第二章 平面解析几何
专题强化练6 椭圆的综合问题
1.(2022湖南长郡中学期末)“4A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2022山东青岛期中)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率是,左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,且∠F1PF2=,△F1PF2的面积等于3,则椭圆E的方程为( )
A.+=1 B.+y2=1
C.+=1 D.+=1
3.(2020湖南长沙一中月考)已知点P是椭圆+=1上非顶点的动点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,O是坐标原点,若M是∠F1PF2平分线上的一点,且·=0,则||的取值范围是( )
A.[0,3) B.(0,2)
C.[2,3) D.(0,4]
4.(多选)(2020福建漳州期末)设椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的动点,则下列结论正确的是( )
A.|PF1|+|PF2|=2
B.离心率e=
C.△PF1F2面积的最大值为
D.以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-=0相切
5.(2022浙江湖州期中)已知点P,Q,M是椭圆C:+=1(a>b>0)上的三点,坐标原点O是△PQM的重心,若点M,直线PQ的斜率恒为-,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆+=1(a>b>0)离心率的最小值为,其左、右焦点分别为F1,F2,若P是椭圆上位于y轴右侧的一点,则= .
7.(2020重庆西南大学附属中学月考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为M(-2,0),离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点N(1,0)的直线l交椭圆C于A,B两点,当·取得最大值时,求△MAB的面积.
答案与分层梯度式解析
第二章 平面解析几何
专题强化练6 椭圆的综合问题
1.B 若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则解得7故为必要不充分条件.故选B.
2.D 由题意知=,即3a2=4c2,根据椭圆的定义,可得|PF1|+|PF2|=2a,又因为∠F1PF2=,且△F1PF2的面积等于3,所以+=4c2,且|PF1|·|PF2|=6, 则+=-2|PF1||PF2|=4a2-12=4c2,即4a2-12=3a2,解得a2=12,所以c2=9,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆的方程为+=1.故选D.
3.B 如图,延长F1M交PF2的延长线于点G,
∵·=0,∴⊥.
又PM为∠F1PF2的平分线,
∴||=||,M为F1G的中点.
又∵O为F1F2的中点,∴||=||.
∵||=|||-|||=|||-|||,
∴||=|2a-2|||=|4-|||,
易知4-2<||<4+2,且||≠4,
∴||∈(0,2).故选B.
4.AD 由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=2,故A正确;因为c==1,所以离心率e===,故B错误;当P在短轴的两个端点处时,△PF1F2的面积最大,最大值为×2×1=1,故C错误;原点到直线x+y-=0的距离d==1=c,因此以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-=0相切,故D正确.
5.D 设P(x1,y1),Q(x2,y2),又M,
由原点O是△PQM的重心,得=0,=0,
即x1+x2=-a,y1+y2=-b,
又P,Q是椭圆C:+=1(a>b>0)上的点,∴+=1,+=1,
两式相减得=-,
故=-=-=-,即=,∴e===.
6.答案 5
解析 依题意|PF1|>|PF2|,设=λ(λ>1),则|PF1|=λ|PF2|.由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a,因此|PF2|=,又因为F2是椭圆的右焦点,所以|PF2|≥a-c,因此≥a-c,整理,得e≥,于是有=,故λ=5.
7.解析 (1)由题意,可得a=2,=,所以c=,则b2=a2-c2=2.
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)当直线l与x轴重合时,不妨取A(-2,0),B(2,0),此时·=0;
当直线l与x轴不重合时,设直线l的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去x并整理,得(t2+2)y2+2ty-3=0,显然Δ>0,y1+y2=,y1·y2=,
所以·=(x1+2)(x2+2)+y1y2=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2
=(t2+1)y1y2+3t(y1+y2)+9=(t2+1)·+3t·+9=.
当t=0时,·取得最大值,此时直线l的方程为x=1,
不妨取A,B,则|AB|=.
易知|MN|=3,
所以△MAB的面积S=××3=.第二章 平面解析几何
专题强化练7 双曲线的综合问题
1.(多选)(2020江西新余期末)已知中心在原点,且关于坐标轴对称的双曲线M的离心率为,且它的一个焦点到一条渐近线的距离为2,则双曲线M的方程可能是( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
2.(2022河北保定二中期末)已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为C的右支上的点,且|PF2|=|F1F2|,则△PF1F2的面积等于( )
A.192 B.96 C.48 D.102
3.(多选)(2020山东章丘四中期中)已知F1,F2分别是双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且·=0,则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的渐近线方程为y=±x
B.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1
C.点F1到双曲线的一条渐近线的距离为1
D.△PF1F2的面积为1
4.(2020湖北襄阳二中段考)设点F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0)的左、右焦点,过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A,B两点.若△ABF2的面积为2,则该双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
5.(2020河北衡水期中)已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且|PF2|>|PF1|,椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,若|PF1|=|F1F2|,则+的最小值为( )
A.4 B.6 C.4+2 D.8
6.下列三个图中的多边形均为正多边形,M,N是所在边的中点,双曲线均以图中的F1,F2为焦点,设图①②③中双曲线的离心率分别为e1,e2,e3,则e1,e2,e3的大小关系为( )
A.e1>e2>e3 B.e1C.e2=e3e2
7.(2020甘肃兰州期末)如图,F1,F2是双曲线C1:x2-=1与椭圆C2的公共焦点,点A是C1,C2在第一象限的公共点.若|F1F2|=|F1A|,则椭圆C2的离心率是 .
8.(2020山西太原模拟)已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,若双曲线上一点P,使=e,则·的值为 .
答案与分层梯度式解析
第二章 平面解析几何
专题强化练7 双曲线的综合问题
1.AB 焦点到一条渐近线的距离为b,所以b=2,因为e===,所以a2=2,所以该双曲线的方程为-=1或-=1.
2.A 由题意得a=6,b=8,则c==10,则|PF2|=|F1F2|=20,由双曲线的定义可得|PF1|=|PF2|+2a=20+12=32,
所以△PF1F2中PF1边上的高为=12,所以△PF1F2的面积为×32×12=192,故选A.
3.ACD 由已知得a=b=1,c=,因此渐近线方程为y=±x,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2,点F1到双曲线的一条渐近线的距离为b=1,由·=0得∠F1PF2=90°,所以△PF1F2的面积为==1,故A、C、D正确,B错误.
4.D 设F1(-c,0),A(-c,y0),则-=1,
∴=-1===,
∴=,∴|AB|=2|y0|=,
又=2,∴×|AB|×2c=××2c==2,
∴=,∴==,
∴该双曲线的渐近线方程为y=±x.故选D.
5.D 设|F1F2|=2c,椭圆的长轴长为2a1,双曲线的实轴长为2a2,则|PF1|=2c,由椭圆的定义得|PF2|=2a1-2c,由双曲线的定义得|PF2|=2a2+2c,因此2a1-2c=2a2+2c,即a1-a2=2c,则-=2,于是+=3+=6++≥6+2·=8,当且仅当=,即e2=3时等号成立,故所求最小值为8.
6.D ①设等边三角形的边长为2,
以底边所在直线为x轴,以底边的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图①,
则双曲线的焦点坐标为(-1,0),(1,0),
∴N到两个焦点(-1,0),(1,0)的距离分别是,1,
又点N在双曲线上,∴a=,
又∵c=1,∴e1==+1.
②设正方形的边长为,
分别以两条对角线所在直线为x轴和y轴,建立平面直角坐标系,如图②,
则双曲线的焦点坐标为(-1,0),(1,0),
∴点N到两个焦点(-1,0),(1,0)的距离分别是,,
又点N在双曲线上,∴a=,
又∵c=1,∴e2==.
③设正六边形的边长为2,
以F1F2所在直线为x轴,F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图③,
则双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0),且过点(1,),
∴点(1,)到两个焦点(-2,0),(2,0)的距离分别为2,2,∴a=-1,
又∵c=2,∴e3==+1.
综上所述,e1=e3>e2.故选D.
7.答案
解析 设椭圆的长轴长为2a,双曲线的实轴长为2a1=2,焦距为2c=4,由于|F1F2|=|F1A|,所以|F1A|=4,由椭圆的定义可得|AF2|=2a-4,由双曲线的定义可得|AF2|=4-2=2,所以2a-4=2,解得a=3,所以椭圆C2的离心率e=.
8.答案 2
解析 由双曲线方程x2-=1得a=1,c=2,由双曲线的定义得|||-|||=2.因为=e=2,所以由正弦定理得=2,可解得||=4,||=2,又||=4,根据余弦定理可得cos∠PF2F1=,所以·=||·||·cos∠PF2F1=2×4×=2.
