2022-2023学年北师大版九年级数学上册 4.5相似三角形判定定理的证明 同步解答专项练习题（Word版，含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.5相似三角形判定定理的证明》
同步解答专项练习题（附答案）
1．已知：如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、H分别在AC、BC上，联结BD、AH，相交于点E，且AE＝BE，AD2＝BD DE．
（1）求证：AH⊥BC；
（2）如果点F在线段AE上，且∠ADF＝∠BAC，求证：BD DE＝AF AE．
2．已知：如图，点D、F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2＝CF CA．
（1）求证：EF∥BD；
（2）如果，求△DEF与△ABD的周长比．
3．如图，已知点D、E分别在△ABC的AB、AC上，DE∥BC，DE＝6，BC＝9，S△ADE＝16．
（1）求S△ABC的值；
（2）联结BE、CD交于点F，求S△DEF的值．
4．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD＝6，CE＝4，求△ABC的边长．
5．已知在△ABC中，AB＝AC＝10，点P是线段BC上一点，（点P不与点C、B重合），点D是射线CA上的动点，且保持∠APD＝∠B．
（1）如图，当BP＝12，PC＝4时，求CD的长．
（2）若BC＝12，BP＝x，CD＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
6．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，联结CD，点E在线段CD上，且EA＝EB＝EC＝1．
（1）求证：△EAD∽△ACD；
（2）当△EBD是直角三角形时，求线段BC的长度；
（3）记△ACE、△ADE、△BDE的面积为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求ED的长．
7．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上．
（1）如果＝，且AD+DE+AE＝15，求△ABC的周长；
（2）如果DE∥BC，过点D作DF∥AC，交BC于点F，且AE＝7，CE＝3，BF＝，求FC的值．
8．已知：如图，BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BF与CE相交于点O，AN是∠BAC的角平分线，交EF于点M，交BC于点N．
（1）求证；△ABF∽△ACE；
（2）求证：＝．
9．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，DC与BE相交于点O，且DO＝2，BO＝DC＝6，OE＝3．
（1）求证：DE∥BC；
（2）如果四边形BCED的面积比△ADE的面积大12，求△ABC的面积．
10．如图，在△ABC中，点BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，BD2＝BC BE．
（1）求证：△BCD∽△BDE；
（2）如果BC＝10，AD＝6，求AE的值．
11．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，过A作AE⊥AD交BC的延长线于点E，M为DE的中点．
（1）求证：ME2＝MC MB；
（2）如果BA2＝BD BE，求证：
12．如图，△ABC中，点D在边BC上，DE∥AB，DF∥AC．求证：．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE的延长线与BC的延长线交于点F．
（1）求证：△FDC∽△FBD；
（2）求证：AC BF＝BC DF．
14．如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的点，AD＝AC，BE＝EC．
（1）求证：△FCD∽△ABC；
（2）若AF＝DF，BC＝8，tan∠ACD＝3，求ED的长．
15．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝．
（1）如果AD＝4，求BD的长度；
（2）如果S△ADE＝2，求S四边形DBCE的值．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上移动（点D不与点B、C重合），满足∠EDF＝∠B，且点E、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）当点D移动到BC的中点时，求证：点E关于直线DF的对称点在直线AC上．
17．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠DAE＝45°，求证：AB2＝BE CD．
18．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．
19．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；
（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．
20．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2＝BF BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：DF AB＝BC DG；
（2）当点E为AC中点时，求证：2DF EG＝AF DG．
参考答案
1．证明：（1）∵AD2＝BD DE，
∴，
又∵∠ADB＝∠ADE，
∴△ADB∽△EDA，
∴∠DAE＝∠ABD，
∵AE＝BE，
∴∠ABD＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠DAE，
又∵AB＝AC，
∴AH⊥BC；
（2）如图，
∵△ADB∽△EDA，
∴∠AED＝∠BAC，
又∵∠ADF＝∠BAC，
∴∠ADF＝∠AED，
又∵∠EAD＝∠DAF，
∴△AFD∽△AED，
∴，
∴AD2＝AF AE，
又∵AD2＝BD DE，
∴BD DE＝AF AE．
2．（1）证明：∵DE∥AB，
∴，
∵CD2＝CF CA，
∴，
∴，
∴EF∥BD；
（2）∵EF∥BD，
∴∠DFE＝∠ADB，△CEF∽△CBD，
∴，
∵DE∥AB，
∴∠FDE＝∠A，
∴△DFE∽△ADB，
∵，
∴．
3．解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得S△ABC＝36；
（2）∵△ADE∽△ABC，
∴＝，
即＝2，
∴S△BDE＝S△ADE＝8．
∵DE∥BC，
∴△FDE∽△FCB，
∴＝＝，
∴S△DEF＝S△BDE＝×8＝．
4．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAD+∠ADB＝120°
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠EDC＝120°，
∴∠DAB＝∠EDC，
又∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴＝，
∵BD＝6，CE＝4，
∴；
解得AB＝18．
5．解：（1）∵∠APD+∠CPD＝∠B+∠BAP，∠APD＝∠B，
∴∠BAP＝∠CPD．
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∴△CPD∽△BAP．
∴．
∵AB＝AC＝10，BP＝12，PC＝4，
∴．
∴CD＝；
（2）由（1）得△CPD∽△BAP．
∴．
∵BP＝x，CD＝y，AB＝AC＝10，
∴，即y＝﹣（0＜x＜12）．
故所求的函数关系式为y＝﹣（0＜x＜12）．
6．（1）证明：在△ABE和△ACE中，
，
∴△ABE≌△ACE（SSS），
∴∠BAE＝∠CAE，
∵EA＝EC，
∴∠CAE＝∠DCA，
∴∠BAE＝∠DCA，
又∵∠ADE＝∠CDA，
∴△EAD∽△ACD；
（2）解：分两种情况：
①∠BDE＝90°时，如图1所示：
则∠ADE＝90°＝∠BDE，ED⊥AB，
∵EA＝EB，
∴BD＝AD，
∴BC＝AC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD＝30°，
过E作EF⊥BC于F，
则BF＝CF，EF＝EC＝，CF＝EF＝，
∴BC＝2CF＝；
②∠BED＝90°时，如图2所示：
则∠BEC＝90°，
∵EB＝EC＝1，
∴△BEC是等腰直角三角形，
∴BC＝EB＝；
综上所述，当△EBD是直角三角形时，线段BC的长度为或；
（3）解：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，
∴E到AB、AC的距离相等，
∴S1：S2：S3，＝AC：AD：BD，
∵S2是S1和S3的比例中项，
∴S3 S1＝S22，
∴AD2＝AC BD，
∴AD2＝AB BD，
∴D是AB的黄金分割点，
∴AD＝AB，
即＝，
由（1）得：△EAD∽△ACD，
∴＝＝＝，
∴ED＝．
7．解：（1）∵＝，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∵AD+DE+AE＝15，
∴AB+AC+BC＝25，
∴△ABC的周长为25；
（2）如图，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴DF＝EC＝3，
∵DF∥AC，
∴△DFB∽△ACB，
∴，
∴＝，
∴BC＝6，
∴FC＝BC﹣BF＝6﹣＝．
8．解：（1）证明：∵BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，
∴BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AFB＝∠AEC＝90°，
又∵∠CAE＝∠BAF，
∴△ABF∽△ACE；
（2）证明：∵△ABF∽△ACE，
∴＝，
∴＝，
又∵∠EAF＝∠CAB，
∴△EAF∽△CAB，
∴＝①，∠AEF＝∠ACB，
∵AN是∠BAC的角平分线，
∴∠EAM＝∠CAN，
∴△EAM∽△CAN，
∴＝②，
由①②可得：
＝．
9．解：（1）∵OD＝2，DC＝6，OE＝3，
∴OC＝4，＝，＝，
∴＝，∵∠DOE＝∠BOC，
∴△DOE∽△COB，
∴∠ODE＝∠OCB，
∴DE∥BC．
（2）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，＝＝，
∴＝，设△ADE的面积为x，则△ABC的面积为4x，
∴四边形BCED的面积为3x，
由题意3x﹣x＝2x＝12，
∴x＝6，
∴S△ABC＝4x＝24．
10．（1）证明：∵点BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，
∴∠BDC＝90°，∠BED＝90°，
∵BD2＝BC BE，
∴＝，
∴△BCD∽△BDE；
（2）解：∵BD2＝BE BA，BD2＝BC BE，
∴BA＝BC＝10，
∵AD2＝AE AB，
∴AE＝＝3.6．
11．（1）证明：∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，
∵DM＝ME，
∴AM＝MD＝ME，
∴∠MAD＝∠MAD，
∴∠MAC+∠DAC＝∠B+∠BAD，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴∠MAC＝∠B，
∵∠AMC＝∠AMB，
∴△AMC∽△BMA，
∴＝，
∴AM2＝MC MB，∵ME＝MA，
∴ME2＝MC MB．
（2）证明：∵△MAC∽△BMA，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∵AB2＝BD BE，
∴＝，∵∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BEA，
∴∠BAD＝∠E，
∵∠AMB＝∠E+∠MAE＝2∠E，∠BAC＝2∠BAD，
∴∠BAC＝∠AMB，∵∠B＝∠B，
∴△BAC∽△BMA，
∴＝，
∴AB2＝BC BM，
∴＝＝．
12．证明：∵DE∥AB，
∴，
∵DF∥AC，
∴，
∴．
13．（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵E是AC的中点，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵∠ACB＝90°，∠BDC＝90°
∴∠ECD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠B＝90°，
∴∠ECD＝∠B，
∴∠FDC＝∠B，
∵∠F＝∠F，
∴△FBD∽△FDC；
（2）∵△FBD∽△FDC，
∴，
∵△BDC∽△BCA，
∴，
∴AC BF＝BC DF．
14．证明：（1）∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵BE＝EC，
∴∠B＝∠ECD，
∴△FCD∽△ABC；
（2）∵△FCD∽△ABC，
∴，
∵AF＝DF，AD＝AC，
∴
∴，
∵BC＝8，
∴BD＝CD＝4，
∵BE＝EC，
∴BD⊥BC，
过点A作AH⊥BC，垂足为H，
∵AD＝AC，
∴HC＝CD＝2，
在Rt△AHC中，∵tan∠ACD＝3，
∴tan∠ACD＝，
∴AH＝6，
∵∠BDE＝∠AHB＝90°，
∴ED∥AH，
∴，
∴，
解得：DE＝4．
15．解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵＝，AD＝4，
∴＝，
∴BD＝6；
（2）∵△ADE∽△ABC，＝，
∴＝（）2，
∵S△ADE＝2，
∴＝（）2，
解得：S四边形DBCE＝．
16．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BED＝180°﹣∠B﹣∠BDE，
∠CDF＝180°﹣∠EDF﹣∠BDE，
∵∠EDF＝∠B，
∴∠BED＝∠CDF，
∴△BDE∽△CFD；
（2）如图，连接EF，
∵△BDE∽△CFD，
∴＝，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴＝，
∵∠EDF＝∠C，
∴△DEF∽△CDF，
∴∠DFE＝∠CFD，
∴FD平分∠EFC，
∴点E关于直线DF的对称点在直线AC上．
17．证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝45°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝45°+∠BAD，∠EAB＝∠DAE+∠BAD＝45°+∠BAD，
∴∠ADC＝∠EAB，
∵∠B＝∠C，
∴△ADC∽△EAB，
∴＝，
∵AB＝AC，
∴AB2＝BE CD．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C．
∴△ADF∽△DEC．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴＝，
∴DE＝＝＝12．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝6．
19．解：（1）∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
又∵AC2＝AB AD，
∴AD：AC＝AC：AB，
∴△ADC∽△ACB；
（2）CE∥AD，
理由：∵△ADC∽△ACB，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
又∵E为AB的中点，
∴CE＝AB＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠DAC＝∠CAE，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD；
（3）∵AD＝4，AB＝6，CE＝AB＝AE＝3，
∵CE∥AD，
∴∠FCE＝∠DAC，∠CEF＝∠ADF，
∴△CEF∽△ADF，
∴＝＝，
∴＝．
20．证明：（1）∵BC2＝BF BA，
∴BC：BF＝BA：BC，
而∠ABC＝∠CBF，
∴△BAC∽△BCF，
∵DE∥BC，
∴△BCF∽△DGF，
∴△DGF∽△BAC，
∴DF：BC＝DG：BA，
∴DF AB＝BC DG；
（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，
∵DE∥BC，
∴AH∥DE，
∵点E为AC的中点，
∴AH＝2EG，
∵AH∥DG，
∴△AHF∽△DGF，
∴＝，
∴＝，
即2DF EG＝AF DG．