第二章 平面解析几何
专题强化练9 直线与圆锥曲线的综合问题
1.(2020安徽阜阳期中)已知抛物线y2=2px过点A,其准线与x轴交于点B,直线AB与抛物线的另一个交点为M,若=λ,则实数λ=( )
A. B. C.2 D.3
2.(2022江苏南京师大附中期末)已知A,B分别为双曲线Γ:x2-=1的左、右顶点,过双曲线Γ的左焦点F作直线PQ,交双曲线于P,Q两点(点P,Q异于点A,B),则直线AP,BQ的斜率的比值=( )
A.- B.-3 C.- D.-
3.(多选)(2020山东青岛二中模拟)设M,N是抛物线y2=x上的两个不同的点,O是坐标原点,若直线OM,ON的斜率之积为-,则下列结论中不正确的是 ( )
A.|OM|+|ON|≥4
B.O到直线MN的距离不大于2
C.直线MN过抛物线y2=x的焦点
D.以MN为直径的圆的面积大于4π
4.(2022黑龙江大庆期末)抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面,用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质:一束平行于抛物线对称轴的光线,经过抛物面的反射后,集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面,将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中,对称轴与x轴重合,顶点与原点重合,如图,若抛物线过点A,平行于对称轴的光线经过点A反射后,反射光线交抛物线于点B,则线段AB的中点到准线的距离为( )
A. B. C. D.2
5.(2022山西康杰中学期中)已知椭圆E:+y2=1,P为E的长轴上任意一点,过点P作斜率为的直线l,与E交于M,N两点,则|PM|2+|PN|2的值为 .
6.设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若=sin∠AOQ(O为原点),求k的值.
7.(2020四川南充期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线x-y+4=0相切.
(1)求该抛物线的方程;
(2)在x轴的正半轴上,是否存在某个确定的点M,过该点的动直线l与抛物线C交于A,B两点,使得+为定值 如果存在,求出点M的坐标;如果不存在,请说明理由.
8.(2022湖南双峰一中期末)双曲线C的中心在原点O,焦点在x轴上,且焦点到其渐近线y=±2x的距离为2.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)过点P(0,2)的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,与其渐近线分别交于M,N(从左至右)两点.
①证明:|AM|=|BN|;
②是否存在这样的直线l,使得= 若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
第二章 平面解析几何
专题强化练9 直线与圆锥曲线的综合问题
1.C 把代入抛物线的方程,得2=2p×,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,则B(-1,0),设M,则=,=.由=λ,得解得λ=2或λ=1(舍去),故选C.
2.B 由双曲线的方程得a=1,b=,c=2,故F(-2,0),A(-1,0),B(1,0).设直线PQ:x=my-2,m≠±,P(x1,y1),Q(x2,y2).由消去x并整理得(3m2-1)y2-12my+9=0,∴y1+y2=,y1y2=,两式相除得m=×①,∴=×==②,将①代入②得===-3.故选B.
3.ACD 当直线MN的斜率不存在时,设M(,y0),N(,-y0),由直线OM,ON的斜率之积为-,可得-=-,即=2,所以直线MN的方程为x=2;当直线MN的斜率存在时,设直线方程为y=kx+m,联立可得ky2-y+m=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1y2=,x1x2=,所以kOM·kON===-,即m=-2k.故直线方程为y=kx-2k=k(x-2).故直线MN过定点(2,0),所以O到直线MN的距离不大于2,故B中结论正确,C中结论错误;当MN⊥x轴时,|OM|+|ON|=2<4,以MN为直径的圆的面积为2π,故A,D中结论错误.
4.B 设抛物线的方程为y2=mx(m>0),将A的坐标代入可得12=m,解得m=4,所以抛物线的方程为y2=4x,则焦点为(1,0),准线方程为x=-1,由题意可得,反射光线过焦点(1,0),所以直线AB的方程为y-0=(x-1),整理可得y=-(x-1),联立整理可得y2+3y-4=0,解得y1=-4,y2=1,代入直线方程可得x1=4,x2=,所以反射光线与抛物线的两个交点为A,B(4,-4),所以线段AB的中点坐标为,所以线段AB的中点到准线的距离d=+1=,故选B.
5.答案 5
解析 设P(m,0)(-2≤m≤2),则直线l的方程为y=(x-m),将直线l的方程代入椭圆方程并化简,得2x2-2mx+m2-4=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=m,x1x2=,y1+y2=(x1+x2)-m=-,y1y2=[x1x2-m(x1+x2)+m2]=,
所以|PM|2+|PN|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1+x2)2-2x1x2+2m2-2m(x1+x2)+(y1+y2)2-2y1y2=m2-m2+4+2m2-2m2+m2-=5.
6.解析 (1)设椭圆的焦距为2c,由已知得=,又a2=b2+c2,所以2a=3b.
由已知可得,|FB|=a,|AB|=b,
由|FB|·|AB|=6,可得ab=6,从而a=3,b=2.
所以椭圆的方程为+=1.
(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).
由已知得y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.
又因为|AQ|=,而∠OAB=,所以|AQ|=y2.
由=sin∠AOQ,可得5y1=9y2.
由方程组消去x,可得y1=.
易知直线AB的方程为x+y-2=0,
由方程组消去x,可得y2=.
由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方,整理得56k2-50k+11=0,
解得k=或k=,
所以k的值为或.
7.解析 (1)联立方程得消去x,得y2-2py+8p=0,由直线与抛物线相切,得Δ=8p2-32p=0,又p>0,∴p=4.
故该抛物线的方程为y2=8x.
(2)假设存在满足条件的点M(m,0)(m>0),设直线l的方程为x=ty+m,
由得y2-8ty-8m=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=8t,y1y2=-8m.
∵|AM|2=(x1-m)2+=(t2+1),
|BM|2=(x2-m)2+=(t2+1),
∴+=+=·=·,
当m=4时,+为定值,
∴M(4,0).
8.解析 (1)设双曲线C的标准方程为-=1(a>0,b>0),右焦点为F(c,0),c>0,由题意得=2,=2,又c2=a2+b2,所以a2=1,b2=4,
故双曲线C的标准方程为x2-=1.
(2)①证明:易知直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+2,
联立(λ=0或λ=1),
消去y可得(4-k2)x2-4kx-4-4λ=0,
易知Δ>0,且k∈(-2,2),
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4).
当λ=1时,x1+x2=,即AB的中点的横坐标为;
当λ=0时,x3+x4=,
即MN的中点的横坐标为,
故线段AB,MN的中点重合,所以|AM|=|BN|.
②存在.由①可得,x1+x2=x3+x4=,
x1x2=,x3x4=,
所以|MN|==,
|AB|=
=,
又==,所以k=±,满足Δ>0,
故存在这样的直线l,其方程为y=±x+2.第二章 平面解析几何
专题强化练8 抛物线的综合问题
1.(2020山东章丘四中期中)设斜率为的直线过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,与C交于A,B两点,且|AB|=,则p=( )
A. B.1 C.2 D.4
2.(2021新高考八省(市)联考)已知抛物线y2=2px上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线,则直线BC的方程为( )
A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0
C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0
3.(2022西安中学检测)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=60°.过弦AB的中点M作抛物线的准线l的垂线,垂足为N,则的最大值为( )
A. B. C.1 D.2
4.(2020湖北武汉期末)已知P为抛物线y2=4x上的一个动点,P到其准线的距离为d,Q为圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上的一个动点,则d+|PQ|的最小值是 ( )
A.5 B.4
C.2+1 D.+1
5.(多选)(2020山东烟台期末)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为l,过F的直线与E交于A,B两点,C,D分别为A,B在l上的射影,且|AF|=3|BF|,M为AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是( )
A.∠CFD=90°
B.△CMD为等腰直角三角形
C.直线AB的斜率为±
D.△AOB的面积为4
6.(2022湖南益阳期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x0,6)是抛物线上一点,以M为圆心的圆与直线l:x=交于A,B两点(A在B的上方),若sin∠MFA=,则抛物线C的方程为 .
7.(2020江苏歌风中学月考)河道上有一抛物线形拱桥,在正常水位时,拱圈最高点距水面8 m,拱圈内水面宽24 m,一条船在水面以上部分高6.5 m,船顶部宽6 m.
(1)试建立适当的平面直角坐标系,求拱圈所在的抛物线的标准方程;
(2)近日水位暴涨了1.54 m,为此,必须加重船载,降低船身,才能通过桥洞,试问:船身至少应该降低多少 (精确到0.1 m)
答案与分层梯度式解析
第二章 平面解析几何
专题强化练8 抛物线的综合问题
1.C 依题意得直线方程为y=,代入抛物线方程得3x2-5px+p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,于是|AB|=x1+x2+p=+p==,故p=2.
2.B ∵A(2,2)在抛物线y2=2px上,∴4=4p,∴p=1,∴y2=2x.
过A(2,2)作圆(x-2)2+y2=1的切线,由题意知切线的斜率一定存在,设切线的斜率为k,
则切线方程为y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0.
由圆心(2,0)到切线kx-y-2k+2=0的距离等于半径得=1,可得k=±.
不妨令kAB=,则直线AB的方程为y-2=(x-2),
由
解得或
∴B.
同理可得C.
∴kBC=-,∴直线BC的方程为y-=-·,即3x+6y+4=0,故选B.
3.C 设|AF|=a,|BF|=b,过点A,B分别作准线l的垂线,垂足为Q,P,如图.由抛物线的定义,得|AQ|=|AF|=a,|BP|=|BF|=b,
在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.
在△ABF中,由余弦定理,得|AB|2=a2+b2-2ab·cos 60°=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab.
∵ab≤,∴(a+b)2-3ab≥(a+b)2-(a+b)2=(a+b)2,
即|AB|≥(a+b)=|MN|,当且仅当a=b时等号成立,∴≤1,即的最大值为1.
4.B 设抛物线y2=4x的焦点为F,则F(1,0),准线方程为x=-1.
圆C:(x+2)2+(y-4)2=1的圆心为C(-2,4),半径r=1,|FC|==5.
由抛物线的定义可知点P到抛物线准线的距离d=|PF|,则d+|PQ|=|PF|+|PQ|,
如图,当C,Q,P,F四点共线时,d+|PQ|取得最小值,所以(d+|PQ|)min=|FC|-r=5-1=4.
故选B.
5.AC 由抛物线的定义知|AC|=|AF|,|BD|=|BF|,所以∠ACF=∠AFC,∠BDF=∠BFD.因为∠ACF=∠OFC,∠BDF=∠OFD,所以∠AFC+∠BFD=∠OFC+∠OFD=∠CFD,而∠AFC+∠BFD+∠CFD=180°,所以∠CFD=90°,故A正确;设|BF|=m,则|AF|=3m,因为+==1,即+=1,所以m=,即|BF|=,|AF|=4,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+1=4,x2+1=,于是x1=3,x2=,当A在x轴上方时,可得A(3,2),B,从而kAB=,当A在x轴下方时,同理可得kAB=-,故C正确;由双曲线的对称性,不妨设A在x轴上方,则M,C(-1,2),D,所以kMC=-,kMD=,所以MC与MD不垂直,故B错误;S△AOB=S△OAF+S△OBF=×1×=,故D错误.
6.答案 y2=12x
解析 如图所示,过点M作ME⊥l,垂足为E,ME的延长线交准线于点D,∴sin∠MFA==,由抛物线的定义可得|MF|=|MD|,∴==,即5x0+p=7x0-p,∴x0=3p.
∵点M(x0,6)是抛物线上一点,
∴(6)2=2px0,将x0=3p代入,得36×6=6p2,
∴p=6,∴抛物线C的方程为y2=12x.
7.解析 (1)设抛物线形拱桥与水面两交点分别为A,B,以AB的垂直平分线为y轴,拱圈最高点O为坐标原点,建立平面直角坐标系(图略),
则A(-12,-8),B(12,-8),
设拱圈所在抛物线的方程为x2=-2py(p>0),
因为点A(-12,-8)在抛物线上,
所以144=16p,解得p=9,
故拱圈所在抛物线的方程是x2=-18y.
(2)在x2=-18y中,当x=3时,y=-0.5,
6.5+1.54-(8-0.5)=0.54,
故当水位暴涨1.54 m后,船身至少应降低0.6 m,才能安全通过桥洞.
