2022-2023学年北师大版九年级数学上册4.6利用相似三角形测高同步练习题（Word版含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.6利用相似三角形测高》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，某“综合与实践”小组为测量河两岸A，P两点间的距离，在点A所在岸边的平地上取点B，C，D，使A，B，C在同一条直线上，且AC⊥AP；使CD⊥AC且P，B，D三点在同一条直线上．若测得AB＝10m，BC＝2m，CD＝6m，则A，P两点间的距离为（　　）
A．60m B．40m C．30m D．20m
2．如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使得A，B与C共线，A，D与E共线，且直线AC与河岸垂直，直线BD，CE均与直线AC垂直．经测量，得到BC，CE，BD的长度，设AB的长为x，则下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
3．一根均匀的木棒OA所受重力G＝10N，小亮以木棒的一端O为支点，竖直向上将木棒的另一端A缓慢拉到如图所示的位置，保持不动，此时拉力为F，若点B为OA的中点，AC，BD分别垂直地面于点C，D，则根据杠杆平衡原理得拉力F的大小为（　　）
A．5N B．10N C．15N D．20N
4．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP＝6m，PD＝12m，那么该古城墙CD的高度是（　　）
A．8m B．9m C．16m D．18m
5．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，把一个矩形分割成三个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，泽园举行的长与宽之比为（　　）
A．2：1 B．3：1 C．：1 D．：1
7．如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为 DEFG的工件，使GF在边BC上，D、E两点分别在边AB、AC上，若点D是边AB的中点，则S DEFG的面积为（　　）cm2．
A．10 B．12 C．14 D．16
8．王大爷家有一块梯形状土地，如图，AD∥BC，对角线AD，BC相交于点O，王大爷量得AD长3米，BC长9米，王大爷准备在△AOD处种大白菜，那么王大爷种大白菜的面积与整个土地的面积比为（　　）
A．1：14 B．3：14 C．1：16 D．3：16
9．在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5米的测竿的影长为3米，那么影长为30米的旗杆的高是（　　）
A．20米 B．18米 C．16米 D．15米
10．如图，一束平行的阳光从教室窗户射入，小兵同学量出BC＝1m，NC＝m，BN＝m，AC＝4.5m，MC＝6m，则MA的长为（　　）
A．5m B．7.5m C．6m D．5.5m
11．有一块三角形铁片ABC，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，现要按图中方式把它加工成一个正方形DEFG（加工中的损耗忽略不计），则正方形DEFG的边长为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
12．已知旗杆高为8m，同时测得旗杆顶端与水平地面上的影子顶端距离是10m，如果此时附近小树在水平地面上的影长为3m，则小树高为 　 　m．
13．如图，为测量出湖边不可直接到达的A、B间的距离，测量人员选取一定点O，使点A、O、C和B、O、D分别在同一直线上，且OB＝3OD，OA＝3OC，量得CD＝120米，则AB＝　 　米．
14．墙壁D处有一盏灯（如图），小明站在A处测得他的影长与身长相等都为1.6m，小明向墙壁走0.6m到B处发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD＝　 　m．
15．由一块底长2m、高3m的等腰三角形木板中锯下一块最大的正方形（正方形木板有一边与三角形木板的底边重合）．这块正方形木板的面积是　 　平方米．
16．如图，数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，小华拿一支刻有厘米分划的小尺，站在距旗杆30米的地方，手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分划恰好遮住旗杆，已知臂长60cm，则旗杆高为　 　米．
17．晚上，小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米．又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米．则路灯的高为　 　米．
18．一个钢筋三角架长分别是20cm，50cm，60cm，现要做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的截法有　 　种．
三．解答题
19．如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AD和BC表示起固定作用的两根钢筋，AD与BC的交点为M，已知AB＝10m，CD＝15m，求点M离地面的高度MH．
20．在方格纸中，每个小方格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．在如图所示的5×5方格中，已知点A（0，﹣2），B（﹣1，0），作格点△ABC，使它和△OAB相似（相似比不为1），求点C的坐标．
21．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）求证：△APQ∽△ABC；
（2）若这个矩形的边PN：PQ＝2：1，则这个矩形的长、宽各是多少？
22．如图，小明测得树AB落在水平地面上的影长BC为 2.4 米，落在坡面上的影长CE为3.2米，身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落在坡面上，长度为2米．已知坡面的铅直高度CH与水平距离DH的比为3：4，试求树AB的高度．
23．教学楼旁边有一棵树，学习了相似三角形后，数学小组的同学想利用树影来测量树高．课外活动时在阳光下他们测得一根长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，经过一番争论，小组的同学认为继续测量也可以测出树高，他们测得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，请你和他们一起算一下，树高为多少？
24．如图所示为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱AB长30cm，且与水平桌面垂直，灯臂AC长为15cm，灯头的横截面△CEF为直角三角形，当灯臂AC与灯柱AB垂直时，沿CE边射出的光线刚好射到底座B点，若不考虑其他因素，求该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长．
参考答案
一．选择题
1．解：∵AP⊥AC，CD⊥AC，
∴∠A＝∠C＝90°，
∵∠ABP＝∠CBD，
∴△APB∽△DCB，
∴＝，
∵AB＝10m，BC＝2m，CD＝6m，
∴AP＝＝＝30（m）．
故选：C．
2．解：由题意可得：△ABD∽△ACE，
则，
故，
故选：A．
3．解：∵BD⊥OC，AC⊥OC，
∴BD∥AC，
又∵B是AO的中点，
∴D是OC的中点，即OD＝OC，
根据杠杆平衡原理，可得G×OD＝F×OC，
∴10×OC＝F×OC，
解得F＝5，
故选：A．
4．解：根据题意得∠APB＝∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP＝∠CDP＝90°，
∴Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴＝，即＝，
解得：CD＝8．
答：该古城墙CD的高度为8m．
故选：A．
5．解：∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝ED，DE∥CF，
设ED＝x，则CD＝x，AD＝5﹣x，
∵DE∥CF，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴正方形CDEF的边长为．
故选：B．
6．解：设原矩形ABCD的长为x，宽为y，
∴小矩形的长为y，宽为，
∵小矩形与原矩形相似，
∴，
∴x：y＝：1
故选：D．
7．解：过点A作AM⊥BC，交DE于点N，
在Rt△ABC中，
∵AB＝6cm，AC＝8cm，
∴BC＝＝＝10（cm），
∵S△ABC＝AB AC＝BC AM，
∴AM＝，
即AM＝＝4.8（cm），
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴DE∥BC．
又∵点D是边AB的中点，
∴DE＝BC＝5cm．
∴DE＝FG＝5cm，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴AN＝MN＝AM＝2.4cm，
∴ DEFG的面积为：FG MN＝5×2.4＝12（cm2）．
故选：B．
8．解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∵AD＝3，BC＝9，
即AD：BC＝1：3，
∴△AOD与△BOC的面积比等于：1：9．
∵△ADO与△ABO等高，
∴S△ADO：S△ABO＝OD：OB＝AD：BC＝1：3，
同理可得：S△ADO：S△DCO＝OA：OC＝AD：BC＝1：3
∴王大爷种大白菜的面积与整个土地的面积比为1：16
故选：C．
9．解：∵＝，
∴＝，
解得旗杆的高度＝×30＝15m．
故选：D．
10．解：∵BN∥AM，
∴△BCN∽△ACM，
∴＝，
∵BC＝1m，BN＝m，AC＝4.5m，
∴＝，
∴MA＝7.5（m）．
故选：B．
11．解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝5
∵S△ABC＝ AB BC＝ AC BP，
∴BP＝＝＝．
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝．
设DE＝x，则有：＝，
解得x＝，
∴正方形DEFG的边长为，
故选：D．
二．填空题
12．解：∵旗杆高为8m，同时测得旗杆顶端与水平地面上的影子顶端距离是10m，
∴旗杆的影长为：＝6（m），
因为树高：树影长＝旗杆的高：旗杆的影长，
故小树的高度＝＝＝4（m），
则小树的高有4m．
故答案为：4．
13．解：∵OB＝3OD，OA＝3OC，
∴OB：OD＝OA：OC＝3：1，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴＝＝，即＝，解得AB＝360（米）．
故答案为：360．
14．解：如图：
根据题意得：BG＝AF＝AE＝1.6m，AB＝0.6m，
∵BG∥AF∥CD，
∴△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD，
∴AE：EC＝AF：CD，AB：AC＝BG：CD，
设AC＝xm，则CD＝CE＝（1.6+x）m，
∴＝，
解得：x＝0.96，
∴CD＝1.6+0.96＝2.56m．
故答案为2.56m．
15．解：设正方形的边长为xm，
∵底长2m、高3m，
∴，
解得：x＝，
∴正方形的面积为．
故答案为．
16．解：由题意可知△ABC是等腰三角形，AG为高，
∴BG＝BC，DF＝DE＝×12cm＝0.06m，
AF为臂长，即60cm＝0.6m．AG＝30m，
由题意可知△AFD∽△AGB，即＝，
即＝，解得BG＝3m，∴BC＝2BG＝2×3＝6m．
17．解：设路灯的高为x米，
∵GH⊥BD，AB⊥BD，
∴GH∥AB．
∴△EGH∽△EAB．
∴①．
同理△FGH∽△FCD②．
∴．
∴．
解得EB＝11米，代入①得，
解得x＝6.6．
故答案为：6.6．
18．解：取30cm为一边，另两边设为xcm、ycm；
（1）30cm与20cm对应，即
解得x＝75，y＝90；
75+90＞50，不可以．
（2）30cm与50cm对应，即
解得x＝12，y＝36；
12+36＝48＜50，可以．
（3）30cm与60cm对应，即
解得x＝10，y＝25；
10+25＜50，可以．
所以有两种不同的截法．
三．解答题
19．解：∵AB∥CD，
∴△ABM∽△DCM，
∴＝＝＝，（相似三角形对应高的比等于相似比），
∵MH∥AB，
∴△MDH∽△ADB，
∴＝＝，
∴＝，
解得MH＝6．
答：点M离地面的高度MH为6m．
20．解：当∠BAC＝90°时，如图，
△ABC为所作；
∵A（0，﹣2），B（﹣1，0），
∴OA＝2，OB＝1，AB＝＝，
∵△ABC∽△OBA，
∴AB：OB＝BC：BA，即：1＝BC：，
解得BC＝5，
∴OC＝4，
∴C点坐标为（4，0）．
当∠ABC＝90°时，AB：OB＝BC′：BA，
∴BC′＝2，AC′＝5，
此时C点坐标为（3，2）．
综上所述，C点坐标为（3，2），（4，0）．
21．解：（1）∵四边形PNQM为矩形，
∴MN∥PQ，
即PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC；
（2）设边宽为xmm，则长为2xmm，
∵四边形PNMQ为矩形，
∴PQ∥BC，
∵AD⊥BC，
∴PQ⊥AD，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴，
由题意知PQ＝xmm，AD＝80mm，BC＝120mm，PN＝2xmm，
∴，
解得x＝30，
∴2x＝60．
即长为60mm，宽为30mm．
答：矩形的长60mm，宽为30mm．
22．解：延长DC交AB于G，延长HC交AE于M，如图，
∵BC∥DH，
∴△BCG∽△HDC，
∴＝，
而＝，
∴＝，解得BG＝1.8，
∴CG＝＝3，
∵身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落在坡面上，长度为2米，
∴＝，解得CM＝2.56，
∵CM∥AG，
∴△ECM∽△EGA，
∴＝，即＝，解得AG＝4.96，
∴AB＝4.96+1.8＝6.76（m）．
答：树AB的高度为6.76m．
23．解：因为同一时刻物高与影长成比例，
所以：＝，
即：＝，
解得落在地上的影长对应的树的高＝3m，
所以树的高度为：3+1.2＝4.2m．
24．解：∵灯柱AB长30cm，且与水平桌面垂直，灯臂AC长为15cm，
∴BC＝＝15，AC∥BD，
∴∠ACB＝∠DBC，
∵△CEF为直角三角形，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ABC∽△CDB，
∴＝，即＝，
解得BD＝75，
答：该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长75cm．