福建省永春县美岭高级中学2021-2022学年高二下学期期中测试数学试题（Word版含答案）

美岭高级中学2021-2022学年高二下学期期中测试
数学
本试卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设复数在复平面内对应的点为，则的虚部为（ ）
A. B. -1 C. 1 D. 3
3. 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（ ）
A. B. C. D.
4.如图所示的五个区域中,中心区域是一幅图画,现在要求在其余四个区域中涂色,现有四种颜色可供选择,要求每一个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为(　　)
(A)64 (B)72 (C)84 (D)96
5. 已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. 1 C. D. 2
6. 已知点，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7．英国著名数学家布鲁克 泰勒（TaylorBrook）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世．在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：ex＝+
其中x∈R，n∈N，n!＝1×2×3×4×…×n，特别地，0!＝1．用上述公式估计的近似值．下列最适合的为（精确到0.01）（　　）
A．1.25 B．1.26 C．1.28 D．1.30
8. 已知函数的定义域为，且的图像是一条连续不断的曲线，为偶函数，为奇函数，，当时，，则当时，的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知命题，若为真命题，则的值可以为（ ）
A. -2 B. -1 C. 0 D. 3
10．已知，则（ ）
A．的展开式中的常数项是56
B．的展开式中的各项系数之和为0
C．的展开式中的二项式系数最大值是70
D．的展开式中不含的项
11. 若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数的部分图像如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. B. 将的图像向右平移1个单位，得到函数的图像
C. 的图像关于直线对称 D. 若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，且，则实数的值为____________.
14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数的解析式为____________.
①；②当时，；③的最大值大于1.
15.已知圆恰好被双曲线的一条渐近线平分成周长相等的两部分，则的离心率为____________.
16. 斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多 斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，记，则下列结论正确的是
（写正确结论的序号即可，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（1）. （2）. （3）. （4）.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
（12分）(1)在高三某班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生,如果2位男生不能连续出场,且女生甲不能排第一个,求有多少种安排方法
(2）从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成多少个没有重复数字的四位数.
(3）已知m是自然数,若(mx-1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0且a1+a5=42,求m　　
19.（12分）在中，内角的对边分别为，且.
（1）若，则此时是否存在？若存在，求的面积；若不存在，请说明理由；
（2）若的外接圆半径为4，且，求的面积.
20.（12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，且，点在上.
（1）求证：平面平面；
（2）若为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值.
21.（12分）已知抛物线的焦点为，点在上，且.
（1）求点的坐标及的方程；
（2）设动直线与相交于两点，且直线与的斜率互为倒数，试问直线是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由.
22.（12分）已知函数，其中.
（1）求的单调区间；
（2）请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分.
①若对任意，不等式恒成立，求的最小整数值；
②若存在，使得不等式成立，求的取值范围
美岭高级中学2021-2022学年高二下学期期中测试
数学科参考答案
一、选择题
1. D 【解析】，所以.故选D项.
2. C 【解析】由题意可得，所以，故其虚部为1，故选C项.
3.B
4. C
5. A 【解析】由正切函数的定义得.故选A项.
6.C 【解析】由题意可知，，整理得，则，故，因为，所以，所以，即.故选C项.
7. C
8. D 【解析】因为为偶函数，所以的图像关于直线对称，即，
即，因为函数为奇函数，则，所以，即的图像关于点对称，所以，
所以，所以，即，所以是以4为周期的周期函数.于是可知，又当时，，根据为定义在上且图像不间断的函数，可作出的草图如下图所示：
所以当时，的解集为.故选D项.
二、选择题
9. BCD 【解析】当时，，为真命题；当时，若为真命题，则，解得且.综上，的取值范围为.故选BCD项.
10.BC
11. AD 【解析】，A项正确；由，得，两式相加得，故B项错误；令，则，C项错误；，即，D项正确；故选AD项.
12. BD 【解析】由图可知，由五点作图法原理可知，解得，所以，A项错误；将的图像向右平移1个单位，得到函数的图像，B项正确；，故C项错误；的最小正周期为，所以若，则，故D项正确，故选BD项.
三、填空题
13. 【解析】因为，所以，所以.
14. （答案不唯一）
【解析】由①可知，的图像关于直线对称；由②可知，在上单调递减，又的最大值大于1，故满足条件的函数的解析式可以为（答案不唯一）.
【解析】由题意可知，圆的圆心在的一条渐近线上，又的渐近线方程为，所以，即，所以的离心率.
16【解析】由题意知，的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即，（1）项正确；根据递推公式，，（2）项正确；由递推式，得，，…，，累加得，所以，所以，即，（3）项错误；，，，…，，所以，故（4）项正确，故选（1），（2），（4）项.
四、解答题
17.解：（1）设等差数列的公差为，由已知得
解得，
所以数列的通项公式为；
（2）由（1）得，
所以
(1)60
(2)1260
(3)m=2
19.解：（1）由
得，
由正弦定理得
因为，所以，即，
因为，所以，所以.
若，则，
所以
故此时不存在；
（2）因为的外接圆半径，
所以，
所以，
由余弦定理得，
即，则，
所以的面积.
20.（1）证明：因为底面，底面，
所以.
所以，
所以，
所以矩形为正方形，所以，
又，所以平面，
又平面，
所以平面平面；
（2）解：以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，可得，，
设平面的法向量为，则，取，
可得，所以，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
21.解：（1）由抛物线的定义可知，，故，
又点在上，所以，解得，
又，所以，
所以的坐标为，
的方程为；
（2）设，直线的方程为，
联立，整理得，
则，，，
所以，
化简得，即,
代入方程得，即，
故直线过定点.
22.解：（1）的定义域为，
，
令，得，
由，解得；由，解得，
故的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）选择①：
当时，，整理可得，令，，则，
令，则，
所以函数单调递减，
因为，，
所以在区间上存在一个零点，
使得，即，
当时，，则，函数单调递增；
当时，，即，函数单调递减，
所以有最大值，即最大值为，
则，因为，
所以的最小整数值是1.
选择②：
不等式，即，
设，
则，，
当时，易知在上恒成立，不满足题意，
当时，方程的判别式，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，，
所以在上恒成立，不满足题意.
当时，令，
得，，
由和得，
故当时，，在上单调递减，此时，
所以当时，存在，使得不等式成立，即满足题意的的取值范围为