2022-2023学年人教版数学八年级上册 13.3 有一个角为30°的直角三角形 同步练习 （Word版，含答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年人教版数学八年级上册 13.3 有一个角为30°的直角三角形 同步练习 （Word版，含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 371.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-02 17:55:20 | ||
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文档简介
第12课 有一个角为30°的直角三角形
一、新课学习
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于______________。
几何语言：
∵_________________，
∴__________________。
1.在△ABC中，∠C=90°.若∠B=60°，BC=3，求AB的长。
2如图，△ABC中，已知AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4.求：
求：(1)BD的长(2)BC的长。
3.如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC.若BD=6，求AC的长。
4.在△ABC中，∠BCA=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，DB=2，求BC，AD的长.
5.在△ABC中，∠BCA=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，求证DB=AB.
6.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4.求CD的长。
7如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=15°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，AC=3，求BD的长.
二、过关检测
8.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，则BC=______.
9.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A.3m B.4m C.5m D.6m
10.如图，等边三角形ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF∥AB，EF交BC于F，AE=2，求△EFC的周长.
11.如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，PQ垂直平分AB，PQ交AC于P，交AB于Q.求证PC=2AP.
12.将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB=10，则阴影部分的面积为______
13.如图，已知∠AOB=60°，点P在边0A上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
14.如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F.
(1)若AD=2，则AF=____；
(2)当AD取何值时，DE=EF？
15如图，AB=AC，D为BC边的中点，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.
(1)求证DE=DF；
(2)若∠A=60°，BE=1，则△ABC的周长为_____
第12课 有一个角为30°的直角三角形
1.解：∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=180°-90-60°=30°，
∴BC=3，，∴AB=2BC=6.
2.解：（1）∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=∠C=30°.
又∵AB⊥AD，
∴BD=2AD=2×4=8.
（2）∵∠ADB=∠C+∠DAC=60°，
∴∠DAC=60°-∠C=30°.
∴DC=AD=4.
∴BC=BD+DC=8+4=12.
3.解：在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠A=∠ABD，.AD=BD=6.
在Rt△BCD中，CD=BD=×6=3，
∴AC=AD+CD=6+3=9.
4.解：∵∠BCA=90°，∠A=30°，
∴∠B=180°-90°-30°=60°.
∴∠DCB=90°-60°=30°.
∴BC=2DB=2×2=4，
AB=2BC=2×4=8.
∴AD=AB-BD=8-2=6.
5.证明：∵∠A=30°，∠BCA=90°，
∴BC=AB，∠B=60°，
∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°
∴∠BCD=90°-∠B=30°，
∴BD=BC，∴BD=-AB.
6.解：连接AD.
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴BD=AD，∠DAE=∠B=30°.
∴∠DAC=60°-30°=30°.
即AD为∠EAC的平分线.
∵DE⊥AE，DC⊥AC，
∴CD=DE=BD=×4=2.
7.解：如图，连接CD，
∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC，
∴∠B=∠DCB=15°，
∴∠ADC=2×15°=30°，
∵∠A=90°，
∴CD=2AC=2×3=6，
∴BD=6.
8.1 9.B
10.解：∵∠A=60°，DE⊥AC，
∴∠ADE=30°.
∴AD=2AE=2×2=4.
∴AB=2AD=2×4=8.
∴EC=AC-AE=8-2=6.
又∵EF//AB，
∴∠EFC=∠B=60°，∠CEF=∠A=60°，
∴∠EFC=∠CEF=∠C=60°.
∴△EFC为等边三角形.
∴△EFC的周长为3×6=18.
11.证明：连接BP.
∵AB=BC，∠ABC=120°.
∴∠A=∠C
=×（180°-120°）=30°.
又∵PQ垂直平分AB.
∴∠PBQ=∠A=30°，AP=BP.
∴∠PBC=120°-∠PBQ=90°.
∴PC=2BP=2AP.
12.12.5 提示：AC=CF=AB=5.
13.C提示：过P作PQ⊥MN，垂足为Q.则有OM+MN=OP=×12=6.
∴OM=6-MN=6-×2=5.
14.解：（1）：∵AB=8，AD=2
∴BD=AB-AD=6
在Rt△BDE中
∠BDE=90°-∠B=30°
∴BE=BD=3
∴CE=BC-BE=5
在Rt△CFE中
∠CEF=90°-∠C=30°
∴CF=CE=，
∴AF=AC-FC=
故答案为
（2）在△BDE和△CEF中，
∴△BDE≌△CEF（AAS）
∴BE=CF
∴BE=CF=EC
∴BE=BC=，
∴BD=2BE=
∴AD=AB-BD=
∴AD=时，DE=EF.
15.（1）证明：连接AD.
∵AB=AC，D为BC边的中点.
∴AD为∠BAC的平分线.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC.
∴DE=DF.
（2）解：∵∠A=60°，AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD=30°，△ABC为等边三角形，
∴∠BDE=90°-∠B=90°-60°=30°.
∴BD=2BE=2，
∴AB=2BD=2×2=4.
∴△ABC的周长为3×4=12.
故答案为12.
一、新课学习
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于______________。
几何语言：
∵_________________，
∴__________________。
1.在△ABC中，∠C=90°.若∠B=60°，BC=3，求AB的长。
2如图，△ABC中，已知AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4.求：
求：(1)BD的长(2)BC的长。
3.如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC.若BD=6，求AC的长。
4.在△ABC中，∠BCA=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，DB=2，求BC，AD的长.
5.在△ABC中，∠BCA=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，求证DB=AB.
6.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4.求CD的长。
7如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=15°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，AC=3，求BD的长.
二、过关检测
8.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，则BC=______.
9.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A.3m B.4m C.5m D.6m
10.如图，等边三角形ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF∥AB，EF交BC于F，AE=2，求△EFC的周长.
11.如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，PQ垂直平分AB，PQ交AC于P，交AB于Q.求证PC=2AP.
12.将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB=10，则阴影部分的面积为______
13.如图，已知∠AOB=60°，点P在边0A上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
14.如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F.
(1)若AD=2，则AF=____；
(2)当AD取何值时，DE=EF？
15如图，AB=AC，D为BC边的中点，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.
(1)求证DE=DF；
(2)若∠A=60°，BE=1，则△ABC的周长为_____
第12课 有一个角为30°的直角三角形
1.解：∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=180°-90-60°=30°，
∴BC=3，，∴AB=2BC=6.
2.解：（1）∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=∠C=30°.
又∵AB⊥AD，
∴BD=2AD=2×4=8.
（2）∵∠ADB=∠C+∠DAC=60°，
∴∠DAC=60°-∠C=30°.
∴DC=AD=4.
∴BC=BD+DC=8+4=12.
3.解：在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠A=∠ABD，.AD=BD=6.
在Rt△BCD中，CD=BD=×6=3，
∴AC=AD+CD=6+3=9.
4.解：∵∠BCA=90°，∠A=30°，
∴∠B=180°-90°-30°=60°.
∴∠DCB=90°-60°=30°.
∴BC=2DB=2×2=4，
AB=2BC=2×4=8.
∴AD=AB-BD=8-2=6.
5.证明：∵∠A=30°，∠BCA=90°，
∴BC=AB，∠B=60°，
∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°
∴∠BCD=90°-∠B=30°，
∴BD=BC，∴BD=-AB.
6.解：连接AD.
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴BD=AD，∠DAE=∠B=30°.
∴∠DAC=60°-30°=30°.
即AD为∠EAC的平分线.
∵DE⊥AE，DC⊥AC，
∴CD=DE=BD=×4=2.
7.解：如图，连接CD，
∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC，
∴∠B=∠DCB=15°，
∴∠ADC=2×15°=30°，
∵∠A=90°，
∴CD=2AC=2×3=6，
∴BD=6.
8.1 9.B
10.解：∵∠A=60°，DE⊥AC，
∴∠ADE=30°.
∴AD=2AE=2×2=4.
∴AB=2AD=2×4=8.
∴EC=AC-AE=8-2=6.
又∵EF//AB，
∴∠EFC=∠B=60°，∠CEF=∠A=60°，
∴∠EFC=∠CEF=∠C=60°.
∴△EFC为等边三角形.
∴△EFC的周长为3×6=18.
11.证明：连接BP.
∵AB=BC，∠ABC=120°.
∴∠A=∠C
=×（180°-120°）=30°.
又∵PQ垂直平分AB.
∴∠PBQ=∠A=30°，AP=BP.
∴∠PBC=120°-∠PBQ=90°.
∴PC=2BP=2AP.
12.12.5 提示：AC=CF=AB=5.
13.C提示：过P作PQ⊥MN，垂足为Q.则有OM+MN=OP=×12=6.
∴OM=6-MN=6-×2=5.
14.解：（1）：∵AB=8，AD=2
∴BD=AB-AD=6
在Rt△BDE中
∠BDE=90°-∠B=30°
∴BE=BD=3
∴CE=BC-BE=5
在Rt△CFE中
∠CEF=90°-∠C=30°
∴CF=CE=，
∴AF=AC-FC=
故答案为
（2）在△BDE和△CEF中，
∴△BDE≌△CEF（AAS）
∴BE=CF
∴BE=CF=EC
∴BE=BC=，
∴BD=2BE=
∴AD=AB-BD=
∴AD=时，DE=EF.
15.（1）证明：连接AD.
∵AB=AC，D为BC边的中点.
∴AD为∠BAC的平分线.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC.
∴DE=DF.
（2）解：∵∠A=60°，AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD=30°，△ABC为等边三角形，
∴∠BDE=90°-∠B=90°-60°=30°.
∴BD=2BE=2，
∴AB=2BD=2×2=4.
∴△ABC的周长为3×4=12.
故答案为12.