佛山市南海区2022-2023学年高二上学期8月开学适应性考试
数学
考试范围：平面向量、立体几何、复数；考试时间：60分钟
一、单选题（每题4分）
1．已知是虚数单位，复数满足，则的模为（ ）
A．2 B． C． D．
2．下列说法错误的是（ ）
A．若为平行四边形，则
B．若则
C．互为相反向量的两个向量模相等
D．
3．已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则下列结论中成立的是（ ）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，D，C三点共线 D．D，B，C三点共线
5．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵中，，且.下列说法错误的是（ ）
A．四棱锥为“阳马”
B．四面体为“鳖臑”
C．四棱锥体积最大为
D．过A点分别作于点E，于点F，则
6．如图，平面，中，，则是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
二、多选题（每题4分）
7．下列说法中正确的是（ ）
A．若为单位向量，则 B．若与共线，则或
C．若，则 D．是与非零向量共线的单位向量
8．下面关于向量的说法正确的是（ ）
A．单位向量：模为的向量
B．零向量：模为的向量
C．平行共线向量：方向相同或相反的向量
D．相等向量：模相等，方向相同的向量
9．下列说法中正确的是（ ）
A．若，且与共线，则
B．若，且，则与不共线
C．若A，B，C三点共线．则向量都是共线向量
D．若向量，且，则
10．如图，在三棱锥中，D，E，F分别是侧棱，，的中点．则下列结论中，其中正确的有（ ）
A．∥平面
B．平面∥平面
C．三棱锥与三棱锥的体积比为1∶4
D．异面直线与所成角为60°
三、填空题（每题4分）
11．写出下列向量加法的运算律
（1）向量加法的交换律：___________________
（2）向量加法的结合律：____________________
12．已知为内一点，且满足，则为的________心．
13．已知，则在上的投影向量的坐标为___________.
四、解答题（其中14题5分；15、16、17题每题8分；18、19题每题10分）
14．如图，为正方形的两条对角线的交点，四边形和四边形都是正方形，在图中所示的向量中.
(1)分别写出与、相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与的模相等的向量；
(4)写出与的夹角为的向量；
(5)向量与是否相等？
15．如图，已知，求作.
(1)；
(2)
16．已知，
(1)计算；
(2)求.
17．计算：
(1)；
(2).
18．如图，已知垂直于圆O所在的平面，是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的任意一点，过点A作，垂足为E．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面．
19．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.答案第1页，共2页佛山市南海区2022-2023学年高二上学期8月开学适应性考试
数学参考答案
1．B
【详解】由题意得，即，
故 ，
2．B
【详解】对于A，中，，且向量与同向，则，A正确；
对于B，当时，与不共线，也满足，B不正确；
对于C，由互为相反向量的定义知，互为相反向量的两个向量模相等，C正确；
对于D，，D正确.
3．B
【分析】根据向量加法的三角形法则及是正三角形，逐一判断即可.
【详解】解：对于A，因为，,
所以，故正确；
对于B，因为,(为中点)，故错误；
对于C，因为(为中点),
(为中点),
所以，故正确；
对于D，因为，，
所以，故正确.
4．C
【分析】根据平面向量的线性运算可得，从而可求解.
【详解】解：,
所以A，D，C三点共线.
5．C
【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”.
所以在堑堵中，，侧棱平面,
在选项A中，因为，，且，则平面，
且为矩形，所以四棱锥为“阳马”，故A正确；
在选项B中，由，且，
所以平面，所以，则为直角三角形，
由平面，得,为直角三角形，
由“堑堵”的定义可得为直角三角形，所以四面体为“鳖臑”，故B正确;
在选项C中，在底面有，即，
当且仅当时取等号，
则，所以C不正确；
在选项D中，由平面，则且，
则平面，所以
又且，则平面，则，所以D正确.
6．A
【分析】由线面垂直数为判定定理证明平面，再证明，由此判断的形状.
【详解】因为平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，又平面，
所以，故是直角三角形，
7．CD
8．ABCD
9．BCD
【详解】对选项A，或时，比例式无意义，故错误；
对选项B，若，与共线，则一定有，故正确；
对选项C，若A，B，C三点共线，则在一条直线上，则都是共线向量，故正确；
对选项D，若向量，且，则，即，故正确；
10．AB
【详解】对于A，易得，平面，平面，则∥平面，A正确；
对于B，易得，平面，平面，则∥平面，又由A选项得∥平面，
，平面，则平面∥平面，B正确；
对于C，易得三棱锥与三棱锥的高之比为，又，
则三棱锥与三棱锥的体积比为1∶8，C错误；
对于D，易得，则或其补角即为异面直线与所成角，不确定的大小，则D错误.
11．
12．重
13．
【详解】因为，
所以在上的投影向量为.
故答案为：
14． （1）解：依题意，因为是正方形对角线的交点，四边形，都是正方形，所以，；
由题可得：，；
（2）解：与共线的向量有，，.
（3）解：与的模相等的向量有：，，，，，，.
（4）解：与的夹角为的向量有，，，；
（5）解：向量与不相等，因为它们的方向不相同．
15（1）
在平面内任取一点，如图所示
作则.
（2）
在平面内任取一点，如图所示
作则.
16．
(1)，，故
(2)
，故
17.（1）原式=
.
（2）原式=
.
18．（1）因为平面，且平面，所以．
因为是圆的直径，所以．且平面，
所以平面．
（2）因为在平面内，由（1）知平面，
所以．因为，且，
平面，所以平面.
19．证明：（1）设与交于点，接，
底面是菱形，
为中点，
又因为是的中点，
，
面，平面
平面．
（2）底面是菱形，
，
底面，底面，
，且，平面．
平面．
平面，
．答案第1页，共2页
