人教版九年级数学上册22.2二次函数与一元二次方程同步练习 (Word版含答案)

人教版 22.2 二次函数与一元二次方程
一、选择题（共15小题）
1. 下列二次函数中，图象与 轴没有交点的是
A. B. C. D.
2. 二次函数 的图象与 轴的交点的个数是
A. B. C. D.
3. 抛物线 的顶点在 轴上，则 的值为
A. B. C. D.
4. 二次函数 的部分对应值如下表：
利用二次数的图象可知，当函数值 时， 的取值范围是
A. 或 B.
C. 或 D.
5. 函数 与 的图象如下图所示，下面结论：① ，② ，③ ，④当 时，，其中正确的结论有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6. 如图，二次函数 的图象与 轴相交于 和 两点，则不等式 的解是
A. B. C. D.
7. 抛物线 的开口向上，与 轴的交点在 轴的负半轴，那么方程 的两实数根的积
A. 大于零 B. 等于零 C. 小于零 D. 以上都不对
8. 二次函数 的图象如图所示，现有以下结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ；
其中正确的结论有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
9. 二次函数 和一次函数 （， 是常数，且 ，）在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A. B.
C. D.
10. 如图，抛物线 的顶点为 ，与 轴的一个交点为 ，直线 与抛物线交于 ， 两点，下列结论：① ；②抛物线与 轴的另一个交点坐标是 ；③ ；④方程 有两个不相等的实数根；⑤当 时，．其中正确结论的个数为
A. B. C. D.
11. 抛物线 与坐标轴的交点个数是
A. B. C. D.
12. 二次函数 的图象与一次函数 的图象没有交点，则 的取值范围是
A. B.
C. 或 D.
13. 在同一坐标系中，二次函数 与一次函数 的图象可能是
A. B.
C. D.
14. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线 交于 ， 两点，则关于 的不等式 的解集是
A. B.
C. D. 或
15. 如果我们把函数 称为二次函数 的“镜子函数”，那么对于二次函数 的“镜子函数”，下列说法：① 的图象关于 轴对称；② 有最小值，最小值为 ；③当方程 有两个不相等的实数根时，；④直线 与 的图象有三个交点时， 中，正确的结论有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（共7小题）
16. 二次函数 的图象与 轴无交点，写出一个满足条件的实数 的值为 ．
17. 抛物线 与 轴只有一个交点，则 ．
18. 如图，直线 和抛物线 都经过点 和 ，不等式 的解集为 ．
19. 已知二次函数 （ 为常数），若该函数图象与 轴只有一个公共点，则 ．
20. 抛物线 （ 为常数）与 轴交点的个数是 ．
21. 如图，一次函数 的图象与 轴， 轴分别相交于点 ，点 ，将它绕点 逆时针旋转 后，与 轴相交于点 ，我们将图象过点 ，， 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数 的关联二次函数是 ，那么这个一次函数的解析式为 ．
22. 如图，一次函数 的图象与 轴， 轴分别相交于点 ，点 ，将它绕点 逆时针旋转 后，与 轴相交于点 ，我们将图象过点 ，， 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数 的关联二次函数是 ，那么这个一次函数的解析式为 ．
三、解答题（共5小题）
23. 如图，直线 与坐标轴交于 ， 两点，抛物线 经过点 ，与直线 交于点 ，且与 轴交于 ， 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的面积．
24. 如图，抛物线 与 轴相交于点 ，与 轴交于点 ， 为线段 上的一个动点，过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，交该抛物线于点 ．
（1）求直线 的表达式，直接写出顶点 的坐标；
（2）当以 ，， 为顶点的三角形与 相似时，求点 的坐标；
（3）当 时，求 与 的面积之比．
25. 已知直线 经过点 ， 两点，抛物线 与已知直线交于 ， 两点（点 在点 的右侧），顶点为 ．
（1）求直线 的表达式；
（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求 的取值范围；
（3）若直线 与直线 所成夹角的余切值等于 ，求抛物线 的表达式．
26. 已知二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题
（1）写出方程 的两个根；
（2）写出不等式 的解集
（3）写出 随 的增大而减小的自变量 的取值范围；
（4）若方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围．
27. 已知，二次函数 的图象与 轴交于点 ，点 ，与 轴交点 ．
（1）求二次函数解析式；
（2）设点 为 轴上一点，且 ，求 的值；
（3）若点 是直线 上方抛物线上一动点，连接 ，过点 作 ，交 于点 ，求线段 的最大值及此时点 的坐标．
答案
1. C
2. C
3. B
4. D
【解析】由表格可知，对称轴为直线 ，图象开口向上，与 轴交于 ， 两点，则当函数值 时， 的取值范围是 ．
5. B
6. B
7. C
8. C
9. C
【解析】选项A中，由抛物线开口向下可知 ，由一次函数 的图象与 轴交于正半轴可知 ，矛盾，选项A错误．
选项B中，由抛物线开口向下可知 ，由抛物线的对称轴在 轴左侧，易知 ，由一次函数 的图象经过第一、三，四象限知 ，，矛盾，B错误．
选项C中，由抛物线开口向上可知 ，由抛物线的对称轴在 轴右侧，易知 ，由一次函数 的图象可知 ，，选项C正确．
选项D中，由抛物线开口向上可知 ，由抛物线的对称轴在 轴右侧，易知 ，由一次函数 的图象可知 ，，矛盾，选项D错误．
10. D
【解析】①由抛物线的对称轴知 ，
，
，
此结论正确；
②设抛物线与 轴的另一个交点坐标是 ，
根据题意得 ，
，
此结论正确；
③把 代入 得，，
，
，
，
，
此结论正确；
④由图象可知，直线 与抛物线 有两个交点，
有两个不相等的实数根，即 有两个不相等的实数根，此结论正确；
⑤由图象可知，当 时，抛物线在直线上方，于是 ，此结论正确．
11. B
【解析】，
抛物线与 轴没有交点，而抛物线 与轴的交点为 ，
抛物线 与坐标轴的交点个数为 ．
12. C
【解析】由题意可知：方程 在 上没有解，
即 在 上没有解，
当 时，
即 ，
解得 ，
当 时，
当 ，，
则 ，且对称轴 ，
即 ，
，
解得：，
综上所述， 的取值范围是 或 ，
故选：C．
13. D
14. D
【解析】观察题图可知，当 或 时，直线 在拋物线 的上方，
不等式 的解集为 或 ．
15. B
【解析】① ，
的图象关于 轴对称，
故①正确；
② ，
当 即 时， 有最小值为 ，
故②正确；
③当 时，方程 为 ，可化为 ，解得 ，有两个不相等的实数根，此时 ，
故③错误；
④ 直线 与 的图象有三个交点，
方程 ，即 有 个解，
方程 与方程 一共有 个解，
当方程 有两个不相等的非负数根，则方程 有两个相等的负数根；或当方程 有两个不相等的非负数根，则方程 有一个负数根；
或方程 有一个非负数根或两个相等的非负数根，则方程 有两个不相等的负数根．
即 或 或
解得，，或 ，或 ，
当 或 时，直线 与 的图象有三个交点，
故④错误；
故选：B．
16. （答案不唯一）
【解析】二次函数 的图象与 轴无交点．
则令 ，，
，
，
此答案不唯一．只要 即可，
故答案为：（答案不唯一）．
17.
【解析】 抛物线与 轴只有一个交点，
，
，．
18. 或
19.
【解析】 二次函数 图象与 轴有且只有一个公共点，
，
解得：．
20.
【解析】 抛物线为 （ 为常数），
当 时，，
，
有两个不相等的实数根，
抛物线 （ 为常数）与 轴有两个交点．
21.
22.
【解析】一次函数 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 绕 点逆时针旋转 后，与 轴的交点为 ，
即 ，， 过批物线 ，
即
得
将 代入 有 ，
整理得 ，
解得 或 （舍），
将 代入 得 ，
故方程组的解为
则一次函数的解析式为 ，
故答案为：．
23. （1） ．
（2） ．
24. （1） 令 ，则 ，
或 ，
，
令 ，则 ，
，
设直线 的解析式为 ；
；
【解析】，
．
（2） ，，
是直角三角形，
设 ，
①如图 ，
当 时，，
，
，
（舍）或 ，
；
②如图 ，
当 时，过点 作 交于点 ，
，，
，
，
，即 ，
，
，
，
（舍）或 ，
；
综上所述： 点的坐标为 或 ．
（3） 如图 ，作 的垂直平分线交 轴于点 ，连接 ，过点 作 于点 ，
，
，
，
，
在 中，，
，
，
，
，
，
设 ，
则 ，，
，，，，，
，
，
，，
．
25. （1） 直线 经过点 ，，
有 解得
直线的表达式为 ．
（2） ，
，
顶点坐标为 ，
顶点不在第一象限，
，
．
（3） 依题意有 解得 或
抛物线与已知直线交于 ， 两点，
顶点 坐标为 且点 在点 的右侧，
点 ，点 ，
过点 作 垂直 于点 ，
设点 坐标为 ，
，，
直线 与直线 所成夹角的余切
设直线 的表达式为 ，直线 过点 ，，
有 解得 ，
，
，即
联立①②，解得 或
当 时，点 坐标为 与点 重合，不符合题意，
，
抛物线的表达式为 ．
26. （1） ，．
（2） ．
（3） ．
（4） 因为方程 有两个不相等的实数根，
所以观察图象直线 与抛物线有两个交点的情况，即 ．
27. （1） 把 ， 代入 中，
得 解得：，，
．
（2） 在二次函数解析式为 ，
令 ，则 ，
则点 坐标 ，而 ，，
，，
，
，
．
（3） 设直线 为：，
把 和 代入得： 解得：
，
，
，
过点 作 轴，交 于点 ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设点 ，则 ，
，
当且仅当 时， 的最大值是 ，
，
当点 时， 的最大值是 ．