人教B版（2019）选择性必修第一册 2.7.1 抛物线的标准方程 同步练习（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）选择性必修第一册 2.7.1 抛物线的标准方程 同步练习（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 84.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-02 11:43:04 | ||
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文档简介
第二章 平面解析几何
2.7 抛物线及其方程
2.7.1 抛物线的标准方程
基础过关练
题组一 抛物线的定义及应用
1.(2020山西临汾一中月考)在平面内,“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2022江西新余检测)已知动点M的坐标满足方程=,则动点M的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
3.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=( )
A.1 B.2 C.4 D.8
4.(2020黑龙江哈尔滨六中期中)过焦点为F的抛物线y2=12x上一点M向其准线作垂线,垂足为N,若|NF|=10,则|MF|=( )
A. B. C. D.
题组二 抛物线的标准方程和准线方程
5.(2021辽宁阜新模拟)若抛物线x2=2py(p>0)的焦点与椭圆+=1的上焦点重合,则该抛物线的准线方程为( )
A.y=-1 B.y=1 C.y=-2 D.y=2
6.(2020山东省实验中学期中)已知d为抛物线y=2px2(p>0)的焦点到其准线的距离,则pd的值等于( )
A.p2 B.p2 C. D.
7.(2021山东青岛平度一中月考)已知点A(0,-2),直线l:y=2,则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹方程为 .
8.(2022浙江温州检测)椭圆+=1的左焦点F的坐标为 ,以F为焦点,坐标原点为顶点的抛物线方程为 .
9.(2021山东淄博张店模拟)如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由矩形的三条边和抛物线的一段构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m.
(1)以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立平面直角坐标系(如图),求该抛物线的方程;
(2)若行车道总宽度AB为7 m,车辆禁止跨越道路中心线,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1 m).
能力提升练
题组一 抛物线定义的应用
1.(2021山东滨州滨城高新一中模拟)若点A的坐标为(3,2),F是抛物线y2=2x的焦点,点M在抛物线上移动时,使|MA|+|MF|取得最小值的M的坐标为( )
A.(0,0) B. C.(1,) D.(2,2)
2.(2020四川成都外国语学校期中)抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,连接PF并延长,交抛物线C于点Q,若|PF|=|PQ|,则|QF|=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.(2020吉林通化一中月考)设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点.
(1)若点P到直线x=-1的距离为d,A(-1,1),求|PA|+d的最小值;
(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.
题组二 抛物线的方程及应用
4.(2022北京第十二中学检测)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P在抛物线C上,|FP|=10,若以FP为直径的圆过点(0,3),则p的值为( )
A.4或9 B.4或18
C.2或18 D.2或9
5.(2020安徽蚌埠月考)已知抛物线x2=4y的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,过P作PA⊥l于点A,当∠AFO=30°(O为坐标原点)时,|PF|=( )
A. B. C.2 D.3
6.(多选)(2020山东省实验中学月考)已知抛物线C:x2=3y的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,其中点A在第一象限,若弦AB的长为4,则( )
A.直线l的倾斜角为30°或150°
B.|AF|-|BF|=4
C.的值为或3
D.S△AOB=
7.(2021山东烟台期末)汽车前照灯的反射镜为一个抛物面,它由抛物线沿它的对称轴旋转一周形成.通常前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成,其中灯泡位于抛物面的焦点上,由灯泡发出的光经反射镜反射后形成平行光束,再经过透镜的折射等作用达到照亮路面的效果.如图,从灯泡发出的光线FP经抛物线y2=2px(p>0)反射后,沿PN平行射出,∠FPN的平分线PM交x轴于点M,直线PM的方程为2x+y-12=0,则抛物线的方程为 .
答案与分层梯度式解析
第二章 平面解析几何
2.7 抛物线及其方程
2.7.1 抛物线的标准方程
基础过关练
1.B 若点P的轨迹为抛物线,则点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离,但若点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离,且该定点在该定直线上,则点P的轨迹就不是抛物线,故应为必要不充分条件.
2.C 方程=表示动点M(x,y)与定点(0,0)间的距离等于动点M到定直线3x+4y-12=0的距离,且定点不在定直线上,根据抛物线的定义可知,动点M的轨迹是以定点(0,0)为焦点,定直线3x+4y-12=0为准线的一条抛物线.
3.A 由抛物线C的方程y2=x可得p=,∴|AF|=x0=x0+=x0+,解得x0=1.
4.B 记准线与x轴的交点为A,易知|AF|=6.因为|NF|=10,所以|AN|=8,即点M的纵坐标为8或-8,设点M的横坐标为xM,则xM==,故|MF|=+3=.
5.C ∵椭圆+=1的上焦点坐标为(0,2),∴抛物线的焦点坐标为(0,2),∴抛物线的准线方程为y=-2,故选C.
6.D 抛物线方程可化为x2=y,所以d=,故pd=p·=.
7.答案 x2=-8y
解析 由题意知,圆心在以A(0,-2)为焦点,直线y=2为准线的抛物线上,其方程可设为x2=-2py(p>0),则=2,∴p=4,∴所求圆心的轨迹方程为x2=-8y.
8.答案 (-1,0);y2=-4x
解析 由椭圆方程可得c2=a2-b2=4-3=1,所以F(-1,0),故所求抛物线的焦点为F(-1,0),设抛物线方程为y2=-2px(p>0),则=1,所以p=2,故所求抛物线的方程为y2=-4x.
9.信息提取 ①抛物线与矩形的组合截面;②隧道高7 m,宽10 m,矩形高2 m;③每条行车道的宽度为3.5 m.
数学模型 以隧道截面为情境,构建与抛物线相关的数学模型.(1)根据建立的平面直角坐标系,设出抛物线的标准方程,由图中数据找到抛物线上的点的坐标,代入求出方程;(2)设限高为h m,用h表示临界点D的坐标,代入抛物线方程求参数.
解析 (1)依题意,设该抛物线的方程为x2=-2py(p>0).
如图,因为点C(5,-5)在抛物线上,
所以52=-2p×(-5),所以p=,
所以该抛物线的方程为x2=-5y.
(2)设车辆的限制高度为h m,则|DB|=h+0.5,故D(3.5,h-6.5),代入方程x2=-5y,解得h=4.05.所以通过隧道的车辆限制高度为4.0 m.
方法点睛 考查抛物线方程的实际应用,解题时注意结合图形,将实际问题抽象为数学问题,最后结果取近似值时,要结合实际情况(如本题中车辆高度不能超过4.05 m),否则容易出错.
能力提升练
1.D 如图所示,过M作抛物线准线的垂线,垂足为B,过A作抛物线准线的垂线,垂足为B',交抛物线于M'.由抛物线的定义得|MF|+|MA|=|MB|+|MA|,所以当M,B,A三点共线,即M运动到M'时,|MB|+|MA|的值最小,此时M(2,2),故选D.
2.C 设Q到l的距离为d,则由抛物线的定义可得,|QF|=d.
∵|PF|=|PQ|,∴|PQ|=5|QF|=5d,
不妨设Q在第四象限,
则直线PF的斜率为-=-2.
易知F(2,0),∴直线PF的方程为y=-2(x-2),与y2=8x联立可得3x2-13x+12=0,解得x=3或x=,由题意可得点Q的横坐标大于2,故x=3,
∴|QF|=d=3+2=5.故选C.
3.解析 (1)依题意,抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.由已知及抛物线的定义,可知|PF|=d,于是问题转化为求|PA|+|PF|的最小值.由平面几何知识知,当F,P,A三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值,最小值为|AF|=,即|PA|+d的最小值为.
(2)把点B的横坐标代入y2=4x中,得y=±2,因为2>2,所以点B在抛物线的内部.过B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1(如图所示).由抛物线的定义,可知|P1Q|=|P1F|,则|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4,所以|PB|+|PF|的最小值为4.
4.C 抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的坐标为,设P(x,y),由抛物线的定义知|PF|=x+=10,解得x=10-,
又以FP为直径的圆的圆心是FP的中点,
所以圆心的横坐标为=5.
因为|FP|=10,所以圆的半径为5,又以FP为直径的圆过点(0,3),
所以该圆与y轴相切于点(0,3),故圆心的纵坐标为3,则点P的纵坐标为6,
即P,将其代入抛物线方程得p2-20p+36=0,解得p=2或p=18.
5.A 设l与y轴交于点B,在Rt△ABF中,∠AFB=30°,|BF|=2,所以|AB|=.
设P(x0,y0),则x0=±,于是y0=,从而|PF|=|PA|=y0+1=.
6.AC 由题意知F,故可设直线l的方程为y=kx+(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y,整理得4x2-12kx-9=0,
∴∴|AB|=|x1-x2|=·=3(1+k2)=4,∴k=±,∴直线l的倾斜角为30°或150°.设=λ,则当直线l的倾斜角为30°时,|AF|+|BF|=(λ+1)|BF|=4,|AF|-|BF|=(λ-1)|BF|=2,∴==2,∴=2,∴λ=3,即=3;同理可得当直线l的倾斜角为150°时,λ=.S△AOB=×|OF|×|x1-x2|=××=××=.故选AC.
7.答案 y2=4x
解析 设P,因为点P在直线PM上,所以+y0=12①.因为PN∥FM,所以∠PMF=∠NPM,又因为PM平分∠FPN,所以∠FPM=∠NPM,所以∠PMF=∠FPM,所以|PF|=|MF|.易知M(6,0),F,所以|MF|=6-,又|PF|=+,所以6-=+②,由①②可得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.
2.7 抛物线及其方程
2.7.1 抛物线的标准方程
基础过关练
题组一 抛物线的定义及应用
1.(2020山西临汾一中月考)在平面内,“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2022江西新余检测)已知动点M的坐标满足方程=,则动点M的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
3.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=( )
A.1 B.2 C.4 D.8
4.(2020黑龙江哈尔滨六中期中)过焦点为F的抛物线y2=12x上一点M向其准线作垂线,垂足为N,若|NF|=10,则|MF|=( )
A. B. C. D.
题组二 抛物线的标准方程和准线方程
5.(2021辽宁阜新模拟)若抛物线x2=2py(p>0)的焦点与椭圆+=1的上焦点重合,则该抛物线的准线方程为( )
A.y=-1 B.y=1 C.y=-2 D.y=2
6.(2020山东省实验中学期中)已知d为抛物线y=2px2(p>0)的焦点到其准线的距离,则pd的值等于( )
A.p2 B.p2 C. D.
7.(2021山东青岛平度一中月考)已知点A(0,-2),直线l:y=2,则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹方程为 .
8.(2022浙江温州检测)椭圆+=1的左焦点F的坐标为 ,以F为焦点,坐标原点为顶点的抛物线方程为 .
9.(2021山东淄博张店模拟)如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由矩形的三条边和抛物线的一段构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m.
(1)以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立平面直角坐标系(如图),求该抛物线的方程;
(2)若行车道总宽度AB为7 m,车辆禁止跨越道路中心线,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1 m).
能力提升练
题组一 抛物线定义的应用
1.(2021山东滨州滨城高新一中模拟)若点A的坐标为(3,2),F是抛物线y2=2x的焦点,点M在抛物线上移动时,使|MA|+|MF|取得最小值的M的坐标为( )
A.(0,0) B. C.(1,) D.(2,2)
2.(2020四川成都外国语学校期中)抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,连接PF并延长,交抛物线C于点Q,若|PF|=|PQ|,则|QF|=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.(2020吉林通化一中月考)设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点.
(1)若点P到直线x=-1的距离为d,A(-1,1),求|PA|+d的最小值;
(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.
题组二 抛物线的方程及应用
4.(2022北京第十二中学检测)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P在抛物线C上,|FP|=10,若以FP为直径的圆过点(0,3),则p的值为( )
A.4或9 B.4或18
C.2或18 D.2或9
5.(2020安徽蚌埠月考)已知抛物线x2=4y的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,过P作PA⊥l于点A,当∠AFO=30°(O为坐标原点)时,|PF|=( )
A. B. C.2 D.3
6.(多选)(2020山东省实验中学月考)已知抛物线C:x2=3y的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,其中点A在第一象限,若弦AB的长为4,则( )
A.直线l的倾斜角为30°或150°
B.|AF|-|BF|=4
C.的值为或3
D.S△AOB=
7.(2021山东烟台期末)汽车前照灯的反射镜为一个抛物面,它由抛物线沿它的对称轴旋转一周形成.通常前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成,其中灯泡位于抛物面的焦点上,由灯泡发出的光经反射镜反射后形成平行光束,再经过透镜的折射等作用达到照亮路面的效果.如图,从灯泡发出的光线FP经抛物线y2=2px(p>0)反射后,沿PN平行射出,∠FPN的平分线PM交x轴于点M,直线PM的方程为2x+y-12=0,则抛物线的方程为 .
答案与分层梯度式解析
第二章 平面解析几何
2.7 抛物线及其方程
2.7.1 抛物线的标准方程
基础过关练
1.B 若点P的轨迹为抛物线,则点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离,但若点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离,且该定点在该定直线上,则点P的轨迹就不是抛物线,故应为必要不充分条件.
2.C 方程=表示动点M(x,y)与定点(0,0)间的距离等于动点M到定直线3x+4y-12=0的距离,且定点不在定直线上,根据抛物线的定义可知,动点M的轨迹是以定点(0,0)为焦点,定直线3x+4y-12=0为准线的一条抛物线.
3.A 由抛物线C的方程y2=x可得p=,∴|AF|=x0=x0+=x0+,解得x0=1.
4.B 记准线与x轴的交点为A,易知|AF|=6.因为|NF|=10,所以|AN|=8,即点M的纵坐标为8或-8,设点M的横坐标为xM,则xM==,故|MF|=+3=.
5.C ∵椭圆+=1的上焦点坐标为(0,2),∴抛物线的焦点坐标为(0,2),∴抛物线的准线方程为y=-2,故选C.
6.D 抛物线方程可化为x2=y,所以d=,故pd=p·=.
7.答案 x2=-8y
解析 由题意知,圆心在以A(0,-2)为焦点,直线y=2为准线的抛物线上,其方程可设为x2=-2py(p>0),则=2,∴p=4,∴所求圆心的轨迹方程为x2=-8y.
8.答案 (-1,0);y2=-4x
解析 由椭圆方程可得c2=a2-b2=4-3=1,所以F(-1,0),故所求抛物线的焦点为F(-1,0),设抛物线方程为y2=-2px(p>0),则=1,所以p=2,故所求抛物线的方程为y2=-4x.
9.信息提取 ①抛物线与矩形的组合截面;②隧道高7 m,宽10 m,矩形高2 m;③每条行车道的宽度为3.5 m.
数学模型 以隧道截面为情境,构建与抛物线相关的数学模型.(1)根据建立的平面直角坐标系,设出抛物线的标准方程,由图中数据找到抛物线上的点的坐标,代入求出方程;(2)设限高为h m,用h表示临界点D的坐标,代入抛物线方程求参数.
解析 (1)依题意,设该抛物线的方程为x2=-2py(p>0).
如图,因为点C(5,-5)在抛物线上,
所以52=-2p×(-5),所以p=,
所以该抛物线的方程为x2=-5y.
(2)设车辆的限制高度为h m,则|DB|=h+0.5,故D(3.5,h-6.5),代入方程x2=-5y,解得h=4.05.所以通过隧道的车辆限制高度为4.0 m.
方法点睛 考查抛物线方程的实际应用,解题时注意结合图形,将实际问题抽象为数学问题,最后结果取近似值时,要结合实际情况(如本题中车辆高度不能超过4.05 m),否则容易出错.
能力提升练
1.D 如图所示,过M作抛物线准线的垂线,垂足为B,过A作抛物线准线的垂线,垂足为B',交抛物线于M'.由抛物线的定义得|MF|+|MA|=|MB|+|MA|,所以当M,B,A三点共线,即M运动到M'时,|MB|+|MA|的值最小,此时M(2,2),故选D.
2.C 设Q到l的距离为d,则由抛物线的定义可得,|QF|=d.
∵|PF|=|PQ|,∴|PQ|=5|QF|=5d,
不妨设Q在第四象限,
则直线PF的斜率为-=-2.
易知F(2,0),∴直线PF的方程为y=-2(x-2),与y2=8x联立可得3x2-13x+12=0,解得x=3或x=,由题意可得点Q的横坐标大于2,故x=3,
∴|QF|=d=3+2=5.故选C.
3.解析 (1)依题意,抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.由已知及抛物线的定义,可知|PF|=d,于是问题转化为求|PA|+|PF|的最小值.由平面几何知识知,当F,P,A三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值,最小值为|AF|=,即|PA|+d的最小值为.
(2)把点B的横坐标代入y2=4x中,得y=±2,因为2>2,所以点B在抛物线的内部.过B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1(如图所示).由抛物线的定义,可知|P1Q|=|P1F|,则|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4,所以|PB|+|PF|的最小值为4.
4.C 抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的坐标为,设P(x,y),由抛物线的定义知|PF|=x+=10,解得x=10-,
又以FP为直径的圆的圆心是FP的中点,
所以圆心的横坐标为=5.
因为|FP|=10,所以圆的半径为5,又以FP为直径的圆过点(0,3),
所以该圆与y轴相切于点(0,3),故圆心的纵坐标为3,则点P的纵坐标为6,
即P,将其代入抛物线方程得p2-20p+36=0,解得p=2或p=18.
5.A 设l与y轴交于点B,在Rt△ABF中,∠AFB=30°,|BF|=2,所以|AB|=.
设P(x0,y0),则x0=±,于是y0=,从而|PF|=|PA|=y0+1=.
6.AC 由题意知F,故可设直线l的方程为y=kx+(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y,整理得4x2-12kx-9=0,
∴∴|AB|=|x1-x2|=·=3(1+k2)=4,∴k=±,∴直线l的倾斜角为30°或150°.设=λ,则当直线l的倾斜角为30°时,|AF|+|BF|=(λ+1)|BF|=4,|AF|-|BF|=(λ-1)|BF|=2,∴==2,∴=2,∴λ=3,即=3;同理可得当直线l的倾斜角为150°时,λ=.S△AOB=×|OF|×|x1-x2|=××=××=.故选AC.
7.答案 y2=4x
解析 设P,因为点P在直线PM上,所以+y0=12①.因为PN∥FM,所以∠PMF=∠NPM,又因为PM平分∠FPN,所以∠FPM=∠NPM,所以∠PMF=∠FPM,所以|PF|=|MF|.易知M(6,0),F,所以|MF|=6-,又|PF|=+,所以6-=+②,由①②可得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.