人教B版（2019）选择性必修第一册 2.6.1 双曲线的标准方程 同步练习（Word含答案）

第二章　平面解析几何
2.6　双曲线及其方程
2.6.1　双曲线的标准方程
基础过关练
题组一　双曲线的定义及其应用
1.(2021山东日照一中月考)已知平面上的定点F1,F2及动点M,甲:||MF1|-|MF2||=m(m为常数),乙:点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,则甲是乙的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2020陕西咸阳月考)已知点P(x,y)的坐标满足-=±,则动点P的轨迹是(　　)
A.椭圆
B.双曲线
C.两条射线
D.双曲线的一支
3.已知P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,若|PF2|=14,则|PF1|=　　　　.
题组二　对双曲线标准方程的理解
4.(2022广西玉林育才中学期中)设a,b,c为实数,则“ab<0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的(　　)
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
5.(多选)(2022广东东莞检测)已知曲线C:+=1,则下列选项正确的是(　　)
A. m∈(0,3),曲线C为椭圆
B. m∈(3,5),曲线C为椭圆
C. m∈(5,7),曲线C为双曲线
D. m∈(7,+∞),曲线C为双曲线
6.若双曲线-=1的一个焦点与坐标原点间的距离为3,则m的值为　　　　.
题组三　双曲线的标准方程及其应用
7.经过点P(-3,2)和点Q(-6,-7)的双曲线的标准方程是(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
8.(2021湖南郴州永兴一中期中)与椭圆+y2=1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线的标准方程是　(　　)
A.-y2=1 B.-y2=1
C.-=1 D.x2-=1
9.(2022江苏镇江中学期中)动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=1,圆C2:x2+y2-8x+7=0都外切,则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.+y2=1 B.x2-=1
C.x2-=1(x≥1) D.x2-=1(x≤-1)
10.(2020河北石家庄精英中学月考)已知圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上,且A,B两点恰好将此双曲线两焦点的连线三等分,则此双曲线的标准方程为　　　　　　.
能力提升练
题组一　双曲线的定义及其应用
1.(2022江西景德镇一中期末)已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为(　　)
A.y2-=1(y≤-1)　 B.y2-=1
C.x2-=1(x≤-1) D.x2-=1
2.(2022河南平顶山月考)已知F1,F2分别为双曲线x2-=1的左、右焦点,P为双曲线右支上任意一点,点P不在x轴上,若A为△PF1F2内切圆上一动点,则当|AF1|的最大值为4时,△PF1F2的内切圆半径为(　　)
A. B. C. D.
3.(多选)(2020山东济南山师附中模考)已知方程+=1表示曲线C,则下列判断正确的是(　　)
A.当1B.当t>4或t<4时,曲线C表示双曲线
C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,则t>4
4.(2020黑龙江哈尔滨第六中学月考)已知双曲线C:x2-=1的左焦点为F,P是双曲线C的右支上的动点,点Q(0,2),则|PF|+|PQ|的最小值等于　　　　.
5.(2020天津一中期末)若F1,F2分别为双曲线C:-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,∠F1PF2=120°,则点P到x轴的距离为　　　　.
题组二　双曲线的标准方程及综合应用
6.(2021江苏镇江中学期初)人们在进行工业设计时,巧妙利用了圆锥曲线的光学性质.如图,从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线,且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的方程为x2-y2=1,则当入射光线F2P和其反射光线PE互相垂直时(其中P为入射点),∠F1F2P的大小为(　　)
A. B. C. D.
7.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且|AB|=3,|BC|=2,则双曲线E的标准方程是(　　)
A.-=1 B.-=1
C.x2-=1 D.-=1
8.(多选)(2022湖南师大附中月考)已知点P是双曲线E:-=1的右支上一点,F1,F2分别为双曲线E的左、右焦点,若△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的有(　　)
A.点P的横坐标为
B.△PF1F2为锐角三角形
C.△PF1F2的周长为
D.△PF1F2的内切圆半径为
9.(2020山东济南一中月考)已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若点M在双曲线上,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,且|MF1|+|MF2|=6,试判别△MF1F2的形状.
10.已知点M(-2,0),N(2,0)是平面直角坐标系中的两点,动点P满足|PM|+|PN|=6.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)若(1-cos∠MPN)|PM|·|PN|=2,求点P的坐标.
答案与分层梯度式解析
第二章　平面解析几何
2.6　双曲线及其方程
2.6.1　双曲线的标准方程
基础过关练
1.B　根据双曲线的定义,乙 甲,但甲 / 乙,只有当02.B　设A(1,0),B(-1,0),则由已知得||PA|-|PB||=,即动点P到两个定点A、B的距离之差的绝对值等于常数,又|AB|=2,且<2,所以根据双曲线的定义知,动点P的轨迹是双曲线.
3.答案　26
解析　由已知可得a2=36,b2=64,所以a=6,b=8,c2=100,即c=10,由于双曲线左支上的点与右焦点F2之间的距离的最小值为a+c=6+10=16,而|PF2|=14<16,所以点P只能在双曲线的右支上.根据双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=12,所以|PF1|=26.
4.C　若ab<0,c=0,则方程ax2+by2=0不表示双曲线,故充分性不成立;
若方程ax2+by2=c表示双曲线,则a,b异号,即ab<0,故必要性成立.故选C.
5.BD　当m∈(0,3)时,7-m>0,m-3<0,曲线C为双曲线,故A错误;
当m∈(3,5)时,7-m>0,m-3>0,且7-m>m-3,曲线C为椭圆,故B正确;
当m∈(5,7)时,7-m>0,m-3>0,且7-m当m∈(7,+∞)时,7-m<0,m-3>0,曲线C为双曲线,故D正确.
6.答案　7或-2
解析　依题意可知c=3,当双曲线的焦点在x轴上时,m>5,c2=m+m-5=9,所以m=7;当双曲线的焦点在y轴上时,m<0,c2=-m+5-m=9,所以m=-2.综上,m=7或m=-2.
7.B　设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
则解得
故双曲线的标准方程为-=1.故选B.
8.A　由椭圆的方程可得焦点坐标为(±,0),设与椭圆共焦点的双曲线的标准方程为-=1(09.D　易知圆C1的圆心为C1(-4,0),半径 r1=1,圆C2的圆心为C2(4,0),半径 r2=3.设M(x,y),动圆M的半径为r,因为动圆M与圆C1,C2都外切,所以所以|MC2|-|MC1|=2,因为2<|C1C2|=8,所以点M的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的左支,所以c=4,2a=2,即a=1,所以b==,即动圆圆心M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).故选D.
10.答案　-=1
解析　圆x2+y2-4x-9=0与y轴的交点坐标为(0,3),(0,-3),
∵圆与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上,∴双曲线的焦点在y轴上,且a=3,
又∵A,B两点恰好将此双曲线两焦点的连线三等分,∴c=9,∴b2=72,
∴此双曲线的标准方程为-=1.
能力提升练
1.A　由题意得|AC|==13,|BC|==15,|AB|=14.因为A,B 都在椭圆上,所以|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2<14,故F的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的下支,又2c=|AB|=14,2a=|AF|-|BF|=2,所以c=7,a=1,所以b2=48,因此F的轨迹方程是y2-=1(y≤-1).故选A.
2.C　易得F1(-2,0),F2(2,0).设△PF1F2的内切圆分别与PF1,PF2,F1F2相切于N,B,M,圆心为C,如图,则|PN|=|PB|,|F1N|=|F1M|,|F2B|=|F2M|,又点P在双曲线的右支上,所以|PF1|-|PF2|=2a,故|F1M|-|F2M|=2a.
设M的坐标为(x,0),则(x+c)-(c-x)=2a,解得x=a=1.设内切圆的半径为r,则内切圆的圆心为C(1,r),则|AF1|的最大值为|CF1|+r=4,即+r=4,解得r=.故选C.
3.BCD　由4-t=t-1,得t=,满足1由双曲线的定义可知,当(4-t)(t-1)<0,即t<1或t>4时,方程+=1表示双曲线,故B正确;
由椭圆的定义可知,当椭圆的焦点在x轴上时,满足4-t>t-1>0,解得1若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,则解得t>4,故D正确.
故选BCD.
4.答案　6
解析　设双曲线的右焦点为F',连接QF',PF',如图,
根据双曲线的定义可知|PF|-|PF'|=2a=2,则|PF|=|PF'|+2,所以|PF|+|PQ|=|PF'|+|PQ|+2≥|QF'|+2.因为Q(0,2),F'(2,0),所以|QF'|==4,所以|PF|+|PQ|的最小值为6.
5.答案　
解析　根据题意得a=2,c=,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 120°,
∴20=+3|PF1|·|PF2|=16+3|PF1|·|PF2|,
故|PF1|·|PF2|=.
设点P到x轴的距离为d,
∴=×2c×d=|PF1|·|PF2|·sin 120°=,∴d=.
6.答案　D
信息提取　①从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线,且反射光线的反向延长线经过左焦点F1;②双曲线的方程为x2-y2=1;③F2P⊥PE.
数学建模　本题以双曲线镜面反射为背景,构建与双曲线有关的问题.通过F2P⊥PE构建方程,再结合余弦的定义求解.
解析　由双曲线的标准方程x2-y2=1,得a=1,b=1,c=.
设|PF2|=m(m>0),则|PF1|=2+m.
所以m2+(m+2)2=,
解得m=-1(m=--1舍去),
所以cos∠F1F2P==,
所以∠F1F2P=.故选D.
7.D　如图,由题意知|MN|=|BC|=2.设AB,CD的中点分别为M,N,在Rt△BMN中,|MN|=2c=2,所以c=1,|BN|===,由双曲线的定义可得2a=|BN|-|BM|=-=1,即a2=,所以b2=,故双曲线E的标准方程为-=1.
8.ACD　由双曲线的标准方程知a=4,b=3,c=5.不妨令点P在第一象限,设P(m,n),m>0,n>0,对于A,=|F1F2|×n=cn=5n=20,即n=4,代入双曲线的方程中,可解得m=(负值舍去),故A正确;对于B,由P,F2(5,0),可得=>0,则∠PF2F1为钝角,所以△PF1F2为钝角三角形,故B错误;对于C,易得|PF1|==,|PF2|==,则△PF1F2的周长为++10=,故C正确;对于D,设△PF1F2的内心为I,内切圆半径为r,连接IP,IF1,IF2,则×r=20,解得r=,故D正确.故选ACD.
9.解析　(1)椭圆方程可化为+=1,焦点在x轴上,且c==.
设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),
则有解得
所以双曲线的标准方程为-=1.
(2)不妨设点M在双曲线的右支上,
则有|MF1|-|MF2|=2,
又|MF1|+|MF2|=6,
所以|MF1|=4,|MF2|=2,
又|F1F2|=2,
因此在△MF1F2中,边MF1最长,cos∠MF2F1=<0,
所以∠MF2F1为钝角,
故△MF1F2为钝角三角形.
10.解析　(1)设动点P的坐标为(x,y).
∵点M(-2,0),N(2,0)是平面上的两点,动点P满足|PM|+|PN|=6>|MN|,
∴点P的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,设其方程为+=1(a>b>0),易知a=3,c=2,
∴b2=9-4=5,
∴点P的轨迹方程为+=1.
(2)在△MPN中,
cos∠MPN=
=
=.
∵(1-cos∠MPN)|PM|·|PN|=2,
∴·|PM|·|PN|=2,
解得|PM|·|PN|=6,
由得||PM|-|PN||=2<4,
∴点P在以M(-2,0),N(2,0)为焦点的双曲线-y2=1上,
联立椭圆与双曲线方程可得解得点P的坐标为或或或.