人教B版（2019）选择性必修第一册 2.3.3 直线与圆的位置关系 同步练习（Word含答案）

第二章　平面解析几何
2.3　圆及其方程
2.3.3　直线与圆的位置关系
基础过关练
题组一　直线与圆的位置关系的判断
1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是(　　)
A.相交且过圆心 B.相切
C.相离 D.相交但不过圆心
2.(2022山东省实验学校期中)已知对任意k∈R,直线2kx-y+1=0与圆x2+y2=m2恒有公共点,则实数m的取值范围为(　　)
A.[-1,0)∪(0,1]
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(0,1)
D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
3.(2022湖南临澧一中期中)已知直线l:x-y+2=0与圆C:x2+y2-2y-2m=0相离,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞,0) B.
C. D.
4.(2020山东烟台二中月考)在△ABC中,若asin A+bsin B-csin C=0,则圆C:x2+y2=1与直线l:ax+by+c=0的位置关系是(　　)
A.相切 B.相交
C.相离 D.不确定
题组二　圆的切线问题
5.(2022广西南宁模拟)已知圆C:x2+y2-4x-2y+4=0,过点(1,0)的直线l(不与x轴重合)与圆C相切,则直线l的方程为(　　)
A.x-y-1=0
B.x+y-1=0
C.x-y-=0
D.x+y-=0
6.(2021辽宁阜新一中模拟)已知直线l过点P(2,4),且与圆O:x2+y2=4相切,则直线l的方程为(　　)
A.x=2或3x-4y+10=0
B.x=2或x+2y-10=0
C.y=4或3x-4y+10=0
D.y=4或x+2y-10=0
7.若直线l:y=kx+1(k<0)与圆C:(x+2)2+(y-1)2=2相切,则直线l与圆D:(x-2)2+y2=3的位置关系是(　　)
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
8.(2020山东省实验中学期中)点P是直线x+y-3=0上的动点,由点P向圆O:x2+y2=4作切线,则切线长的最小值为(　　)
A.2 B. C. D.
9.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A,B是切点.
(1)求四边形PACB的面积的最小值;
(2)直线上是否存在点P,使∠BPA=60° 若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
题组三　圆的弦长问题
10.若过点P(2,0)的直线l被圆(x-2)2+(y-3)2=9截得的弦长为2,则直线l的斜率为(　　)
A.± B.±
C.±1 D.±
11.(2022陕西西安三中期末)已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,若在圆C上存在两点A,B,使|AB|=2,且AB的中点M在直线2x+y+m=0上,则实数m的取值范围是(　　)
A.[-2,2] B.[-5,5]
C.(-,) D.[-,]
12.(2022江西抚州期末)已知圆C与x轴相切,圆心在直线y=3x上,且直线y=x被圆C截得的弦长为2,则圆C的方程为　　　　.
13.(2021山东枣庄一中月考)若直线l:x+y-m=0被圆C:x2+y2-2x-3=0截得的弦长为2,则圆心C到直线l的距离是　　　,m的值为　　　　.
14.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若·=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
15.(2020黑龙江双鸭山一中月考)已知过点P(0,-2)的圆M的圆心M(a,0)(a≤0),且圆M与直线x+y+2=0相切.
(1)求圆M的标准方程;
(2)若过点Q(0,1)且斜率为k的直线l交圆M于A,B两点,且△PAB的面积为,求直线l的方程.
能力提升练
题组一　直线与圆的位置关系的判断
1.(2020广东珠海月考)已知集合M={(x,y)|x+y=1},N={(x,y)|x2+y2-2ay=0,a>0)},若M∩N= ,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,-1) B.(-1,+1)
C.(--1,+1) D.(0,+1)
2.已知两点M(-1,0),N(1,0),若直线y=k(x-2)上存在点P,使得PM⊥PN,则实数k的取值范围是(　　)
A.∪ B.∪
C. D.
3.(多选)(2020辽宁东北育才中学段考)已知圆M:(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1,直线l:y=kx.下列命题中正确的是(　　)
A.对任意实数k和θ,直线l和圆M有公共点
B.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l与圆M相切
C.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切
D.存在实数k与θ,使得圆M上有一点到直线l的距离为3
4.(多选)(2022重庆两江育才中学月考)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则下列说法错误的是(　　)
A.y-x的最大值为-2
B.x2+y2的最大值为7+4
C.的最大值为
D.x+y的最大值为2+
题组二　圆的切线与弦长问题
5.(2021浙江丽水五校共同体段考)由直线y=x+1上的点向圆(x-3)2+y2=1作切线,则切线长的最小值为(　　)
A.1 B. C.2 D.3
6.(2022湖南益阳箴言中学期末)点P是直线2x+y+10=0上的动点,直线PA,PB分别与圆x2+y2=4相切于A,B两点,则四边形PAOB(O为坐标原点)的面积的最小值为(　　)
A.8 B.4
C.24 D.16
7.(2022河北唐山一中月考)已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=4,圆心C在直线y=x上,且直线x+y=2被圆C截得的弦长为2.
(1)求圆C的方程;
(2)若a≤0,点A(0,1),过A作直线l和l1,且满足l⊥l1,直线l交圆C于M,N两点,直线l1交圆C于P,Q两点,求四边形PMQN的面积的最大值.
题组三　直线与圆的位置关系的综合应用
8.(2021河北石家庄二中月考)若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值是(　　)
A.9 B.4 C. D.
9.已知点M(-1,0),N(1,0),若直线上存在点P,使得·=0,则称该直线为“相关点直线”.给出下列直线:①y=x+3;②y=x;③y=2;④y=2x+1,其中为“相关点直线”的是　(　　)
A.①③ B.②④ C.②③ D.③④
10.(2020安徽安庆一中模拟)数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.在△ABC中,|AB|=|AC|=4,点B(-1,3),点C(4,-2),且其欧拉线与圆(x-3)2+y2=r2相切,则该圆的半径r为(　　)
A.1 B. C.2 D.2
11.若方程=x+b有两个实数根,则实数b的取值范围是　　　　.
12.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l1过定点A(1,0).
(1)若l1与圆相切,求l1的方程;
(2)若l1与圆相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,求证:|AM|·|AN|为定值.
13.(2020山西长治一中模考)设直线l的方程为x+my-1-m=0(m∈R),圆O的方程为x2+y2=r2(r>0).
(1)若当m取一切实数时,直线l与圆O都有公共点,求r的取值范围;
(2)当r=时,直线x+2y-t=0与圆O交于M,N两点,若|+|≥3||,求实数t的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第二章　平面解析几何
2.3.3　直线与圆的位置关系
基础过关练
1.D　圆心坐标为(1,-1),半径r=3,圆心到直线3x+4y+12=0的距离d==2.D　因为直线恒过点(0,1),所以要使直线2kx-y+1=0与圆x2+y2=m2恒有公共点,则点(0,1)在圆内或在圆上,所以m2≥1,解得m≥1或m≤-1,故选D.
3.D　由x2+y2-2y-2m=0,得x2+(y-1)2=2m+1.∵直线l:x-y+2=0与圆C:x2+y2-2y-2m=0相离,
∴解得-4.A　因为asin A+bsin B-csin C=0,所以由正弦定理可得a2+b2-c2=0,因此圆心C(0,0)到直线l的距离d==1,故直线与圆相切.
5.D　圆C的方程可化为(x-2)2+(y-)2=3,∴圆心C(2,),半径为.
设圆C与x轴相切于点A,直线l与圆C相切于点B,点P(1,0),则∠CPA=60°,故∠BPA=2∠CPA=120°,
所以直线l的斜率为tan 120°=-,故直线l的方程为y=-(x-1),即x+y-=0.
6.A　因为22+42=20>4,所以点P在圆外.
当过点P的切线斜率存在时,设切线方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0.
由题意知圆心坐标为(0,0),半径为2.
因为圆心到切线的距离等于半径,
所以=2,解得k=,
故切线方程为3x-4y+10=0.
当过点P的切线斜率不存在时,切线方程为x=2,也满足条件.
故直线l的方程为3x-4y+10=0或x=2.
故选A.
7.A　圆C的圆心C(-2,1),半径为.因为直线l:y=kx+1(k<0)与圆C:(x+2)2+(y-1)2=2相切,所以=,解得k=±1,因为k<0,所以k=-1,所以直线l的方程为x+y-1=0.圆D的圆心(2,0)到直线l的距离d==<,所以直线l与圆D相交.故选A.
8.C　由已知得圆心O(0,0),半径r=2.当切线长最小时,直线OP与直线x+y-3=0垂直.因为圆心O到直线x+y-3=0的距离d=,所以切线长的最小值为=.
9.解析　(1)易知C(1,1),|AC|=1.如图,连接PC,
易知S四边形PACB=2S△PAC=2××|AP|×|AC|=|AP|.
因为|AP|2=|PC|2-|AC|2=|PC|2-1,
所以当|PC|的值最小时,|AP|的值最小.
|PC|的最小值即为点C到直线3x+4y+8=0的距离,故|PC|min==3,所以|PC=9,
所以|AP|min==2,
即四边形PACB的面积的最小值为2.
(2)不存在.理由:由(1)知圆心C到直线的最小距离为3,即|PC|≥3,要使∠BPA=60°,则|PC|=2,显然不成立,所以这样的点P是不存在的.
10.A　圆的圆心为(2,3),半径为3.设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-2),即kx-y-2k=0,则圆心到直线l的距离d==.因为弦长为2,所以d==2,即=2,解得k=±.
11.D　圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,∴圆心C(-1,2),半径r=2,∴圆心C到直线2x+y+m=0的距离d==.∵|AB|=2,且AB的中点M在直线2x+y+m=0上,∴r2-d2≥,即4-≥3,∴-≤m≤,故选D.
12.答案　(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9
解析　因为圆C与x轴相切,且圆心C在直线y=3x上,故设圆C的方程为(x-b)2+(y-3b)2=9b2,
又因为直线y=x被圆C截得的弦长为2,所以+()2=9b2,解得b=±1,故所求圆C的方程为(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.
13.答案　1;-1或3
解析　圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4,则圆心C的坐标为(1,0),半径r=2,所以圆心C到直线l的距离d===1,所以|m-1|=2,解得m=-1或m=3.
14.解析　(1)由题设可知直线l的方程为y=kx+1,圆C的圆心为(2,3),半径为1,
因为直线l与圆C交于两点,
所以<1,解得(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),
将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,
整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,
所以x1+x2=,x1x2=,
所以·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8=12,解得k=1,
所以直线l的方程为y=x+1.
易知圆心C在直线l上,所以|MN|=2.
15.解析　(1)设圆M的标准方程为(x-a)2+y2=r2(a≤0,r>0),
圆心M到直线x+y+2=0的距离为.
由题意得所以a=0或a=4(舍去),所以r2=4,
所以圆M的标准方程为x2+y2=4.
(2)易知直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx+1,
由(1)知圆心M的坐标为(0,0),半径为2,则圆心M到直线l的距离为,
所以|AB|=2=2,
设点P(0,-2)到直线l的距离为d,则d=,
所以S△PAB=|AB|·d=×2×=,解得k=±1,
则直线l的方程为y=±x+1.
能力提升练
1.A　依题意知直线x+y=1与圆x2+y2-2ay=0(a>0)没有公共点,所以圆心(0,a)到直线x+y=1的距离大于a,即>a,所以02.A　以MN为直径的圆的方程为x2+y2=1,若直线y=k(x-2)上存在点P,使得PM⊥PN,则直线与圆有交点,且k≠0,则≤1,且k≠0,解得-≤k≤,且k≠0.
3.AC　圆M与直线l均恒过原点O(0,0),所以选项A正确;
设圆心M(-cos θ,sin θ)到直线l的距离为d,则d==|sin(θ+φ)|≤1,其中sin φ=,cos φ=,所以对任意实数k,直线l与圆相交或相切,所以选项C正确,选项B不正确;
圆上的点到直线l的距离的最大值为d+1≤2,
所以选项D不正确.故选AC.
4.CD　方程x2+y2-4x+1=0表示的曲线为圆,其标准方程为(x-2)2+y2=3.对于A,设z=y-x,则y=x+z,z表示直线y=x+z在y轴上的截距,当直线与圆(x-2)2+y2=3有公共点时,≤,解得--2≤z≤-2,所以y-x的最大值为-2,故A中说法正确;对于B,x2+y2的几何意义是圆上的点与原点间距离的平方,易知原点与圆心间的距离为2,则原点与圆上的点之间的最大距离为2+,所以x2+y2的最大值为(2+)2=7+4,故B中说法正确;对于C,设=k,则y=kx,把y=kx代入圆的方程得(1+k2)x2-4x+1=0,则Δ=16-4(1+k2)≥0,解得-≤k≤,所以的最大值为,故C中说法错误;对于D,设m=x+y,则y=-x+m,m表示直线y=-x+m在y轴上的截距,当直线与圆(x-2)2+y2=3有公共点时,≤,解得-+2≤m≤+2,所以x+y的最大值为+2,故D中说法错误.故选CD.
5.B　切线长的最小值在直线y=x+1上的点与圆心间的距离最小时取得,
易知圆心(3,0)到直线的距离d==2,圆的半径r=1,所以切线长的最小值为==,故选B.
6.A　因为圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r=2,所以圆心O(0,0)到直线2x+y+10=0的距离d==2>2,所以直线2x+y+10=0与圆x2+y2=4相离.因为点P是直线2x+y+10=0上的动点,直线PA,PB分别与圆x2+y2=4相切于A,B两点,所以|PA|=|PB|,PA⊥OA,PB⊥OB,因此四边形PAOB的面积S=S△PAO+S△PBO=2S△PAO=2×|PA|×r=2|PA|=2,为使四边形PAOB的面积最小,只需|PO|最小,又|PO|min为圆心O(0,0)到直线2x+y+10=0的距离d,所以四边形PAOB的面积的最小值为2=8.故选A.
7.解析　(1)易得圆心C(a,b),半径为2.因为圆心C在直线y=x上,所以a=b,则C(a,a).
设圆心C到直线x+y=2的距离为d,则d==,
即d==,解得a=0或a=2,
所以圆C的方程为x2+y2=4或(x-2)2+(y-2)2=4.
(2)由a≤0,可知圆C的方程为x2+y2=4,
当直线l的斜率不存在时,直线l1的斜率为0,此时S四边形PMQN=|PQ|·|MN|=×2×4=4.
当直线l的斜率存在时,设为k,则直线l的方程为y=kx+1,设圆心到直线l的距离为d',
则d'=,此时|MN|=2=2,
|PQ|=2=2,
所以S四边形PMQN=|PQ|·|MN|=×2×2.
因为×≤=,
当且仅当4-=4-,即k2=1时等号成立,
所以S四边形PMQN≤7.
综上可知,四边形PMQN的面积的最大值为 7.
8.A　根据题意,得圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,则圆的半径为2.
因为直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,所以直线必定经过圆心(-1,2),所以-2a-2b+2=0,即a+b=1,所以+=(a+b)=5++.因为a>0,b>0,所以由基本不等式得+≥2=4,当且仅当a=,b=时,等号成立,所以+的最小值为5+4=9.
9.B　由题意可知,点P的轨迹是以O为圆心,1为半径的圆,其方程是x2+y2=1.
解法一:①把y=x+3代入x2+y2=1并整理得,x2+3x+4=0,∴Δ=9-4×4=-7<0,∴直线与圆相离,
∴直线y=x+3不是“相关点直线”.
同理,通过联立直线和圆的方程,可得直线②y=x,④y=2x+1与圆相交,直线③y=2与圆相离,所以②④符合题意.故选B.
解法二:①圆心(0,0)到直线y=x+3的距离为=>1,∴直线与圆相离,∴直线y=x+3不是“相关点直线”.
同理,通过比较圆心到直线的距离与半径的大小,可得直线②y=x,④y=2x+1与圆相交,直线③y=2与圆相离.所以②④符合题意.
故选B.
解题关键　点P在直线上,且·=0,说明点P也在圆x2+y2=1上,即直线与圆相交或相切,所以将问题转化为判断直线与圆的位置关系.
10.B　在△ABC中,|AB|=|AC|=4,点B(-1,3),点C(4,-2),
则△ABC的欧拉线为边BC的垂直平分线,
又BC的中点为,直线BC的斜率为=-1,则BC的垂直平分线的斜率为1,
可得边BC的垂直平分线方程为y-=x-,即三角形的欧拉线的方程为x-y-1=0,
因为欧拉线与圆(x-3)2+y2=r2相切,
所以圆心(3,0)到欧拉线的距离d=r,即r==,故选B.
11.答案　[1,)
解析　依题意知,直线l:y=x+b与曲线C:y=有两个公共点,如图所示,曲线y=是一个以原点为圆心,1为半径的半圆,y=x+b表示的图形是一条斜率为1的直线,当直线l与直线AB重合时,b=1;当直线l与半圆相切时,b=,所以b的取值范围是[1,).
12.解析　(1)①若直线l1的斜率不存在,则直线l1的方程是x=1,符合题意.
②若直线l1的斜率存在,设直线l1的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.
由题意知,圆心(3,4)到直线l1的距离等于半径2,
即=2,解得k=,所以直线l1的方程是3x-4y-3=0.
综上,所求直线方程是x=1或3x-4y-3=0.
(2)证明:直线l1与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线l1的方程为kx-y-k=0.
由得N.
因为直线CM与l1垂直,所以直线CM的方程为y-4=-(x-3),
由得M.
所以|AM|·|AN|=·=·=6,为定值.
13.解析　(1)直线l的方程可化为(y-1)m+x-1=0,所以直线l过定点P(1,1).
因为直线l与圆O有公共点,所以点P在圆内或圆上,则12+12≤r2,
又r>0,所以r≥.
(2)设弦MN的中点为E,则+=2.
由垂径定理可得
||2=4||2=4(||2-||2),
又|+|≥3||,
所以||2≥9(||2-||2),
则10||2≥45,||2≥,
又||2<5,所以≤<5,
可得t∈∪.