人教B版（2019）选择性必修第一册 2.2.4 点到直线的距离 同步练习（Word含答案）

第二章　平面解析几何
2.2　直线及其方程
2.2.4　点到直线的距离
基础过关练
题组一　点到直线的距离公式及其应用
1.若点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为,则点P的坐标为(　　)
A.(1,2) B.(2,1)
C.(1,2)或(2,-1) D.(2,1)或(-1,2)
2.(2020河北衡水景县中学月考)若点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O为坐标原点,则|OP|的最小值是(　　)
A. B.2 C. D.2
3.(2022江西宜春天立中学检测)若直线l:y=k(x+2)上存在两个与原点间的距离等于1的点,则k的取值范围是(　　)
A.(-2,2) B.(-,)
C.(-1,1) D.
4.(2022湖南长沙一中期末)若直线l经过点P(1,2),且点A(2,3),B(0,-5)到直线l的距离相等,则直线l的方程为(　　)
A.4x-y-2=0 B.4x+y-6=0
C.4x-y-2=0或x=1 D.4x+y-6=0或x=1
5.已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC的面积等于　　　　.
题组二　两条平行直线间的距离公式及其应用
6.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1,l2之间的距离为(　　)
A.1 B. C. D.2
7.(2022安徽合肥期末)设P,Q分别是直线3x+4y-10=0与直线6x+8y+5=0上的任意一点,则|PQ|的最小值为(　　)
A.3 B.6 C. D.
8.(2022湖北大冶一中月考)若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是2,则直线l1关于直线l2对称的直线方程为(　　)
A.x-2y-13=0 B.x-2y+2=0
C.x-2y+4=0 D.x-2y-6=0
9.(2021安徽合肥工大附中模拟)若直线l与其平行直线x-2y+4=0间的距离和原点到直线l的距离相等,则直线l的方程是　　　　　　　.
10.已知正方形ABCD的中心M(-1,0)和CD边所在直线的方程x+3y-5=0,求其他三边所在直线的方程.
11.如图,已知直线l1:x+y-1=0,现将直线l1向上平移到直线l2的位置,若l2,l1和两坐标轴围成的梯形ABCD的面积为4,求直线l2的方程.
能力提升练
题组一　利用距离公式解决最值问题
1.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M与原点间的距离的最小值为(　　)
A.3 B.2 C.3 D.4
2.(2021辽宁盘锦一中月考)已知实数x,y满足直线l的方程6x+8y-1=0,则的最小值为　　　　.
3.已知m∈R,则直线l1:(m+1)x-(m-3)y-4=0与直线l2:(m+1)x-(m-3)y=0之间的距离的最大值为　　　　.
4.已知在△ABC中,A(1,1),B(m,)(1题组二　距离公式的综合应用
5.(2020辽宁省实验中学期中)已知点P,Q分别在直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+y-1=0上,且PQ⊥l1,A(-3,-3),B,则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为(　　)
A. B.+
C. D.3
6.已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”.下列直线中是“切割型直线”的有　　　　.(填序号)
①y=x+1;②y=2;③y=x;④y=2x+1.
7.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),l2:4x-2y-1=0,l3:x+y-1=0,且l1与l2之间的距离是.
(1)求a的值;
(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:①P是第一象限内的点;②P点到l1的距离是P点到l2的距离的;③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶ 若能,求出P点的坐标;若不能,请说明理由.
8.(2021山东新泰中学月考)已知直线l的方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0.
(1)证明:直线l恒过定点;
(2)当m为何值时,点Q(3,4)到直线l的距离最大,最大值为多少
(3)若直线l分别与x轴、y轴的负半轴交于A,B两点,求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程.
答案与分层梯度式解析
第二章　平面解析几何
2.2.4　点到直线的距离
基础过关练
1.C　设点P的坐标为(x,5-3x),则由点到直线的距离公式,得=,即|4x-6|=2,所以4x-6=±2,所以x=1或x=2,
所以点P的坐标为(1,2)或(2,-1).
2.B　|OP|的最小值即点O到直线x+y-4=0的距离,由点到直线的距离公式,得|OP|min==2.
3.D　由题意得原点到直线l的距离小于1,所以<1,解得-4.C　当直线l的斜率不存在时,方程为x=1,显然点A(2,3),B(0,-5)到直线l的距离相等,符合题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,根据题意,得=,即|k-1|=|7-k|,可得k-1=±(7-k),∴k=4,∴直线l的方程为4x-y-2=0.
综上,直线l的方程为4x-y-2=0或x=1.
5.答案　5
解析　设AB边上的高为h,则S△ABC=·|AB|·h,而|AB|==2,h就是点C到AB边所在直线的距离d,易知AB边所在直线的方程为x+y-4=0,所以d==,于是S△ABC=×2×=5.
6.B　由两条平行直线间的距离公式可得l1,l2之间的距离d==.
7.D　因为=≠,所以两直线平行,直线方程6x+8y+5=0可化为3x+4y+=0,所以两平行直线间的距离即为|PQ|的最小值,即|PQ|min==,故选D.
8.A　因为l1与l2平行,所以n=-2×2=-4,所以l2:x-2y-3=0,又l1与l2之间的距离是2,所以=2,又m>0,所以m=7,即直线l1:x-2y+7=0,设直线l1关于直线l2对称的直线方程为x-2y+c=0(c≠7,且c≠-3),则2=,解得c=-13或c=7(舍去),故所求直线方程为x-2y-13=0,故选A.
9.答案　x-2y+2=0
解析　设直线l的方程为x-2y+c=0(c≠4),
则=,解得c=2,故直线l的方程为x-2y+2=0.
10.解析　因为AB∥CD,所以可设AB边所在直线的方程为x+3y+m=0(m≠-5).
又因为AD⊥CD,BC⊥CD,故可设AD,BC边所在直线的方程分别为3x-y+n1=0,3x-y+n2=0(n1≠n2).
因为中心M(-1,0)到CD边的距离d==,
所以点M(-1,0)到AD边,AB边,BC边的距离均为,
由==,得n1=9,n2=-3,或n1=-3,n2=9.
由=,得m=7或m=-5(舍去).
故其他三边所在直线的方程分别为x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0.
11.解析　设直线l2的方程为x+y-b=0(b>1),则A(1,0),D(0,1),B(b,0),C(0,b),
所以|AD|=,|BC|=b.
易知梯形的高h就是直线l1,l2之间的距离,
故h==,
由梯形的面积公式得(+b)·=4,所以b2=9,又b>1,所以b=3.
故直线l2的方程是x+y-3=0.
能力提升练
1.A　由题意知,l1∥l2,点M在位于直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上,
设该直线的方程为x+y+c=0(c≠-7且c≠-5),
则=,所以c=-6,
所以点M在直线x+y-6=0上,
所以点M与原点间的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,即=3.
2.答案　
解析　设a==,
则a可看成一个动点M(x,y)与定点N(0,1)之间的距离.
∵点M在直线l:6x+8y-1=0上,
∴a的最小值为点N到直线l的距离,
即=.
3.答案　
解析　设直线l1与l2之间的距离为d.因为直线l1:(m+1)x-(m-3)y-4=0与直线l2:(m+1)x-(m-3)y=0平行,所以d===,所以当m=1时,直线l1,l2之间的距离最大,最大值为.
4.答案　
解析　因为A(1,1),C(4,2),所以|AC|==.
易得直线AC的方程为x-3y+2=0,
则点B(m,)(1所以S=|AC|·d=|m-3+2|=.
因为1所以0≤<,
S=,
当-=0,即m=时,S最大.
故当m=时,△ABC的面积S最大.
5.B　由平行线间的距离公式得|PQ|=.
如图,过点A作垂直于l1的直线,并在该直线上截取|AA'|=|PQ|.
设点A'(x0,y0),则
因此,点A',则|A'B|=.
连接A'B,A'Q,则四边形AA'QP是平行四边形,
故|AP|+|QB|=|A'Q|+|QB|≥|A'B|=.
因此,|AP|+|PQ|+|QB|≥+.
故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为+.
6.答案　②③
解析　可通过求各直线上的点与点M之间的最小距离,即点M到直线的距离d来分析.
①d==3>4,故该直线上不存在某点到点M的距离等于4,不是“切割型直线”;
②d=2<4,所以在该直线上可以找到两个不同的到点M的距离等于4的点,是“切割型直线”;
③d==4,所以该直线上存在一个到点M的距离等于4的点,是“切割型直线”;
④d==>4,故该直线上不存在某点与点M之间的距离等于4,不是“切割型直线”.
7.解析　(1)l2的方程即为2x-y-=0,
∴l1与l2之间的距离d==,
∴=.∵a>0,∴a=3.
(2)设点P(x0,y0),若点P满足条件②,则点P在与l1和l2平行的直线l':2x-y+c=0上,
且=×,解得c=或c=.
∴l':2x-y+=0或2x-y+=0.
若点P满足条件③,由点到直线的距离公式,得
=·,
∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0.
∵点P在第一象限,∴3x0+2=0不符合题意.
联立方程
可得x0=-3,y0=,应舍去.
联立可得x0=,y0=.
∴P即为同时满足三个条件的点.
8.解析　(1)证明:将直线l的方程(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0整理,得(2x+y+4)+m(-x+2y+3)=0.
令解得
所以直线l恒过定点(-1,-2).
(2)设P(-1,-2).由题意得,点Q与定点P(-1,-2)间的距离就是点Q到直线l的距离的最大值,
即=2.
因为kPQ==,
所以直线l的斜率为-,即-=-,解得m=,
所以当m=时,点Q(3,4)到直线l的距离最大,最大值为2.
(3)设直线l的方程为y+2=k(x+1),k<0,
则A,B(0,k-2),
所以S△AOB=|k-2|=(-k+2)=2+≥2+2=4,当且仅当k=-2时取等号,所以△AOB面积的最小值为4,
此时直线l的方程为2x+y+4=0.