人教B版（2019）选择性必修第一册 2.3.4 圆与圆的位置关系 同步练习（Word含答案）

第二章　平面解析几何
2.3　圆及其方程
2.3.4　圆与圆的位置关系
基础过关练
题组一　圆与圆的位置关系的理解与判断
1.(2020安徽合肥一中期末)已知圆C1:x2+y2-2x-4y+6=0,C2:x2+y2-6y=0,则两圆的位置关系为(　　)
A.相离 B.外切
C.相交 D.内切
2.圆C1:x2+y2+4x-4y+7=0与圆C2:x2+y2-4x+10y+13=0的公切线的条数是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
3.若圆x2+y2=m和圆x2+y2+6x-8y-11=0有公共点,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞,1) B.(121,+∞)
C.[1,121] D.(1,121)
4.(2022山东聊城期末)已知圆C1:(x-a)2+(y-a)2=8(a>0)与圆C2:x2+y2-2x-2y=0没有公共点,则实数a的取值范围为(　　)
A.(0,2)
B.(4,+∞)
C.(0,2)∪(4,+∞)
D.(0,1)∪(1,2)∪(4,+∞)
5.(2022江西南昌期中)已知圆O:(x-1)2+(y-1)2=1,则在下列选项所对应的图形中,与圆O相切的是(　　)
A.x2+y2=1
B.(x-4)2+(y-5)2=16
C.x+y=1
D.x-y=2
题组二　圆与圆的位置关系的应用
6.(2020河北石家庄月考)圆x2+y2=4与圆x2+y2+2y-6=0的公共弦长为(　　)
A.1 B.2 C. D.2
7.(2020甘肃兰州期中)已知圆C1:x2+y2-4x+6y=0和圆C2:x2+y2-6x=0交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线的方程为(　　)
A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0
C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0
8.(2020辽宁大连月考)若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离分别为1,2,则这样的直线有(　　)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
9.(2020湖北宜昌调研)已知两点A(-1,0),B(1,0)及圆C:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0),若圆C上存在点P,满足·=0,则r的取值范围是(　　)
A.[3,6] B.[3,5] C.[4,5] D.[4,6]
10.与圆x2+y2-7y+10=0相交,所得公共弦平行于直线2x-3y-1=0,且过点(-2,3),(1,4)的圆的方程为　　　　　　　　.
11.(2021重庆八中月考)已知圆C1与y轴相切于点(0,3),圆心在经过点(2,1)与点(-2,-3)的直线l上.
(1)求圆C1的方程;
(2)若圆C1与圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0相交于M,N两点,求两圆的公共弦长.
能力提升练
题组　圆与圆的位置关系的应用
1.(2022安徽芜湖期末)两圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)与C2:x2+y2-2by-1+b2=0(b∈R)只有一条公切线,则a+b的最小值为(　　)
A.1 B. C.- D.-2
2.(2021山东济南章丘五中月考)与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是(　　)
A.(x+1)2+(y+1)2=2
B.(x-1)2+(y+1)2=4
C.(x-1)2+(y+1)2=2
D.(x+1)2+(y+1)2=4
3.已知平面内一点M(3,4),若圆C上存在点P,使|PM|=3,则称该圆为点M(3,4)的“3价圆”.下列圆中不是点M(3,4)的“3价圆”的是(　　)
A.圆x2+y2=1
B.圆x2+(y-2)2=4
C.圆(x-2)2+y2=4
D.圆(x-4)2+(y-3)2=9
4.(多选)(2022重庆巴蜀中学月考)已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),则下列说法正确的是(　　)
A.若圆C1与圆C2无公共点,则0B.当r=5时,两圆公共弦所在直线的方程为6x-8y-1=0
C.当r=2时,若P,Q分别是圆C1与圆C2上的点,则|PQ|的取值范围为[2,8]
D.当05.(2021山东菏泽段考)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则实数k的最大值为　　　　.
6.(2022湖南师大附中月考)已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点(O为坐标原点),且|BC|=2,求直线l的方程;
(3)设点T(t,0)满足“圆M上存在两点P,Q,使得+=”,求实数t的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第二章　平面解析几何
2.3.4　圆与圆的位置关系
基础过关练
1.D　由圆的方程知圆C1,圆C2的圆心分别为C1(,2),C2(0,3),半径分别为r1=1,r2=3,而|C1C2|=2,所以|C1C2|=r2-r1,故两圆内切.
2.D　两圆的圆心分别为C1(-2,2),C2(2,-5),半径分别为r1=1,r2=4,则两圆的圆心距d==,所以d>r1+r2,所以两圆外离,因此它们有4条公切线.
3.C　x2+y2+6x-8y-11=0可化为(x+3)2+(y-4)2=36.两圆的圆心距d==5,若两圆有公共点,则|6-|≤5≤6+,所以1≤m≤121.
4.C　圆C1的圆心C1(a,a),半径r1=2,圆C2的圆心C2(1,1),半径r2=,
圆心距|C1C2|==|a-1|.因为两圆没有公共点,所以两圆的位置关系为外离或内含,则|C1C2|>r1+r2或|C1C2|<|r1-r2|,即|a-1|>3或|a-1|<,又a>0,所以04,故选C.
5.B　圆O:(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为(1,1),半径R=1.
对于A,其对应的圆的圆心为(0,0),半径r=1,与圆O的圆心距为=对于B,其对应的圆的圆心为(4,5),半径r=4,与圆O的圆心距为=5=R+r,两圆外切,符合题意;
对于C,其对应的图形为直线,圆O的圆心(1,1)到该直线的距离为=对于D,其对应的图形为直线,圆O的圆心(1,1)到该直线的距离为=>R,直线与圆相离,不符合题意.故选B.
6.D　两圆的方程相减,得公共弦所在直线的方程为y=1,圆x2+y2=4的半径R=2,圆心(0,0)到直线y=1的距离d=1,则公共弦长l=2=2.
7.C　由平面几何知识知线段AB的垂直平分线即为两圆心所在的直线,由题易得两圆心分别为C1(2,-3),C2(3,0),因为C1C2所在直线的斜率为3,所以所求直线方程为y-0=3(x-3),即3x-y-9=0.
8.C　以点A为圆心,1为半径的圆的方程为(x-1)2+y2=1,以点B为圆心,2为半径的圆的方程为(x-4)2+y2=4,则直线l为两圆的公切线,∵|AB|=3=1+2,∴圆A与圆B外切,∴两圆的公切线有3条,即直线l有3条,故选C.
9.D　因为·=0,所以点P在以AB为直径的圆上,该圆方程为x2+y2=1,又点P在圆C上,所以两圆有公共点.两圆的圆心距d=5,所以|r-1|≤5≤r+1,解得4≤r≤6.
10.答案　x2+y2+2x-10y+21=0
解析　由题意可得公共弦所在直线的斜率为,所以两圆圆心所在直线的斜率为-.圆x2+y2-7y+10=0的圆心坐标为,故两圆圆心所在直线的方程为y-=-x,即3x+2y-7=0.
设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则解得
所以所求圆的方程为x2+y2+2x-10y+21=0.
11.解析　(1)经过点(2,1)与点(-2,-3)的直线l的方程为=,即y=x-1.
因为圆C1与y轴相切于点(0,3),
所以圆心在直线y=3上.
由得
所以圆C1的圆心坐标为(4,3),故圆C1的半径为4,所以圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16.
(2)由(1)知圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16,
即x2+y2-8x-6y+9=0,
圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0,
两式作差可得两圆公共弦所在的直线方程为2x+3y-4=0.
圆C1的圆心到直线2x+3y-4=0的距离d==,
所以两圆的公共弦长为2=2.
能力提升练
1.C　由题意可知两圆相内切,由两圆的方程可得圆心C1(-a,0),C2(0,b),半径r1=2,r2=1,则|C1C2|==2-1=1,所以a2+b2=1,所以(a+b)2=a2+b2+2ab≤1+a2+b2=2,当且仅当a=b时等号成立,所以-≤a+b≤,所以a+b的最小值为-,故选C.
2.C　圆x2+y2+2x-2y=0的圆心坐标为(-1,1),半径为,过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0,所求圆的圆心在此直线上,又圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为=3,则所求圆的半径为,且圆心在直线x-y-4=0的上方,设所求圆的圆心坐标为(a,-a),则=,所以a=1(a=3不合题意,舍去),故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.故选C.
3.A　因为|PM|=3,所以点P在以M为圆心,3为半径的圆上,又P为圆C上一点,所以P为圆M与圆C的公共点.将问题转化为判断圆M与圆C的位置关系.x2+y2=1表示以(0,0)为圆心,1为半径的圆,该圆与圆M的圆心距d==5>3+1=4,所以两圆外离,所以x2+y2=1表示的圆不是点M(3,4)的“3价圆”.
同理可判断圆M与选项B、C、D中的圆都相交.
故选项B、C、D中的圆均是点M(3,4)的“3价圆”.
故选A.
4.BCD　圆C1:x2+y2=1的圆心C1(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0)的圆心C2(3,-4),半径为r,则两圆的圆心距|C1C2|==5.
A选项,若圆C1与圆C2无公共点,则只需|C1C2|<|r-1|或|C1C2|>r+1,所以r>6或0B选项,若r=5,则圆C2:(x-3)2+(y+4)2=25,x2+y2=1与(x-3)2+(y+4)2=25两式作差,可得两圆公共弦所在直线的方程为6x-8y-1=0,故B正确;
C选项,若r=2,则圆C2:(x-3)2+(y+4)2=4,此时|C1C2|=5>2+1=3,所以圆C1与圆C2外离,又P,Q分别是圆C1与圆C2上的点,所以|C1C2|-(1+2)≤|PQ|≤|C1C2|+1+2,即2≤|PQ|≤8,故C正确;
D选项,当0因此圆C1的切线长d1==,圆C2的切线长d2==,
即d1=d2,故D正确.故选BCD.
5.答案　
解析　将圆C的方程x2+y2-8x+15=0化为标准方程得(x-4)2+y2=1,∴圆心为(4,0),半径为1.∵直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,∴只需圆C':(x-4)2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可.设圆心C'(4,0)到直线y=kx-2的距离为d,则d=≤2,解得0≤k≤,故k的最大值为.
6.解析　(1)圆M的方程可化为(x-6)2+(y-7)2=25,∴圆M的圆心M(6,7),半径为5,
由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0),
∵圆N与x轴相切,与圆M外切,
∴圆N的半径为y0,且7-y0=5+y0,解得y0=1,
∴圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.
(2)∵直线l平行于OA,∴直线l的斜率为=2,
设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,
则圆心M到直线l的距离d==,
∵|BC|=2,且|MC|2=d2+,
∴25=+5,解得m=5或m=-15,
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
∵A(2,4),T(t,0),+=,
∴①
∵点Q在圆M上,∴(x2-6)2+(y2-7)2=25,②
将①代入②得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25,
于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆(x-t-4)2+(y-3)2=25上,
∴圆M与圆(x-t-4)2+(y-3)2=25有公共点,
∴5-5≤≤5+5,
解得2-2≤t≤2+2,
∴实数t的取值范围为[2-2,2+2].