2.5.1 椭圆的标准方程同步练习人教B版选择性必修第一册（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 2.5.1 椭圆的标准方程同步练习人教B版选择性必修第一册（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 85.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-01 08:54:33 | ||
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文档简介
第二章 平面解析几何
2.5 椭圆及其方程
2.5.1 椭圆的标准方程
基础过关练
题组一 椭圆的定义及其应用
1.(多选)(2022江苏宿迁检测)在平面直角坐标系中,下列方程表示的曲线是椭圆的有( )
A.+=4
B.+=4
C.2=|4-x|
D.=2|2+x|
2.(2020江苏扬州大学附属中学月考)已知椭圆+=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,那么线段ON的长是( )
A.2 B.4 C.8 D.
3.若F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且AF1⊥AF2,则△AF1F2的面积为( )
A.8 B.2 C.4 D.6
题组二 对椭圆方程的理解
4.“1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.(2020四川绵阳月考)若椭圆+y2=1的焦距为4,则实数n等于( )
A. B.1 C.6 D.3
6.关于椭圆C:+=1,有下列四个命题:
甲:m=4;乙:n=9;丙:C的焦距为6;丁:C的焦点在x轴上.
若只有一个假命题,则该命题是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
题组三 求椭圆的标准方程
7.(2020北京新学道临川学校期中)已知以两条坐标轴为对称轴的椭圆经过点P和Q,则此椭圆的标准方程是 ( )
A.+x2=1 B.+y2=1
C.+y2=1或+x2=1 D.以上都不对
8.过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
9.(2022湖北荆州沙市五中期中)过原点O的直线l与椭圆C:+=1(a>b>0)交于M,N两点,P是椭圆C上异于M,N的任意一点.若直线PM,PN的斜率之积为-,则椭圆C的方程可能为( )
A.+y2=1 B.+y2=1
C.+=1 D.+=1
能力提升练
题组一 椭圆定义的应用
1.(2021山东德州一中模考)设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的一点,且P到两焦点的距离之差为2,则△PF1F2是 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
2.(2020山东淄博检测)已知椭圆C:+y2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上异于端点的任意一点,O为坐标原点,PF1,PF2的中点分别为M,N,若四边形OMPN的周长为2,则△PF1F2的周长是( )
A.2+2 B.+2
C.+ D.4+2
3.(多选)(2020山东潍坊中学期中)已知P是椭圆+=1上一点,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,且cos∠F1PF2=,则( )
A.△PF1F2的周长为12
B.=2
C.点P到x轴的距离为
D.·=2
4.已知椭圆C:+=1,点M与椭圆C的焦点不重合,若M关于C的两焦点的对称点分别为A,B,且线段MN的中点在椭圆C上,则|AN|+|BN|的值为 .
题组二 椭圆的标准方程及其应用
5.已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
6.已知直线2x+y-4=0过椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点F2,且与椭圆E在第一象限的交点为M,与y轴交于点N,F1是椭圆E的左焦点,且|MN|=|MF1|,则椭圆E的方程为 .
7.(2022广东广州期末)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点是F1,F2,点P(,1)
在椭圆C上,且|PF1|+|PF2|=4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点P关于x轴的对称点为Q,M是椭圆C上不同于P,Q的一点,直线MP和MQ与x轴分别相交于点E,F,O为原点.证明:|OE|·|OF|为定值.
8.动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=32内切,与定圆C2:(x-3)2+y2=8外切,点A的坐标为.
(1)求动圆C的圆心C的轨迹方程E;
(2)若轨迹E上的两点P,Q满足=5,求|PQ|的值.
题组三 椭圆中的最值问题
9.(2020辽宁大连检测)已知M是椭圆+=1(a>b>0)上任意一点,两个焦点分别为F1,F2,若|MF1||MF2|的最大值为8,则a的值为( )
A.8 B.4 C.2 D.2
10.(2020山东烟台模考)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是( )
A.5 B.+
C.7+ D.6
11.已知F是椭圆C:+y2=1的左焦点,P为椭圆C上任意一点,点Q(4,3),则|PQ|+|PF|的最大值为( )
A.5 B.3 C. D.4
12.(2022天津耀华中学期中)已知点P是椭圆+=1上一动点,Q是圆(x+3)2+y2=1上一动点,点M(6,4),则|PQ|-|PM|的最大值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
13.(2020湖北天门期末)已知椭圆+=1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于A,B两点,当△FAB的周长最大时,求△FAB的面积.
答案与分层梯度式解析
第二章 平面解析几何
2.5 椭圆及其方程
2.5.1 椭圆的标准方程
基础过关练
1.BC 方程+=4可表示到定点F1(0,2)和F2(0,-2)的距离之和等于4的动点P(x,y)的轨迹,又|PF1|+|PF2|=|F1F2|,所以点P(x,y)的轨迹是线段F1F2,故A不符合题意;
方程+=4可表示到定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离之和等于4的动点P(x,y)的轨迹,又|PF1|+|PF2|=4>|F1F2|=2,满足椭圆的定义,所以方程+=4表示的曲线是椭圆,故B符合题意;
由2=|4-x|可得4(x-1)2+4y2=x2-8x+16,整理得+=1,显然该方程表示的曲线是椭圆,故C符合题意;
由=2|2+x|可得(x+2)2+y2=4(x+2)2,则y2=3(x+2)2,显然该方程表示的曲线不是椭圆,故D不符合题意.故选BC.
2.B 不妨设F为椭圆的左焦点,设椭圆的右焦点为F1,连接MF1,如图所示:
∵|MF1|+|MF|=2a=10,|MF|=2,
∴|MF1|=2a-|MF|=8.
∵N为MF的中点,O为FF1的中点,
∴|ON|=|MF1|=4.故选B.
3.C 依题意有|F1F2|=2=2,|AF1|+|AF2|=2×3=6,因为AF1⊥AF2,所以+|AF2|2=|F1F2|2=20,即-2|AF1|·|AF2|=20,因此|AF1||AF2|=8,于是△AF1F2的面积S=|AF1||AF2|=4.
4.B 若方程表示椭圆,则有因此15.D 依题意,2c=4,所以c=2,因此当椭圆的焦点在x轴上时,有3n-1=,解得n=3;当椭圆的焦点在y轴上时,有1-3n=,解得n=-,不合题意,舍去.故实数n等于3.
6.A 当甲、乙为真命题时,椭圆的方程为+=1,此时椭圆的焦距2c=2=2,且焦点在y轴上,此时丙和丁都是假命题,不符合题意,因此甲和乙中有一个是假命题.
若甲、丙和丁是真命题,则a2=4,2c=6,∴b2=a2-c2=4-9=-5,显然不成立;
若乙、丙和丁是真命题,则b2=9,2c=6,∴a2=b2+c2=9+9=18,此时椭圆的方程为+=1,符合题意.故甲是假命题.
7.A 设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则解得
∴椭圆的标准方程为+x2=1.故选A.
8.C 设所求椭圆的方程为+=1(k<9),将(,-)代入,可得+=1,解得k=5(k=21舍去),故所求椭圆的标准方程为+=1.
9.B 设M(x,y),N(-x,-y),P(x0,y0),x≠±x0,则y2=b2-,=b2-,所以kPM·kPN=·===-=-,即=.结合选项知选B.
能力提升练
1.A 由椭圆的方程,可得a2=16,b2=12,所以c2=a2-b2=16-12=4.
由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a=8,
又P到两焦点的距离之差为2,
不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2,
所以|PF1|=5,|PF2|=3,
又|F1F2|=2c=4,
所以|F1F2|2+|PF2|2=|PF1|2,
所以△PF1F2是直角三角形,故选A.
2.A 由已知得|OM|+|ON|+|PM|+|PN|=2,而|OM|=|PF2|,|ON|=|PF1|,|PM|=|PF1|,|PN|=|PF2|,所以|PF1|+|PF2|=2,又由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a,所以a=,所以c===.故△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=2+2.
3.BCD 由椭圆方程知a=3,b=2,所以c=,|PF1|+|PF2|=6,于是△PF1F2的周长为2a+2c=6+2,故A错误;在△PF1F2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=-2|PF1||PF2|-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2,所以20=36-2|PF1||PF2|-|PF1|·|PF2|,解得|PF1||PF2|=6,故=|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=×6×=2,故B正确;设点P到x轴的距离为d,则=|F1F2|·d=×2d=2,所以d=,故C正确;·=||||cos∠F1PF2=6×=2,故D正确.
4.答案 16
解析 由已知得a=4,不妨设F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,M关于F1的对称点为A,关于F2的对称点为B,K为线段MN的中点.由已知条件易得F1,F2分别是线段MA,MB的中点,则|AN|=2|KF1|,|BN|=2|KF2|,又由椭圆的定义,得|KF1|+|KF2|=2a=8,所以|AN|+|BN|=2(|KF1|+|KF2|)=16.
5.B 设|F2B|=x(x>0),则|AF2|=2x,|AB|=3x,
|BF1|=3x,|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x,
由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a=4x,所以|AF1|=2x.
在△BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|F2B|·|F1F2|cos∠BF2F1,即9x2=x2+22-4x·cos∠BF2F1①,
在△AF1F2中,由余弦定理可得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|·|F1F2|·cos∠AF2F1,即4x2=4x2+22+8x·cos∠BF2F1②,
由①②得x=,所以2a=4x=2,a=,所以b2=a2-c2=2.
所以椭圆的方程为+=1.故选B.
6.答案 +y2=1
解析 直线2x+y-4=0与x轴,y轴分别交于点(2,0),(0,4),因此F2(2,0),N(0,4),于是c=2,因为2a=|MF1|+|MF2|=|MN|+|MF2|=|NF2|=2,所以a=,从而b2=5-4=1,故椭圆E的方程为+y2=1.
7.解析 (1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a=4,即a=2,则椭圆C:+=1.
将点P的坐标(,1)代入+=1,得+=1,∴b2=2,∴椭圆C的方程是+=1.
(2)证明:由点P,Q关于x轴对称,得Q(,-1).
设M(x0,y0),则有+2=4,x0≠,y0≠±1.
直线MP的方程为y-1=(x-),
令y=0,得x=,∴|OE|=.
直线MQ的方程为y+1=(x-),
令y=0,得x=,∴|OF|=.
∴|OE|·|OF|=·===4,
∴|OE|·|OF|为定值.
8.解析 (1)如图,设动圆C的半径为R.
由题意得,定圆C1的半径为4,定圆C2的半径为2,则|CC1|=4-R,①
|CC2|=2+R,②
①+②,得|CC1|+|CC2|=6>6=|C1C2|.
由椭圆的定义知点C的轨迹是以C1,C2为焦点,6为长轴长的椭圆的一部分(在C1的内部),其轨迹方程为+=1(x<2).
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则=,=.
由=5可得,
=5,
所以x1=5x2,y1=5y2-×5+=5y2-18,
由P,Q是轨迹E上的两点,
得(x2<2),解得
所以x1=0,y1=-3,
所以P(0,-3),Q(0,3),所以|PQ|=6.
9.C 因为|MF1|+|MF2|=2a,所以|MF1||MF2|≤=a2,当且仅当|MF1|=|MF2|时取等号,故a2=8,所以a=2.
10.D 设Q(x0,y0),-1≤y0≤1,圆x2+(y-6)2=2的圆心为C,则C(0,6),半径为,则|QC|====,
故当y0=-时,|QC|取得最大值5,
∴|PQ|的最大值为5+=6.故选D.
方法点睛 考查圆上的点与椭圆上的点间的距离的最值问题,解题关键是利用圆心与椭圆上的动点之间距离的最值加(或减)半径得出结论.
11.A ∵F为椭圆C:+y2=1的左焦点,∴F(-1,0).设椭圆C的右焦点为F',则F'(1,0),连接QF',PF',∴|PQ|+|PF|=|PQ|+2-|PF'|=2+|PQ|-|PF'|.∵|PQ|-|PF'|≤|QF'|=3,∴|PQ|+|PF|≤5,即|PQ|+|PF|的最大值为5,故选A.
12.C 如图所示,由题意知a2=25,b2=16,则c==3,设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,则F1(-3,0),F2(3,0),故圆(x+3)2+y2=1的圆心(-3,0)为椭圆的左焦点.由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a=10,所以|PQ|≤|PF1|+1=10-|PF2|+1=11-|PF2|.又|MF2|==5,所以|PQ|-|PM|≤11-|PF2|-|PM|=11-(|PF2|+|PM|)≤11-|MF2|=11-5=6,故选C.
13.解析 设椭圆的右焦点为F',连接AF',BF',由椭圆的定义,知△FAB的周长l=|AB|+|AF|+|BF|=|AB|+(2a-|AF'|)+(2a-|BF'|)=4a+|AB|-(|AF'|+|BF'|),因为|AF'|+|BF'|≥|AB|,所以l≤4a,即当直线x=m过右焦点F'时,△FAB的周长最大,此时m=1,△FAB的边AB上的高为|F'F|=2,将x=1代入椭圆方程,得|y|=,所以|AB|=3,故S△FAB=×2×3=3.
2.5 椭圆及其方程
2.5.1 椭圆的标准方程
基础过关练
题组一 椭圆的定义及其应用
1.(多选)(2022江苏宿迁检测)在平面直角坐标系中,下列方程表示的曲线是椭圆的有( )
A.+=4
B.+=4
C.2=|4-x|
D.=2|2+x|
2.(2020江苏扬州大学附属中学月考)已知椭圆+=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,那么线段ON的长是( )
A.2 B.4 C.8 D.
3.若F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且AF1⊥AF2,则△AF1F2的面积为( )
A.8 B.2 C.4 D.6
题组二 对椭圆方程的理解
4.“1
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.(2020四川绵阳月考)若椭圆+y2=1的焦距为4,则实数n等于( )
A. B.1 C.6 D.3
6.关于椭圆C:+=1,有下列四个命题:
甲:m=4;乙:n=9;丙:C的焦距为6;丁:C的焦点在x轴上.
若只有一个假命题,则该命题是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
题组三 求椭圆的标准方程
7.(2020北京新学道临川学校期中)已知以两条坐标轴为对称轴的椭圆经过点P和Q,则此椭圆的标准方程是 ( )
A.+x2=1 B.+y2=1
C.+y2=1或+x2=1 D.以上都不对
8.过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
9.(2022湖北荆州沙市五中期中)过原点O的直线l与椭圆C:+=1(a>b>0)交于M,N两点,P是椭圆C上异于M,N的任意一点.若直线PM,PN的斜率之积为-,则椭圆C的方程可能为( )
A.+y2=1 B.+y2=1
C.+=1 D.+=1
能力提升练
题组一 椭圆定义的应用
1.(2021山东德州一中模考)设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的一点,且P到两焦点的距离之差为2,则△PF1F2是 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
2.(2020山东淄博检测)已知椭圆C:+y2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上异于端点的任意一点,O为坐标原点,PF1,PF2的中点分别为M,N,若四边形OMPN的周长为2,则△PF1F2的周长是( )
A.2+2 B.+2
C.+ D.4+2
3.(多选)(2020山东潍坊中学期中)已知P是椭圆+=1上一点,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,且cos∠F1PF2=,则( )
A.△PF1F2的周长为12
B.=2
C.点P到x轴的距离为
D.·=2
4.已知椭圆C:+=1,点M与椭圆C的焦点不重合,若M关于C的两焦点的对称点分别为A,B,且线段MN的中点在椭圆C上,则|AN|+|BN|的值为 .
题组二 椭圆的标准方程及其应用
5.已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
6.已知直线2x+y-4=0过椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点F2,且与椭圆E在第一象限的交点为M,与y轴交于点N,F1是椭圆E的左焦点,且|MN|=|MF1|,则椭圆E的方程为 .
7.(2022广东广州期末)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点是F1,F2,点P(,1)
在椭圆C上,且|PF1|+|PF2|=4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点P关于x轴的对称点为Q,M是椭圆C上不同于P,Q的一点,直线MP和MQ与x轴分别相交于点E,F,O为原点.证明:|OE|·|OF|为定值.
8.动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=32内切,与定圆C2:(x-3)2+y2=8外切,点A的坐标为.
(1)求动圆C的圆心C的轨迹方程E;
(2)若轨迹E上的两点P,Q满足=5,求|PQ|的值.
题组三 椭圆中的最值问题
9.(2020辽宁大连检测)已知M是椭圆+=1(a>b>0)上任意一点,两个焦点分别为F1,F2,若|MF1||MF2|的最大值为8,则a的值为( )
A.8 B.4 C.2 D.2
10.(2020山东烟台模考)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是( )
A.5 B.+
C.7+ D.6
11.已知F是椭圆C:+y2=1的左焦点,P为椭圆C上任意一点,点Q(4,3),则|PQ|+|PF|的最大值为( )
A.5 B.3 C. D.4
12.(2022天津耀华中学期中)已知点P是椭圆+=1上一动点,Q是圆(x+3)2+y2=1上一动点,点M(6,4),则|PQ|-|PM|的最大值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
13.(2020湖北天门期末)已知椭圆+=1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于A,B两点,当△FAB的周长最大时,求△FAB的面积.
答案与分层梯度式解析
第二章 平面解析几何
2.5 椭圆及其方程
2.5.1 椭圆的标准方程
基础过关练
1.BC 方程+=4可表示到定点F1(0,2)和F2(0,-2)的距离之和等于4的动点P(x,y)的轨迹,又|PF1|+|PF2|=|F1F2|,所以点P(x,y)的轨迹是线段F1F2,故A不符合题意;
方程+=4可表示到定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离之和等于4的动点P(x,y)的轨迹,又|PF1|+|PF2|=4>|F1F2|=2,满足椭圆的定义,所以方程+=4表示的曲线是椭圆,故B符合题意;
由2=|4-x|可得4(x-1)2+4y2=x2-8x+16,整理得+=1,显然该方程表示的曲线是椭圆,故C符合题意;
由=2|2+x|可得(x+2)2+y2=4(x+2)2,则y2=3(x+2)2,显然该方程表示的曲线不是椭圆,故D不符合题意.故选BC.
2.B 不妨设F为椭圆的左焦点,设椭圆的右焦点为F1,连接MF1,如图所示:
∵|MF1|+|MF|=2a=10,|MF|=2,
∴|MF1|=2a-|MF|=8.
∵N为MF的中点,O为FF1的中点,
∴|ON|=|MF1|=4.故选B.
3.C 依题意有|F1F2|=2=2,|AF1|+|AF2|=2×3=6,因为AF1⊥AF2,所以+|AF2|2=|F1F2|2=20,即-2|AF1|·|AF2|=20,因此|AF1||AF2|=8,于是△AF1F2的面积S=|AF1||AF2|=4.
4.B 若方程表示椭圆,则有因此1
6.A 当甲、乙为真命题时,椭圆的方程为+=1,此时椭圆的焦距2c=2=2,且焦点在y轴上,此时丙和丁都是假命题,不符合题意,因此甲和乙中有一个是假命题.
若甲、丙和丁是真命题,则a2=4,2c=6,∴b2=a2-c2=4-9=-5,显然不成立;
若乙、丙和丁是真命题,则b2=9,2c=6,∴a2=b2+c2=9+9=18,此时椭圆的方程为+=1,符合题意.故甲是假命题.
7.A 设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则解得
∴椭圆的标准方程为+x2=1.故选A.
8.C 设所求椭圆的方程为+=1(k<9),将(,-)代入,可得+=1,解得k=5(k=21舍去),故所求椭圆的标准方程为+=1.
9.B 设M(x,y),N(-x,-y),P(x0,y0),x≠±x0,则y2=b2-,=b2-,所以kPM·kPN=·===-=-,即=.结合选项知选B.
能力提升练
1.A 由椭圆的方程,可得a2=16,b2=12,所以c2=a2-b2=16-12=4.
由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a=8,
又P到两焦点的距离之差为2,
不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2,
所以|PF1|=5,|PF2|=3,
又|F1F2|=2c=4,
所以|F1F2|2+|PF2|2=|PF1|2,
所以△PF1F2是直角三角形,故选A.
2.A 由已知得|OM|+|ON|+|PM|+|PN|=2,而|OM|=|PF2|,|ON|=|PF1|,|PM|=|PF1|,|PN|=|PF2|,所以|PF1|+|PF2|=2,又由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a,所以a=,所以c===.故△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=2+2.
3.BCD 由椭圆方程知a=3,b=2,所以c=,|PF1|+|PF2|=6,于是△PF1F2的周长为2a+2c=6+2,故A错误;在△PF1F2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=-2|PF1||PF2|-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2,所以20=36-2|PF1||PF2|-|PF1|·|PF2|,解得|PF1||PF2|=6,故=|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=×6×=2,故B正确;设点P到x轴的距离为d,则=|F1F2|·d=×2d=2,所以d=,故C正确;·=||||cos∠F1PF2=6×=2,故D正确.
4.答案 16
解析 由已知得a=4,不妨设F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,M关于F1的对称点为A,关于F2的对称点为B,K为线段MN的中点.由已知条件易得F1,F2分别是线段MA,MB的中点,则|AN|=2|KF1|,|BN|=2|KF2|,又由椭圆的定义,得|KF1|+|KF2|=2a=8,所以|AN|+|BN|=2(|KF1|+|KF2|)=16.
5.B 设|F2B|=x(x>0),则|AF2|=2x,|AB|=3x,
|BF1|=3x,|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x,
由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a=4x,所以|AF1|=2x.
在△BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|F2B|·|F1F2|cos∠BF2F1,即9x2=x2+22-4x·cos∠BF2F1①,
在△AF1F2中,由余弦定理可得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|·|F1F2|·cos∠AF2F1,即4x2=4x2+22+8x·cos∠BF2F1②,
由①②得x=,所以2a=4x=2,a=,所以b2=a2-c2=2.
所以椭圆的方程为+=1.故选B.
6.答案 +y2=1
解析 直线2x+y-4=0与x轴,y轴分别交于点(2,0),(0,4),因此F2(2,0),N(0,4),于是c=2,因为2a=|MF1|+|MF2|=|MN|+|MF2|=|NF2|=2,所以a=,从而b2=5-4=1,故椭圆E的方程为+y2=1.
7.解析 (1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a=4,即a=2,则椭圆C:+=1.
将点P的坐标(,1)代入+=1,得+=1,∴b2=2,∴椭圆C的方程是+=1.
(2)证明:由点P,Q关于x轴对称,得Q(,-1).
设M(x0,y0),则有+2=4,x0≠,y0≠±1.
直线MP的方程为y-1=(x-),
令y=0,得x=,∴|OE|=.
直线MQ的方程为y+1=(x-),
令y=0,得x=,∴|OF|=.
∴|OE|·|OF|=·===4,
∴|OE|·|OF|为定值.
8.解析 (1)如图,设动圆C的半径为R.
由题意得,定圆C1的半径为4,定圆C2的半径为2,则|CC1|=4-R,①
|CC2|=2+R,②
①+②,得|CC1|+|CC2|=6>6=|C1C2|.
由椭圆的定义知点C的轨迹是以C1,C2为焦点,6为长轴长的椭圆的一部分(在C1的内部),其轨迹方程为+=1(x<2).
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则=,=.
由=5可得,
=5,
所以x1=5x2,y1=5y2-×5+=5y2-18,
由P,Q是轨迹E上的两点,
得(x2<2),解得
所以x1=0,y1=-3,
所以P(0,-3),Q(0,3),所以|PQ|=6.
9.C 因为|MF1|+|MF2|=2a,所以|MF1||MF2|≤=a2,当且仅当|MF1|=|MF2|时取等号,故a2=8,所以a=2.
10.D 设Q(x0,y0),-1≤y0≤1,圆x2+(y-6)2=2的圆心为C,则C(0,6),半径为,则|QC|====,
故当y0=-时,|QC|取得最大值5,
∴|PQ|的最大值为5+=6.故选D.
方法点睛 考查圆上的点与椭圆上的点间的距离的最值问题,解题关键是利用圆心与椭圆上的动点之间距离的最值加(或减)半径得出结论.
11.A ∵F为椭圆C:+y2=1的左焦点,∴F(-1,0).设椭圆C的右焦点为F',则F'(1,0),连接QF',PF',∴|PQ|+|PF|=|PQ|+2-|PF'|=2+|PQ|-|PF'|.∵|PQ|-|PF'|≤|QF'|=3,∴|PQ|+|PF|≤5,即|PQ|+|PF|的最大值为5,故选A.
12.C 如图所示,由题意知a2=25,b2=16,则c==3,设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,则F1(-3,0),F2(3,0),故圆(x+3)2+y2=1的圆心(-3,0)为椭圆的左焦点.由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a=10,所以|PQ|≤|PF1|+1=10-|PF2|+1=11-|PF2|.又|MF2|==5,所以|PQ|-|PM|≤11-|PF2|-|PM|=11-(|PF2|+|PM|)≤11-|MF2|=11-5=6,故选C.
13.解析 设椭圆的右焦点为F',连接AF',BF',由椭圆的定义,知△FAB的周长l=|AB|+|AF|+|BF|=|AB|+(2a-|AF'|)+(2a-|BF'|)=4a+|AB|-(|AF'|+|BF'|),因为|AF'|+|BF'|≥|AB|,所以l≤4a,即当直线x=m过右焦点F'时,△FAB的周长最大,此时m=1,△FAB的边AB上的高为|F'F|=2,将x=1代入椭圆方程,得|y|=,所以|AB|=3,故S△FAB=×2×3=3.