北师大版九年级数学上册 第2章 《一元二次方程》提高训练（word，含答案）

一元二次方程提高训练
1、 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ）
A. 1或4 B. -1或-4 C. -1或4 D. 1或-4
2、已知 ，则 的值为( )
A. -5或1 B. 1 C. 5 D. 5或-1
3、若分式的值为0，则x的值为（　　）
A. 3或﹣2 B. 3 C. ﹣2 D. ﹣3或2
4、已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（　　）
A. 1 B. ﹣1 C. 0 D. ﹣2
5、等腰三角形的两边恰为方程x2﹣7x+10＝0的根，则此等腰三角形的周长为　 　．
6、在一元二次方程ax2+bx+c＝0中，若a、b、c满足关系式a﹣b+c＝0，则这个方程必有一个根为　 　．
7、已知a2+3a＝7，b2+3b＝7，且a≠b，则a+b＝　 　．
8、在△ABC中BC=2，AB=2，AC=b，且关于x 的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为______．
9、在如图中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：
（1） 观察图形，请填写下列表格：
正方形边 1 3 5 7 … n(奇数)
黑色小正方形个数 …
正方形边长 2 4 6 8 … n(偶数)
黑色小正方形个数 …
（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2＝5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由.
10、已知关于x的一元二次方程.（1）求证：方程有两个不相等实数根；
（2）如果方程的两实根为，，且，求m的值．
11、 已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2﹣4=0（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．
12、已知为自然数，关于的方程有两个整数根，求出这个方程的正整数根和.
当为何正整数时，关于的一元二次方程有两个非零整数根．
14、已知方程有两个不相等的正整数根，求整数的值.
15、已知关于的方程．⑴讨论此方程根的情况；⑵若方程有两个整数根，求正整数k的值．
解析与答案
1、 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ）
A. 1或4 B. -1或-4 C. -1或4 D. 1或-4
解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，∴
解得故选B．
2、已知 ，则 的值为( )
A. -5或1 B. 1 C. 5 D. 5或-1
解：设a=，则原式=（a+1）（a+3）=8，去括号得a2+4a+3=8,移项得a2+4a-5=0，
分解因式得（a-1）（a+5）=0,解得a=1或a=-5，∵=a≥0∴a=-5（舍去），故选B.
3、若分式的值为0，则x的值为（　　）
A. 3或﹣2 B. 3 C. ﹣2 D. ﹣3或2
解：由题意可得：，解得：，当时，，
当时，，的值为3或-2.故选A.
4、已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（　　）
A. 1 B. ﹣1 C. 0 D. ﹣2
解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，∴b2﹣ab+b=0，∵﹣b≠0，∴b≠0，
方程两边同时除以b，得b﹣a+1=0，∴a﹣b=1．故选A．
5、等腰三角形的两边恰为方程x2﹣7x+10＝0的根，则此等腰三角形的周长为　 　．
解：∵x2﹣7x+10＝0，∴（x﹣2）（x﹣5）＝0，∴（x﹣2）＝0或（x﹣5）＝0，
∴x1＝2，x2＝5，∵等腰三角形的两边恰为方程x2﹣7x+10＝0的根，且2+2＜5，
∴该三角形的三边分别为2，2，2，或2，5，5，或5，5，5．∴此等腰三角形的周长为：2+2+2＝6，或2+5+5＝12，或5+5+5＝15．故答案为：6或12或15．
6、在一元二次方程ax2+bx+c＝0中，若a、b、c满足关系式a﹣b+c＝0，则这个方程必有一个根为　 　．
解：由题意，一元二次方程ax2+bx+c＝0，满足a﹣b+c＝0，∴当x＝﹣1时，一元二次方程ax2+bx+c＝0即为：a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝0；∴a﹣b+c＝0，∴当x＝1时，代入方程ax2+bx+c＝0，有a+b+c＝0；
综上可知，方程必有一根为﹣1．故答案为：﹣1．
7、已知a2+3a＝7，b2+3b＝7，且a≠b，则a+b＝　 　．
解：根据题意得：a，b就是方程x2+3x＝7的两根则a+b＝﹣3故本题的答案为﹣3．
8、在△ABC中BC=2，AB=2，AC=b，且关于x 的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为______．
解：∵关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，∴△=16﹣4b=0，∴AC=b=4，
∵BC=2，AB=2，∴BC2+AB2=AC2，∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，∴AC边上的中线长AC=2；
故答案为2．
9、在如图中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：
（1） 观察图形，请填写下列表格：
正方形边 1 3 5 7 … n(奇数)
黑色小正方形个数 …
正方形边长 2 4 6 8 … n(偶数)
黑色小正方形个数 …
（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2＝5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由.
解：(1)1,5,9,13,…,则(奇数)2n 1；4,8,12,16,…,则(偶数)2n.
(2)由上可知n为偶数时P1=2n,白色与黑色的总数为n2，∴P2=n2 2n，
根据题意假设存在,则n2 2n=5×2n，n2 12n=0，解得n=12,n=0(不合题意舍去).故存在偶数n=12,使得P2=5P1.
10、已知关于x的一元二次方程.（1）求证：方程有两个不相等实数根；
（2）如果方程的两实根为，，且，求m的值．
解：（1）证明：∵，∴△=[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵，方程的两实根为，，且，∴ ， ，∴，∴（m﹣3）2﹣3×（﹣m）=7，解得，m1=1，m2=2，即m的值是1或2．
11、 已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2﹣4=0（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．
解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，
解得： ∴当时，方程有两个不相等的实数根.
(2)设方程的两根分别为a、b，根据题意得： ∵2a、2b为边长为的菱形的两条对角线的长，
解得：m= 3或m=5.
∵a>0，b>0，∴a+b= 2m+1>0，∴m= 3.若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为 3.
12、已知为自然数，关于的方程有两个整数根，求出这个方程的正整数根和.
解：要得整数根，判别式必须为完全平方数或式．原方程可化为
则设
则所以因为，为整数
而考虑到，奇偶性相同
且故有．
分别代入方程可得正整数根为或所以当时正整数根为，当时正整数根为1．
13、当为何正整数时，关于的一元二次方程有两个非零整数根．
解：由题意得，．
∴．∵为正整数，∴，2，3．当时，，但方程有一根为零；
当时，，不是完全平方数，故无整数根；
当时，方程有两个非零的整数根．
综上所述，和不合题意，舍去；符合题意．
14、已知方程有两个不相等的正整数根，求整数的值.
解：因为方程有两个正整数根，即 所以
15、已知关于的方程．⑴讨论此方程根的情况；⑵若方程有两个整数根，求正整数k的值．
解：⑴当时，方程为一元一次方程，此方程有一个实数根；
当时，方程是一元二次方程，
.∵，即，
∴为除外的任意实数时，此方程总有两个实数根．综上，无论取任意实数，方程总有实数根；
⑵∵可化为：
，∴，∵为正整数∴或4∴或