第二章 平面解析几何
专题强化练5 圆的方程及其应用
1.(2020湖南雅礼中学月考)在平面直角坐标系xOy中,圆C与圆O:x2+y2=1外切,且与直线x-2y+5=0相切,则圆C的面积的最小值为( )
A.π B.(3-)π
C.π D.(6-2)π
2.(2020浙江杭州质检)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )
A.-或- B.-或-
C.-或- D.-或-
3.(2022江西九江期末)在平面直角坐标系xOy中,已知两个圆C1:(x-a)2+(y-1)2=4,C2:(x-1)2+(y-a)2=2相交于A,B两点,若|OA|=|OB|,则实数a的值为( )
A.0 B.1
C.2 D.-1
4.(2020广西南宁三中期末)若函数y=-的图像与直线x-2y+m=0有公共点,则实数m的取值范围为( )
A.[-2-1,-2+1]
B.[-2-1,1]
C.[-2+1,-1]
D.[-3,1]
5.(多选)(2022福建厦门期末)已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y+1=0相交于A,B两点,下列说法正确的是( )
A.圆O与圆M有两条公切线
B.圆O与圆M关于直线AB对称
C.线段AB的长为
D.若E,F分别是圆O和圆M上的点,则|EF|的最大值为4+
6.(2020江苏扬州月考)在平面直角坐标系xOy中,过点P(-2,0)的直线与圆x2+y2=1相切于点T,与圆(x-a)2+=3相交于两点R,S,且|PT|=|RS|,则正数a的值为 .
7.(2020湖北八校期末联考)过点(,0)作直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于 .
8.(2020甘肃兰州期末)已知圆C的圆心在x轴上,且与直线4x-3y-2=0相切于点.
(1)求圆C的方程;
(2)经过点P(1,0)作斜率不为0的直线l与圆C相交于A,B两点,若直线OA,OB的斜率之和等于8,求直线l的方程.
答案与分层梯度式解析
第二章 平面解析几何
专题强化练5 圆的方程及其应用
1.C 圆心O(0,0)到直线x-2y+5=0的距离为=.因为圆C与圆O:x2+y2=1外切,且与直线x-2y+5=0相切,所以圆C的直径的最小值为-1,圆C的面积的最小值为=π.
2.D 点(-2,-3)关于y轴的对称点为点(2,-3),故可设反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.因为反射光线与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,所以圆心(-3,2)到直线kx-y-2k-3=0的距离d==1,化简得12k2+25k+12=0,解得k=-或k=-.
3.D 圆C1的圆心C1(a,1),半径r1=2,圆C2的圆心C2(1,a),半径r2=,易知AB的垂直平分线为直线C1C2,
又|OA|=|OB|,所以O,C1,C2三点共线,所以=,所以a2=1,解得a=±1.
当a=1时,两圆圆心重合,两圆为同心圆,不符合题意;当a=-1时,C1(-1,1),C2(1,-1),∴|C1C2|==2,∴r1-r2<|C1C2|4.B y=-可化为(x-1)2+y2=4(y≤0),它表示的是以(1,0)为圆心,2为半径的圆的下半部分,如图,
当直线与半圆相切时,圆心到直线的距离等于半径,所以=2,解得m=-2-1(正值舍去);
当直线过点(-1,0)时,-1+m=0,解得m=1.
因为半圆与直线x-2y+m=0有公共点,
所以-2-1≤m≤1.故选B.
5.ABD 圆O:x2+y2=4的圆心O(0,0),半径r=2,圆M:x2+y2+4x-2y+1=0,即(x+2)2+(y-1)2=4,其圆心M(-2,1),半径R=2.对于A,因为圆O与圆M相交,所以它们有两条公切线,故A正确;对于B,两圆的方程相减得4x-2y+5=0,即直线AB的方程为 4x-2y+5=0,易知圆心O(0,0)与圆心M(-2,1)关于直线AB对称,且两圆半径相等,故B正确;对于C,由B中的结论可知,|AB|=2=2=,故C错误;对于D,若E,F分别是圆O和圆M上的点,则|EF|的最大值为|MO|+r+R=+4,故D正确.故选ABD.
6.答案 4
解析 易知|PT|==,且直线PT的方程为y=±(x+2),设圆(x-a)2+=3的圆心(a,)到直线PT的距离为d,则|RS|=2=,所以d=,
因此=或=,又a>0,所以a=4.
7.答案 -
解析 令P(,0),如图,易知|OA|=|OB|=1,所以S△AOB=|OA||OB|sin∠AOB=sin∠AOB≤,当∠AOB=90°时,△AOB的面积取得最大值,此时过点O作OH⊥AB于点H,则|OH|=,于是sin∠OPH===,易知∠OPH为锐角,所以∠OPH=30°,则直线AB的倾斜角为150°,故直线AB的斜率为tan 150°=-.
8.解析 (1)依题意,设圆心C(a,0),
则有=,
整理得a2+4a+4=0,所以a=-2,即圆心为(-2,0),
于是半径r==2,
故圆C的方程为(x+2)2+y2=4.
(2)依题意,直线l的斜率一定存在,设为k(k≠0),则l的方程为y=k(x-1),
联立消去y,整理得(1+k2)x2+(4-2k2)x+k2=0.
因为直线与圆相交,所以Δ=-4(1+k2)k2=16-20k2>0,解得-设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,
于是kOA+kOB=+===
==,
所以=8,解得k=,满足题意,
所以直线l的方程为y=(x-1),
即x-2y-1=0.第二章 平面解析几何
专题强化练4 直线中的对称问题与最值问题
1.(2020江西宜春期中)若点A(a+2,b+2)与B(b-a,-b)关于直线4x+3y-11=0对称,则实数a,b的值分别为( )
A.-1,2 B.4,-2 C.2,4 D.4,2
2.一条光线从点A处发出后在点B(0,1)处被y轴反射,则反射光线所在直线的方程为( )
A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0
C.x-2y-1=0 D.x+2y+1=0
3.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=1,点A,C分别在x轴、y轴上,当点A在x轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B与原点O间的距离的最大值是( )
A.3 B. C.1+ D.
4.(多选)(2021山西怀仁一中月考)已知直线l1:ax-y+1=0,l2:x+ay+1=0,a∈R,以下结论正确的是( )
A.无论a为何值,l1与l2都互相垂直
B.当a变化时,l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(-1,0)
C.无论a为何值,l1与l2都关于直线x+y=0对称
D.若l1与l2交于点M,则|MO|的最大值是
5.(2021江西赣州期末)在平面直角坐标系中,长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动,M是直线x+y-4=0上的动点,则|MA|+|MB|的最小值为 .
6.(2022山西太原五中月考)著名数学家华罗庚曾说过:“数无形时少直觉,形少数时难入微.”事实上,很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决,如可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)之间的距离,结合上述观点,可得+的最小值为 .
7.已知点A(2,5)与点B(4,-7),试在y轴上求一点P,使|PA|+|PB|的值最小,并求出最小值.
8.已知点M(3,5),在直线l:x-2y+2=0和y轴上分别找一个点P和Q,求当△MPQ的周长最小时,点P,Q的坐标.
答案与分层梯度式解析
第二章 平面解析几何
专题强化练4 直线中的对称问题与最值问题
1.D 因为点A,B关于直线4x+3y-11=0对称,所以A,B两点所在直线的斜率kAB=,即=,即6a-11b-2=0.易知线段AB的中点在直线4x+3y-11=0上,所以4×+3×1-11=0,所以b=2,所以a=4.
2.B 由反射定律可知点A关于y轴的对称点M在反射光线所在的直线上,又点B(0,1)也在反射光线所在的直线上,因此可得直线的两点式方程为=,即2x+y-1=0.
3.C 取AC的中点D,连接OD,BD,显然OD,BD的长都为定值,如图所示.
∵|OB|≤|OD|+|BD|,∴当O,D,B三点共线时,|OB|取得最大值.∵|BD|==,|OD|=|AD|=|AC|=1,∴点B与原点O间的距离的最大值为1+.故选C.
4.ABD 对于A,a×1+(-1)×a=0,故l1与l2互相垂直恒成立,故A正确;
对于B,直线l1:ax-y+1=0,当a变化,x=0时,y=1恒成立,所以l1恒过定点A(0,1),
l2:x+ay+1=0,当a变化,y=0时,x=-1恒成立,所以l2恒过定点B(-1,0),故B正确;
对于C,在l1上任取一点(x,ax+1),其关于直线x+y=0对称的点的坐标为(-ax-1,-x),
将其代入l2:x+ay+1=0,得2ax=0,不满足无论a为何值,2ax=0均成立,故C不正确;
对于D,联立解得
即M,
所以|MO|==≤,
所以|MO|的最大值是,故D正确.
5.答案 4
解析 设点A(a,0),B(0,b),则a2+b2=9,设点B关于直线x+y-4=0的对称点为B'(x1,y1),易知x1≠0,
则解得故B'(4-b,4),
要使|MA|+|MB|的值最小,则需|AB'|的值最小,
而|AB'|==,
由a2+b2=9,可设a=3cos θ,b=3sin θ,所以a+b=3sin θ+3cos θ=3sin,所以-3≤a+b≤3,
所以当a+b=4时,|AB'|取得最小值,最小值为4,
所以|MA|+|MB|的最小值为4.
6.答案 5
解析 +=+,其几何意义为点M(x,0)与两定点A(2,4),B(1,3)之间的距离之和.如图所示,
设点A(2,4)关于x轴的对称点为A',则A'的坐标为(2,-4),所以|MA|+|MB|=|MA'|+|MB|≥|A'B|==5,即+的最小值为5.
7.解析 作点A(2,5)关于y轴的对称点A',易得其坐标为(-2,5),在y轴上任取一点P,由对称的知识易知|PA'|=|PA|.求|PA|+|PB|的最小值,即求|PA'|+|PB|的最小值.
由平面几何知识知,当A',P,B三点共线时,|PA'|+|PB|的值最小,由直线的两点式方程可得A'B所在直线的方程为=,即2x+y-1=0.令x=0,得y=1,故点P的坐标为(0,1).
此时,(|PA|+|PB|)min=|A'B|==6.
8.解析 作点M关于直线l的对称点M1,再作点M关于y轴的对称点M2,连接M1M2,则M1M2与直线l的交点即为点P,与y轴的交点即为点Q,此时得到的△MPQ的周长最小.
由点M(3,5)及直线l:x-2y+2=0,可求得点M1(5,1),
又点M关于y轴的对称点M2的坐标为(-3,5),
所以直线M1M2的方程为x+2y-7=0.
令x=0,得y=,所以直线M1M2与y轴的交点Q的坐标为,
解方程组可得直线M1M2与直线l的交点P的坐标为.
故P,Q即为所求.
