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九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》课时训练
一、选择题
1．（2021九上·嘉祥月考）若二次函数的对称轴为直线，则关于x的方程的解为（ ）
A．2 B．4 C．2和4 D．无解
2．（2021九上·吴兴期末）在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … 1 0.49 0.04 0.59 1.16 …
A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4
3．（2021九上·上城期中）设一元二次方程（x+1）（x﹣3）＝m（m＞0）的两实数根分别为α、β且α＜β，则α、β满足（ ）
A．﹣1＜α＜β＜3 B．α＜﹣1且β＞3
C．α＜﹣1＜β＜3 D．﹣1＜α＜3＜β
4．（2021九上·吴兴期末）已知一元二次方程2x2+bx 1＝0的一个根是1，若二次函数y＝2x2+bx 1的图象上有三个点（0，y1）、（ 1，y2）、（ y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
5．（2021九上·鞍山期末）二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为（ ）
A． B．，
C．， D．，
6．（2021九上·休宁月考）若二次函数的对称轴是x=4，则关于x的方程的解为（ ）
A．x1=0，x2=8 B．x1=1，x2=9
C．x1=1，x2=﹣9 D．x1=﹣1，x2=9
7．（2021九上·涟水月考）已知抛物线在平面直角坐标系中的位置如图，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021九上·普陀期末）“如果二次函数 的图像与 轴有两个交点，那么一元二次方程 有两个不相等的实数根．”请根据这句话的理解，解决以下问题；若 、 是关于 的方程 的两根，且 ，则 ， ， ， 的大小关关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021九上·泰安期中）若函数y=ax2+bx的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0的根的情况为( )
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
10．（2021九上·黄石期中）如图所示二次函数y＝ax2+bx+c的图象的一部分，图象过点（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，以下结论：①2a﹣b＝0；②abc＜0；③当﹣3＜x＜1时，y＞0；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝t（t为常数，t≥0）的根为整数，则t的值只有3个.其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
11．（2021九上·互助期中）已知抛物线 的图像与x轴分别交于点 ， ，则关于x的方程 的根为 ．
12．（2021九上·花都期中）若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，则m的取值范围是 ．
13．（2020九上·青县期末）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为 ．
14．（2021九上·中山期末）二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象如图所示，则关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝﹣4的根为 ．
三、解答题
15．（2021九上·涟水月考）已知抛物线经过点，，，求该抛物线的函数关系式。
16．（2022九上·平桂期末）若二次函数的对称轴为直线，求关于x的方程的解.
17．（2020九上·北京月考）若抛物线y＝x2+3x+2a与x轴只有一个交点，求实数a的值．
18．（2020九上·科尔沁左翼中旗期中）已知二次函数 ．求证：不论 为何实数，此二次函数的图象与 轴都有两个不同交点．
19．（2020九上·澧县期末）已知：二次函数 ，求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都在两个交点；
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九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》课时训练
一、选择题
1．（2021九上·嘉祥月考）若二次函数的对称轴为直线，则关于x的方程的解为（ ）
A．2 B．4 C．2和4 D．无解
【答案】C
【解析】解：∵二次函数y＝x2＋bx 5的对称轴为：直线x＝2，
∴＝2，解得：b＝ 4，
则x2＋bx 5＝2x 13可化为：x2 4x 5＝2x 13，
解得：x1＝2，x2＝4．
2．（2021九上·吴兴期末）在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … 1 0.49 0.04 0.59 1.16 …
A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4
【答案】B
【解析】解：当y=0时，-0.49＜y＜0.04，
∴1.1＜x＜1.2.
故答案为：B.
3．（2021九上·上城期中）设一元二次方程（x+1）（x﹣3）＝m（m＞0）的两实数根分别为α、β且α＜β，则α、β满足（ ）
A．﹣1＜α＜β＜3 B．α＜﹣1且β＞3
C．α＜﹣1＜β＜3 D．﹣1＜α＜3＜β
【答案】B
【解析】解：方程（x+1）（x﹣3）＝m（m＞0）的两实数根α、β可看作抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与直线y＝m的两交点的横坐标，
而抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），
如图，
所以α＜﹣1且β＞3.
故答案为：B.
4．（2021九上·吴兴期末）已知一元二次方程2x2+bx 1＝0的一个根是1，若二次函数y＝2x2+bx 1的图象上有三个点（0，y1）、（ 1，y2）、（ y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【答案】C
【解析】解：一元二次方程2x2+bx-1＝0的一个根是1，
∴2+b-1=0，
∴b=-1，
∴二次函数的解析式为y＝2x2-x-1，
∴当x=0时，y1=-1，
当x=-1时，y2=2，
当x=时，y3=-，
∴y1＜y3＜y2.
故答案为：C.
5．（2021九上·鞍山期末）二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为（ ）
A． B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】解：∵二次函数的图象经过点(1，-1)，且图象对称轴为直线x=2，
∴该二次函数的图象必经过点(3，-1)．
∴的解为，．
故答案为：D．
6．（2021九上·休宁月考）若二次函数的对称轴是x=4，则关于x的方程的解为（ ）
A．x1=0，x2=8 B．x1=1，x2=9
C．x1=1，x2=﹣9 D．x1=﹣1，x2=9
【答案】D
【解析】解：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=4，
∴-=4，
解得m=-8，
∴关于x的方程x2+mx=9可化为x2-8x-9=0，即（x+1）（x-9）=0，解得x1=-1，x2=9．
故答案为：D．
7．（2021九上·涟水月考）已知抛物线在平面直角坐标系中的位置如图，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0；
又∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴a，b异号，
∴b＞0；
又∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
又∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2-4ac＞0，
∴A，B，C选项都错，D选项正确.
故答案为：D.
8．（2021九上·普陀期末）“如果二次函数 的图像与 轴有两个交点，那么一元二次方程 有两个不相等的实数根．”请根据这句话的理解，解决以下问题；若 、 是关于 的方程 的两根，且 ，则 ， ， ， 的大小关关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：如图，
∵m、n（m＜n）是关于x的方程1 （x a）（x b）＝0的两根，
∴二次函数y＝ （x a）（x b）＋1的图象与x轴交于点（m，0）和（n，0），
∴将y＝ （x a）（x b）＋1的图象往下平移一个单位可得二次函数y＝ （x a）（x b）的图象，
二次函数y＝ （x a）（x b）的图象与x轴交于点（a，0）、（b，0）．
画出两函数图象，观察函数图象可知：m＜a＜b＜n．
故答案为：A.
9．（2021九上·泰安期中）若函数y=ax2+bx的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0的根的情况为( )
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【解析】解：∵函数y=ax2+bx的最小值为-3，
∴y=ax2+bx≠-5，
∴ 一元二次方程ax2+bx+5=0没有实数根.
故答案为：A.
10．（2021九上·黄石期中）如图所示二次函数y＝ax2+bx+c的图象的一部分，图象过点（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，以下结论：①2a﹣b＝0；②abc＜0；③当﹣3＜x＜1时，y＞0；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝t（t为常数，t≥0）的根为整数，则t的值只有3个.其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】解：∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故①正确；
∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴a与b同号，即b＜0，
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴上，c＞0
∴abc＞0，
故②不正确；
∵图象过点（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一交点为（1，0），
∵当﹣3＜x＜1时，函数图象在x轴上方，即y＞0，
故③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣3，0），（1，0），
∴抛物线变为 ，
∵ 的根为整数，
△= ，
∴方程的根为 ，
∵t为常数，t≥0，a＜0，
∴ ，
∵一元二次方程ax2+bx+c＝t（t为常数，t≥0）的根为整数，
∴ ，
∴ ，
故④正确.
故答案为：B.
二、填空题
11．（2021九上·互助期中）已知抛物线 的图像与x轴分别交于点 ， ，则关于x的方程 的根为 ．
【答案】 ，
【解析】解：∵ 的图象与x轴分别交于点A（-2，0），B（-4，0），
∴ 的根为 ， ，
故答案为： ， ．
12．（2021九上·花都期中）若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，则m的取值范围是 ．
【答案】m＜9
【解析】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，
∴ （﹣6）2﹣4m＞0，
解得：m＜9，
故答案为：m＜9．
13．（2020九上·青县期末）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为 ．
【答案】x1＝﹣1或x2＝3
【解析】解：依题意得二次函数y＝﹣x2+2x+m的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1﹣（3﹣1）＝﹣1，
∴交点坐标为（﹣1，0）
∴当x＝﹣1或x＝3时，函数值y＝0，
即﹣x2+2x+m＝0，
∴关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为x1＝﹣1或x2＝3．
故答案为：x1＝﹣1或x2＝3．
14．（2021九上·中山期末）二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象如图所示，则关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝﹣4的根为 ．
【答案】x=-5或x=0
【解析】解：由图可知：二次函数y＝ax2＋bx＋4与x轴交于（-4，0）和（1，0），
∴ax2＋bx＋4=0的解为：x=-4或x=1，
则在关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝-4中，
x+1=-4或x+1=1，
解得：x=-5或x=0，
即关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝-4的解为x=-5或x=0，
故答案为：x=-5或x=0．
三、解答题
15．（2021九上·涟水月考）已知抛物线经过点，，，求该抛物线的函数关系式
【答案】解：∵抛物线经过点，，，
∴设抛物线的表达式为，
将点代入得：，解得：，
∴.
∴该抛物线的函数关系式为.
16．（2022九上·平桂期末）若二次函数的对称轴为直线，求关于x的方程的解.
【答案】解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
解得.
将代入中，得：，
解得，.
17．（2020九上·北京月考）若抛物线y＝x2+3x+2a与x轴只有一个交点，求实数a的值．
【答案】解：根据抛物线与x轴只有一个交点，得到方程 有两个相等的实数根，
则 ，解得 ．
18．（2020九上·科尔沁左翼中旗期中）已知二次函数 ．求证：不论 为何实数，此二次函数的图象与 轴都有两个不同交点．
【答案】解： ，不论 为何值时，都有 ，此时二次函数图象与 轴有两个不同交点．
19．（2020九上·澧县期末）已知：二次函数 ，求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都在两个交点；
【答案】解：二次函数
∵ ， ， ，
∴
，
而 ，
∴ ，即m为任何实数时， 方程 都有两个不等的实数根，
∴二次函数的图象与x轴都有两个交点．
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