2022—2023学年人教版数学九年级上册 第21章 一元二次方程——一元二次方程的应用 同步练习 （Word版，含解析）

2023年九上数学周练一元二次方程的应用
一．选择题（共10小题）
1．学校要组织一次篮球赛，赛制为单循环制（每两个班之间都赛一场），计划安排15场比赛．设参加球赛的班级有x个，所列方程正确的为（　　）
A．x（x﹣1）＝15 B．x（x+1）＝15
C．x（x﹣1）＝15 D．x（x+1）＝15
2．一个QQ群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息1980条，则可列方程（　　）
A．x（x﹣1）＝1980 B．x（x﹣1）＝1980
C．x（x+1）＝1980 D．x（x+1）＝1980
3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91．设每个支干长出x个分支，则可列方程为（　　）
A．x2+x+1＝91 B．（x+1）2＝91 C．x2+x＝91 D．x2+1＝91
4．有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则x满足的方程是（　　）
A．（1+x）2＝242 B．（2+x）2＝242
C．2（1+x）2＝242 D．（1+2x）2＝242
5．某种细胞分裂，一个细胞经过两轮分裂后，共有a个细胞，设每轮分裂中平均一个细胞分裂成n个细胞，那么可列方程为（　　）
A．n2＝a B．（1+n）2＝a C．1+n+n2＝a D．n+n2＝a
6．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（　　）
A．168（1﹣x）2＝108 B．168（1﹣x2）＝108
C．168（1﹣2x）＝108 D．168（1+x）2＝108
7．某经济技术开发区今年七月份工业产值达60亿元，且第三季度的产值为195亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程为（　　）
A．60（1+x）2＝195
B．60+60（1+x）2＝195
C．60（1+x）+60（1+x）2＝195
D．60+60（1+x）+60（1+x）2＝195
8．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）
A．32x+2×20x＝32×20﹣570
B．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
C．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
9．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC，AC＝b，再在斜边AB上截取BD．则该方程的一个正根是（　　）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
10．2018年8月份，我省大型企业集团的资产总额已达到11906万元，同比2017年8月增长了19%，下列说法：①2017年8月份我省大型企业集团的资产总额为11906（1﹣19%）万元； ②2017年8月份我省大型企业集团的资产总额为万元；③若2018年9月和10月这两个月资产总额按2%的增长率环比增长，则2018年10月份我省大型企业集团的资产总额将达到11906（1+2%）2万元．其中正确的是（　　）
A．②③ B．①③ C．①②③ D．①②
二．填空题（共6小题）
11．电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则x＝　 　．
12．九年级（7）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，如果设全组共有x名同学，依题意，可列出的方程是 　 　．
13．在一幅长60dm、宽40dm的庆祝建国70周年宣传海报四周镶上相同宽度的金色纸片制成一幅矩形挂图，要使整个挂图的面积为2800dm2，设纸边的宽为xdm，则可列出方程为 　 　．（化为一般式）
14．某药品经过两次降价，每盒零售价由105元降到88元，已知再次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为　 　．
15．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为　 　．
16．如图，某广场一角的矩形花草区，其长为40m，宽为26m，其间有三条等宽的路，一条直路，两条曲路，路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为864m2，求路的宽度为 　 　m．
三．解答题（共8小题）
17．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了55份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
18．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手．
（1）若参加聚会的人数为6，则共握手　 　次，若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手　 　次；
（2）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数；
（3）小明由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A、B），线段总数为多少呢？请直接写出结论．
19．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米．
（1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？
（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？
20．用54m长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为am的墙，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是1m，设与墙垂直的一边长为xm．
（1）当a＝41时，矩形菜园面积是320m2，求x；
（2）当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到400m2？
（3）若矩形菜园的面积是320m2，x的值只能取一个，试写出a的取值范围．
21．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
22．某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．
（1）求该商品平均每月的价格增长率；
（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时商品每月的利润可达到4000元．
23．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0有两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）求证：无论k为何值，关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0都有两个不相等的实数根；
（2）当k为何值时，△ABC是直角三角形；
（3）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
24．有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽是x米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形场地建成草坪．
（1）已知a＝26，b＝15，并且四块草坪的面积和为312平方米，请求出每条道路的宽x为多少米？
（2）已知a：b＝2：1，x＝2，并且四块草坪的面积和为312平方米，请求出原来矩形场地的长和宽各为多少米？
（3）已知a＝28，b＝14，要在场地上修筑宽为2米的纵横小路，其中m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路（m，n为常数），使草坪地的总面积为120平方米，则m＝　 　，n＝　 　（直接写出答案）．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：设邀请x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得，15，
故选：C．
2．【解答】解：设有x个好友，依题意，
x（x﹣1）＝1980，
故选：B．
3．【解答】解：设每个支干长出x个小分支，
根据题意列方程得：x2+x+1＝91．
故选：A．
4．【解答】解：依题意得：2（1+x）2＝242．
故选：C．
5．【解答】解：设每轮分裂中平均一个细胞分裂成n个细胞，那么可列方程为n2＝a，
故选：A．
6．【解答】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：
168（1﹣x）2＝108．
故选：A．
7．【解答】解：八月份的产值为：60（1+x），
九月份的产值为：60（1+x）（1+x）＝60（1+x）2，
故第三季度总产值为：60+60（1+x）+60（1+x）2＝195．
故选：D．
8．【解答】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570，
故选：B．
9．【解答】解：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC，AC＝b，再在斜边AB上截取BD，
设AD＝x，根据勾股定理得：（x）2＝b2+（）2，
整理得：x2+ax﹣b2＝0（a≠0，b≠0），
∵Δ＝a2+4b2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，且两根之积为﹣b2＜0，即方程的根一正一负，
则该方程的一个正根是AD的长，
故选：B．
10．【解答】解：设2017年8月份我省大型企业集团的资产总额为x万元，由于同比增长19%，由题意得：
x（1+19%）＝11906，x，
所以①是错误的，②是正确的；
若2018年9月和10月这两个月资产总额按2%的增长率环比增长，即：2018年10月份我省大型企业集团的资产总额将达到11906（1+2%）2万元，③是正确的．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．【解答】解：每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，列方程得：
1+x+x（1+x）＝81，
x2+2x﹣80＝0
解得：x1＝﹣10（舍去），x2＝8．
答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．
故答案为：8．
12．【解答】解：由题意可得，
x（x﹣1）＝132，
故答案为：x（x﹣1）＝132．
13．【解答】解：设纸边的宽为xdm，那么挂图的长和宽应该为（60+2x）和（40+2x），
根据题意可得出方程为：（60+2x）（40+2x）＝2800，
整理得：x2+50x﹣100＝0，
故答案为：x2+50x﹣100＝0．
14．【解答】解：设每次降价的百分率为x，
依题意，得：105（1﹣x）2＝88．
故答案为：105（1﹣x）2＝88．
15．【解答】解：∵长为x步，宽比长少12步，
∴宽为（x﹣12）步．
依题意，得：x（x﹣12）＝864．
16．【解答】解：设路的宽度是xm．根据题意，得
（40﹣2x）（26﹣x）＝864，
x2﹣46x+88＝0，
（x﹣2）（x﹣44）＝0，
x＝2或x＝44（不合题意，应舍去）．
答：路的宽度是2m．
三．解答题（共8小题）
17．【解答】解：设共有x家公司参加商品交易会，
依题意得：x（x﹣1）＝55，
整理得：x2﹣x﹣110＝0，
解得：x1＝11，x2＝﹣10（不符合题意，舍去）．
答：共有11家公司参加商品交易会．
18．【解答】解：（1）若参加聚会的人数为6，共握手6×5＝15（次），
若参加聚会的人数为n（n为正整数），共握手n（n﹣1）（次）．
故答案为：15；n（n﹣1）．
（2）依题意得：n（n﹣1）＝36，
整理得：n2﹣n﹣72＝0，
解得：n1＝9，n2＝﹣8（不合题意，舍去）．
答：参加聚会的人数为9人．
（3）∵线段AB上共有（m+2）（包含端点A、B）个点，
∴线段总数为（m+2）（m+1）（条）．
19．【解答】解：（1）设与墙垂直的一面为x米，另一面则为（26﹣2x+2）米
根据题意得：x（28﹣2x）＝80
整理得：x2﹣14x+40＝0
解得x＝4或x＝10，
当x＝4时，28﹣2x＝20＞12（舍去）
当x＝10时，28﹣2x＝8＜12
∴长为10米，宽为8米．
（2）设宽为a米，根据题意得：（8﹣2a）（10﹣a）＝54，
a2﹣14a+13＝0，
解得：a＝13＞10（舍去），a＝1，
答：小路的宽为1米．
20．【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（54﹣2x+2）m．
（1）依题意得：x（54﹣2x+2）＝320，
整理得：x2﹣28x+160＝0，
解得：x1＝8，x2＝20．
当x＝8时，56﹣2x＝40＜41，符合题意；
当x＝20时，56﹣2x＝16＜41，符合题意．
答：x的值为8或20．
（2）令x（54﹣2x+2）＝400①，
整理得：x2﹣28x+200＝0．
∵Δ＝（﹣28）2﹣4×1×200＝﹣16＜0，
∴方程①无实数根，
∴矩形菜园的面积不能达到400m2．
（3）令x（54﹣2x+2）＝320，
整理得：x2﹣28x+160＝0，
解得：x1＝8，x2＝20．
当x＝8时，56﹣2x＝40；
当x＝20时，56﹣2x＝16．
∵x的值只能取一个，
∴16≤a＜40．
21．【解答】解：（1）450+450×12%＝504（万元）．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350（1+x）2＝504，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
22．【解答】解：（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，
依题意，得：50（1+m）2＝72，
解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商品平均每月的价格增长率为20%．
（2）依题意，得：（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000，
整理，得：x2﹣300x+14400＝0，
解得：x1＝60，x2＝240．
∵商家需尽快将这批商品售出，
∴x＝60．
答：x为60元时商品每天的利润可达到4000元．
23．【解答】解：（1）因为Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k2+3k+2）＝1＞0，
所以方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的解为x，
∴x1＝k+2，x2＝k+1，
设AB＝k+2，AC＝k+1，
当AB2+AC2＝BC2，即（k+2）2+（k+1）2＝52，
解得：k1＝﹣5，k2＝2，
由于AB＝k+2＞0，AC＝k+1＞0，所以k＝2；
当AB2+BC2＝AC2，即（k+2）2+52＝（k+1）2，
解得：k＝﹣14，
由于AB＝k+2＞0，AC＝k+1＞0，所以k＝﹣14舍去；
当AC2+BC2＝AB2，即（k+1）2+52＝（k+2）2，
解得：k＝11，
由于AB＝k+2＝13，AC＝12，所以k＝11，
∴k为2或11时，△ABC是直角三角形．
（3）若AB＝BC＝5时，5是方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的实数根，把x＝5代入原方程，得k＝3或k＝4．
由（1）知，无论k取何值，Δ＞0，所以AB≠AC，故k只能取3或4．
根据一元二次方程根与系数的关系可得：AB+AC＝2k+3，当k＝3时，AB+AC＝9，则周长是9+5＝14；
当k＝4时，AB+AC＝8+3＝11．则周长是11+5＝16．
24．【解答】解：（1）四块矩形场地可合成长为（26﹣x）米，宽为（15﹣x）米的矩形．
依题意，得：（26﹣x）（15﹣x）＝312，
整理，得：x2﹣41x+78＝0，
解得：x1＝2，x2＝39（不合题意，舍去）．
答：每条道路的宽x为2米．
（2）四块矩形场地可合成长为（2b﹣2）米，宽为（b﹣2）米的矩形．
依题意，得：（2b﹣2）（b﹣2）＝312，
整理，得：b2﹣3b﹣154＝0，
解得：b1＝14，b2＝﹣11（不合题意，舍去），
∴a＝2b＝28．
答：原来矩形场地的长为28米，宽为14米．
（3）草坪可合成相邻两边分别为（28﹣2n）米、（14﹣2m）米的矩形，
依题意，得：（28﹣2n）（14﹣2m）＝120，
即（14﹣n）（7﹣m）＝30．
∵30＝2×3×5，
∴当7﹣m＝2时，m＝5，n＝﹣1，不合题意，舍去；
当7﹣m＝3时，m＝4，n＝4；
当7﹣m＝5时，m＝2，n＝8；
当7﹣m＝6时，m＝1，n＝9．
故答案为：4或2或1；4或8或9．