人教B版（2019）选择性必修第一册 2.6.2 双曲线的几何性质 同步练习（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）选择性必修第一册 2.6.2 双曲线的几何性质 同步练习（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 67.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-02 11:42:22 | ||
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文档简介
第二章 平面解析几何
2.6 双曲线及其方程
2.6.2 双曲线的几何性质
基础过关练
题组一 根据双曲线的方程研究几何性质
1.(2022广东茂名高州检测)焦点在y轴上的双曲线y2-=1的离心率为,则m的值为( )
A.1 B.4或1 C.3 D.4
2.(2021山东德州一中月考)若双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则实数m的值为( )
A.4 B.-4 C.- D.
3.(多选)(2022广东云浮期末)已知双曲线W:-=1,则( )
A.m∈(-2,-1)
B.若W的顶点坐标为(0,±),则m=-3
C.W的焦点坐标为(±1,0)
D.若m=0,则W的渐近线方程为x±y=0
4.若点A(10,2)是双曲线my2-4x2+4m=0上的点,试求该双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程.
题组二 根据几何性质求双曲线的方程
5.中心在原点,实轴在x轴上,一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线方程是( )
A.x2-y2=8 B.x2-y2=4
C.y2-x2=8 D.y2-x2=4
6.(2020吉林白山一中月考)焦点为(0,6)且与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
7.(2022湖南师大附中期中)已知双曲线C与椭圆+=1有共同的焦点,且它们的离心率之和为,则双曲线C的方程是 .
8.(2022广西玉林育才中学质量检测)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-)及点M(3,m).
(1)求双曲线的方程;
(2)求证:·=0.
题组三 双曲线的渐近线及其应用
9.(2020河南郑州期末)设曲线C是双曲线,则“C的方程为x2-=1”是“C的渐近线方程为y=±2x”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10.(2020四川成都石室中学月考)已知双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为1,则该双曲线的渐近线方程是( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±2x
11.(2020湖南雅礼中学月考)双曲线C:x2-y2=2的右焦点为F,P为C的一条渐近线上的点,O为坐标原点,若|PO|=|PF|,则S△OPF=( )
A. B. C.1 D.2
12.已知F1,F2分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上的一点,且|PF1|=2|PF2|.若△PF1F2为等腰三角形,求该双曲线的渐近线方程.
题组四 双曲线的离心率
13.(2021江苏南通一中期中)如果椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,那么双曲线-=1的离心率是( )
A. B. C. D.2
14.(2022河南郸城第一高级中学摸底)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2m,4m)(m≠0),则双曲线C的离心率为( )
A.4 B.2 C. D.
15.(2020安徽芜湖期末)设A1,A2分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右顶点,若双曲线上存在点M使得<2,则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A.(1,) B.(1,)
C.(,+∞) D.(1,2)
16.过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上,求双曲线的离心率.
能力提升练
题组 双曲线几何性质的综合应用
1.(2020北京八中期中)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率e=,对称中心为O,右焦点为F,点A是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点,∠AOF=∠OAF,△OAF的面积为3,则双曲线C的方程为( )
A.-=1 B.-y2=1
C.-=1 D.-=1
2.(2020广东中山纪念中学模拟)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.3
3.(多选)(2022湖南邵阳十一中期末)已知双曲线C过点(3,),且渐近线方程为y=±x,则下列结论正确的是( )
A.C的方程为-y2=1
B.C的离心率为
C.曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点
D.直线x-y-1=0与C有两个公共点
4.(多选)(2020山东济宁曲阜实验中学月考)已知双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若|AF1|=|BF2|=2|AF2|,则下列说法正确的是( )
A.∠AF1B=∠F1AB
B.双曲线的离心率e=
C.双曲线的渐近线方程为y=±x
D.原点O在以F2为圆心,AF2为半径的圆上
5.(2022河南期末)设P是双曲线C:-=1(a>0,b>0)上一点,F1(-2,0),F2分别是C的左、右焦点,Q是C的右支上的动点,则C的离心率为 ,△PQF1面积的取值范围是 .
6.(2020湖北武汉华中师大附中模考)F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P在双曲线上,满足·=0,若△PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为,则该双曲线的离心率为 .
7.(2021新高考八省(市)联考)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B在C上.当BF⊥AF时,|AF|=|BF|.
(1)求双曲线C的离心率;
(2)若点B在第一象限,证明:∠BFA=2∠BAF.
答案与分层梯度式解析
第二章 平面解析几何
2.6.2 双曲线的几何性质
基础过关练
1.D 显然m>0,则=,解得m=4.
2.C 依题意得,双曲线的标准方程为y2-=1,即a2=1,b2=-,因为虚轴长是实轴长的2倍,所以b=2a,即b2=4a2,所以-=4,所以m=-.故选C.
3.BD 因为方程表示双曲线,所以(2+m)(1+m)>0,解得m>-1或m<-2,故A错误;因为W的顶点坐标为(0,±),所以-m-1=()2,解得m=-3,故B正确;当m>-1时,c2=(2+m)+(m+1)=2m+3>1,当m<-2时,c2=-(2+m)-(m+1)=-2m-3>1,故C错误;当m=0时,双曲线W的标准方程为-y2=1,则渐近线方程为y=±x,即x±y=0,故D正确.故选BD.
4.解析 因为点A(10,2)在双曲线my2-4x2+4m=0上,
所以m-4×102+4m=0,解得m=25,于是双曲线方程为25y2-4x2+100=0,
即-=1,
所以双曲线的焦点在x轴上,且a2=25,b2=4,c2=25+4=29.
因此实轴长为2a=10,虚轴长为2b=4,焦距为2c=2,
焦点坐标为(,0),(-,0),
顶点坐标为(-5,0),(5,0),
离心率e==,
渐近线方程为y=±x.
5.A 依题意双曲线的焦点在x轴上,且其中一个焦点在直线3x-4y+12=0上,故该焦点为(-4,0),即c=4,因此a2=b2=8,故等轴双曲线方程为x2-y2=8.
6.A 由题意设双曲线方程为-y2=t(t<0),则-+=1,所以-2t-t=36,解得t=-12,所以双曲线方程为-=1.故选A.
7.答案 -=1
解析 因为双曲线C与椭圆+=1有共同的焦点,所以双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则c==4,所以+=,解得a=2,所以b2=16-4=12,
因此,双曲线C的方程是-=1.
8.解析 (1)∵e=,∴双曲线的实轴长与虚轴长相等,则可设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0).
∵双曲线过点(4,-),∴16-10=λ,解得λ=6,
∴双曲线的方程为-=1.
(2)证明:不妨设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,易知F1(-2,0),F2(2,0),
则=(-2-3,-m),=(2-3,-m),
∴·=(-2-3)×(2-3)+m2=-3+m2.∵点M在双曲线上,
∴9-m2=6,即m2-3=0,∴·=0.
9.A 当C的方程为x2-=1时,其渐近线方程一定为y=±2x,但当渐近线方程为y=±2x时,C的方程可以为x2-=k(k≠0),不一定为x2-=1,故为充分不必要条件.
10.D 可设双曲线-=1的一个焦点坐标为(0,c),c>0,一条渐近线方程为2x-by=0,根据双曲线的对称性及题意可知=1且c=,所以|b|=1,因此双曲线的渐近线方程为y=±2x.故选D.
11.C 由题知,双曲线方程为-=1,因此右焦点F的坐标为(2,0),渐近线方程为y=±x,故|OF|=2,由于|PO|=|PF|,所以P为双曲线的渐近线与线段OF的垂直平分线的交点,其坐标为(1,1)或(1,-1),故S△OPF=×2×1=1.
12.解析 因为P为双曲线右支上的一点,所以|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=2|PF2|,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a.因为△PF1F2为等腰三角形,所以|PF1|=|F1F2|或|F1F2|=|PF2|,即有4a=2c或2c=2a(舍去),因此c=2a,所以c2=4a2=a2+b2,所以b2=3a2,所以=,故渐近线方程为y=±x.
13.A 因为椭圆的离心率为,所以==,所以双曲线的离心率为==,故选A.
14.C 由已知得双曲线C的一条渐近线的斜率为=2,则=2,所以==4,
所以-1=4,即e2=5,又e>1,所以e=.
15.B 设M(x,y)(x≠±a),因为A1(-a,0),A2(a,0),所以=,=,则·=,又点M在双曲线上,所以-=1,即y2=b2,代入·=中可得=<2,即=e2-1<2,所以116.解析 如图所示,不妨设F为右焦点,过F作FP垂直于一条渐近线,垂足为P,过P作PM⊥OF于M.由已知得M为OF的中点,由射影定理知|PF|2=|FM||FO|,
又F(c,0),渐近线OP的方程为bx-ay=0,所以|PF|==b,于是b2=·c,即2b2=c2=a2+b2,因此a2=b2,故e===.
能力提升练
1.C 依题意得e2==1+=,所以=①.由F向渐近线作垂线,设垂足为M,则|FM|=b,|OM|=a,所以|OA|=2|OM|=2a,于是S△OAF=·|OA|·|FM|=·2a·b=3②,由①②解得a=3,b=,故双曲线C的方程为-=1.
2.B 因为P是双曲线-=1(a>0,b>0)上一点,所以||PF1|-|PF2||=2a,
又|PF1|+|PF2|=3b,
所以(|PF1|+|PF2|)2-(|PF1|-|PF2|)2=9b2-4a2,
所以4|PF1|·|PF2|=9b2-4a2.
又因为|PF1|·|PF2|=ab,
所以9ab=9b2-4a2,即9-9×-4=0,
解得=-(舍去)或=,
所以e2===1+=1+=,所以e=.故选B.
3.AC 由题意可设双曲线的方程为-y2=λ(λ>0),把(3,)代入,得-2=λ,即λ=1,∴双曲线C的方程为-y2=1,故A正确;由a2=3,b2=1,得c==2,∴双曲线C的离心率为=,故B错误;令x-2=0,得x=2,则ex-2-1=0,故曲线y=ex-2-1过定点(2,0),即曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点,故C正确;双曲线的渐近线方程为x±y=0,因为直线x-y-1=0与双曲线的一条渐近线平行,所以直线x-y-1=0与C只有一个公共点,故D错误.故选AC.
4.ABC 如图,设|AF2|=m,则|BF2|=|AF1|=2m,所以2a=|AF1|-|AF2|=m,|BF1|=|BF2|+2a=2m+2a=6a,|AB|=|AF2|+|BF2|=6a,所以|BF1|=|AB|,所以∠AF1B=∠F1AB,故A正确;
因为|AF1|=2m=4a,|BF1|=|AB|=6a,所以在△AF1B中,cos∠F1AB==,在△AF1F2中,|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1||AF2|cos∠F1AF2,即4c2=16a2+4a2-2×4a×2a×=,所以=,所以e==,故B正确;
由==得=,则=,所以渐近线方程为y=±x,故C正确;
若原点O在以F2为圆心,AF2为半径的圆上,则|OF2|=|AF2|,即c=2a,则e==2,与B矛盾,不成立,故D错误.故选ABC.
5.答案 2;
解析 根据题意,得双曲线C的右焦点为F2(2,0),则|PF1|==,|PF2|==.
因为点P在双曲线C上,所以2a=|PF2|-|PF1|=2,所以a=1,
又c=2,所以双曲线C的离心率e==2.
因为直线PF1的斜率=,==,所以直线PF1与双曲线C的一条渐近线平行,该渐近线方程为y=x,
则这条渐近线与直线PF1:x-y+2=0的距离d==,显然双曲线右支上的点Q到直线PF1的距离h>d=,所以=×|PF1|×h>××=,
所以△PQF1面积的取值范围是.
6.答案 +1
解析 ∵·=0,∴PF1⊥PF2,即△PF1F2为直角三角形,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,又||PF1|-|PF2||=2a,则2|PF1|·|PF2|=|PF1|2+|PF2|2-(|PF1|-|PF2|)2=4c2-4a2,∴(|PF1|+|PF2|)2=(|PF1|-|PF2|)2+4|PF1|·|PF2|=8c2-4a2,∴△PF1F2的内切圆半径r==-c,又△PF1F2的外接圆半径R=c,=,∴=,整理,得=4+2,∴双曲线的离心率e=+1.
7.解析 (1)当BF⊥AF时,易得|BF|=,
∵|AF|=a+c,|AF|=|BF|,
∴a+c=,结合a2+b2=c2,可得2a2+ac-c2=0,
∴(e-2)(e+1)=0,又e>1,∴e=2.
(2)证明:设B(x,y),x>0,y>0,当x≠c时,tan∠BAF=kAB=,kBF=,
由(1)可得c=2a,b2=3a2,
∴tan 2∠BAF========-kBF=tan∠BFA.
∵∠BAF,∠BFA∈∪,∴∠BFA=2∠BAF.
当x=c时,|BF|=|AF|,∠BFA=90°=2∠BAF.
综上,∠BFA=2∠BAF.
2.6 双曲线及其方程
2.6.2 双曲线的几何性质
基础过关练
题组一 根据双曲线的方程研究几何性质
1.(2022广东茂名高州检测)焦点在y轴上的双曲线y2-=1的离心率为,则m的值为( )
A.1 B.4或1 C.3 D.4
2.(2021山东德州一中月考)若双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则实数m的值为( )
A.4 B.-4 C.- D.
3.(多选)(2022广东云浮期末)已知双曲线W:-=1,则( )
A.m∈(-2,-1)
B.若W的顶点坐标为(0,±),则m=-3
C.W的焦点坐标为(±1,0)
D.若m=0,则W的渐近线方程为x±y=0
4.若点A(10,2)是双曲线my2-4x2+4m=0上的点,试求该双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程.
题组二 根据几何性质求双曲线的方程
5.中心在原点,实轴在x轴上,一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线方程是( )
A.x2-y2=8 B.x2-y2=4
C.y2-x2=8 D.y2-x2=4
6.(2020吉林白山一中月考)焦点为(0,6)且与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
7.(2022湖南师大附中期中)已知双曲线C与椭圆+=1有共同的焦点,且它们的离心率之和为,则双曲线C的方程是 .
8.(2022广西玉林育才中学质量检测)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-)及点M(3,m).
(1)求双曲线的方程;
(2)求证:·=0.
题组三 双曲线的渐近线及其应用
9.(2020河南郑州期末)设曲线C是双曲线,则“C的方程为x2-=1”是“C的渐近线方程为y=±2x”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10.(2020四川成都石室中学月考)已知双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为1,则该双曲线的渐近线方程是( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±2x
11.(2020湖南雅礼中学月考)双曲线C:x2-y2=2的右焦点为F,P为C的一条渐近线上的点,O为坐标原点,若|PO|=|PF|,则S△OPF=( )
A. B. C.1 D.2
12.已知F1,F2分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上的一点,且|PF1|=2|PF2|.若△PF1F2为等腰三角形,求该双曲线的渐近线方程.
题组四 双曲线的离心率
13.(2021江苏南通一中期中)如果椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,那么双曲线-=1的离心率是( )
A. B. C. D.2
14.(2022河南郸城第一高级中学摸底)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2m,4m)(m≠0),则双曲线C的离心率为( )
A.4 B.2 C. D.
15.(2020安徽芜湖期末)设A1,A2分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右顶点,若双曲线上存在点M使得<2,则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A.(1,) B.(1,)
C.(,+∞) D.(1,2)
16.过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上,求双曲线的离心率.
能力提升练
题组 双曲线几何性质的综合应用
1.(2020北京八中期中)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率e=,对称中心为O,右焦点为F,点A是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点,∠AOF=∠OAF,△OAF的面积为3,则双曲线C的方程为( )
A.-=1 B.-y2=1
C.-=1 D.-=1
2.(2020广东中山纪念中学模拟)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.3
3.(多选)(2022湖南邵阳十一中期末)已知双曲线C过点(3,),且渐近线方程为y=±x,则下列结论正确的是( )
A.C的方程为-y2=1
B.C的离心率为
C.曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点
D.直线x-y-1=0与C有两个公共点
4.(多选)(2020山东济宁曲阜实验中学月考)已知双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若|AF1|=|BF2|=2|AF2|,则下列说法正确的是( )
A.∠AF1B=∠F1AB
B.双曲线的离心率e=
C.双曲线的渐近线方程为y=±x
D.原点O在以F2为圆心,AF2为半径的圆上
5.(2022河南期末)设P是双曲线C:-=1(a>0,b>0)上一点,F1(-2,0),F2分别是C的左、右焦点,Q是C的右支上的动点,则C的离心率为 ,△PQF1面积的取值范围是 .
6.(2020湖北武汉华中师大附中模考)F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P在双曲线上,满足·=0,若△PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为,则该双曲线的离心率为 .
7.(2021新高考八省(市)联考)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B在C上.当BF⊥AF时,|AF|=|BF|.
(1)求双曲线C的离心率;
(2)若点B在第一象限,证明:∠BFA=2∠BAF.
答案与分层梯度式解析
第二章 平面解析几何
2.6.2 双曲线的几何性质
基础过关练
1.D 显然m>0,则=,解得m=4.
2.C 依题意得,双曲线的标准方程为y2-=1,即a2=1,b2=-,因为虚轴长是实轴长的2倍,所以b=2a,即b2=4a2,所以-=4,所以m=-.故选C.
3.BD 因为方程表示双曲线,所以(2+m)(1+m)>0,解得m>-1或m<-2,故A错误;因为W的顶点坐标为(0,±),所以-m-1=()2,解得m=-3,故B正确;当m>-1时,c2=(2+m)+(m+1)=2m+3>1,当m<-2时,c2=-(2+m)-(m+1)=-2m-3>1,故C错误;当m=0时,双曲线W的标准方程为-y2=1,则渐近线方程为y=±x,即x±y=0,故D正确.故选BD.
4.解析 因为点A(10,2)在双曲线my2-4x2+4m=0上,
所以m-4×102+4m=0,解得m=25,于是双曲线方程为25y2-4x2+100=0,
即-=1,
所以双曲线的焦点在x轴上,且a2=25,b2=4,c2=25+4=29.
因此实轴长为2a=10,虚轴长为2b=4,焦距为2c=2,
焦点坐标为(,0),(-,0),
顶点坐标为(-5,0),(5,0),
离心率e==,
渐近线方程为y=±x.
5.A 依题意双曲线的焦点在x轴上,且其中一个焦点在直线3x-4y+12=0上,故该焦点为(-4,0),即c=4,因此a2=b2=8,故等轴双曲线方程为x2-y2=8.
6.A 由题意设双曲线方程为-y2=t(t<0),则-+=1,所以-2t-t=36,解得t=-12,所以双曲线方程为-=1.故选A.
7.答案 -=1
解析 因为双曲线C与椭圆+=1有共同的焦点,所以双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则c==4,所以+=,解得a=2,所以b2=16-4=12,
因此,双曲线C的方程是-=1.
8.解析 (1)∵e=,∴双曲线的实轴长与虚轴长相等,则可设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0).
∵双曲线过点(4,-),∴16-10=λ,解得λ=6,
∴双曲线的方程为-=1.
(2)证明:不妨设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,易知F1(-2,0),F2(2,0),
则=(-2-3,-m),=(2-3,-m),
∴·=(-2-3)×(2-3)+m2=-3+m2.∵点M在双曲线上,
∴9-m2=6,即m2-3=0,∴·=0.
9.A 当C的方程为x2-=1时,其渐近线方程一定为y=±2x,但当渐近线方程为y=±2x时,C的方程可以为x2-=k(k≠0),不一定为x2-=1,故为充分不必要条件.
10.D 可设双曲线-=1的一个焦点坐标为(0,c),c>0,一条渐近线方程为2x-by=0,根据双曲线的对称性及题意可知=1且c=,所以|b|=1,因此双曲线的渐近线方程为y=±2x.故选D.
11.C 由题知,双曲线方程为-=1,因此右焦点F的坐标为(2,0),渐近线方程为y=±x,故|OF|=2,由于|PO|=|PF|,所以P为双曲线的渐近线与线段OF的垂直平分线的交点,其坐标为(1,1)或(1,-1),故S△OPF=×2×1=1.
12.解析 因为P为双曲线右支上的一点,所以|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=2|PF2|,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a.因为△PF1F2为等腰三角形,所以|PF1|=|F1F2|或|F1F2|=|PF2|,即有4a=2c或2c=2a(舍去),因此c=2a,所以c2=4a2=a2+b2,所以b2=3a2,所以=,故渐近线方程为y=±x.
13.A 因为椭圆的离心率为,所以==,所以双曲线的离心率为==,故选A.
14.C 由已知得双曲线C的一条渐近线的斜率为=2,则=2,所以==4,
所以-1=4,即e2=5,又e>1,所以e=.
15.B 设M(x,y)(x≠±a),因为A1(-a,0),A2(a,0),所以=,=,则·=,又点M在双曲线上,所以-=1,即y2=b2,代入·=中可得=<2,即=e2-1<2,所以1
又F(c,0),渐近线OP的方程为bx-ay=0,所以|PF|==b,于是b2=·c,即2b2=c2=a2+b2,因此a2=b2,故e===.
能力提升练
1.C 依题意得e2==1+=,所以=①.由F向渐近线作垂线,设垂足为M,则|FM|=b,|OM|=a,所以|OA|=2|OM|=2a,于是S△OAF=·|OA|·|FM|=·2a·b=3②,由①②解得a=3,b=,故双曲线C的方程为-=1.
2.B 因为P是双曲线-=1(a>0,b>0)上一点,所以||PF1|-|PF2||=2a,
又|PF1|+|PF2|=3b,
所以(|PF1|+|PF2|)2-(|PF1|-|PF2|)2=9b2-4a2,
所以4|PF1|·|PF2|=9b2-4a2.
又因为|PF1|·|PF2|=ab,
所以9ab=9b2-4a2,即9-9×-4=0,
解得=-(舍去)或=,
所以e2===1+=1+=,所以e=.故选B.
3.AC 由题意可设双曲线的方程为-y2=λ(λ>0),把(3,)代入,得-2=λ,即λ=1,∴双曲线C的方程为-y2=1,故A正确;由a2=3,b2=1,得c==2,∴双曲线C的离心率为=,故B错误;令x-2=0,得x=2,则ex-2-1=0,故曲线y=ex-2-1过定点(2,0),即曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点,故C正确;双曲线的渐近线方程为x±y=0,因为直线x-y-1=0与双曲线的一条渐近线平行,所以直线x-y-1=0与C只有一个公共点,故D错误.故选AC.
4.ABC 如图,设|AF2|=m,则|BF2|=|AF1|=2m,所以2a=|AF1|-|AF2|=m,|BF1|=|BF2|+2a=2m+2a=6a,|AB|=|AF2|+|BF2|=6a,所以|BF1|=|AB|,所以∠AF1B=∠F1AB,故A正确;
因为|AF1|=2m=4a,|BF1|=|AB|=6a,所以在△AF1B中,cos∠F1AB==,在△AF1F2中,|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1||AF2|cos∠F1AF2,即4c2=16a2+4a2-2×4a×2a×=,所以=,所以e==,故B正确;
由==得=,则=,所以渐近线方程为y=±x,故C正确;
若原点O在以F2为圆心,AF2为半径的圆上,则|OF2|=|AF2|,即c=2a,则e==2,与B矛盾,不成立,故D错误.故选ABC.
5.答案 2;
解析 根据题意,得双曲线C的右焦点为F2(2,0),则|PF1|==,|PF2|==.
因为点P在双曲线C上,所以2a=|PF2|-|PF1|=2,所以a=1,
又c=2,所以双曲线C的离心率e==2.
因为直线PF1的斜率=,==,所以直线PF1与双曲线C的一条渐近线平行,该渐近线方程为y=x,
则这条渐近线与直线PF1:x-y+2=0的距离d==,显然双曲线右支上的点Q到直线PF1的距离h>d=,所以=×|PF1|×h>××=,
所以△PQF1面积的取值范围是.
6.答案 +1
解析 ∵·=0,∴PF1⊥PF2,即△PF1F2为直角三角形,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,又||PF1|-|PF2||=2a,则2|PF1|·|PF2|=|PF1|2+|PF2|2-(|PF1|-|PF2|)2=4c2-4a2,∴(|PF1|+|PF2|)2=(|PF1|-|PF2|)2+4|PF1|·|PF2|=8c2-4a2,∴△PF1F2的内切圆半径r==-c,又△PF1F2的外接圆半径R=c,=,∴=,整理,得=4+2,∴双曲线的离心率e=+1.
7.解析 (1)当BF⊥AF时,易得|BF|=,
∵|AF|=a+c,|AF|=|BF|,
∴a+c=,结合a2+b2=c2,可得2a2+ac-c2=0,
∴(e-2)(e+1)=0,又e>1,∴e=2.
(2)证明:设B(x,y),x>0,y>0,当x≠c时,tan∠BAF=kAB=,kBF=,
由(1)可得c=2a,b2=3a2,
∴tan 2∠BAF========-kBF=tan∠BFA.
∵∠BAF,∠BFA∈∪,∴∠BFA=2∠BAF.
当x=c时,|BF|=|AF|,∠BFA=90°=2∠BAF.
综上,∠BFA=2∠BAF.