别交于A,B两点,若P为AB的中点,则直线l的截距式方程是　　　　　　　　.
题组三　直线的一般式方程
13.(2020北京天坛中学模拟)已知直线Ax+By+C=0的斜率为5,且A-2B+3C=0,则该直线的方程为(　　)
A.15x-3y-7=0 B.15x+3y-7=0
C.3x-15y-7=0 D.3x+15y-7=0
14.若方程mx+(m2-m)y+1=0表示的图形是一条直线,则实数m的取值范围是　　　　.
15.若直线l经过点(-3,5),且直线l的一个方向向量为(-2,1),则直线l的一般式方程为　　　　　　　　.
题组四　直线方程几种形式的相互转化
16.经过两点(3,9),(-1,1)的直线在x轴上的截距为(　　)
A.- B.- C. D.
17.(2022北京人大附中期中)直线xsin α+y+1=0(α∈R)的倾斜角的取值范围是(　　)
A. B.
C.∪ D.∪
18.若ac<0,bc<0,则直线ax+by+c=0可能是(　　)
19.(2022湖南怀化一中期中)下列有关直线l:x+my-1=0(m∈R)的说法中正确的是(　　)
A.直线l的斜率为-m
B.直线l的斜率为-
C.直线l过定点(0,1)
D.直线l过定点(1,0)
20.(2021山西晋中期末)在△ABC中,已知A(3,-2),B(5,4),且边AC的中点P在y轴上,边BC的中点Q在x轴上,求:
(1)顶点C的坐标;
(2)直线PQ的一般式方程.
能力提升练
题组　直线方程的应用
1.已知直线l过原点,且平分平行四边形ABCD的面积,若该平行四边形的两个顶点分别为B(1,4),D(5,0),则直线l的方程为(　　)
A.y=x B.y=2x+3
C.y=-x+5 D.y=x
2.(2021上海奉贤中学期末)如图,平面上过点P(1,2)的直线与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B.过点P分别作直线垂直于x轴,y轴,垂足分别为M,N,则满足S△PAM-S△PBN=2 020的直线条数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(2021黑龙江鹤岗一中月考)在同一平面直角坐标系中,两直线-=1与-=1可能是(　　)
4.(多选)(2020安徽合肥期中)已知直线l过点P(-1,1),且与直线l1:2x-y+3=0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,则下列结论中正确的是(　　)
A.直线l与直线l1的斜率互为相反数
B.直线l与直线l1的倾斜角互补
C.直线l在y轴上的截距为-1
D.这样的直线l有两条
5.已知A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(x,y),则xy的最大值是　　　　.
6.(2020湖南长沙一中期中)如图,为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一块矩形草坪,另外△AEF内部为一文物保护区域,不能占用,经过测量,AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,应该如何设计才能使草坪的面积最大
7.(2020河北石家庄期中)在平面直角坐标系中,矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次排列,且点O,P,Q的坐标分别是O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),其中t>0.
(1)求顶点R的坐标;
(2)求矩形OPQR在第一象限部分的面积S(t).
答案与分层梯度式解析
第二章　平面解析几何
2.2.2　直线的方程
基础过关练
1.D　因为直线的倾斜角为135°,所以直线的斜率k=tan 135°=-1,所以过点P(,-2)的直线方程为y+2=-(x-),即y=-x-.
2.B　直线方程可变形为m(x+2)-(y-1)=0,即y-1=m(x+2),所以直线恒过定点(-2,1).
3.D　可先由一条直线确定a,b的符号,然后验证a,b的符号是否匹配另一条直线.如D项中,由l1可知a<0,b>0,对应l2也符合,可验证其他选项中a,b对应的符号都不能匹配,故选D.
4.C　易知直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),倾斜角为α,
则平移后的直线方程为y=k(x-)+b-1,即y=kx-k+b-1,
因为两直线重合,所以-k+b-1=b,解得k=-,
则tan α=-,又α∈[0,π),所以α=.
5.答案　y=x-
解析　易得直线l的斜率与直线y=x+1的斜率相等,均为,又直线l经过点(2,-3),则直线l的方程为y+3=(x-2),即y=x-.
6.答案　y=x或y=-x+7
解析　当直线l经过原点时,斜率为=,则直线l的方程为y=x;
当直线l不经过原点时,设直线l的方程为y=-x+b,
把(4,3)代入,得3=-4+b,解得b=7,此时直线l的方程为y=-x+7.
综上可知,直线l的方程为y=x或y=-x+7.
7.解析　(1)因为A(1,1),B(5,1),所以直线AB平行于x轴,所以直线AB的方程为y=1.
(2)由题意知,直线AC的倾斜角为∠A,又∠A=45°,所以kAC=tan 45°=1.
又直线AC过点A(1,1),所以直线AC的方程为y-1=1×(x-1),即y=x.
同理可知,直线BC的倾斜角为180°-∠B=135°,所以kBC=tan 135°=-1.
又直线BC过点B(5,1),所以直线BC的方程为y-1=-1×(x-5),即y=-x+6.
8.解析　(1)证明:证法一:直线方程可变形为y=ax+.
当a>0时,易知无论a取何值,直线l一定经过第一象限;
当a=0时,直线方程为y=,显然过第一象限;
当a<0时,>0,因此直线l过第一象限.
综上,无论a为何值,直线l总经过第一象限.
证法二:直线方程可变形为y-=a·,它表示经过点A,斜率为a的直线.
因为点A在第一象限,
所以无论a为何值,直线l总经过第一象限.
(2)由(1)中证法二可知,直线l过定点A.
如图,直线OA的斜率kOA==3.
因为直线l不经过第二象限,所以直线l的斜率k≥3,即a≥3.
9.C　
10.A　因为直线l的两点式方程为=,
所以直线l过点(-5,0),(3,-3),所以l的斜率为=-.故选A.
11.B　当直线过原点时,直线方程为y=x;当直线不过原点时,设直线方程为+=1(ab≠0),又因为截距相等,所以b=a,将(2,3)代入有+=1,解得a=5,此时直线方程为x+y-5=0.
综上,满足题意的直线有2条.故选B.
12.答案　+=1
解析　设点A(m,0),B(0,n),由点P(1,3)是AB的中点可得m=2,n=6,
即A,B的坐标分别为(2,0),(0,6),则直线l的方程为+=1.
13.A　因为直线的斜率存在,所以B≠0.由题意得所以所以该直线的方程为-5x+y+=0,即15x-3y-7=0.故选A.
14.答案　m≠0
解析　若方程mx+(m2-m)y+1=0表示直线,则m与m2-m不同时为0,故m≠0.
15.答案　x+2y-7=0
解析　由于直线l的一个方向向量是(-2,1),所以其斜率k=-,所以其方程为y-5=-(x+3),即x+2y-7=0.
16.A　经过两点(3,9),(-1,1)的直线的斜率为=2,
则该直线的方程为y=2(x-3)+9=2x+3,
令y=0,则x=-,即该直线在x轴上的截距为-.
17.D　将直线方程xsin α+y+1=0(α∈R)化为斜截式为y=-sin α·x-,故直线的斜率k=-sin α.∵sin α∈[-1,1],∴k∈,
∴直线的倾斜角的取值范围为∪.
故选D.
18.C　由题意知,直线方程可化为y=-x-.∵ac<0,bc<0,∴ab>0,∴-<0,->0,故直线的斜率小于0,在y轴上的截距大于0.故选C.
19.D　直线l:x+my-1=0可化为my=-(x-1).当m≠0时,直线l的方程可化为y=-(x-1),其斜率为-,过定点(1,0);当m=0时,直线l的方程为x=1,其斜率不存在,也过点(1,0).故选D.
20.解析　(1)设顶点C(x,y),∵边AC的中点P在y轴上,∴=0,解得x=-3.
∵边BC的中点Q在x轴上,∴=0,解得y=-4,故顶点C的坐标是(-3,-4).
(2)由(1)可得点Q的坐标是(1,0),点P的坐标是(0,-3),所以直线PQ的方程是x-=1,即3x-y-3=0.
能力提升练
1.D　由于直线l平分平行四边形ABCD的面积,因此其必过平行四边形对角线的交点,而B(1,4),D(5,0),所以对角线的交点为(3,2),又直线l过原点,所以其方程为y=x.
2.B　由题意可设直线AB的方程为y=k(x-1)+2(k<0),
令x=0,则y=2-k,令y=0,则x=,∴A,B(0,2-k),∴|AM|=-,|PM|=2,|BN|=-k.∵S△PAM-S△PBN=2 020,∴××2-×1×(-k)=2 020,即k2-4 040k-4=0,解得k=或k=(舍去),∴符合题意的直线的条数为1.
3.D　直线方程-=1可化为+=1,其在x轴上的截距为m,在y轴上的截距为-n;
直线方程-=1可化为+=1,其在x轴上的截距为n,在y轴上的截距为-m.
所以两直线中任一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距均互为相反数.
对于A,两直线中有一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距同为正数,不满足题意;
对于B,两直线中有一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距同为负数,不满足题意;
对于C,两直线中有一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距同为负数,不满足题意;
对于D,两直线中任一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距均异号,满足题意.故选D.
4.ABC　由于直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,所以l与l1的倾斜角互补,斜率互为相反数,故选项A,B均正确;易知直线l的方程为y-1=-2(x+1),因此其在y轴上的截距为-1,故C选项正确;易知这样的直线l只有一条,故D选项错误.
5.答案　3
解析　直线AB的方程为+=1,则x=3-y,则xy=3y-y2=-(y2-4y)=-(y-2)2+3≤3,当且仅当y=2时等号成立,此时x=,即当点P的坐标为时,xy取得最大值3.
6.解析　建立如图所示的平面直角坐标系,则E(30,0),F(0,20).
线段EF的方程为+=1(0≤x≤30).
在线段EF上取一点P(m,n),作PQ⊥BC于Q,PR⊥CD于R,则矩形PQCR即为要建的矩形草坪,
设矩形PQCR的面积是S,则S=|PQ|·|PR|=(100-m)(80-n).又因为+=1(0≤m≤30),
所以n=20,故S=(100-m)=-(m-5)2+(0≤m≤30),
当m=5时,S有最大值,此时==5,
即当点P为线段EF上靠近F点的六等分点时,可使草坪的面积最大.
7.解析　(1)设顶点R的坐标为(x,y).
由题意知kOP==t,kPQ==-.
易知OP∥QR,PQ∥OR,
所以t=,-=,
解得即点R的坐标为(-2t,2).
(2)易得S矩形OPQR=|OP|·|OR|=2(1+t2).
①如图1,当1-2t≥0,即0图1
②如图2,当1-2t<0,即t>时,设线段QP与y轴交于点N,易知直线QP的方程为y-t=-(x-1),则点N的坐标是,
所以S(t)=S△OPN=|ON|·xP=.
图2
综上,S(t)=