人教B版（2019）选择性必修第一册 2.3.1 圆的标准方程 同步练习（Word含答案）

第二章　平面解析几何
2.3　圆及其方程
2.3.1　圆的标准方程
基础过关练
题组一　对圆的标准方程的理解
1.已知一个圆的标准方程为x2+(y+1)2=8,则此圆的圆心与半径分别为(　　)
A.(1,0),4 B.(-1,0),2
C.(0,1),4 D.(0,-1),2
2.方程y=-表示的曲线是(　　)
A.一条射线 B.一个圆
C.两条射线 D.一个半圆
3.方程(x+a)2+(y-a)2=2a2(a≠0)表示的圆(　　)
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于直线x-y=0对称
D.关于直线x+y=0对称
题组二　确定圆的标准方程
4.已知圆C的圆心为(3,4),且圆C过点(0,0),则圆C的标准方程为(　　)
A.x2+y2=25 B.x2+y2=5
C.(x-3)2+(y-4)2=25
D.(x-3)2+(y-4)2=5
5.(2021山西灵丘期中)已知点A(-2,1),B(0,-3),则以线段AB为直径的圆的标准方程为(　　)
A.(x-1)2+(y-1)2=5
B.(x+1)2+(y+1)2=5
C.(x-1)2+(y-1)2=20
D.(x+1)2+(y+1)2=20
6.(2022湖南雅礼中学期中)圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+y-3=0对称的圆的标准方程是　　　　　　　　.
7.过点A(1,-2),B(-1,4)且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程为　　　　　　　　.
题组三　点与圆的位置关系
8.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)(　　)
A.是圆心 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆外
9.(2020山东省实验中学月考)若点A(a+1,3)在圆(x-a)2+(y-1)2=m外,则实数m的取值范围是(　　)
A.(0,+∞) B.(-∞,5)
C.(0,5) D.[0,5]
10.若点P(-1,)在圆x2+y2=m2上,则实数m=　　　.
题组四　圆的标准方程的应用
11.一束光线从点A(-2,2)处出发,经x轴反射到圆C:(x-3)2+(y-3)2=1上的最短路径的长度是(　　)
A.5-1 B.5+1
C.3+1 D.3-1
12.已知点P是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上任意一点,且点A(-1,0),B(1,0),则|PA|2+|PB|2的最大值为　　　　,最小值为　　　　.
13.已知某隧道的横截面是半径为4 m的半圆,经过隧道的车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7 m,高为3 m的货车能不能驶入这个隧道
能力提升练
题组一　圆的标准方程的求解及应用
1.(2021吉林长春外国语学校月考)已知Rt△ABC的斜边的两端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为 (　　)
A.x2+y2=25(y≠0)
B.x2+y2=25
C.(x-2)2+y2=25(y≠0)
D.(x-2)2+y2=25
2.(2021辽宁沈阳实验中学期末)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,3),B(-2,-1),C(6,-1),以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点,则圆的方程为(　　)
A.x2+y2=1或x2+y2=
B.x2+y2=1或x2+y2=37
C.x2+y2=或x2+y2=4
D.x2+y2=4或x2+y2=37
3.由曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积为(　　)
A.π+4 B.2π+4
C.4π+4 D.4π+8
4.(2022广东广州第二中学调研)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x-1)2+y2=4,若直线l:x+y+m=0上有且只有一个点P满足:过点P作圆C的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,且使得四边形PMCN为正方形,则正实数m的值为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.7
5.(2021山西怀仁一中月考)经过二次函数y=x2-3x+2的图像与坐标轴的三个交点的圆的方程为　　　　　　　　.
6.(2020浙江杭州第二中学期末)已知实数x,y满足y=,则若t=(x≠-1),则t的取值范围为　　　　.
7.(2020广东东莞高级中学期末)在△ABC中,已知A(-1,0),B(2,1),AC边上的中线所在直线的方程为y=1,BC边上的高所在直线的斜率为.
(1)求直线BC的方程;
(2)求以线段AC为直径的圆的标准方程.
题组二　点与圆的位置关系
8.(2021湖南湘乡二中月考)点A(2sin θ,2cos θ)总在圆C:(x-3)2+(y-4)2=m内,则m的取值范围是(　　)
A.(5,+∞) B.[5,+∞)
C.(25,+∞) D.(49,+∞)
9.(2022湖南茶陵三中期末)设点P(x,y)是圆C:x2+(y-2)2=1上的一个动点,定点A(1,0),B(-1,0),则·的最大值为　　　　.
答案与分层梯度式解析
第二章　平面解析几何
2.3　圆及其方程
2.3.1　圆的标准方程
基础过关练
1.D
2.D　由原方程可得y2=12-x2(y≤0),即x2+y2=12(y≤0),故该方程表示的曲线是一个半圆.
3.D　易得圆心为(-a,a),圆心在直线y=-x上,所以该圆关于直线x+y=0对称.
4.C　设圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=r2,将(0,0)代入,可得r2=25.
故圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25.故选C.
5.B　圆心为线段AB的中点,其坐标为(-1,-1),又|AB|==2,则r=,
所以以线段AB为直径的圆的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=5.
6.答案　(x-4)2+y2=1
解析　设圆心(3,-1)关于直线x+y-3=0对称的点的坐标为(a,b),
则解得故所求圆的标准方程为(x-4)2+y2=1.
7.答案　(x-3)2+(y-2)2=20
解析　解法一:易得直线AB的斜率为-3,线段AB的中点坐标为(0,1),则线段AB的垂直平分线的方程是y-1=x,即x-3y+3=0.
由圆心在直线2x-y-4=0上,知直线x-3y+3=0与直线2x-y-4=0的交点为圆心,联立两直线方程得圆心坐标为(3,2).
则半径r==2.故所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=20.
解法二(待定系数法):
设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
则 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=20.
8.C　因为(3-2)2+(2-3)2=2<4,所以点P(3,2)在圆内.
9.C　由题意,得(a+1-a)2+(3-1)2>m,即m<5,又m>0,所以010.答案　±2
解析　因为点P(-1,)在圆x2+y2=m2上,所以1+3=m2,解得m=±2.
11.A　依题意,圆C的圆心C(3,3),半径r=1,作点A(-2,2)关于x轴的对称点A',则A'(-2,-2),连接A'C,交圆C于点B,易知A'C交x轴于原点O,如图,
则得点A'与圆C上的点之间的距离的最小值为|A'B|=|A'C|-r=-1=5-1,
在x轴上任取点P,连接AP,A'P,PC,设PC交圆C于点B',则|AO|+|OB|=|A'O|+|OB|=|A'B|=|A'C|-r≤|A'P|+|PC|-r=|AP|+|PB'|,当且仅当点P与点O重合时取“=”,
所以最短路径的长度是5-1.
12.答案　74;34
解析　由题意知圆C的圆心为C(3,4),半径r=1.
设P(x,y),坐标原点为O,
则|PA|2+|PB|2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2
=2x2+2y2+2=2()2+2
=2+2
=2|OP|2+2,
|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6,最小值是|OC|-r=5-1=4,
所以|PA|2+|PB|2的最大值是2×62+2=74,最小值是2×42+2=34.
13.解析　以截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图,那么半圆的方程为x2+y2=16(y≥0).
将x=2.7代入,得y==<3,
即在离中心线2.7 m处,隧道的高度低于货车的高度,所以货车不能驶入这个隧道.
能力提升练
1.C　依题意得,直角顶点C在以AB为直径的圆上运动,且点C与点A,B不重合.
易得AB的中点坐标为(2,0),|AB|=10,则直角顶点C的轨迹方程为(x-2)2+y2=25(y≠0),故选C.
2.B　设原点O到直线AB,AC,BC的距离分别为d1,d2,d3.易知点O在△ABC内部,d1=2,d3=1.易知,直线AC的方程为x+2y-4=0,
则d2==,
所以d3则当以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点时,圆的半径为1或,则圆的方程为x2+y2=1或x2+y2=37.
3.D　曲线x2+y2=2|x|+2|y|可化为(|x|-1)2+(|y|-1)2=2,当x≥0,y≥0时,即为(x-1)2+(y-1)2=2,
易知曲线关于x轴,y轴,原点均对称,
由题意,作出图形如图中实线所示,
则此曲线所围成的图形由一个边长为2的正方形与四个半径为的半圆组成,
故所围成图形的面积是2×2+4××π×()2=8+4π.故选D.
4.C　圆C:(x-1)2+y2=4的圆心为C(1,0),半径为2,
因为四边形PMCN为正方形,且边长为圆C的半径2,所以|PC|=2,
所以直线l:x+y+m=0上有且只有一个点P,使得|PC|=2,
所以圆心C到直线l的距离为2,
所以=2,解得m=3或m=-5,
又m>0,所以m=3.
5.答案　+=
解析　令x=0,则y=2;令y=0,则x=1或x=2.
所以二次函数y=x2-3x+2的图像与坐标轴的三个交点不妨设为A(0,2),B(1,0),C(2,0).
线段BC的垂直平分线方程为x=,①
线段AC的垂直平分线方程为y=x,②
设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
联立①②得x=,y=,即a=,b=,易求得r2=,则圆的方程为+=.
6.答案　∪
解析　方程y=表示的曲线为圆x2+y2=9位于x轴及其上方的部分,t可以看作经过该曲线上的点(x,y)与定点(-1,-3)的直线的斜率.如图,A(-1,-3),B(3,0),C(-3,0),则AB所在直线的斜率kAB=,AC所在直线的斜率kAC=-,所以t≤-或t≥,故t的取值范围是∪.
7.解析　(1)因为BC边上的高所在直线的斜率为,所以直线BC的斜率为-2,因为B(2,1),所以直线BC的方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.
(2)设C(x0,y0),因为AC边上的中线所在直线的方程为y=1,所以=1,解得y0=2.因为直线BC的方程为2x+y-5=0,所以2x0+y0-5=0,解得x0=,所以C,所以所求圆的圆心为线段AC的中点,半径r==,所以所求圆的方程为+(y-1)2=.
8.D　点A(2sin θ,2cos θ)总在圆C:(x-3)2+(y-4)2=m内,则(2sin θ-3)2+(2cos θ-4)2即m>[(2sin θ-3)2+(2cos θ-4)2]max,
(2sin θ-3)2+(2cos θ-4)2=4sin2θ-12sin θ+9+4cos2θ-16cos θ+16=29-12sin θ-16cos θ=29-20·sin(θ+φ),其中tan φ=.∵-1≤sin(θ+φ)≤1,∴9≤29-20sin(θ+φ)≤49,∴m>49,故选D.
9.答案　8
解析　因为点P(x,y)在圆C:x2+(y-2)2=1上,所以x2=1-(y-2)2,且1≤y≤3,
而=(1-x,-y),=(-1-x,-y),
所以·=x2-1+y2=-(y-2)2+y2=4y-4.
因为y∈[1,3],所以4y-4∈[0,8],
所以·的最大值为8.