人教B版（2019）选择性必修第一册 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 同步练习（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）选择性必修第一册 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 同步练习（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 79.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-02 11:47:17 | ||
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文档简介
第二章 平面解析几何
2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
基础过关练
题组一 直线与椭圆的位置关系
1.(2020吉林一中月考)已知A={(x,y)|x+y=2},B={(x,y)|x2+2y2=2},则A∩B中元素的个数为( )
A.4 B.2 C.1 D.0
2.(2022四川成都蓉城名校联盟期中)直线y=x+m与椭圆+y2=1交于A,B两点,若弦长|AB|=,则实数m的值为( )
A.± B.±1 C.± D.±2
3.(2020浙江宁波月考)以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中,离心率e最大的椭圆的方程是( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
4.(2020山东潍坊一中月考)经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点,设O为坐标原点,则·= .
5.已知椭圆C:+y2=1,直线l经过点E(-1,0),且与椭圆C相交于A,B两点,且|EA|=2|EB|.
(1)求直线l的方程;
(2)求弦AB的长度.
题组二 直线与双曲线的位置关系
6.(多选)(2022辽宁鞍山月考)若直线y=2x-1与双曲线x2-=1有且只有一个公共点,则m的值可能为( )
A.3 B.4 C.8 D.10
7.过双曲线x2-=1的左焦点F作倾斜角为的直线,与双曲线交于A,B两点,则|AB|= .
8.若直线y=x+m与双曲线-y2=1有两个公共点,则实数m的取值范围是 .
9.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实轴长为4,一条渐近线方程为y=x.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:y=k(x-1)与双曲线C相交于不同的两点,求实数k的取值范围.
题组三 直线与抛物线的位置关系
10.(2020黑龙江哈尔滨师大附中月考)已知直线y=kx-1与抛物线x2=8y相切,则双曲线x2-k2y2=1的离心率为( )
A. B.
C. D.
11.(2022四川成都七中期中)若过点P(0,2)的直线l与抛物线C:y2=2x有且只有一个公共点,则这样的直线l共有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
12.(2022北京朝阳期末)过抛物线y2=4x上的一点A(3,y0)(y0>0)作其准线的垂线,垂足为B,抛物线的焦点为F,直线BF在x轴下方交抛物线于点E,则|FE|=( )
A.1 B.
C.3 D.4
13.(2022四川内江质量检测)已知直线l:y=x-1与抛物线C:y2=2px(p>0)相交于A,B两点,若AB的中点为N,且抛物线C上存在点M,使得=3(O为坐标原点),则抛物线C的方程为( )
A.y2=8x
B.y2=4x
C.y2=2x
D.y2=x
14.(多选)已知直线l:2kx-2y-kp=0与抛物线C:y2=2px(p>0)相交于A,B两点,M(-1,-1)是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点,则下列结论正确的是( )
A.p=2
B.k=-2
C.|AB|=5
D.△MAB的面积为5
15.(2020四川绵阳期中)已知抛物线C:y2=2px经过点A(1,-2).
(1)求抛物线的方程,并求其准线方程;
(2)若直线l与OA平行,与抛物线有公共点,且直线OA与l之间的距离为,求直线l的方程.
16.(2022云南大理检测)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,E为抛物线上一点,|EF|=4|OF|且S△EFO=4.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,若点P在抛物线的准线上,且△PAB为等边三角形,求直线AB的斜率.
能力提升练
题组一 中点弦问题
1.(2022安徽六安一中检测)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E的方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
2.(2020山东寿光现代中学月考)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且倾斜角为的直线与抛物线交于A,B两点,若弦AB的垂直平分线经过点(0,2),则p的值为( )
A.4 B.2
C. D.
3.(2020山西太原月考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)与方向向量为k=(6,6)的直线交于A,B两点,线段AB的中点为(4,1),则该双曲线的渐近线方程是 .
4.(2021江苏启东中学期末)已知椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于点A,B,M为AB的中点,直线MO(O为原点)的斜率为,则= ;若OA⊥OB,则2a+b= .
5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),上顶点为B(0,2).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点M,N,且线段MN的中点G在圆x2+y2=1上,求m的值.
题组二 最值与范围问题
6.(2022河南新乡一中期末)已知双曲线C:-y2=1的左焦点为F,点M在双曲线C的右支上,A(0,3),当△MAF的周长最小时,△MAF的面积为( )
A. B.9 C. D.4
7.(多选)(2020山东开学考试)已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,以线段AB为直径的圆交x轴于M,N两点,设线段AB的中点为Q.若抛物线C上存在一点E(t,2)与焦点F之间的距离等于3,则下列说法正确的是( )
A.抛物线的方程是x2=2y
B.抛物线的准线方程是y=-1
C.sin∠QMN的最小值是
D.线段AB的最小长度是6
8.(2020河南平顶山检测)椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P,Q两点,则△F1PQ内切圆面积的最大值是 .
9.(2022安徽舒城中学期末)已知椭圆+y2=1上存在关于直线y=x+t对称的相异的两点,则实数t的取值范围是 .
10.(2020山西太原期中)已知椭圆C:+=1(b>0)上的动点P与右焦点之间的距离的最小值为3-2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l和椭圆C交于M,N两点,A为椭圆的右顶点,·=0,求△AMN面积的最大值.
题组三 定值与定点问题
11.(2022甘肃武威一中期末)过抛物线x2=y的焦点F的直线交抛物线于不同的两点A,B,则+的值为( )
A.2 B.1
C. D.4
12.(2020湖南浏阳期中)过抛物线C:y2=x上一点A(1,1)作两条互相垂直的直线,分别交抛物线于P,Q(异于点A)两点,则直线PQ恒过定点 .
13.(2020陕西西安检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点A(2,0),离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点B(1,0)且斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于E,F两点,直线AE,AF分别交直线x=3于M,N两点,线段MN的中点为P.记直线PB的斜率为k',求证:k·k'为定值.
14.(2022湖南张家界期末)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,直线y=x+与圆x2+y2=b2相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点(A,B不是左、右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,证明:直线l过定点,并求出该定点的坐标.
答案与分层梯度式解析
第二章 平面解析几何
2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
基础过关练
1.D 联立消去x并整理,得3y2-4y+2=0,因为Δ=-8<0,所以直线x+y=2与椭圆x2+2y2=2没有公共点,故A∩B中元素的个数为0.
2.B 设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y并整理,得3x2+4mx+2m2-2=0,则x1+x2=-,x1x2=,所以弦长|AB|=·=·=·=,解得m=±1,故选B.
3.C 设椭圆的方程为+=1(a>1),由得(2a2-1)x2+6a2x+(10a2-a4)=0,由Δ≥0及a>1,得a≥,所以e==≤,所以离心率e最大时,a=,此时椭圆的方程为+=1.
4.答案 -
解析 依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y=x-1,代入椭圆方程+y2=1,并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=,所以两个交点的坐标分别为(0,-1),,所以·=-,同理,当直线l经过椭圆的左焦点时,也可得·=-.
5.解析 (1)若直线l的斜率不存在,则其方程为x=-1,显然不满足|EA|=2|EB|,故直线l的斜率一定存在,设为k,则l的方程为y=k(x+1).
联立消去y并整理得(4k2+1)x2+8k2x+4k2-4=0.
Δ=-4(4k2+1)(4k2-4)=48k2+16>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系可得
由于|EA|=2|EB|,所以x1+2x2=-3,③
联立①②③可得k=±,
因此直线l的方程是y=±(x+1),即x+6y+=0或x-6y+=0.
(2)由(1)得x1+x2=-,x1x2=-,
因此弦AB的长度|AB|=|x1-x2|
=·
=×=.
6.AB 联立消去y并整理,得(4-m)x2-4x+m+1=0,因为直线与双曲线只有一个交点,所以直线与双曲线的渐近线平行或与双曲线相切.
①当直线与双曲线的渐近线平行时,4-m=0,即m=4;
②当直线与双曲线相切时,4-m≠0,Δ=16-4(4-m)·(m+1)=4m2-12m=0,
解得m=3或m=0(舍去).故选AB.
7.答案 3
解析 依题意,得双曲线的左焦点F的坐标为(-2,0),直线AB的方程为y=(x+2).
由得8x2-4x-13=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=-,
所以|AB|=
==3.
8.答案 (-∞,-)∪(,+∞)
解析 联立消去y并整理,得3x2+8mx+4m2+4=0,依题意有Δ=(8m)2-4×3×(4m2+4)>0,即m2>3,解得m>或m<-.
9.解析 (1)由条件可知所以所以双曲线C的方程为-=1.
(2)联立消去y,得(3-4k2)x2+8k2x-4k2-12=0,
因为l与双曲线交于不同的两点,
所以
解得-1故k的取值范围为∪∪.
10.B 由得x2-8kx+8=0,依题意有Δ=64k2-32=0,则k2=,所以双曲线的方程为x2-=1,可得a=1,c=,则双曲线的离心率e==.
11.C 当直线l的斜率不存在时,直线l:x=0与抛物线y2=2x有且只有一个交点;当直线l的斜率为0时,直线l:y=2与抛物线y2=2x有且只有一个交点;当直线l的斜率存在且不为0时,若直线l与抛物线y2=2x有且只有一个公共点,则直线与抛物线相切,设直线方程为y=kx+2(k≠0),代入抛物线方程 y2=2x,得k2x2+2(2k-1)x+4=0,则Δ=4(2k-1)2-16k2=0,解得k=,即直线的方程为y=x+2.综上,满足条件的直线l共有3条,故选C.
12.D 如图,将(3,y0)(y0>0)代入y2=4x,得y0=2,则B(-1,2),易知F(1,0),则直线BF的方程为y=-x+,与y2=4x联立并消去y,得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=,因为点E在x轴下方,所以xE=3,所以|FE|=xE+1=4,故选D.
13.B 设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y并整理,得x2-2(1+p)x+1=0,
则x1+x2=2(1+p),可得y1+y2=x1+x2-2=2p,
因为N为AB的中点,所以N(1+p,p).
设M(x0,y0),因为=3,所以(x0,y0)=3(1+p,p),可得M(3+3p,3p),
又由点M在抛物线C上,可得(3p)2=2p·3(1+p),即p2-2p=0,解得p=2或p=0(舍去),
所以抛物线C的方程为y2=4x.
14.ABC 由题意知,抛物线C的准线方程为x=-1,则=1,解得p=2,故A正确;
因为p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,其焦点坐标为(1,0),
又直线l的方程为2kx-2y-2k=0,即y=k(x-1),所以直线l恒过抛物线的焦点(1,0),
设点A(x1,y1),B(x2,y2),
因为A,B两点在抛物线C上,
所以=4x1,=4x2,
两式相减可得==k,
设AB的中点为Q(x0,y0),则y0=.
因为点Q(x0,y0)在直线l上,
所以=k(x0-1),所以x0=+1,
所以点Q是以AB为直径的圆的圆心.
由抛物线的定义知,圆Q的半径r====+2.
因为|QM|2=+,所以+=,
解得k=-2,故B正确;
因为k=-2,所以|AB|=2r=2=5,故C正确;
因为k=-2,所以直线l的方程为2x+y-2=0,
所以点M到直线l的距离d==,所以S△MAB=·|AB|·d=×5×=,故D错误.故选ABC.
15.解析 (1)将点A的坐标(1,-2)代入抛物线方程y2=2px,得(-2)2=2p×1,解得p=2.
故抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
(2)设直线l的方程为y=-2x+t(t≠0).
联立消去x并整理,得y2+2y-2t=0.
因为直线l与抛物线C有公共点,所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.
由直线OA与l之间的距离为,可得=,
解得t=±1,所以t=1.
所以直线l的方程为2x+y-1=0.
16.解析 (1)不妨设点E在第一象限,因为|EF|=4|OF|,所以+xE=2p,则xE=p,yE=p.
因为S△EFO=××p=4,所以p=4,故抛物线C的方程为y2=8x.
(2)易知F(2,0).
当直线l的斜率不存在时,A(2,4),B(2,-4),要使得△PAB为等边三角形,则P为AB的垂直平分线与准线的交点,即P(-2,0),但|PA|=|PB|==4,|AB|=8,不满足题意;
当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx-2k,
由得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,
则xA+xB==4+,yA+yB=k(xA+xB)-4k=,
所以|AB|=p+xA+xB=4+xA+xB=8+.
取线段AB的中点D,则D,设P(-2,yP),则kPD==-,所以yP=+,
所以P,
则|PD|==.
因为△PAB为等边三角形,所以=tan 60°,
所以=,即=2,
解得k=±.
故直线AB的斜率为±.
能力提升练
1.D 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=-2,
①-②,得+=0,即-=0,所以直线AB的斜率k==,
又k==,所以=,又a2-b2=9,所以a2=18,b2=9,故椭圆E的方程为+=1.
2.C 抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,则过焦点F且倾斜角为的直线方程为y=x-,设A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-2py-p2=0,所以y1+y2=2p,x1+x2=3p,于是弦AB的中点坐标为.易知弦AB的垂直平分线方程为y-2=-x,又弦AB的中点在该直线上,所以p-2=-,解得p=.
3.答案 y=±x
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1且-=1,因为线段AB的中点为(4,1),所以==,由题意可得直线AB的斜率为1,所以=1,即=,故双曲线的渐近线方程为y=±x.
4.答案 ;2
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则
∴a(-)+b(-)=0,
∴+=0,即+·=0,
又直线AB,MO的斜率分别为-1,,∴=-1,=,∴+(-1)×=0,
∴=,∴b=a,
∴椭圆的方程为ax2+ay2=1.
由可得(a+a)x2-2ax+a-1=0,所以x1+x2=4-2,x1x2=,
故y1y2=(-x1+1)(-x2+1)=x1x2-(x1+x2)+1=+2-3.
若OA⊥OB,则x1x2+y1y2=0,∴+2-3=0,
∴a=2-2,则b=4-2,∴2a+b=2.
5.解析 (1)由题意可得c=2,b=2,则a2=b2+c2=8,
故椭圆C的方程为+=1.
(2)设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段MN的中点G的坐标为(x0,y0),
由消去y得3x2+4mx+2m2-8=0,则Δ=96-8m2>0,所以-2x1+x2=-,则x0==-,y0=x0+m=,
又因为点G(x0,y0)在圆x2+y2=1上,
所以+=1,
解得m=±,满足-2所以m的值为±.
6.A 设C的右焦点为F',由题意可得a=2,c=3,
因为|MF|-|MF'|=2a=4,所以|MF|=|MF'|+4,易得|AF|=3,所以△MAF的周长为|MA|+|MF|+|AF|=|MA|+|MF'|+7≥|AF'|+7=10,即当A,M,F'三点共线,且M在线段AF'上时,△MAF的周长最小,
易得直线AF'的方程为y=-x+3,联立解得y=或y=-1(舍去),即此时M的纵坐标为,故△MAF的面积为|FF'|·|OA|-|FF'|·|yM|=×6×=.故选A.
7.BC 抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线方程为y=-,
由点E(t,2)与焦点F之间的距离等于3,可得2+=3,解得p=2,则抛物线C的方程为x2=4y,准线方程为y=-1,故A错误,B正确;
易知直线l的斜率存在,F(0,1),
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=kx+1,
由消去y并整理,得x2-4kx-4=0,
所以x1+x2=4k,x1x2=-4,
所以y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2,
所以AB的中点Q的坐标为(2k,2k2+1),
|AB|=y1+y2+p=4k2+2+2=4k2+4≥4,
故线段AB的最小长度是4,故D错误;
圆Q的半径r=2k2+2,
在等腰△QMN中,sin∠QMN===1-≥1-=,
所以sin∠QMN的最小值为,故C正确.故选BC.
8.答案 π
解析 因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是三角形面积的2倍,且△F1PQ的周长是定值8,所以只需求△F1PQ面积的最大值.设直线l的方程为x=my+1,联立消去x并整理,得(3m2+4)y2+6my-9=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-,于是=|F1F2|·|y1-y2|==12,设m2+1=t,则t≥1,故=12=12.
令g(t)=9t+(t≥1),易知g(t)在[1,+∞)上为增函数,所以g(t)≥g(1)=10,所以≤3,所以内切圆半径r=≤,因此△F1PQ内切圆面积的最大值是π.
9.答案
解析 设两点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),根据对称性可知线段AB被直线y=x+t垂直平分,设AB的中点为M(x0,y0),则M在直线y=x+t上,且kAB=-1,故可设直线AB的方程为y=-x+b,联立消去y,并整理可得3x2-4bx+2b2-2=0,
由Δ=16b2-12(2b2-2)>0,可得-∴x1+x2=,y1+y2=2b-(x1+x2)=,
∴x0==,y0==,
∵AB的中点M在直线y=x+t上,
∴=+t,可得t=-,∴-10.解析 (1)由已知得a=3,a-c=3-2,所以c=2,b=1,故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设直线AM的方程为y=k(x-3),不妨设k>0.
因为·=0,则直线AN的方程为y=-(x-3).
由可得(9k2+1)x2-54k2x+81k2-9=0.
设M(x1,y1),因为点A的坐标为(3,0),所以3x1=,即x1=,
所以|AM|=|3-x1|=·,
同理可得|AN|=·=·,
所以△AMN的面积S=|AM|·|AN|
=(1+k2)·
==
=≤=,当且仅当64k2=9(k2+1)2,即k=时等号成立.
所以△AMN面积的最大值为.
11.D 因为直线交抛物线于不同的两点A,B,所以直线的斜率存在,设直线的方程为y=kx+,由可得y2-y+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=,y1+y2=k2+,因为抛物线的准线方程为y=-,所以根据抛物线的定义可知|AF|=y1+,|BF|=y2+,所以+=+===4,故选D.
12.答案 (2,-1)
解析 由题意可得,这两条直线的斜率均存在,且不为0,设直线AP的方程为y-1=k(x-1),与抛物线方程y2=x联立,消去x得ky2-y+1-k=0,设P(xP,yP),由根与系数的关系可得yP=,即P,同理可得Q((k+1)2,-k-1),所以直线PQ的斜率kPQ=,所以直线PQ的方程为(1-k2-2k)y=kx+k2-1,即(1+y)k2+(x+2y)k-y-1=0,可得直线PQ恒过定点(2,-1).
13.解析 (1)由题意得
所以a=2,b=1,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)证明:易知直线l的方程为y=k(x-1),
代入椭圆方程+y2=1得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0,
设E(x1,y1),F(x2,y2),
则由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,
直线AE,AF的方程分别为y=(x-2),y=(x-2),
令x=3,得M,N,
所以P,
则k·k'=k×=k×
=×
=×
=×=×
=-,为定值.
故k·k'为定值.
14.解析 (1)由直线y=x+与圆x2+y2=b2相切,得b==,
由已知条件可得所以
因此,椭圆C的方程为+=1.
(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),椭圆C的右顶点为M,则M(2,0),
由题意可知,直线l不过椭圆的左、右顶点,则m≠±2k,
联立消去y并整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,
Δ=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=48(4k2+3-m2)>0,
由根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=.
因为以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,所以·=0.
因为=(x1-2,y1),=(x2-2,y2).
所以·=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(x1-2)(x2-2)+(kx1+m)(kx2+m)=(k2+1)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=+m2+4=0,整理可得7m2+16km+4k2=0,解得m=-k或m=-2k(舍去),
所以直线l的方程为y=kx-k,所以直线l恒过定点.
2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
基础过关练
题组一 直线与椭圆的位置关系
1.(2020吉林一中月考)已知A={(x,y)|x+y=2},B={(x,y)|x2+2y2=2},则A∩B中元素的个数为( )
A.4 B.2 C.1 D.0
2.(2022四川成都蓉城名校联盟期中)直线y=x+m与椭圆+y2=1交于A,B两点,若弦长|AB|=,则实数m的值为( )
A.± B.±1 C.± D.±2
3.(2020浙江宁波月考)以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中,离心率e最大的椭圆的方程是( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
4.(2020山东潍坊一中月考)经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点,设O为坐标原点,则·= .
5.已知椭圆C:+y2=1,直线l经过点E(-1,0),且与椭圆C相交于A,B两点,且|EA|=2|EB|.
(1)求直线l的方程;
(2)求弦AB的长度.
题组二 直线与双曲线的位置关系
6.(多选)(2022辽宁鞍山月考)若直线y=2x-1与双曲线x2-=1有且只有一个公共点,则m的值可能为( )
A.3 B.4 C.8 D.10
7.过双曲线x2-=1的左焦点F作倾斜角为的直线,与双曲线交于A,B两点,则|AB|= .
8.若直线y=x+m与双曲线-y2=1有两个公共点,则实数m的取值范围是 .
9.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实轴长为4,一条渐近线方程为y=x.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:y=k(x-1)与双曲线C相交于不同的两点,求实数k的取值范围.
题组三 直线与抛物线的位置关系
10.(2020黑龙江哈尔滨师大附中月考)已知直线y=kx-1与抛物线x2=8y相切,则双曲线x2-k2y2=1的离心率为( )
A. B.
C. D.
11.(2022四川成都七中期中)若过点P(0,2)的直线l与抛物线C:y2=2x有且只有一个公共点,则这样的直线l共有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
12.(2022北京朝阳期末)过抛物线y2=4x上的一点A(3,y0)(y0>0)作其准线的垂线,垂足为B,抛物线的焦点为F,直线BF在x轴下方交抛物线于点E,则|FE|=( )
A.1 B.
C.3 D.4
13.(2022四川内江质量检测)已知直线l:y=x-1与抛物线C:y2=2px(p>0)相交于A,B两点,若AB的中点为N,且抛物线C上存在点M,使得=3(O为坐标原点),则抛物线C的方程为( )
A.y2=8x
B.y2=4x
C.y2=2x
D.y2=x
14.(多选)已知直线l:2kx-2y-kp=0与抛物线C:y2=2px(p>0)相交于A,B两点,M(-1,-1)是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点,则下列结论正确的是( )
A.p=2
B.k=-2
C.|AB|=5
D.△MAB的面积为5
15.(2020四川绵阳期中)已知抛物线C:y2=2px经过点A(1,-2).
(1)求抛物线的方程,并求其准线方程;
(2)若直线l与OA平行,与抛物线有公共点,且直线OA与l之间的距离为,求直线l的方程.
16.(2022云南大理检测)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,E为抛物线上一点,|EF|=4|OF|且S△EFO=4.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,若点P在抛物线的准线上,且△PAB为等边三角形,求直线AB的斜率.
能力提升练
题组一 中点弦问题
1.(2022安徽六安一中检测)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E的方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
2.(2020山东寿光现代中学月考)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且倾斜角为的直线与抛物线交于A,B两点,若弦AB的垂直平分线经过点(0,2),则p的值为( )
A.4 B.2
C. D.
3.(2020山西太原月考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)与方向向量为k=(6,6)的直线交于A,B两点,线段AB的中点为(4,1),则该双曲线的渐近线方程是 .
4.(2021江苏启东中学期末)已知椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于点A,B,M为AB的中点,直线MO(O为原点)的斜率为,则= ;若OA⊥OB,则2a+b= .
5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),上顶点为B(0,2).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点M,N,且线段MN的中点G在圆x2+y2=1上,求m的值.
题组二 最值与范围问题
6.(2022河南新乡一中期末)已知双曲线C:-y2=1的左焦点为F,点M在双曲线C的右支上,A(0,3),当△MAF的周长最小时,△MAF的面积为( )
A. B.9 C. D.4
7.(多选)(2020山东开学考试)已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,以线段AB为直径的圆交x轴于M,N两点,设线段AB的中点为Q.若抛物线C上存在一点E(t,2)与焦点F之间的距离等于3,则下列说法正确的是( )
A.抛物线的方程是x2=2y
B.抛物线的准线方程是y=-1
C.sin∠QMN的最小值是
D.线段AB的最小长度是6
8.(2020河南平顶山检测)椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P,Q两点,则△F1PQ内切圆面积的最大值是 .
9.(2022安徽舒城中学期末)已知椭圆+y2=1上存在关于直线y=x+t对称的相异的两点,则实数t的取值范围是 .
10.(2020山西太原期中)已知椭圆C:+=1(b>0)上的动点P与右焦点之间的距离的最小值为3-2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l和椭圆C交于M,N两点,A为椭圆的右顶点,·=0,求△AMN面积的最大值.
题组三 定值与定点问题
11.(2022甘肃武威一中期末)过抛物线x2=y的焦点F的直线交抛物线于不同的两点A,B,则+的值为( )
A.2 B.1
C. D.4
12.(2020湖南浏阳期中)过抛物线C:y2=x上一点A(1,1)作两条互相垂直的直线,分别交抛物线于P,Q(异于点A)两点,则直线PQ恒过定点 .
13.(2020陕西西安检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点A(2,0),离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点B(1,0)且斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于E,F两点,直线AE,AF分别交直线x=3于M,N两点,线段MN的中点为P.记直线PB的斜率为k',求证:k·k'为定值.
14.(2022湖南张家界期末)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,直线y=x+与圆x2+y2=b2相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点(A,B不是左、右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,证明:直线l过定点,并求出该定点的坐标.
答案与分层梯度式解析
第二章 平面解析几何
2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
基础过关练
1.D 联立消去x并整理,得3y2-4y+2=0,因为Δ=-8<0,所以直线x+y=2与椭圆x2+2y2=2没有公共点,故A∩B中元素的个数为0.
2.B 设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y并整理,得3x2+4mx+2m2-2=0,则x1+x2=-,x1x2=,所以弦长|AB|=·=·=·=,解得m=±1,故选B.
3.C 设椭圆的方程为+=1(a>1),由得(2a2-1)x2+6a2x+(10a2-a4)=0,由Δ≥0及a>1,得a≥,所以e==≤,所以离心率e最大时,a=,此时椭圆的方程为+=1.
4.答案 -
解析 依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y=x-1,代入椭圆方程+y2=1,并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=,所以两个交点的坐标分别为(0,-1),,所以·=-,同理,当直线l经过椭圆的左焦点时,也可得·=-.
5.解析 (1)若直线l的斜率不存在,则其方程为x=-1,显然不满足|EA|=2|EB|,故直线l的斜率一定存在,设为k,则l的方程为y=k(x+1).
联立消去y并整理得(4k2+1)x2+8k2x+4k2-4=0.
Δ=-4(4k2+1)(4k2-4)=48k2+16>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系可得
由于|EA|=2|EB|,所以x1+2x2=-3,③
联立①②③可得k=±,
因此直线l的方程是y=±(x+1),即x+6y+=0或x-6y+=0.
(2)由(1)得x1+x2=-,x1x2=-,
因此弦AB的长度|AB|=|x1-x2|
=·
=×=.
6.AB 联立消去y并整理,得(4-m)x2-4x+m+1=0,因为直线与双曲线只有一个交点,所以直线与双曲线的渐近线平行或与双曲线相切.
①当直线与双曲线的渐近线平行时,4-m=0,即m=4;
②当直线与双曲线相切时,4-m≠0,Δ=16-4(4-m)·(m+1)=4m2-12m=0,
解得m=3或m=0(舍去).故选AB.
7.答案 3
解析 依题意,得双曲线的左焦点F的坐标为(-2,0),直线AB的方程为y=(x+2).
由得8x2-4x-13=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=-,
所以|AB|=
==3.
8.答案 (-∞,-)∪(,+∞)
解析 联立消去y并整理,得3x2+8mx+4m2+4=0,依题意有Δ=(8m)2-4×3×(4m2+4)>0,即m2>3,解得m>或m<-.
9.解析 (1)由条件可知所以所以双曲线C的方程为-=1.
(2)联立消去y,得(3-4k2)x2+8k2x-4k2-12=0,
因为l与双曲线交于不同的两点,
所以
解得-1
10.B 由得x2-8kx+8=0,依题意有Δ=64k2-32=0,则k2=,所以双曲线的方程为x2-=1,可得a=1,c=,则双曲线的离心率e==.
11.C 当直线l的斜率不存在时,直线l:x=0与抛物线y2=2x有且只有一个交点;当直线l的斜率为0时,直线l:y=2与抛物线y2=2x有且只有一个交点;当直线l的斜率存在且不为0时,若直线l与抛物线y2=2x有且只有一个公共点,则直线与抛物线相切,设直线方程为y=kx+2(k≠0),代入抛物线方程 y2=2x,得k2x2+2(2k-1)x+4=0,则Δ=4(2k-1)2-16k2=0,解得k=,即直线的方程为y=x+2.综上,满足条件的直线l共有3条,故选C.
12.D 如图,将(3,y0)(y0>0)代入y2=4x,得y0=2,则B(-1,2),易知F(1,0),则直线BF的方程为y=-x+,与y2=4x联立并消去y,得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=,因为点E在x轴下方,所以xE=3,所以|FE|=xE+1=4,故选D.
13.B 设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y并整理,得x2-2(1+p)x+1=0,
则x1+x2=2(1+p),可得y1+y2=x1+x2-2=2p,
因为N为AB的中点,所以N(1+p,p).
设M(x0,y0),因为=3,所以(x0,y0)=3(1+p,p),可得M(3+3p,3p),
又由点M在抛物线C上,可得(3p)2=2p·3(1+p),即p2-2p=0,解得p=2或p=0(舍去),
所以抛物线C的方程为y2=4x.
14.ABC 由题意知,抛物线C的准线方程为x=-1,则=1,解得p=2,故A正确;
因为p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,其焦点坐标为(1,0),
又直线l的方程为2kx-2y-2k=0,即y=k(x-1),所以直线l恒过抛物线的焦点(1,0),
设点A(x1,y1),B(x2,y2),
因为A,B两点在抛物线C上,
所以=4x1,=4x2,
两式相减可得==k,
设AB的中点为Q(x0,y0),则y0=.
因为点Q(x0,y0)在直线l上,
所以=k(x0-1),所以x0=+1,
所以点Q是以AB为直径的圆的圆心.
由抛物线的定义知,圆Q的半径r====+2.
因为|QM|2=+,所以+=,
解得k=-2,故B正确;
因为k=-2,所以|AB|=2r=2=5,故C正确;
因为k=-2,所以直线l的方程为2x+y-2=0,
所以点M到直线l的距离d==,所以S△MAB=·|AB|·d=×5×=,故D错误.故选ABC.
15.解析 (1)将点A的坐标(1,-2)代入抛物线方程y2=2px,得(-2)2=2p×1,解得p=2.
故抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
(2)设直线l的方程为y=-2x+t(t≠0).
联立消去x并整理,得y2+2y-2t=0.
因为直线l与抛物线C有公共点,所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.
由直线OA与l之间的距离为,可得=,
解得t=±1,所以t=1.
所以直线l的方程为2x+y-1=0.
16.解析 (1)不妨设点E在第一象限,因为|EF|=4|OF|,所以+xE=2p,则xE=p,yE=p.
因为S△EFO=××p=4,所以p=4,故抛物线C的方程为y2=8x.
(2)易知F(2,0).
当直线l的斜率不存在时,A(2,4),B(2,-4),要使得△PAB为等边三角形,则P为AB的垂直平分线与准线的交点,即P(-2,0),但|PA|=|PB|==4,|AB|=8,不满足题意;
当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx-2k,
由得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,
则xA+xB==4+,yA+yB=k(xA+xB)-4k=,
所以|AB|=p+xA+xB=4+xA+xB=8+.
取线段AB的中点D,则D,设P(-2,yP),则kPD==-,所以yP=+,
所以P,
则|PD|==.
因为△PAB为等边三角形,所以=tan 60°,
所以=,即=2,
解得k=±.
故直线AB的斜率为±.
能力提升练
1.D 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=-2,
①-②,得+=0,即-=0,所以直线AB的斜率k==,
又k==,所以=,又a2-b2=9,所以a2=18,b2=9,故椭圆E的方程为+=1.
2.C 抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,则过焦点F且倾斜角为的直线方程为y=x-,设A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-2py-p2=0,所以y1+y2=2p,x1+x2=3p,于是弦AB的中点坐标为.易知弦AB的垂直平分线方程为y-2=-x,又弦AB的中点在该直线上,所以p-2=-,解得p=.
3.答案 y=±x
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1且-=1,因为线段AB的中点为(4,1),所以==,由题意可得直线AB的斜率为1,所以=1,即=,故双曲线的渐近线方程为y=±x.
4.答案 ;2
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则
∴a(-)+b(-)=0,
∴+=0,即+·=0,
又直线AB,MO的斜率分别为-1,,∴=-1,=,∴+(-1)×=0,
∴=,∴b=a,
∴椭圆的方程为ax2+ay2=1.
由可得(a+a)x2-2ax+a-1=0,所以x1+x2=4-2,x1x2=,
故y1y2=(-x1+1)(-x2+1)=x1x2-(x1+x2)+1=+2-3.
若OA⊥OB,则x1x2+y1y2=0,∴+2-3=0,
∴a=2-2,则b=4-2,∴2a+b=2.
5.解析 (1)由题意可得c=2,b=2,则a2=b2+c2=8,
故椭圆C的方程为+=1.
(2)设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段MN的中点G的坐标为(x0,y0),
由消去y得3x2+4mx+2m2-8=0,则Δ=96-8m2>0,所以-2
又因为点G(x0,y0)在圆x2+y2=1上,
所以+=1,
解得m=±,满足-2
6.A 设C的右焦点为F',由题意可得a=2,c=3,
因为|MF|-|MF'|=2a=4,所以|MF|=|MF'|+4,易得|AF|=3,所以△MAF的周长为|MA|+|MF|+|AF|=|MA|+|MF'|+7≥|AF'|+7=10,即当A,M,F'三点共线,且M在线段AF'上时,△MAF的周长最小,
易得直线AF'的方程为y=-x+3,联立解得y=或y=-1(舍去),即此时M的纵坐标为,故△MAF的面积为|FF'|·|OA|-|FF'|·|yM|=×6×=.故选A.
7.BC 抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线方程为y=-,
由点E(t,2)与焦点F之间的距离等于3,可得2+=3,解得p=2,则抛物线C的方程为x2=4y,准线方程为y=-1,故A错误,B正确;
易知直线l的斜率存在,F(0,1),
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=kx+1,
由消去y并整理,得x2-4kx-4=0,
所以x1+x2=4k,x1x2=-4,
所以y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2,
所以AB的中点Q的坐标为(2k,2k2+1),
|AB|=y1+y2+p=4k2+2+2=4k2+4≥4,
故线段AB的最小长度是4,故D错误;
圆Q的半径r=2k2+2,
在等腰△QMN中,sin∠QMN===1-≥1-=,
所以sin∠QMN的最小值为,故C正确.故选BC.
8.答案 π
解析 因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是三角形面积的2倍,且△F1PQ的周长是定值8,所以只需求△F1PQ面积的最大值.设直线l的方程为x=my+1,联立消去x并整理,得(3m2+4)y2+6my-9=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-,于是=|F1F2|·|y1-y2|==12,设m2+1=t,则t≥1,故=12=12.
令g(t)=9t+(t≥1),易知g(t)在[1,+∞)上为增函数,所以g(t)≥g(1)=10,所以≤3,所以内切圆半径r=≤,因此△F1PQ内切圆面积的最大值是π.
9.答案
解析 设两点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),根据对称性可知线段AB被直线y=x+t垂直平分,设AB的中点为M(x0,y0),则M在直线y=x+t上,且kAB=-1,故可设直线AB的方程为y=-x+b,联立消去y,并整理可得3x2-4bx+2b2-2=0,
由Δ=16b2-12(2b2-2)>0,可得-
∴x0==,y0==,
∵AB的中点M在直线y=x+t上,
∴=+t,可得t=-,∴-
(2)设直线AM的方程为y=k(x-3),不妨设k>0.
因为·=0,则直线AN的方程为y=-(x-3).
由可得(9k2+1)x2-54k2x+81k2-9=0.
设M(x1,y1),因为点A的坐标为(3,0),所以3x1=,即x1=,
所以|AM|=|3-x1|=·,
同理可得|AN|=·=·,
所以△AMN的面积S=|AM|·|AN|
=(1+k2)·
==
=≤=,当且仅当64k2=9(k2+1)2,即k=时等号成立.
所以△AMN面积的最大值为.
11.D 因为直线交抛物线于不同的两点A,B,所以直线的斜率存在,设直线的方程为y=kx+,由可得y2-y+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=,y1+y2=k2+,因为抛物线的准线方程为y=-,所以根据抛物线的定义可知|AF|=y1+,|BF|=y2+,所以+=+===4,故选D.
12.答案 (2,-1)
解析 由题意可得,这两条直线的斜率均存在,且不为0,设直线AP的方程为y-1=k(x-1),与抛物线方程y2=x联立,消去x得ky2-y+1-k=0,设P(xP,yP),由根与系数的关系可得yP=,即P,同理可得Q((k+1)2,-k-1),所以直线PQ的斜率kPQ=,所以直线PQ的方程为(1-k2-2k)y=kx+k2-1,即(1+y)k2+(x+2y)k-y-1=0,可得直线PQ恒过定点(2,-1).
13.解析 (1)由题意得
所以a=2,b=1,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)证明:易知直线l的方程为y=k(x-1),
代入椭圆方程+y2=1得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0,
设E(x1,y1),F(x2,y2),
则由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,
直线AE,AF的方程分别为y=(x-2),y=(x-2),
令x=3,得M,N,
所以P,
则k·k'=k×=k×
=×
=×
=×=×
=-,为定值.
故k·k'为定值.
14.解析 (1)由直线y=x+与圆x2+y2=b2相切,得b==,
由已知条件可得所以
因此,椭圆C的方程为+=1.
(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),椭圆C的右顶点为M,则M(2,0),
由题意可知,直线l不过椭圆的左、右顶点,则m≠±2k,
联立消去y并整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,
Δ=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=48(4k2+3-m2)>0,
由根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=.
因为以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,所以·=0.
因为=(x1-2,y1),=(x2-2,y2).
所以·=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(x1-2)(x2-2)+(kx1+m)(kx2+m)=(k2+1)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=+m2+4=0,整理可得7m2+16km+4k2=0,解得m=-k或m=-2k(舍去),
所以直线l的方程为y=kx-k,所以直线l恒过定点.