实数的计算

第三讲 实数的计算
【知识总结】
1． 有理数：任何有限小数和无限循环小数都是有理数。无理数：无限不循环小数叫做无理数。
2．平方根和算术平方根的概念及其性质：
（1）概念：如果，那么是的平方根，记作：；其中叫做的算术平方根。
（2）性质：①当≥0时，≥0；当＜０时，无意义；
②＝；③。
（3）开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方，其中叫做被开方数。
3．立方根的概念及其性质：
（1）概念：若，那么是的立方根，记作：；
（2）性质：①； ②； ③＝　
（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，期中叫做被开方数。
4．实数的概念及其分类：
（1）概念：实数是有理数和无理数的统称；
（2）分类：
a 按定义分 b 按大小分
在数轴上表示的两个实数,右边的数总比左边的数大.
5．与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。
6．算术平方根的运算律：（≥0，≥0）；（≥0，＞0）；；
7.最简二次根式：
①被开方数的因数是整数，因式是整式即被开方数不含有分母。
②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数（被开方的指数小于2）。
8．同类二次根式： 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
判断同类二次根式时，注意以下三点：
①都是二次根式，即根指数都是2； ②必须先化成最简二次根式； ③被开方数相同。
9．二次根式的加减：二次根式的加减，与整式的加减相类似，只须对同类二次根式进行合并．
10.有理化因式
⑴定义： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.
⑴确定方法：
①单项二次根式：利用来确定．
如：，， 等分别互为有理化因式.
②两项二次根式：利用平方差公式来确定．
如与，，分别互为有理化因式。
11.分母有理化的方法与步骤
①先将分子、分母化成最简二次根式；
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
【典型例题】
例1当2＜x＜3时，求代数式 的值.
例2（1）已知a，b满足求的值
(2) ，求xy的值
例3、下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
例4（1）……
（2） （3）
例5、已知x=，y=，求的值
【训练一】
1.（2013 宜昌）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x=1 B．x≥1 C．x＞1 D．x＜1
2.（2013 上海）下列式子中，属于最简二次根式的是 （　　）
A． B． C． D．
3. （2013 曲靖）下列等式成立的是 （　　）
A．a2 a5=a10 B．＝ C．（-a3）6=a18 D．＝a
4. （2013 娄底）式子有意义的x的取值范围是 （　　）
A．x≥-且x≠1 B．x≠1C．x≥ D．x＞ 且x≠1
5. （2013 红河州）计算的结果是 （　　）
A．-3 B．3 C．-9 D．9
6. （2012 张家界）实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简 |a+b|的结果为 （　　）
A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b
7.（2013 玉林）化简：= ．
8．（2013 曲靖）若整数x满足|x|≤3，则使为整数的x的值是 （只需填一个）．
9. （2013 六盘水）无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为 ．
10.化简：（1）= ；（2）= ；（3）= ；（4） =
11.化简：（1）； （2）； （3）； （4）.
12、式子成立时， ．
13、若5+的整数部分是a，小数部分是b，则a﹣b=　
14、已知，求xy的值　 ．
15、若|x+2|+（y﹣3）2=0，则xy=　 　．
16、成立的条件是　 　．
【训练二】
1.（2013 泰州）下列计算正确的是 （　　）
A．4 3＝1 B．+＝ C．2= D．3+2＝5
2.（2013 台湾）k、m、n为三整数，若=k，=15，=6，
则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（　　）
A．k＜m=n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n
3. （2013 临沂）计算 9的结果是 （　　）
A． B． C． D．
4.下列运算，错误的是 （ ）
A． B．C． D．
5.下列各数中，与乘积是有理数的是 （ ）．
A． B． C． D．
6.（－）2002·（+）2003=______.
7.（2013 宿迁）计算( )+的值是 ．
8. （2013 泰安）化简：（-）--|-3|= ．
9.（2012 肇庆）计算 的结果是 ．
10.（2013 吉林）计算：×= ．
11.化简：
（1）； （2）；（3）；
（4） （5）.……
12、已知x=，y=，求的值
【训练三】
1.（2013 新疆）下列各式计算正确的是 （　　）
A． ＝ B．（-3）-2=- C．a0=1 D．＝ 2
2.（2013 曲靖）下列等式成立的是 （　　）
A．a2 a5=a10 B．＝ C．（-a3）6=a18 D．
3.（2013 荆州）计算4+3 的结果是（　　）
A．+ B． C． D．-
4. （2013 衡阳）计算×+()0的结果为（　　）
A．2+ B．+1 C．3 D．5
5. （2013 佛山）化简÷( 1)的结果是 （　　）
A．2 1 B．2 C．1 D．2+
6计算：（1）×( 1)2++3 () 1（2）×+|-4|-9×3-1-20120
（3）
7.三角形的三边长分别为cm，cm，cm，试判断该三角形的形状并求出它的周长和面积.