湖北省随州市曾都区2022-2023学年高二上学期8月开学测试数学试卷（Word版含答案）

随州市曾都区2022-2023学年高二上学期8月开学测试
数学测试试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设事件A，B，已知P（A）＝，P（B）＝，P(A∪B)＝，则A，B之间的关系一定为（ ）
A．两个任意事件 B．互斥事件 C．非互斥事件 D．对立事件
2.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（　　）
A．∥ B．⊥ C． D．与斜交
3.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则（ ）
A. 两人都成功破译的概率为 B. 两人都成功破译的概率为
C. 密码被成功破译的概率为 D. 密码被成功破译的概率为
4.已知，若向量共面，则=（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
5.把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为（ ）
A． B． C． D．
6.已知正三棱柱的所有棱长都为，则与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.在一次运动会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，已知比赛规则是局胜制，则乙获得冠军的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知平面平面是等边三角形，四边形是矩形，且，E是的中点，F是上一点，当时，（ ）
A. 3 B. C. D. 2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球，设事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，则（ ）
A. B. C. D.
10.已知事件，，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. 如果，那么，
B. 如果与互斥，那么，
C. 如果与相互独立，那么
D. 如果与相互独立，那么，
11.如图，在正方体中，M是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 线段与所在直线为异面直线 B. 对角线平面
C. 平面平面 D. 直线平面
12.正三棱柱，P点满足（ ）
A．当时，的面积是定值 B．当时，的周长是定值
C．当时，的面积是定值 D．当时，三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设，向量，，，且，，则__________.
14.一个三位数，百位、十位、个位上的数字依次记为，，(，，互不相同)，当且仅当，，中有两个数字的和等于剩下一个数字时，称这个三位数为“等和数”(如358等).现从1，2，3，4这四个数字中任取三个组成无重复数字的三位数，则这个三位数为“等和数”的概率为__________.
15. 如图所示，三棱柱中，，分别是和上的点，且，设，则的值为___________.
16. 已知点 是空间直角坐标系 内一点， 则点 关于 轴的对称点 的 坐标为 ________； 若点 在平面 上的射影为 ， 则四面体 的体积为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.如图， 三棱柱 ，为 的中点， ， 设
（1）试用 表示向量 ；
（2）若 ，求异面直线 与 所成角的余弦值．
18. 一个袋子中有个红球，个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出个球.
（1）当时，求第二次取出绿球的概率；
（2）若两次取到的球颜色不同的概率为，求的值.
19. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：第一组第1组、第2组、第3组、第4组、第5组
（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数；
（2）估计抽出的100名志愿者年龄的第50百分位数（精确到0.1）
（3）若在抽出的第2组和第4组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取5名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这5名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
20. 如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，点在上，且.
（1）已知点在上，且，求证：平面平面.
（2）求点到平面的距离.
21. 如图，周长为3cm圆形导轨上有三个等分点， 在点出发处放一颗珠子，珠子只能沿导轨顺时针滚动. 现投掷一枚质地均匀的骰子.每当掷出3的倍数时，珠子滚动2cm后停止，每当掷出不是3的倍数时，珠子滚动1cm后停止.
（1）求珠子恰好滚动一周后回到点的概率.
（2）求珠子恰好滚动两周后回到点（中途不在点停留）的概率.
22．如图,在四棱锥中, 平面平面,.
（1）求证:平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点,使得平面？若存在, 求的值；若不存在, 说明理由.
随州市曾都区2022-2023学年高二上学期8月开学测试
数学测试试卷参考答案
BBDB BBBC 9.CD 10.ABD 11.ABC 12.ACD
13.3 14. 15. 16.①.（1，－2，－3）； ②. 2
17.解：（1）因为D为中点，所以，
由．所以，所以．
（2）由题意知，， 所以，，
， 所以，
所以异面直线AE与所成角的余弦值为．
18. 解：(1)时，从个球中不放回的随机取出个，共种等可能的取法，即，记事件“第二次取出绿球”，则，
故.
(2)记事件“两次取到的球颜色不同”，则，，
∴，整理得：，解得：或舍，
∴.
19. 解：（1）由直方图知：，可得，
∴500名志愿者中年龄在的人数为人.
（2）由（1）易知：第50百分位数在区间内，若该数为，
∴，解得.
（3）由题设，易知：5名志愿者有2名来自，3名来自，
∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
20. 解：（1）由，即△为等腰直角三角形，
又是直角梯形且，且，所以，，
因为，故为等腰直角三角形，所以，，，又，，∴，，
又，即，∴为平行四边形，则，
又，故，由底面，面，则，
又，∴面，而面，∴平面平面.
（2）若是中点，连接，由（1）易知：为平行四边形，
∴，而面，面，即面，
综上，到平面的距离即为到面的距离，由面，面，
∴，又，，故面，
若为中点，连接，则，故面，又，
∴到面距离，即到平面的距离.
21.解：（1）设掷出3的倍数为事件， 掷出不是3的倍数记为事件，则
珠子恰好转一周回到A点包含的事件为且这三种情况互斥
故所求概率为
（2）珠子滚两周回到A点，则必须经历以下三个步骤：①②③
①A至C：此时概率为
②C至B：掷出的必须是3的倍数，此时的概率为
③B至A:概率与①相同
又以上三个步骤相互独立，故所求概率为
22．解：（1）因为平面平面，，所以平面.
所以.又因为，所以平面.
（2）取的中点，连结.因为，所以.
又因为平面，平面平面，所以平面.
因为平面，所以.因为，所以.
,,，，则
设点到面的距离为，直线与平面所成的角为，
由有，
则有，所以直线与平面所成角的正弦值为.
法2：如图建立空间直角坐标系.由题意得，.设平面的法向量为，则
即令，则.所以.
又，所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设是棱上一点，则存在使得.
因此点.
因为平面，所以平面当且仅当，
即，解得.
所以在棱上存在点使得平面，此时.