人教B版（2019）选择性必修第一册 2.4 曲线与方程 同步练习（Word含答案）

第二章　平面解析几何
2.4　曲线与方程
基础过关练
题组一　曲线与方程的关系及其应用
1.(2020辽宁沈阳月考)“点M在曲线x2=4y上”是“点M的坐标满足方程x=2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2022黑龙江哈尔滨三中模拟)已知点(x0,y0)在曲线+=2上,则点(-x0,y0),(x0,-y0),(-x0,-y0),(y0,x0)中,也在该曲线上的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.(2020辽宁抚顺模拟)已知直线l的方程是f(x,y)=0,点M(x0,y0)不在直线l上,则方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的曲线是(　　)
A.直线l
B.与l垂直的一条直线
C.与l平行的一条直线
D.与l平行的两条直线
4.(2020四川成都外国语学校模拟)方程x2y2=1的曲线是(　　)
5.(2020山西怀仁大地学校月考)若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,则b的取值范围是(　　)
A.[-1,1+2] B.[1-2,1+2]
C.[1-2,3] D.[1-,3]
题组二　求曲线的方程
6.(2020广东深圳中学月考)当点P在圆x2+y2=1上移动时,它与定点Q(-3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是(　　)
A.(x+3)2+y2=4
B.(x-3)2+y2=1
C.(2x-3)2+4y2=1
D.(2x+3)2+4y2=1
7.(2022陕西黄陵中学抽测)已知两点M(-2,0),N(2,0),点P满足·=12,则点P的轨迹方程为(　　)
A.+y2=1 B.x2+y2=16
C.y2-x2=8 D.x2+y2=8
8.(2021山西太原理工大附中模考)已知方程①x-y=0;②-=0;③x2-y2=0;④=1,其中能表示平面直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是　　　　.
9.已知动点P(x,y)与两定点M(-1,0),N(1,0)连线所在直线的斜率之积等于常数λ(λ≠0),则动点P的轨迹方程为　　　　　　　　.
10.(2020吉林省实验中学月考)已知线段AB的长等于10,两端点A,B分别在x轴、y轴上移动,若点M在线段AB上,且+4=0,则点M的轨迹方程是　　　　　　　　.
11.(2021江西高安中学期中)已知圆O:x2+y2=9与x轴交于点A,B,过圆O上的动点M(M不与A,B重合)作圆O的切线l,过点A,B分别作x轴的垂线,与切线l分别交于点C,D,直线CB与AD交于点Q,Q关于M的对称点为P,求点P的轨迹方程.
12.已知△ABC中,|AB|=2,|AC|=|BC|.
(1)请建立合适的平面直角坐标系,求点C的轨迹方程,并指出该轨迹的形状;
(2)求△ABC面积的最大值.
题组三　根据曲线方程研究曲线的性质
13.(多选)(2020广东佛山期末)在平面直角坐标系中,曲线C上任意一点P与两个定点A(-2,0)和B(2,0)连线的斜率之和恒等于2,则关于曲线C的结论正确的是(　　)
A.曲线C是轴对称图形
B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外
C.曲线C是中心对称图形
D.曲线C上所有点的横坐标的绝对值都大于2
14.(2020北京房山期末)已知曲线W的方程为|y|+x2-5x=0.
(1)请写出曲线W的一条对称轴的方程;
(2)求曲线W上的点的横坐标x的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第二章　方程
基础过关练
1.B　若点M在曲线x2=4y上,则x=±2;当点M的坐标满足方程x=2时,必有x2=4y,即点M在曲线x2=4y上,故应为必要不充分条件.
2.D　由(x0,y0)在曲线+=2上,知+=2,
∴+=+=+=+=+=2,
故点(-x0,y0),(x0,-y0),(-x0,-y0),(y0,x0)都在该曲线上.
3.C　因为点M(x0,y0)不在直线l上,所以f(x0,y0)是不为0的常数,所以方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的是过点M(x0,y0)且与直线l平行的一条直线.故选C.
4.D　方程x2y2=1可化为xy=1或xy=-1,即y=或y=,故选项D中的曲线为方程x2y2=1的曲线.
5.C　如图所示,曲线y=3-即(x-2)2+(y-3)2=4(1≤y≤3)是一个以(2,3)为圆心,2为半径的半圆,
当直线过点(0,3)时,b=3,
当直线与半圆相切时,圆心(2,3)到直线y=x+b的距离等于半径2,可得=2,
∴b=1+2(不合题意,舍去)或b=1-2,
结合图像可得1-2≤b≤3.故选C.
6.D　设PQ的中点的坐标为(x,y),则P(2x+3,2y),因为点P在圆x2+y2=1上,所以(2x+3)2+(2y)2=1,即(2x+3)2+4y2=1.故选D.
7.B　设P(x,y),则=(-2-x,-y),=(2-x,-y),
因为·=12,所以x2-4+y2=12,即x2+y2=16,故选B.
8.答案　①
解析　根据题意可知,C的方程为y=x.
由x-y=0得y=x,故①满足题意;
点(-1,-1)在第三象限的角平分线上,但其坐标不满足方程-=0,故②不满足题意;
点(-1,1)满足方程x2-y2=0,但它不在曲线C上,故③不满足题意;
点(0,0)在曲线C上,但其坐标不满足方程=1,故④不满足题意.
9.答案　x2-=1(λ≠0,x≠±1)
解析　由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零,所以kPM·kPN=·=λ,整理得x2-=1(λ≠0,x≠±1).所以动点P的轨迹方程为x2-=1(λ≠0,x≠±1).
10.答案　16x2+y2=64
解析　设M(x,y),A(a,0),B(0,b),因为|AB|=10,所以=10,即a2+b2=100.因为+4=0,所以=4,所以则代入a2+b2=100,可得25x2+=100,即16x2+y2=64.
11.解析 　如图所示,不妨令A(-3,0),B(3,0),设M(x0,y0)(y0≠0),P(x,y).
过点M(x0,y0)的圆x2+y2=9的切线l的方程为x0x+y0y=9,所以C,D.
联立解得
所以点Q.
因为点P(x,y),Q关于点M(x0,y0)对称,所以即
又点M(x0,y0)在圆x2+y2=9上,
把代入圆的方程,得x2+y2=9,又y=y0≠0,
所以点P的轨迹方程为x2+y2=9(y≠0).
12.解析　(1)(答案不唯一)以的方向为x轴正方向,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略),则A(-1,0),B(1,0).
设C(x,y),由|AC|=|BC|,得(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2],即(x-3)2+y2=8.
易知点C不在x轴上,
所以点C的轨迹方程为(x-3)2+y2=8(y≠0),
故该轨迹是以点(3,0)为圆心,2为半径,去掉点(3+2,0)和点(3-2,0)的圆.
(2)因为|AB|=2,
所以S△ABC=×2×|y|=|y|.
因为(x-3)2+y2=8(y≠0),所以0<|y|≤2,
所以S△ABC≤2,
即△ABC面积的最大值为2.
13.BC　设P(x,y),x≠0,x≠±2,依题意有+=2,整理,得x2=xy+4,于是曲线C的方程为y=x-(x≠0,x≠±2),容易判断曲线C不是轴对称图形,而是中心对称图形,原点是它的对称中心,因此A选项错误,C选项正确;又因为x2+y2=x2+=2x2+-8≥2-8=8-8>2,所以曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外,故B选项正确;易得点(1,-3)在曲线C上,但其横坐标的绝对值不大于2,故D选项错误.
14.解析　(1)由W的方程知,若(x,y)是曲线上的点,则(x,-y)也是曲线上的点,因此直线y=0是曲线W的一条对称轴.同理,易知直线x=也是曲线W的一条对称轴.
(2)由|y|+x2-5x=0得|y|=-x2+5x,因为|y|≥0,所以-x2+5x≥0,解得0≤x≤5.