人教B版（2019）选择性必修第一册 2.2.3 两条直线的位置关系 同步练习（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）选择性必修第一册 2.2.3 两条直线的位置关系 同步练习（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 57.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-02 11:30:08 | ||
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文档简介
第二章 平面解析几何
2.2 直线及其方程
2.2.3 两条直线的位置关系
基础过关练
题组一 两条直线的相交、平行与重合
1.在下列说法中,正确的个数为( )
①若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行;②若两条直线平行,则这两条直线的斜率相等;③若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线相交;④若两条直线的斜率都不存在,则这两条直线平行.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2022山西晋中检测)直线l1:(a+1)x+ay+a=0与直线l2:(3-a)x+(3-2a)y+9=0平行,则a的值为( )
A.1或-3 B.-3 C.2 D.1
3.(2022湖南临澧一中期中)斜率为2,且过直线y=4-x和直线y=x+2交点的直线方程为( )
A.y=2x+1 B.y=2x-1
C.y=2x-2 D.y=2x+2
4.已知直线l1经过点A(m,1),B(-3,4),直线l2经过点C(1,m),D(-1,m+1),当直线l1与l2平行时,实数m的值为( )
A.3 B.-1 C.-3 D.1
5.已知直线l1:ax+2y+6=0,l2:x+(a-1)y+a2-1=0,求满足下列条件的a的取值范围.
(1)l1与l2相交;
(2)l1∥l2;
(3)l1与l2重合.
题组二 两条直线的垂直
6.已知直线4x+my-6=0与直线5x-(m-1)y+8=0互相垂直,则实数m的值为( )
A.-4或5 B.-4 C.5 D.4或-5
7.(2022陕西宝鸡金台检测)已知直线l1过点A(-2,m)和点B(m,4),直线l2:2x+y-1=0,直线l3:x+ny+1=0.若l1∥l2,l2⊥l3,则m+n的值为( )
A.-10 B.-2 C.0 D.8
8.(2022河南洛阳期末)已知点A(2,0)与B(0,4)关于直线ax+y+b=0对称,则a,b的值分别为( )
A.1,3 B.-,-
C.-2,0 D.,-
9.(2021上海青浦期末)已知两条直线l1:ax-2y-3=0,l2:4x+6y-3=0,若l1的一个法向量恰为l2的一个方向向量,则a= .
题组三 两条直线的位置关系的应用
10.已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为( )
A.(3,4) B.(1,3)
C.(3,1) D.(3,8)
11.已知直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根.若l1⊥l2,则m= ;若l1∥l2,则m= .
12.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2+2),B(0,2-2),C(4,2),则△ABC是 .(填△ABC的形状)
能力提升练
题组 两直线位置关系的应用
1.(2020安徽马鞍山二中月考)若直线l:y=kx-与直线x+y-3=0相交,且交点在第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2.设集合A=,B={(x,y)|4x+ay-16=0,x,y∈R},若A∩B= ,则实数a的值为( )
A.4 B.-2
C.4或-2 D.-4或2
3.(2022湖南邵东一中月考)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(4,0),B(0,2),且|AC|=|BC|,则△ABC的欧拉线方程为( )
A.x-2y+3=0 B.2x+y-3=0
C.x-2y-3=0 D.2x-y-3=0
4.(多选)(2022湖南石门六中月考)已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m的取值可能为( )
A.- B.-
C. D.2
5.(2020天津四中模考)直线l被两条直线l1:4x+y+3=0和l2:3x-5y-5=0截得的线段的中点为P(-1,2),则直线l的方程为 .
6.(2020江西南昌期末)已知直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,将直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行或重合,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),则m的值为 .
7.(2020湖南长沙雅礼中学月考)已知四边形ABCD的顶点A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),当四边形ABCD为直角梯形时,m+n= .
8.(2020河北保定期末)已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图像交于A,B两点,分别过点A,B作y轴的平行线与函数y=log2x的图像交于C,D两点.
(1)证明:点O,C,D在同一条直线上;
(2)当直线BC平行于x轴时,求点A的坐标.
答案与分层梯度式解析
第二章 平面解析几何
2.2.3 两条直线的位置关系
基础过关练
1.A 若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行或重合,所以①不正确;若两条直线都垂直于x轴,则这两条直线的斜率都不存在,所以②不正确;若两条直线的斜率都不存在,则这两条直线平行或重合,所以④不正确;显然③正确.故选A.
2.D ∵l1∥l2,∴(a+1)(3-2a)-a(3-a)=0,解得a=1或a=-3,经检验a=-3不符合题意,舍去.故选D.
3.A 解方程组得所以两直线的交点坐标为(1,3),又所求直线的斜率为2,所以所求直线的方程为y-3=2(x-1),整理,得y=2x+1.故选A.
4.A 显然m≠-3,kAB==,kCD==-,由于l1∥l2,所以=-,解得m=3,经检验满足题意.
5.解析 (1)因为l1与l2相交,所以a(a-1)≠2,所以a≠-1且a≠2.
故当a≠-1且a≠2时,l1与l2相交.
(2)因为l1∥l2,
所以
解得a=-1.
故当a=-1时,l1∥l2.
(3)因为l1与l2重合,
所以解得a=2.
故当a=2时,l1与l2重合.
6.A 依题意可得4×5-m(m-1)=0,即m2-m-20=0,所以m=-4或m=5.
7.A 由题意可得直线l1,l2,l3的斜率均存在,可分别设为k1,k2,k3.
因为l1∥l2,所以k1=k2,即=-2,解得m=-8.因为l2⊥l3,所以k2·k3=-1,即-2×=-1,解得n=-2,所以m+n=-8+(-2)=-10.
8.B kAB==-2,若点A(2,0)与B(0,4)关于直线ax+y+b=0对称,则直线AB与直线ax+y+b=0垂直,又直线ax+y+b=0的斜率是-a,所以(-a)·(-2)=-1,解得a=-.线段AB的中点(1,2)在直线ax+y+b=0上,则a+2+b=0,所以b=-,故选B.
9.答案 3
解析 因为直线l1的一个法向量恰为l2的一个方向向量,所以l1⊥l2,所以a×4+(-2)×6=0,解得a=3.
10.A 设顶点D的坐标为(m,n),由题意得AB∥DC,AD∥BC,则有kAB=kDC,kAD=kBC,
所以解得
所以顶点D的坐标为(3,4).
11.答案 -2;2
解析 由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2=,若l1⊥l2,则=-1,∴m=-2.
当m=-2时,关于k的方程2k2-4k+m=0有两个实数根,∴m=-2满足题意.
若l1∥l2,则k1=k2,即关于k的方程2k2-4k+m=0有两个相等的实数根,
∴Δ=(-4)2-4×2×m=0,∴m=2.
12.答案 直角三角形
解析 由已知得,AB边所在直线的斜率kAB==2,CB边所在直线的斜率kCB==,AC边所在直线的斜率kAC==-,所以kCB·kAC=-1,所以CB⊥AC,易知AB≠BC≠AC,所以△ABC是直角三角形.
能力提升练
1.C 由题意知k≠-1.联立可得两直线的交点坐标为,由交点在第一象限,知解得k>.设直线l的倾斜角为α,则tan α>,又α∈[0,π),∴α∈,故选C.
2.C 集合A表示直线y-3=2(x-1),即y=2x+1上的点,但除去点(1,3),集合B表示直线4x+ay-16=0上的点,当A∩B= 时,直线y=2x+1与4x+ay-16=0平行或直线4x+ay-16=0过点(1,3),所以-=2或4+3a-16=0,解得a=-2或a=4,经检验,均满足题意.
3.D ∵|AC|=|BC|,∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上,根据题意,得线段AB的中点M的坐标为(2,1),kAB=-,∴线段AB的垂直平分线的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.∴△ABC的欧拉线方程为2x-y-3=0,故选D.
4.ABC 设三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0分别为l1,l2,l3,斜率分别为k1,k2,k3,则k1=,k2=-,k3=m.当l3∥l1时,k3=k1,即m=,此时l1,l2,l3不能构成三角形;当l3∥l2时,k3=k2,即m=-,此时l1,l2,l3不能构成三角形;由解得所以直线l1与l2的交点为,当直线l3过直线l1,l2的交点时,l1,l2,l3不能构成三角形,此时-m+-1=0,解得m=-.综上所述,实数m的取值可能为-,-,,故选ABC.
5.答案 3x+y+1=0
解析 设直线l与l1的交点为A(x0,y0),直线l与l2的交点为B.由已知条件,得B(-2-x0,4-y0).
由题意得
即解得
所以A(-2,5),
所以直线l的方程为=,
即3x+y+1=0.
6.答案 4+
解析 如图,直线l1的倾斜角为30°+30°=60°,∴直线l1的斜率k1=tan 60°=.
∵l1与l2平行或重合,∴l2的斜率为.∵l2是线段AB的垂直平分线,∴kAB===-,解得m=4+.
7.答案 1或
解析 若四边形ABCD是直角梯形,
则有2种情形,如图所示:
①AB∥CD,AB⊥AD,此时A(2,-1).
∴m=2,n=-1,∴m+n=1.
②A'D∥BC,A'D⊥A'B,
∴
即解得
∴m'+n'=.
综上,m+n=1或m+n=.
8.解析 (1)证明:设点A,B的横坐标分别为x1,x2.由题意知x1>1,x2>1,A(x1,log8x1),B(x2,log8x2),C(x1,log2x1),D(x2,log2x2),且=.
因为kOC==,kOD==,
所以kOC=kOD,即点O,C,D在同一条直线上.
(2)由(1)知B(x2,log8x2),C(x1,log2x1).
由直线BC平行于x轴,得log2x1=log8x2,
所以x2=,将其代入=,得log8x1=3x1log8x1,
由x1>1,知log8x1≠0,故=3x1,
所以x1=,所以A(,log8).
2.2 直线及其方程
2.2.3 两条直线的位置关系
基础过关练
题组一 两条直线的相交、平行与重合
1.在下列说法中,正确的个数为( )
①若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行;②若两条直线平行,则这两条直线的斜率相等;③若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线相交;④若两条直线的斜率都不存在,则这两条直线平行.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2022山西晋中检测)直线l1:(a+1)x+ay+a=0与直线l2:(3-a)x+(3-2a)y+9=0平行,则a的值为( )
A.1或-3 B.-3 C.2 D.1
3.(2022湖南临澧一中期中)斜率为2,且过直线y=4-x和直线y=x+2交点的直线方程为( )
A.y=2x+1 B.y=2x-1
C.y=2x-2 D.y=2x+2
4.已知直线l1经过点A(m,1),B(-3,4),直线l2经过点C(1,m),D(-1,m+1),当直线l1与l2平行时,实数m的值为( )
A.3 B.-1 C.-3 D.1
5.已知直线l1:ax+2y+6=0,l2:x+(a-1)y+a2-1=0,求满足下列条件的a的取值范围.
(1)l1与l2相交;
(2)l1∥l2;
(3)l1与l2重合.
题组二 两条直线的垂直
6.已知直线4x+my-6=0与直线5x-(m-1)y+8=0互相垂直,则实数m的值为( )
A.-4或5 B.-4 C.5 D.4或-5
7.(2022陕西宝鸡金台检测)已知直线l1过点A(-2,m)和点B(m,4),直线l2:2x+y-1=0,直线l3:x+ny+1=0.若l1∥l2,l2⊥l3,则m+n的值为( )
A.-10 B.-2 C.0 D.8
8.(2022河南洛阳期末)已知点A(2,0)与B(0,4)关于直线ax+y+b=0对称,则a,b的值分别为( )
A.1,3 B.-,-
C.-2,0 D.,-
9.(2021上海青浦期末)已知两条直线l1:ax-2y-3=0,l2:4x+6y-3=0,若l1的一个法向量恰为l2的一个方向向量,则a= .
题组三 两条直线的位置关系的应用
10.已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为( )
A.(3,4) B.(1,3)
C.(3,1) D.(3,8)
11.已知直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根.若l1⊥l2,则m= ;若l1∥l2,则m= .
12.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2+2),B(0,2-2),C(4,2),则△ABC是 .(填△ABC的形状)
能力提升练
题组 两直线位置关系的应用
1.(2020安徽马鞍山二中月考)若直线l:y=kx-与直线x+y-3=0相交,且交点在第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2.设集合A=,B={(x,y)|4x+ay-16=0,x,y∈R},若A∩B= ,则实数a的值为( )
A.4 B.-2
C.4或-2 D.-4或2
3.(2022湖南邵东一中月考)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(4,0),B(0,2),且|AC|=|BC|,则△ABC的欧拉线方程为( )
A.x-2y+3=0 B.2x+y-3=0
C.x-2y-3=0 D.2x-y-3=0
4.(多选)(2022湖南石门六中月考)已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m的取值可能为( )
A.- B.-
C. D.2
5.(2020天津四中模考)直线l被两条直线l1:4x+y+3=0和l2:3x-5y-5=0截得的线段的中点为P(-1,2),则直线l的方程为 .
6.(2020江西南昌期末)已知直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,将直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行或重合,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),则m的值为 .
7.(2020湖南长沙雅礼中学月考)已知四边形ABCD的顶点A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),当四边形ABCD为直角梯形时,m+n= .
8.(2020河北保定期末)已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图像交于A,B两点,分别过点A,B作y轴的平行线与函数y=log2x的图像交于C,D两点.
(1)证明:点O,C,D在同一条直线上;
(2)当直线BC平行于x轴时,求点A的坐标.
答案与分层梯度式解析
第二章 平面解析几何
2.2.3 两条直线的位置关系
基础过关练
1.A 若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行或重合,所以①不正确;若两条直线都垂直于x轴,则这两条直线的斜率都不存在,所以②不正确;若两条直线的斜率都不存在,则这两条直线平行或重合,所以④不正确;显然③正确.故选A.
2.D ∵l1∥l2,∴(a+1)(3-2a)-a(3-a)=0,解得a=1或a=-3,经检验a=-3不符合题意,舍去.故选D.
3.A 解方程组得所以两直线的交点坐标为(1,3),又所求直线的斜率为2,所以所求直线的方程为y-3=2(x-1),整理,得y=2x+1.故选A.
4.A 显然m≠-3,kAB==,kCD==-,由于l1∥l2,所以=-,解得m=3,经检验满足题意.
5.解析 (1)因为l1与l2相交,所以a(a-1)≠2,所以a≠-1且a≠2.
故当a≠-1且a≠2时,l1与l2相交.
(2)因为l1∥l2,
所以
解得a=-1.
故当a=-1时,l1∥l2.
(3)因为l1与l2重合,
所以解得a=2.
故当a=2时,l1与l2重合.
6.A 依题意可得4×5-m(m-1)=0,即m2-m-20=0,所以m=-4或m=5.
7.A 由题意可得直线l1,l2,l3的斜率均存在,可分别设为k1,k2,k3.
因为l1∥l2,所以k1=k2,即=-2,解得m=-8.因为l2⊥l3,所以k2·k3=-1,即-2×=-1,解得n=-2,所以m+n=-8+(-2)=-10.
8.B kAB==-2,若点A(2,0)与B(0,4)关于直线ax+y+b=0对称,则直线AB与直线ax+y+b=0垂直,又直线ax+y+b=0的斜率是-a,所以(-a)·(-2)=-1,解得a=-.线段AB的中点(1,2)在直线ax+y+b=0上,则a+2+b=0,所以b=-,故选B.
9.答案 3
解析 因为直线l1的一个法向量恰为l2的一个方向向量,所以l1⊥l2,所以a×4+(-2)×6=0,解得a=3.
10.A 设顶点D的坐标为(m,n),由题意得AB∥DC,AD∥BC,则有kAB=kDC,kAD=kBC,
所以解得
所以顶点D的坐标为(3,4).
11.答案 -2;2
解析 由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2=,若l1⊥l2,则=-1,∴m=-2.
当m=-2时,关于k的方程2k2-4k+m=0有两个实数根,∴m=-2满足题意.
若l1∥l2,则k1=k2,即关于k的方程2k2-4k+m=0有两个相等的实数根,
∴Δ=(-4)2-4×2×m=0,∴m=2.
12.答案 直角三角形
解析 由已知得,AB边所在直线的斜率kAB==2,CB边所在直线的斜率kCB==,AC边所在直线的斜率kAC==-,所以kCB·kAC=-1,所以CB⊥AC,易知AB≠BC≠AC,所以△ABC是直角三角形.
能力提升练
1.C 由题意知k≠-1.联立可得两直线的交点坐标为,由交点在第一象限,知解得k>.设直线l的倾斜角为α,则tan α>,又α∈[0,π),∴α∈,故选C.
2.C 集合A表示直线y-3=2(x-1),即y=2x+1上的点,但除去点(1,3),集合B表示直线4x+ay-16=0上的点,当A∩B= 时,直线y=2x+1与4x+ay-16=0平行或直线4x+ay-16=0过点(1,3),所以-=2或4+3a-16=0,解得a=-2或a=4,经检验,均满足题意.
3.D ∵|AC|=|BC|,∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上,根据题意,得线段AB的中点M的坐标为(2,1),kAB=-,∴线段AB的垂直平分线的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.∴△ABC的欧拉线方程为2x-y-3=0,故选D.
4.ABC 设三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0分别为l1,l2,l3,斜率分别为k1,k2,k3,则k1=,k2=-,k3=m.当l3∥l1时,k3=k1,即m=,此时l1,l2,l3不能构成三角形;当l3∥l2时,k3=k2,即m=-,此时l1,l2,l3不能构成三角形;由解得所以直线l1与l2的交点为,当直线l3过直线l1,l2的交点时,l1,l2,l3不能构成三角形,此时-m+-1=0,解得m=-.综上所述,实数m的取值可能为-,-,,故选ABC.
5.答案 3x+y+1=0
解析 设直线l与l1的交点为A(x0,y0),直线l与l2的交点为B.由已知条件,得B(-2-x0,4-y0).
由题意得
即解得
所以A(-2,5),
所以直线l的方程为=,
即3x+y+1=0.
6.答案 4+
解析 如图,直线l1的倾斜角为30°+30°=60°,∴直线l1的斜率k1=tan 60°=.
∵l1与l2平行或重合,∴l2的斜率为.∵l2是线段AB的垂直平分线,∴kAB===-,解得m=4+.
7.答案 1或
解析 若四边形ABCD是直角梯形,
则有2种情形,如图所示:
①AB∥CD,AB⊥AD,此时A(2,-1).
∴m=2,n=-1,∴m+n=1.
②A'D∥BC,A'D⊥A'B,
∴
即解得
∴m'+n'=.
综上,m+n=1或m+n=.
8.解析 (1)证明:设点A,B的横坐标分别为x1,x2.由题意知x1>1,x2>1,A(x1,log8x1),B(x2,log8x2),C(x1,log2x1),D(x2,log2x2),且=.
因为kOC==,kOD==,
所以kOC=kOD,即点O,C,D在同一条直线上.
(2)由(1)知B(x2,log8x2),C(x1,log2x1).
由直线BC平行于x轴,得log2x1=log8x2,
所以x2=,将其代入=,得log8x1=3x1log8x1,
由x1>1,知log8x1≠0,故=3x1,
所以x1=,所以A(,log8).