人教B版（2019）选择性必修第一册 2.5.2 椭圆的几何性质 同步练习（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）选择性必修第一册 2.5.2 椭圆的几何性质 同步练习（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 95.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-02 11:39:51 | ||
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文档简介
第二章 平面解析几何
2.5 椭圆及其方程
2.5.2 椭圆的几何性质
基础过关练
题组一 利用方程研究椭圆的几何性质
1.(2021山东菏泽期末)中国是世界上最古老的文明中心之一,中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器,中国陶瓷是世界上独一无二的,它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术,瓷器的形状各式各样,从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘,经测量得到图中数据,则该椭圆瓷盘的焦距为( )
A.24 cm B.6 cm C.12 cm D.12 cm
2.(2021新高考八省(市)1月联考)椭圆+=1(m>0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若∠F1AF2=,则m=( )
A.1 B. C. D.2
3.(2020广东深圳外国语学校检测)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆上一点P到两焦点的距离之和为12,则椭圆的短轴长为( )
A.8 B.6 C.5 D.4
4.(2022天津三中期中)已知椭圆x2+2y2=2与2x2+y2=1,则两个椭圆( )
A.有相同的长轴与短轴
B.有相同的焦距
C.有相同的焦点
D.有相同的离心率
5.(2020广东深圳中学检测)设AB是椭圆的长轴,点C在椭圆上,且∠CBA=45°,若|AB|=4,|BC|=,则椭圆的焦距等于( )
A. B. C. D.
题组二 根据几何性质求椭圆的标准方程
6.(2022四川自贡期中)古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆C的中心在原点,焦点F1,F2在y轴上,其面积为4π,过点F1的直线l与椭圆C交于点A,B且△F2AB的周长为16,则椭圆C的方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
7.(2021江苏江阴四校期中)若椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,两焦点分别为F1,F2,M为椭圆上一点,且△F1F2M的周长为16,则椭圆C的方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
8.(2022湖南益阳期中)若椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,焦距为2,椭圆C上的两点P,Q关于原点对称,|PF|-|QF|=a,且PF⊥QF,则椭圆C的方程为 .
9.已知F1(-3,0),F2(3,0)是椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,点P在椭圆上,∠F1PF2=α,且当α=时,△F1PF2的面积最大,求椭圆的标准方程.
题组三 椭圆的离心率问题
10.(2020福建南安一中段考)设e是椭圆+=1的离心率,且e∈,则实数k的取值范围是( )
A.(0,3) B.
C.(0,2) D.(0,3)∪
11.(2020山东济南山师附中检测)美学四大构件是:史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学.素描是学习绘画的必要一步,它包括明暗素描和结构素描,而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画切面圆柱体(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱,底面与截面之间的部分叫切面圆柱体,原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线)的过程中,发现切面是一个椭圆,若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为60度的直角梯形,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
12.(2021黑龙江大庆实验中学期中)过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于一点P,F2为椭圆的右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
13.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,A为椭圆上一点,连接AF2,交y轴于点M,若∠F1AF2=,且3|OM|=|OF2|,求该椭圆的离心率.
能力提升练
题组 椭圆性质的综合应用
1.(2020河北唐山模拟)已知F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A,若AF1⊥AF2且=2,则椭圆C的方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
2.(多选)(2021山东潍坊高密一中期中)如图所示,某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,则下列式子正确的是( )
A.a1+c1=a2+c2 B.a1-c1=a2-c2
C.c1a2>a1c2 D.<
3.(2021河南名校联盟期中)已知平行四边形ABCD内接于椭圆Ω:+=1(a>b>0),且直线AB,AD的斜率之积的取值范围为,则椭圆Ω的离心率的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
4.(2020河北张家口期末)已知A为椭圆+y2=1的左顶点,直线y=kx(k≠0)与该椭圆相交于P,Q两点,连接AP,AQ,设直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,则+的最小值为( )
A. B.2 C.3 D.4
5.(多选)(2022山东泰安月考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,且|F1F2|=2,点 P(1,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是( )
A.|QF1|+|QP|的最小值为 2a-1
B.椭圆C的短轴长可能为2
C.椭圆C的离心率的取值范围为
D.若=,则椭圆 C的长轴长为+
6.(2020四川绵阳检测)已知椭圆的标准方程为+y2=1(a>1),上顶点为A,左顶点为B,设点P为椭圆上一点,△PAB的面积的最大值为+1,若点M(-,0),N(,0),点Q为椭圆上任意一点,则+的最小值为 .
答案与分层梯度式解析
第二章 平面解析几何
2.5.2 椭圆的几何性质
基础过关练
1.C 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),根据题意得2a=24,2b=12,所以a=12,b=6.因为c2=a2-b2,所以c2=108,c=6,则2c=12.故选C.
2.C 由题意得b=m,c=1,∠F1AO=(O为坐标原点),则tan ===,所以m=.故选C.
3.A 椭圆+=1(a>b>0)的离心率e==,椭圆上一点P到两焦点的距离之和为12,即2a=12,可得a=6,c=2,因此b===4,则椭圆的短轴长为2b=8.
4.D 将椭圆方程x2+2y2=2整理得+y2=1,其焦点在x轴上,a1=,b1=1,则c1==1,所以e1===.
将椭圆方程2x2+y2=1整理得+y2=1,其焦点在y轴上,a2=1,b2=,则c2==,所以e2===,故选D.
5.A 不妨设椭圆的方程为+=1(a>b>0),A为长轴的左端点,B为长轴的右端点,因为∠CBA=45°,|AB|=4,|BC|=,所以2a=4,C(1,1)或C(1,-1),所以a2=4,于是+=1,解得b2=,所以c==,所以焦距2c=.
6.A 依题意得=2a·2b,则ab=4,
由题意,结合椭圆的定义可得4a=16,所以a=4,所以b=,又椭圆的焦点在y轴上,故椭圆的方程为+=1.
7.D 由△F1F2M的周长为16,可得2a+2c=16,由椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,可得=,所以a=5,c=3,则b=4,所以椭圆C的方程为+=1.故选D.
8.答案 +=1
解析 设椭圆C的左焦点为F',由椭圆的对称性可知|PF|-|QF|=|QF'|-|QF|=a,又|QF'|+|QF|=2a,所以|QF'|=,|QF|=,由PF⊥QF得∠F'QF=90°,在Rt△F'QF中,由勾股定理得|QF|2+|QF'|2=|FF'|2,即+=20,解得a2=8,又c=,所以b2=a2-c2=3,因此椭圆C的标准方程为+=1.
9.解析 因为当点P为短轴端点时,最大,所以∠PF1F2=,因此tan=,由题意知c=3,所以b=,于是a2=b2+c2=12,故椭圆的标准方程为+=1.
10.D 当焦点在x轴上,即k>4时,e=∈,∴∈,∴k∈;当焦点在y轴上,即011.A 设圆柱的底面半径为r,依题意知,最长母线与最短母线所在截面如图所示.
则DE=AB=2r,∴CD==r,
因此椭圆的长轴长2a=r,短轴长2b=2r,∴c2=a2-b2=r2-r2=r2,c=r,∴e==,故选A.
12.D 由题意知点P的坐标为或,
∵∠F1PF2=60°,∴tan 60°=,即=,
即2ac=b2=(a2-c2),∴e2+2e-=0,
∴e=或e=-(舍去).故选D.
13.解析 设|AF1|=m,|AF2|=n.如图所示,由题意得Rt△AF1F2∽Rt△OMF2,所以==,所以n=3m,又m+n=2a,m2+n2=4c2,所以m2=,n2=9m2=,+=4c2,所以=,故该椭圆的离心率为.
能力提升练
1.A 由题意可知|OA|=c,不妨设点A在第一象限,如图,设A(x0,y0),则x0=c·cos 30°=c,y0=c·sin 30°=c,即A,将点A的坐标代入椭圆的方程可得+=1①,由=2,得=×2c×c=c2=2,即c2=4,又c2=a2-b2,结合①,可得a2=6,b2=2,故椭圆的方程为+=1.
2.BC 由题图可得a1>a2,c1>c2,∴a1+c1>a2+c2,故A不正确;
∵|PF|=a1-c1,|PF|=a2-c2,∴a1-c1=a2-c2,故B正确;
由a1-c1=a2-c2得(a1+c2)2=(a2+c1)2,即-+2a1c2=-+2a2c1,即+2a1c2=+2a2c1,又b1>b2>0,∴a2c1>a1c2,∴>,故C正确,D不正确.故选BC.
3.A 平行四边形ABCD内接于椭圆Ω,
假设A,C不关于原点对称,过点A,C作互相平行的两条直线,分别交椭圆Ω于B,D两点,
则由椭圆的对称性,得AB≠CD,这与条件不符.
∴A,C关于原点对称,同理B,D关于原点对称.
设A(x1,y1),C(-x1,-y1),B(x0,y0),D(-x0,-y0),
∴直线AB的斜率kAB=,直线AD的斜率kAD=,则kAB·kAD=.
∵A,B都在椭圆Ω上,
∴=b2,=b2,
∴-=b2·,
∴kAB·kAD=-∈,∴1-∈,
又e=,∴e∈.
4.D 联立整理,得(1+4k2)x2-4=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=0,x1x2=.易知A(-2,0),所以k1=,k2=,所以k1k2=·===-,因此+≥2=2=4(当且仅当=2时,等号成立),即+的最小值为4.
5.ACD 因为|F1F2|=2,所以F2(1,0),|PF2|=1,所以|QF1|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|≥2a-|PF2|=2a-1,当点Q在F2P的延长线上时取等号,故A正确;若椭圆C的短轴长为2,即2b=2,则b2=1,a2=2,所以椭圆的方程为+y2=1,又+12>1,则点P在椭圆外,所以短轴长不可能为2,故B错误;因为点P(1,1)在椭圆内部,所以+<1,又a2-b2=1,所以+<1(a>1),即a4-3a2+1>0(a>1),所以a2>,所以a>,所以e=<,所以e∈,故C正确; 若=,则F1为线段PQ的中点,所以Q(-3,-1),又点Q在椭圆上,所以+=1,又a2-b2=1,所以+=1(a>1),即a4-11a2+9=0(a>1),所以a2==,所以a=,所以椭圆C的长轴长为+,故D正确.故选ACD.
6.答案
解析 易得直线AB的斜率kAB=,则直线AB的方程为y=x+1,当△PAB的面积最大时,过点P的直线与椭圆相切且与直线AB平行,故设该直线的方程为y=x+m(m≠1),联立整理,得2x2+2amx+a2m2-a2=0.由Δ=0,得4a2m2-8(a2m2-a2)=0,解得m2=2,分析可知当△PAB的面积最大时,m=-,此时切线方程为y=x-,则点P到直线AB的距离d==.又|AB|=,所以|AB|·d=+1,所以a=2,所以M(-,0),N(,0)分别为椭圆的左、右焦点,所以|QM|+|QN|=2a=4,则+=·(|QM|+|QN|)=1+++≥,当且仅当|QM|=2|QN|时取等号.
2.5 椭圆及其方程
2.5.2 椭圆的几何性质
基础过关练
题组一 利用方程研究椭圆的几何性质
1.(2021山东菏泽期末)中国是世界上最古老的文明中心之一,中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器,中国陶瓷是世界上独一无二的,它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术,瓷器的形状各式各样,从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘,经测量得到图中数据,则该椭圆瓷盘的焦距为( )
A.24 cm B.6 cm C.12 cm D.12 cm
2.(2021新高考八省(市)1月联考)椭圆+=1(m>0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若∠F1AF2=,则m=( )
A.1 B. C. D.2
3.(2020广东深圳外国语学校检测)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆上一点P到两焦点的距离之和为12,则椭圆的短轴长为( )
A.8 B.6 C.5 D.4
4.(2022天津三中期中)已知椭圆x2+2y2=2与2x2+y2=1,则两个椭圆( )
A.有相同的长轴与短轴
B.有相同的焦距
C.有相同的焦点
D.有相同的离心率
5.(2020广东深圳中学检测)设AB是椭圆的长轴,点C在椭圆上,且∠CBA=45°,若|AB|=4,|BC|=,则椭圆的焦距等于( )
A. B. C. D.
题组二 根据几何性质求椭圆的标准方程
6.(2022四川自贡期中)古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆C的中心在原点,焦点F1,F2在y轴上,其面积为4π,过点F1的直线l与椭圆C交于点A,B且△F2AB的周长为16,则椭圆C的方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
7.(2021江苏江阴四校期中)若椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,两焦点分别为F1,F2,M为椭圆上一点,且△F1F2M的周长为16,则椭圆C的方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
8.(2022湖南益阳期中)若椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,焦距为2,椭圆C上的两点P,Q关于原点对称,|PF|-|QF|=a,且PF⊥QF,则椭圆C的方程为 .
9.已知F1(-3,0),F2(3,0)是椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,点P在椭圆上,∠F1PF2=α,且当α=时,△F1PF2的面积最大,求椭圆的标准方程.
题组三 椭圆的离心率问题
10.(2020福建南安一中段考)设e是椭圆+=1的离心率,且e∈,则实数k的取值范围是( )
A.(0,3) B.
C.(0,2) D.(0,3)∪
11.(2020山东济南山师附中检测)美学四大构件是:史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学.素描是学习绘画的必要一步,它包括明暗素描和结构素描,而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画切面圆柱体(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱,底面与截面之间的部分叫切面圆柱体,原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线)的过程中,发现切面是一个椭圆,若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为60度的直角梯形,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
12.(2021黑龙江大庆实验中学期中)过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于一点P,F2为椭圆的右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
13.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,A为椭圆上一点,连接AF2,交y轴于点M,若∠F1AF2=,且3|OM|=|OF2|,求该椭圆的离心率.
能力提升练
题组 椭圆性质的综合应用
1.(2020河北唐山模拟)已知F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A,若AF1⊥AF2且=2,则椭圆C的方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
2.(多选)(2021山东潍坊高密一中期中)如图所示,某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,则下列式子正确的是( )
A.a1+c1=a2+c2 B.a1-c1=a2-c2
C.c1a2>a1c2 D.<
3.(2021河南名校联盟期中)已知平行四边形ABCD内接于椭圆Ω:+=1(a>b>0),且直线AB,AD的斜率之积的取值范围为,则椭圆Ω的离心率的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
4.(2020河北张家口期末)已知A为椭圆+y2=1的左顶点,直线y=kx(k≠0)与该椭圆相交于P,Q两点,连接AP,AQ,设直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,则+的最小值为( )
A. B.2 C.3 D.4
5.(多选)(2022山东泰安月考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,且|F1F2|=2,点 P(1,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是( )
A.|QF1|+|QP|的最小值为 2a-1
B.椭圆C的短轴长可能为2
C.椭圆C的离心率的取值范围为
D.若=,则椭圆 C的长轴长为+
6.(2020四川绵阳检测)已知椭圆的标准方程为+y2=1(a>1),上顶点为A,左顶点为B,设点P为椭圆上一点,△PAB的面积的最大值为+1,若点M(-,0),N(,0),点Q为椭圆上任意一点,则+的最小值为 .
答案与分层梯度式解析
第二章 平面解析几何
2.5.2 椭圆的几何性质
基础过关练
1.C 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),根据题意得2a=24,2b=12,所以a=12,b=6.因为c2=a2-b2,所以c2=108,c=6,则2c=12.故选C.
2.C 由题意得b=m,c=1,∠F1AO=(O为坐标原点),则tan ===,所以m=.故选C.
3.A 椭圆+=1(a>b>0)的离心率e==,椭圆上一点P到两焦点的距离之和为12,即2a=12,可得a=6,c=2,因此b===4,则椭圆的短轴长为2b=8.
4.D 将椭圆方程x2+2y2=2整理得+y2=1,其焦点在x轴上,a1=,b1=1,则c1==1,所以e1===.
将椭圆方程2x2+y2=1整理得+y2=1,其焦点在y轴上,a2=1,b2=,则c2==,所以e2===,故选D.
5.A 不妨设椭圆的方程为+=1(a>b>0),A为长轴的左端点,B为长轴的右端点,因为∠CBA=45°,|AB|=4,|BC|=,所以2a=4,C(1,1)或C(1,-1),所以a2=4,于是+=1,解得b2=,所以c==,所以焦距2c=.
6.A 依题意得=2a·2b,则ab=4,
由题意,结合椭圆的定义可得4a=16,所以a=4,所以b=,又椭圆的焦点在y轴上,故椭圆的方程为+=1.
7.D 由△F1F2M的周长为16,可得2a+2c=16,由椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,可得=,所以a=5,c=3,则b=4,所以椭圆C的方程为+=1.故选D.
8.答案 +=1
解析 设椭圆C的左焦点为F',由椭圆的对称性可知|PF|-|QF|=|QF'|-|QF|=a,又|QF'|+|QF|=2a,所以|QF'|=,|QF|=,由PF⊥QF得∠F'QF=90°,在Rt△F'QF中,由勾股定理得|QF|2+|QF'|2=|FF'|2,即+=20,解得a2=8,又c=,所以b2=a2-c2=3,因此椭圆C的标准方程为+=1.
9.解析 因为当点P为短轴端点时,最大,所以∠PF1F2=,因此tan=,由题意知c=3,所以b=,于是a2=b2+c2=12,故椭圆的标准方程为+=1.
10.D 当焦点在x轴上,即k>4时,e=∈,∴∈,∴k∈;当焦点在y轴上,即0
则DE=AB=2r,∴CD==r,
因此椭圆的长轴长2a=r,短轴长2b=2r,∴c2=a2-b2=r2-r2=r2,c=r,∴e==,故选A.
12.D 由题意知点P的坐标为或,
∵∠F1PF2=60°,∴tan 60°=,即=,
即2ac=b2=(a2-c2),∴e2+2e-=0,
∴e=或e=-(舍去).故选D.
13.解析 设|AF1|=m,|AF2|=n.如图所示,由题意得Rt△AF1F2∽Rt△OMF2,所以==,所以n=3m,又m+n=2a,m2+n2=4c2,所以m2=,n2=9m2=,+=4c2,所以=,故该椭圆的离心率为.
能力提升练
1.A 由题意可知|OA|=c,不妨设点A在第一象限,如图,设A(x0,y0),则x0=c·cos 30°=c,y0=c·sin 30°=c,即A,将点A的坐标代入椭圆的方程可得+=1①,由=2,得=×2c×c=c2=2,即c2=4,又c2=a2-b2,结合①,可得a2=6,b2=2,故椭圆的方程为+=1.
2.BC 由题图可得a1>a2,c1>c2,∴a1+c1>a2+c2,故A不正确;
∵|PF|=a1-c1,|PF|=a2-c2,∴a1-c1=a2-c2,故B正确;
由a1-c1=a2-c2得(a1+c2)2=(a2+c1)2,即-+2a1c2=-+2a2c1,即+2a1c2=+2a2c1,又b1>b2>0,∴a2c1>a1c2,∴>,故C正确,D不正确.故选BC.
3.A 平行四边形ABCD内接于椭圆Ω,
假设A,C不关于原点对称,过点A,C作互相平行的两条直线,分别交椭圆Ω于B,D两点,
则由椭圆的对称性,得AB≠CD,这与条件不符.
∴A,C关于原点对称,同理B,D关于原点对称.
设A(x1,y1),C(-x1,-y1),B(x0,y0),D(-x0,-y0),
∴直线AB的斜率kAB=,直线AD的斜率kAD=,则kAB·kAD=.
∵A,B都在椭圆Ω上,
∴=b2,=b2,
∴-=b2·,
∴kAB·kAD=-∈,∴1-∈,
又e=,∴e∈.
4.D 联立整理,得(1+4k2)x2-4=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=0,x1x2=.易知A(-2,0),所以k1=,k2=,所以k1k2=·===-,因此+≥2=2=4(当且仅当=2时,等号成立),即+的最小值为4.
5.ACD 因为|F1F2|=2,所以F2(1,0),|PF2|=1,所以|QF1|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|≥2a-|PF2|=2a-1,当点Q在F2P的延长线上时取等号,故A正确;若椭圆C的短轴长为2,即2b=2,则b2=1,a2=2,所以椭圆的方程为+y2=1,又+12>1,则点P在椭圆外,所以短轴长不可能为2,故B错误;因为点P(1,1)在椭圆内部,所以+<1,又a2-b2=1,所以+<1(a>1),即a4-3a2+1>0(a>1),所以a2>,所以a>,所以e=<,所以e∈,故C正确; 若=,则F1为线段PQ的中点,所以Q(-3,-1),又点Q在椭圆上,所以+=1,又a2-b2=1,所以+=1(a>1),即a4-11a2+9=0(a>1),所以a2==,所以a=,所以椭圆C的长轴长为+,故D正确.故选ACD.
6.答案
解析 易得直线AB的斜率kAB=,则直线AB的方程为y=x+1,当△PAB的面积最大时,过点P的直线与椭圆相切且与直线AB平行,故设该直线的方程为y=x+m(m≠1),联立整理,得2x2+2amx+a2m2-a2=0.由Δ=0,得4a2m2-8(a2m2-a2)=0,解得m2=2,分析可知当△PAB的面积最大时,m=-,此时切线方程为y=x-,则点P到直线AB的距离d==.又|AB|=,所以|AB|·d=+1,所以a=2,所以M(-,0),N(,0)分别为椭圆的左、右焦点,所以|QM|+|QN|=2a=4,则+=·(|QM|+|QN|)=1+++≥,当且仅当|QM|=2|QN|时取等号.