2022-2023学年北师大版九年级数学上册 4.5相似三角形判定定理的证明 选择专项练习题（Word版，含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.5相似三角形判定定理的证明》
同步选择专项练习题（附答案）
1．如图， ABCD中，EF∥AB，DE：EA＝2：3，EF＝6，则CD的长为（　　）
A．15 B．10 C．8 D．16
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，那么下列等式不正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，点F是平行四边形ABCD边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若AD＝6，AE⊥BD于点E，且DE＝3BE．则AE＝（　　）
A．2 B．3 C．3 D．4
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，若CD＝2，∠BOC＝120°，则AE的长是（　　）
A． B． C．2 D．
6．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，则下列结论：①DE⊥AF；②DE＝AF；③；④，其中正确结论的序号有（　　）
A．①②③ B．①② C．①②③④ D．③④
7．如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线AP，交BC于点E，连接DE，交AC于点F．若AB＝1，BC＝，则DF的长为（　　）
A．1 B． C． D．
8．如图，点D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B．若△ABD的面积为30，则△ACD的面积为（　　）
A．10 B．12 C．15 D．30
9．如图：l1∥l2∥l3，两直线分别交l1、l2、l3于点A、B、C和点D、E、F，下列各式中不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图：点D、E分别在AB、BC上，如果∠DEB＝∠A，那么下列等式一定成立的是（　　）
A．BE BC＝BD BA B．BD EC＝BE DA
C．BD BC＝BE BA D．BE EC＝BD BA
11．如图，点E是正方形ABCD的边CD上的一点．且＝，延长AE交BC的延长线于点F，则△CEF和四边形ABCE的面积比为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE∥BC，DF∥AC．下列比例式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
13．如图，在△ABC中，点D在AB边上，若AD：AB＝2：3，BC＝3，∠ADC＝∠ACB，则线段CD的长为（　　）
A． B． C． D．2
14．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，若BG＝2，GC＝1，CE＝5，则的值是（　　）
A． B． C． D．
15．如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
16．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD：DB＝3：2，DE＝6cm，则BC的长为（　　）
A．8cm B．10cm C．12cm D．18cm
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，正方形CDEF的顶点E在线段AD上，G是边EF上一点，连接AG，记△AEG面积为S1，△CBD面积为S2，若EG＝BD，S1+S2＝16，则DE的长为（　　）
A． B． C．4 D．8
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连接CG交AB于点M，连接CE，CH．若CH＝2CE，则的值为（　　）
A． B． C． D．
19．如图，矩形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，且AE⊥EF，BC＝2，则AC的长为（　　）
A． B．2 C．3 D．2
20．如图平行四边形ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，若△DEG的面积是1，则五边形DABFG的面积是（　　）
A．11 B．12 C． D．
21．平行四边形ABCD如图所示，E为AB上的一点，F、G分别为AC与DE、DB的交点．若AB：AE＝3：2，则四边形BGFE与 ABCD的面积之比为（　　）
A．7：60 B．8：70 C．5：43 D．3：26
22．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，AB＝4，E为AC中点，D为AB上一点，连接DE，当∠AED＝60°时，AD的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．
23．如图，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB（AB+BC），且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是（　　）
A． B． C． D．
24．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且∠A＝∠BCD，S△ADC：S△BDC＝5：4，CD＝4，则AC长为（　　）
A．5 B．6 C．9 D．
25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D点在BC边上，，P为AB边上一点，当PC＝PD时，的值为（　　）
A． B． C． D．
参考答案
1．解：∵EF∥AB，
∴△DEF∽△DAB，
∴EF：AB＝DE：DA＝2：5，
∴6：AB＝2：5，
∴AB＝15，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝15，
故选：A．
2．解：∵DE∥BC，DF∥AC，
∴△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，
∴＝＝，＝，＝，＝，
故A，B，D正确；
故选：C．
3．解：根据题意知：DF∥AB，BC∥DE，
∴，，，
∴A，C，D中的结论正确，B中结论错误，
故选：B．
4．解：在矩形ABCD中，AO＝CO＝BO＝DO，
∵DE＝3BE，BO＝DO，
∴BE＝EO，
∵AE⊥BD，
∴AE垂直平分BO，
∴AB＝AO，
∴AB＝AO＝BO，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠BAO＝60°，∠ABO＝60°，
∴BD＝2AB，
∵AD＝6，
在Rt△ABD中，AD2+AB2＝BD2，
∴AB＝2，
∵AE⊥BD，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝AB＝，
∴AE＝BE＝3．
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝120°，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠ABE＝∠B﹣∠OBC＝60°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠AEB﹣∠ABE＝30°，
∵CD＝2，
∴BE＝CD＝1，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：AE＝＝．
故选：B．
6．解：在正方形ABCD中，AD＝DC，∠AOF＝∠DCF＝90°，BC＝CD，
∵点E、F分别是BC、CD的中点，
∴OF＝CE，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠DAF＝∠CDE，DE＝DF，
故②正确；
∵∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠AGD＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝90°，
∴DE⊥AF，
故①正确；
在Rt△ADF中，sin∠DAF＝，tan∠DAF＝，
∴，
故③正确；
在Rt△DGF中，tan∠CDF＝tan∠DAF＝，
∴，
故④错误，
故选：A．
7．解：由题意可得：AP平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AB＝1，BC＝，
∴tan∠ACB＝，
∴∠ACB＝30°，
∴∠BAE＝∠EAC＝30°，
∴tan∠BAE＝＝，
∴BE＝，
∴EC＝，
∴DE＝＝＝，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△CEF，
∴＝，
∴，
∴DF＝×＝，
故选：C．
8．解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∵AB＝4，AD＝2，
∴＝＝，
∴△ACD的面积＝10，
故选：A．
9．解：∵l1∥l2∥l3，
∴，，，
故选项A，C，D正确，B选项不正确．
故选：B．
10．解：∵∠B＝∠B，∠DEB＝∠A，
∴△BDE∽△BCA，
∴，
∴BE BC＝BD BA
故选：A．
11．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，AB∥CD，
∵，
∴，
∵AB∥CD，
∴△CEF∽△BAF，
∴＝（）2，
∴S△BAF＝9S△CEF，
∴S四边形ABCD＝8S△CEF，
故选：C．
12．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴＝，
＝，
＝，
＝，
∴≠，
≠，
≠，
故选：C．
13．解：过点D作DE∥BC，如图所示：
∴∠ADE＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD：AB＝2：3，BC＝3，
∴，
∴DE＝2，
∵∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴，∠ACD＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠ACD，
∴△ADE∽△ACD，
∴，
∴，
∴CD2＝BC DE，
∴CD2＝3×2，
解得：CD＝．
故选：C．
14．解：∵GC＝1，CE＝5，
∴EG＝CE+CG＝5+1＝6，
∵AB∥EF，
∴∠BAG＝∠GFE，∠ABG＝∠GEF，
∴△ABG∽△FEG，
∴＝，
∵BG＝2，EG＝6，
∴＝＝，
故选：B．
15．解：∵，
∴，
∵DE∥BC，
∴，△ADE∽△ABC，
∴，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
已有的条件不能说明＝，故A错误．
故选：C．
16．解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD：DB＝3：2，DE＝6cm，
∴AD：BC＝3：5，
∴，
解得BC＝10（cm）．
故选：B．
17．解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴CD2＝AD BD，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝DE，
∵△AEG面积＝S1＝AE EG，△CBD面积＝S2＝BD CD，且EG＝BD，
∴S1+S2＝AE EG+BD CD＝BD （AE+CD）＝BD （AE+ED）＝BD AD＝CD2＝16，
∴CD2＝32，
∴CD＝4．
∴DE＝CD＝4．
故选：A．
18．解：如图所示，过C作CN⊥AB于N，
由题可得，∠CAE＝∠CBH＝90°，∠ACE＝∠BCH＝45°，
∴△ACE∽△BCH，
∴，
设AC＝a，则BC＝2a，AB＝a，CN＝a，
Rt△ACN中，AN＝＝a，
∴BN＝a﹣a＝a，
∵∠CNM＝∠GBM＝90°，∠CMN＝∠GMB，
∴△CNM∽△GBM，
∴，
∴MN＝BN＝a，BM＝NB＝a，
∴AM＝AN+MN＝a，
∴＝，
故选：B．
19．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，∠D＝90°，
∴∠DAE+∠AED＝90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠DEA+∠CEF＝90°，
∴∠DAE＝∠CEF，
∴tan∠DAE＝tan∠CEF，
即，
∵E，F分别为CD，BC的中点，
∴DE＝CE，CF＝BC＝1，
∴DE2＝AD CF＝2×1＝2，
∴DE＝（﹣舍去），
∴DC＝2DE＝2，
在Rt△ADC中，根据勾股定理，得
AC＝＝2．
故选：D．
20．解：如图，连接BG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠E＝∠CFG，
∵F为BC中点，
∴FC＝BC＝AD，
∵DE：AD＝1：3，
∴DE：BC＝1：3，
∴DE：CF＝2：3，
∵∠E＝∠CFG，∠DGE＝∠CGF，
∴△DGE∽CGF，
∴DG：CG＝DE：CF＝2：3，
∴S△DEG：S△CFG＝4：9＝1：S△CFG，
∴S△CFG＝，
取AD的中点Q，连接FQ，
∴FQ∥DG，
∴△EDG∽△EQF，
∴DE：EQ＝1：2.5＝2：5，
∴S△DEG：S△QEF＝4：25＝1：S△EQF，
∴S△EQF＝，
∴S四边形DQFG＝﹣1＝，
∴S四边形ABFQ＝S四边形DQFG+S△CFG＝+＝，
∴S五边形DABFG＝+＝．
故选：D．
21．解：∵AB：AE＝3：2，
∴BE：AB＝1：3，
∴S△DBE＝S△ABD＝S ABCD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AG＝GC，
∴△AEF∽△CDF，
∴，
∴设AF＝2a，CF＝3a，
∴AC＝5a，
∴AG＝CG＝a，
∴FG＝a，
∴AG＝5FG，
∴S△DFG＝S△ADG＝S ABCD，
∴S四边形BGFE＝S△DBE﹣S△DFG＝S ABCD，
∴四边形BGFE与 ABCD的面积之比为7：60，
故选：A．
22．解：如图，过点A作AH⊥BC于H，
∵∠B＝60°，AH⊥BC，
∴∠BAH＝30°，
∴BH＝AB＝2，AH＝BH＝2，
∵sinC＝，∠C＝45°，
∴＝，
∴AC＝2，
∵点E是AC的中点，
∴AE＝EC＝，
∵∠AED＝60°＝∠B，∠BAC＝∠DAE，
∴△DAE∽△CAB，
∴，
∴＝，
∴AD＝3，
故选：C．
23．解：∵△DAB∽△DCA，
∴＝，
∴＝，
解得：BD＝4（负值舍去），
∵△DAB∽△DCA，
∴，
∴AC＝，
∵AC2＝AB（AB+BC），
∴（AB）2＝AB（AB+BC），
∴AB＝4，
∴AB＝BD＝4，
过B作BH⊥AD于H，
∴AH＝AD＝3，
∴BH＝＝＝，
∵AD＝3AP，AD＝6，
∴AP＝2，
当PQ⊥AB时，PQ的值最小，
∵∠AQP＝∠AHB＝90°，∠PAQ＝∠BAH，
∴△APQ∽△ABH，
∴，
∴＝，
∴PQ＝，
故选：A．
24．解：∵S△ADC：S△BDC＝5：4，
∴S△BCD：S△ABC＝4：9，
∵∠A＝∠BCD，∠ABC＝∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴＝（）2＝，
∴＝，
∴AC＝6，
故选：B．
25．解：过P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，
∴四边形PECF为矩形，PE＝CF，
∵PF⊥BC，
∴CF＝DF，
∴△APE∽△ABC，
∴，
∴，
故选：A．