人教B版(2019)选择性必修第一册 第二章 平面解析几何 复习提升（Word含答案）

第二章　平面解析几何
本章复习提升
易混易错练
易错点1　弄不清直线的斜率与倾斜角间的关系致错
1.(2021山西怀仁一中月考)已知直线l过点P(1,0)且与以A(2,1),B(4,-3)为端点的线段AB有公共点,则直线l倾斜角的取值范围为　　　　.
易错点2　忽略直线与圆的方程中的隐含条件导致计算错误
2.(2022四川南充期末)两条直线3x-2y-1=0与6x-4y+1=0间的距离是(　　)
A. B. C. D.
3.(2020辽宁六校联考)已知圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0关于直线y=x对称,则k的值为(　　)
A.1 B.-1 C.-1或1 D.0
4.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是(　　)
A.(x-5)2+(y-7)2=25
B.(x-5)2+(y-7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15
C.(x-5)2+(y-7)2=9
D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9
易错点3　忽视直线斜率不存在的情况致错
5.(2020湖南长沙一中期中)已知直线l经过点M(2,4)且与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交于A,B两点,若|AB|=6,则直线l的方程为　　　　　　　.
6.(2020黑龙江大庆期末)已知直线l:x+3y+6=0和圆C:x2+(y-3)2=4,经过点A(-1,0)的直线m与直线l相交于点N,与圆C相交于P,Q两点,且M是PQ的中点.
(1)当|PQ|=2时,求直线m的方程;
(2)判断·的值是不是定值,若为定值,求出这个定值;若不是定值,请说明理由.
易错点4　对圆锥曲线的定义理解不清致错
7.若动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都相外切,则动圆圆心的轨迹为(　　)
A.双曲线的一支 B.圆
C.抛物线 D.双曲线
8.设P(x,y),若+=8,则点P的轨迹方程为(　　)
A.+=1 B.+=1
C.-=1 D.-=1
9.(2020甘肃兰州月考)若抛物线x=ay2的准线方程为x=1,则实数a的值为(　　)
A. B.- C. D.-
易错点5　对圆锥曲线的标准方程把握不准确致错
10.(2022山西怀仁大地学校检测)关于曲线C:mx2+ny2=1,下列说法正确的是(　　)
A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在x轴上
B.若m=n>0,则C是圆,其半径r=1
C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±x
D.若m=0,n>0,则C是两条直线
易错点6　对直线与圆锥曲线的位置关系理解不清致错
11.(2020湖南娄底双峰一中月考)若直线l经过点(2,0)且与双曲线x2-y2=1只有一个公共点,则符合要求的直线l的条数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
12.(2020广东湛江期中)在平面直角坐标系中,到点A(2,0),B(4,4)以及直线l:x+2=0的距离都相等的点P的个数为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.无数
易错点7　求轨迹方程时忽视变量的范围致错
13.(2020江苏扬州中学月考)已知△ABC中,A(-3,0),B(3,0),若BC边上的中线的长为定值2,则顶点C的轨迹方程为　　　　.
14.(2020山西大同一中期中)设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹方程.
思想方法练
一、分类讨论思想在平面解析几何中的应用
1.(2022浙江舟山期末)已知圆(x+1)2+(y-a)2=1与圆(x-2)2+(y-4)2=16相切,则实数a的取值个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(多选)(2020湖北黄冈中学期中)已知△ABC是一个等腰直角三角形,如果圆锥曲线以△ABC的两个顶点为焦点,且经过另外一个顶点,则该圆锥曲线的离心率可以等于(　　)
A. B. C.-1 D.+1
3.(2020辽宁师大附中期末)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线的夹角(锐角或直角)为α,且cos α=,则双曲线的离心率等于　　　　.
二、数形结合思想在平面几何中的应用
4.(2021四川仁寿一中月考)已知点P为直线y=x+1上的一点,M,N分别为圆C1:(x-4)2+(y-1)2=4与圆C2:x2+(y-4)2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　)
A.5 B.6 C.2 D.1
5.(2022山东潍坊期末)已知F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P是椭圆上任意一点,过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线,交外角的平分线所在直线于点Q,则Q与短轴端点间的最小距离为(　　)
A.1 B.2
C.4 D.5
6.(2020江苏镇江月考)已知圆x2+y2=1的任意一条切线与圆x2+y2=4相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,O为坐标原点,则x1x2+y1y2=　　　　.
三、函数与方程思想在平面解析几何中的应用
7.(2020重庆万州一中月考)已知椭圆E的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),点C在椭圆E上,若点P在椭圆E上,且t=·,则实数t的取值范围是　　　　.
8.已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜率为1.
(1)当直线BD过点(0,1)时,求直线AC的方程;
(2)当∠ABC=60°时,求菱形ABCD面积的最大值.
四、转化与化归思想在平面解析几何中的应用
9.(2020山东省实验中学月考)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在一点P(非左、右顶点)使=,则该椭圆离心率e的取值范围为(　　)
A.(-1,1) B.(0,-1)
C. D.(2-,1)
10.(2020江西吉安月考)已知在平面直角坐标系中,A(3,0),B(0,6),圆C:(x-2)2+(y+1)2=r2(r>0),若圆C上存在点P,满足|PB|=2|PA|,则r的取值范围是　　　　　　.
11.(2022湖南宁乡一中月考)已知P是抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标为(2,3),求|PA|+|PM|的最小值.
答案与分层梯度式解析
第二章　平面解析几何
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易混易错练
1.答案　∪
解析　如图所示.
设直线l过A点时斜率为k1,过B点时斜率为k2,
则k1==1,k2==-1,
所以要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率的取值范围为[-1,1],
所以直线l倾斜角的取值范围为∪.
易错警示　求直线的斜率或倾斜角的取值范围时,要注意下面三个易错点:一是起、止直线的确定,从起始直线到终止直线要按逆时针方向旋转;二是若有斜率不存在的直线也符合题意,将斜率的范围分成两个区间;三要注意倾斜角为0的直线是否符合题意.
2.B　因为3×(-4)-(-2)×6=0,所以直线 3x-2y-1=0与直线 6x-4y+1=0平行,直线 3x-2y-1=0的方程可化为 6x-4y-2=0,故两直线间的距离是 =,故选B.
3.B　圆的方程可化为(x+k2)2+(y+1)2=k4-4k+1.
依题意得所以k=-1,故选B.
易错警示　关于圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的问题,解题时应牢记D2+E2-4F>0.
4.D　设动圆圆心为(x,y),若动圆与已知圆外切,则=4+1,∴(x-5)2+(y+7)2=25;
若动圆与已知圆内切,则=4-1,
∴(x-5)2+(y+7)2=9.
5.答案　x=2或y=4
解析　若直线l的斜率不存在,则其方程为x=2,此时可得A(2,0),B(2,6)或A(2,6),B(2,0),满足|AB|=6;若直线l的斜率存在,设其方程为y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,
依题意有=,解得k=0,此时直线方程为y=4.故符合要求的直线l的方程为x=2或y=4.
6.解析　(1)当直线m与x轴垂直时,其方程为x=-1,此时直线m与圆C的交点为(-1,3+),(-1,3-),所以|PQ|=2,满足条件.
当直线m与x轴不垂直时,设其方程为y=k(x+1),
因为|PQ|=2,所以|CM|=1,即=1,解得k=,所以直线m的方程为y=(x+1),即4x-3y+4=0.
综上,直线m的方程为x=-1或4x-3y+4=0.
(2)·的值为定值.
当直线m与x轴垂直时,其方程为x=-1,此时直线m与圆C的交点为(-1,3+),(-1,3-),所以M(-1,3),又可求得N,
所以=(0,3),=,于是·=-5.
当直线m与x轴不垂直时,设其方程为y=k(x+1),代入圆的方程得(1+k2)x2+(2k2-6k)x+k2-6k+5=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(xM,yM),
则xM==,yM=k(xM+1)=,
即M,则=,
又由得N,
则=.
故·=+==-5.
综上,·的值为定值-5.
易错警示　解决直线与圆锥曲线问题时,要注意讨论直线斜率存不存在的问题.
7.A　设动圆的圆心为P,半径为r,圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1(0,0),O2(4,0),半径分别为1和2,则由已知得|PO1|=r+1,|PO2|=r+2,因此|PO2|-|PO1|=1,且1<|O1O2|=4,由双曲线的定义知动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.
8.B　不妨设F1(0,2),F2(0,-2),由题意可知,点P(x,y)到点F1(0,2),F2(0,-2)的距离之和为定值8,并且8>4=|F1F2|,所以点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,其中2a=8,2c=4,所以a=4,c=2,所以b2=a2-c2=16-12=4,所以点P的轨迹方程为+=1,故选B.
9.B　抛物线方程可化为y2=x,由于其准线方程为x=1,所以-=1,解得a=-.
10.D　对于A,若m>n>0,则方程可化为+=1,其中<,即曲线C为焦点在y轴上的椭圆,故A错误;
对于B,若m=n>0,则方程可化为x2+y2=,此时曲线C为圆心在原点,半径为的圆,故B错误;
对于C,若mn<0,则方程可化为+=1,此时曲线C为双曲线,由mx2+ny2=0可得y=±x,故C错误;
对于D,若m=0,n>0,则方程可化为y2=,即y=±,此时曲线C为平行于x轴的两条直线,故D正确.
易错警示　(1)要注意双曲线标准方程与椭圆标准方程中a,b,c的区别:在椭圆标准方程中a2=b2+c2,在双曲线标准方程中c2=a2+b2.
(2)如果双曲线或椭圆的焦点位置不确定,要分类讨论.
(3)求抛物线的标准方程前应确定焦点的位置,焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2=2px(p≠0),焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2=2py(p≠0).
11.C　依题意,直线l的斜率必存在,设其为k,则直线l的方程为y=k(x-2).联立消去y整理得到(1-k2)x2+4k2x-(4k2+1)=0,当1-k2=0,即k=±1时,该方程只有一个解,直线与双曲线只有一个公共点. 当1-k2≠0时,由Δ=+4(1-k2)(4k2+1)=0,k无解,所以符合要求的直线只有2条.
12.C　由于点P到点A(2,0)与到直线l:x+2=0的距离相等,所以点P一定在抛物线y2=8x上,又因为点P到A(2,0),B(4,4)的距离相等,所以点P也一定在线段AB的垂直平分线x+2y-7=0上,因此满足条件的点P应该为直线x+2y-7=0与抛物线y2=8x的交点,易知有2个交点,所以满足条件的点P的个数为2.
易错警示　直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时,直线与它们并不一定相切.当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时,直线与双曲线、抛物线也只有一个公共点,此时直线与双曲线、抛物线相交.
13.答案　(x+9)2+y2=16(y≠0)
解析　设C(x,y),则BC边的中点D,因为|AD|=2,所以=2,整理得(x+9)2+y2=16.又因为当C点在直线AB上时,不能组成三角形,故y≠0,即顶点C的轨迹方程为(x+9)2+y2=16(y≠0).
14.解析　如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为,线段MN的中点坐标为.
因为平行四边形的对角线互相平分,所以=,=,从而有由N(x+3,y-4)在圆上得(x+3)2+(y-4)2=4,又O,M,N三点不共线,所以易得x≠-且x≠-,因此所求点P的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点,.
易错警示　求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性.如果方程整理和化简过程破坏了同解性,就需要剔除不属于轨迹的点,或找回属于轨迹而遗漏的点.
思想方法练
1.C　设圆(x+1)2+(y-a)2=1的圆心为C1,半径为R1,圆(x-2)2+(y-4)2=16的圆心为C2,半径为R2,则C1(-1,a),C2(2,4),R1=1,R2=4,
两个圆相切要分内切和外切两种情况进行讨论并求解.
当两圆外切时,有|C1C2|=R1+R2,即=5,解得a=0或a=8;当两圆内切时,有|C1C2|=R2-R1,即=3,解得a=4.
综上所述,a=0或a=8或a=4.故选C.
2.BCD　不妨设△ABC的直角边长为m,则斜边长为m.
由于不确定曲线类型,所以需分类讨论.
如果圆锥曲线是椭圆,
由于△ABC的位置不确定,故需按三角形的位置分类讨论.
当椭圆以两个非直角顶点为焦点且经过直角顶点时,离心率e===;当椭圆以一个非直角顶点和直角顶点为焦点且经过另一个非直角顶点时,离心率e===-1.如果圆锥曲线是双曲线,则双曲线只能以一个非直角顶点和直角顶点为焦点且经过另一个非直角顶点,这时离心率e===+1.
3.答案　或
解析　设渐近线y=x的倾斜角为θ,
按的范围分类讨论.
当0<<1时,依题意有α=2θ,由于cos α=,所以cos 2θ=,即=,解得tan2θ=,即=,故离心率e===;当>1时,依题意有α=2(90°-θ)=180°-2θ,由于cos α=,所以cos(180°-2θ)=,即=-,解得tan2θ=2,即=2,故离心率e===.
思想方法　分类讨论思想在本章中的应用非常普遍,在涉及直线方程时通常对直线的斜率存在与不存在进行讨论,在判断圆与圆的位置关系时,需要对两圆圆心的距离和半径之间的大小关系以及圆心的位置等进行讨论,在求圆锥曲线的标准方程时通常对焦点所在坐标轴的位置进行讨论等.
4.C　如图所示,由圆C1:(x-4)2+(y-1)2=4,
可得其圆心为C1(4,1),半径r1=2,
由圆C2:x2+(y-4)2=1,
可得其圆心为C2(0,4),半径r2=1,
可得两圆圆心距|C1C2|==5,
所以|PM|+|PN|≥5-r1-r2=2,
当且仅当M,N,C1,C2,P共线时,取得最小值2,
利用数形结合分析最值与动点、定点之间的关系.
故|PM|+|PN|的最小值为2.
故选C.
5.A　由题意直接画出图形,将几何关系在图形中呈现出来,充分体现了数形结合的思想.
如图所示,设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M,则|PM|=|PF1|,
∴|MF2|=|PM|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=2a=10.
连接OQ,易知OQ是△F1F2M的中位线,∴|OQ|=5,∴点Q的轨迹是以O为圆心,5为半径的圆,
∴当点Q在y轴上时,点Q与靠近点Q的短轴端点间的距离最小,为5-4=1.故选A.
6.答案　-2
解析　如图所示,设切点为P,连接OP,OA,OB,则|OP|=1,|OA|=|OB|=2,OP⊥AB,所以∠AOP=∠BOP=60°,因此∠AOB=120°,于是·=x1x2+y1y2=||·||cos120°=-2.
画出草图,转化为向量问题求解.
思维升华　在运用数形结合思想解决平面解析几何问题时,要着重注意以下几点:(1)能准确画出直线或曲线,注意曲线中变量的范围;(2)科学设置参数,并建立参数之间的关系,将数与形进行合理转换;(3)掌握圆锥曲线中的代数特征,正确限定参数的取值范围.
7.答案　[2,3]
解析　依题意,设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),由题知半焦距c=1,所以a2-b2=1.因为点C在椭圆E上,则+=1,解得a2=4,b2=3,则椭圆E的方程为+=1.设P(x0,y0),由·=t,得(-1-x0,-y0)·(1-x0,-y0)=t,即t=+-1,由于点P在E上,所以+=1,因此t=+2,
构造二次函数,应用函数性质求最值.
由于-2≤x0≤2,所以0≤≤4,故2≤t≤3,即实数t的取值范围为[2,3].
8.解析　(1)由题意得直线BD的方程为y=x+1.
因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.
于是可设直线AC的方程为y=-x+n,
与椭圆方程联立,可得4x2-6nx+3n2-4=0.
构造一元二次方程,利用根与系数的关系求解.
因为点A,C在椭圆上,所以Δ=-12n2+64>0,解得-设A,C两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,y1=-x1+n,y2=-x2+n,所以y1+y2=.
由四边形ABCD为菱形可知,点在直线y=x+1上,
所以=+1,解得n=-2.
所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.
(2)因为四边形ABCD为菱形,且∠ABC=60°,所以|AB|=|BC|=|CA|,
因此菱形ABCD的面积S=|AC|2.
由(1)可得,|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=,
所以S=(-3n2+16).
构造二次函数求最值.
所以当n=0时,菱形ABCD的面积取得最大值4.
思维升华　平面解析几何中应用函数与方程思想主要涉及直线和圆锥曲线的取值范围问题,一般有两种途径:(1)充分挖掘题设条件中的不等关系,构建以待求字母为元的不等式(组)求解;(2)充分应用题设中的等量关系,将待求参数表示成其他变量的函数,然后应用函数知识求解.
9.A　由于=,又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a,所以=,解得|PF1|=.由于P在椭圆上,且不是左、右顶点,因此a-c<|PF1|0,又0应用几何条件找出a与c之间的关系,转化为关于e的不等式求解.
10.答案　[,3]
解析　设P(x,y),由|PB|=2|PA|可得=2,整理可得(x-4)2+(y+2)2=20,故P点的轨迹是圆(x-4)2+(y+2)2=20,因此原问题转化为圆C:(x-2)2+(y+1)2=r2(r>0)与圆(x-4)2+(y+2)2=20有公共点,又两圆圆心距d==,所以应满足|r-2|≤≤r+2,解得≤r≤3.
转化为两圆有公共点问题求范围.
11.解析　根据题意,得抛物线的焦点为(1,0),设为F.当x=2时,y2=4×2=8,所以y=±2,即|y|=2.因为3>2,所以点A在抛物线的外侧,延长PM交直线x=-1于点N,由抛物线的定义可知|PN|=|PM|+1=|PF|,当A,P,F三点共线时,|PA|+|PF|最小,
将抛物线上一点到准线的距离转化为到焦点距离,利用三角形三边之间的关系求最值,体现了转化的数学思想.
此时|PA|+|PF|=|AF|,又A(2,3),所以|AF|==,即|PM|+1+|PA|的最小值为,所以|PM|+|PA|的最小值为-1.
思维升华　转化与化归思想是解决数学问题时常应用的基本思想方法,在解决数学问题时,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择恰当的数学方法进行变换,可以使问题得到解决.
转化与化归思想在平面解析几何中的应用:将一般的点或图形转化为特殊的点或图形,将代数形式转化为几何图形,利用相关定义及几何性质对相关的量进行适当转化,将平面几何条件转化为解析几何条件.