22.1一元二次方程
一、单选题
1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程4x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数a、一次项系数b和常数c分别是 （ ）
A．a＝4，b＝3，c＝﹣1 B．a＝4，b＝1，c＝3
C．a＝4，b＝﹣3，c＝﹣1 D．a＝4，b＝﹣3，c＝1
3．一元二次方程x2﹣x+1＝2（3x﹣2）的一般形式是（ ）
A．x2﹣7x+5＝0 B．x2+5x﹣3＝0 C．x2﹣7x﹣5＝0 D．x2+5x+5＝0
4．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x﹣a2+4＝0的一个根为0，则a的值是（ ）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．1
5．一元二次方程的一般形式是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列方程中，常数项为0的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若一元二次方程2x2-（a+1）x＝x（x-1）-1化成一般形式后，二次项系数与一次项系数互为相反数．则a的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
8．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是3的方程是（ ）
A． B． C． D．
10．若是方程的根，则的值为（ ）
A．2022 B．2021 C．2019 D．2018
11．方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
12．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①②③④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．写出一个一元二次方程,使其两个根中有一个根为,此方程为_____________．
14．一元二次方程的二次项系数是_____________，常数项是_____________．
15．如果关于的一元二次方程的一个解是，那么代数式的值是___________．
16．某工厂经过两年的时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台．设平均每年增长的百分率为，可得方程______．
17．已知一个一元二次方程的二次项系数是1，常数项是，它的一个根是，则这个方程为__________．
三、解答题
18．把方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
； ；
； ；
．
19．先把下列方程化为一般形式，再求出、、的值．
（1）； （2）.
20．已知方程.
（1）当为何值时，此方程为一元二次方程？
（2）当为何值时，此方程为一元一次方程？
21．若m是一元二次方程的一个根，求代数式的值．
22．已知：P＝3a（a+1）﹣（a+1）（a﹣1）
（1）化简P；
（2）若a为方程x2+x﹣＝0的解，求P的值．
参考答案
1．C
解：A、方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、方程是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．C
解：一元二次方程4x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数a、一次项系数b和常数c分别是：a＝4，b＝﹣3，c＝﹣1，
故选：C．
3．A
解：去括号，得：x2﹣x+1＝6x﹣4，
移项、合并同类项，得：x2﹣7x+5＝0，
故选：A．
4．C
解：把x＝0代入方程得﹣a2+4＝0，
解得a＝2或a＝﹣2，
而a﹣2≠0，
所以a的值为﹣2．
故选：C．
5．A
解：
去括号为
移项合并同类项，得
故选A．
6．D
解：A、x2+x+1=0，常数项为1，故本选项不符合；
B、2x2-x-24=0，常数项为-24，故本选项不符合；
C、2x2-3x+1=0，常数项为1，故本选项不符合；
D、2x2-x=0，常数项为0，故本选项符合．
故选：D．
7．B
解：原一元二次方程化成一般形式为：，
由已知可得：1+（-a）=0，∴可得：a=1，
故选：B．
8．D
解：∵是关于的一元二次方程的一个根，
∴a﹣b﹣1=0即a﹣b=1，
∴2021+3a﹣3b=2021+3（a﹣b）=2021+3×1=2024，
故选：D．
9．A
解：A. 化为化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是3，符合题意；
B. 化为化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是-3，不符合题意；
C. 化为化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是-3，不符合题意；
D. 化为化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是-3，不符合题意；
故选：A
10．B
解：∵是方程的根，
∴，
∴，
∴=2021，
故选B．
11．B
解：∵是关于x，y的二元一次方程，
∴，
∴m=-2，
故选：B．
12．B
解：根据一元二次方程的定义，
①是一元二次方程，正确；
②的二次项系数可能为0，不一定是一元二次方程，故错误；
③整理后得到，是一元一次方程，故错误；
④是一元一次方程，故正确．
则是一元一次方程的是①④，
故选：B．
13．（答案不唯一）
解：形如 的一元二次方程都有一个根是2,可以写出一个一元二次方程: ．
故答案为:（答案不唯一）．
14．3 -7
解：一元二次方程的
二次项系数为3；常数项为-7，
故答案为：3；-7．
15．
解：关于的一元二次方程的一个解是，
，
，
．
故答案为：2020．
16．
解：由题意可列方程为，
故答案为：．
17．x2+5x-14=0
解：由题意可设：x2+mx-14=0，
将x=-7代入x2+mx-14=0，
∴49-7m-14=0，
∴m=5，
故答案为：x2+5x-14=0．
18．二次项系数为，一次项系数为，常数项为；二次项系数为，一次项系数为，常数项为；二次项系数为，一次项为，常数项为；二次项系数为，一次项系数为，常数项为；二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
解：方程整理得：，
二次项系数为，一次项系数为，常数项为；
，
二次项系数为，一次项系数为，常数项为；
方程整理得：，
二次项系数为，一次项为，常数项为；
方程整理得：，
二次项系数为，一次项系数为，常数项为；
方程整理得：，
二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
19．（1），，;（2），，.
解：（1）原方程可化为，
即，∴，，.
（2）原方程可化为，
即，∴，，.
20．（1）（2）或2
解：(1)∵方程(m 5)(m 3)xm 2+(m 3)x+5=0为一元二次方程，
∴
解得：m=4，
所以当m为4时,方程方程(m 5)(m 3)xm 2+(m 3)x+5=0为一元二次方程；
(2)∵方程(m 5)(m 3)xm 2+(m 3)x+5=0为一元一次方程，
∴ 或 或 或
解得，m=5或m=2，
故当m为5或2时,方程方程(m 5)(m 3)xm 2+(m 3)x+5=0为一元一次方程.
21．5．
解：是一元二次方程的一个根，
，即，
，
，
．
22．（1）2a2+3a+1；（2）6
解：（1）P＝3a（a+1）﹣（a+1）（a﹣1）
=3a2+3a-a2+1
=2a2+3a+1；
（2）x2+x﹣＝0，
整理得：2x2+3x﹣5＝0，
∵a为方程x2+x﹣＝0的解，
∴2a2+3a﹣5＝0，即：2a2+3a=5，
∴P=2a2+3a+1=5+1=6．22.2一元二次方程的解法
（共20小题，每小题5分，满分100分）
1．解方程：
（1）x2﹣3x+1＝0；
（2）（x+3）（x﹣1）＝5．
2．解方程：x2+6x+8＝0．
3．解方程：2x2﹣3x＝1﹣2x．
4．解方程：x2﹣2x﹣5＝0．
5．解方程：x2﹣3x﹣5＝0．
6．解方程：x（x﹣3）+x﹣3＝0．
7．解方程：（x﹣1）2﹣16＝0．
8．解方程：x2﹣2x﹣4＝0．
9．（1）请你用公式法解方程：2x2﹣4x﹣1＝0；
（2）请你用因式分解法解方程：x2﹣3x+2＝0．
10．解方程：
（1）x2＝4x（因式分解法）；
（2）2x2﹣4x﹣3＝0（公式法）．
11．解方程：4（x﹣1）2﹣9＝0．
12．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣10x+16＝0；
（2）2x（x﹣1）＝x﹣1．
13．解方程
（1）（x+1）2﹣25＝0
（2）x2﹣4x﹣2＝0
14．（1）（x﹣1）2＝2（x﹣1）
（2）2x2﹣5x﹣2＝0
15．解方程
（1）（2x+3）2﹣81＝0；
（2）y2﹣7y+6＝0．
16．解下列方程：
（1）x2+2x﹣5＝0
（2）（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0
17．解下列方程：
（1）3x2﹣2x﹣1＝0
（2）（x﹣1）2﹣16＝0
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．
19．关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于2？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
20．已知关于x的方程k2x2﹣2（k+1）x+1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为符合条件的最小整数，求此方程的根．
参考答案
1．解：（1）x2﹣3x+1＝0，
∵△＝b2﹣4ac＝9﹣4＝5，
∴x＝，
＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）（x+3）（x﹣1）＝5，
方程整理得，x2+2x﹣8＝0，
（x﹣2）（x+4）＝0，
x﹣2＝0或x+4＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣4．
2．解：∵x2+6x+8＝0，
∴（x+2）（x+4）＝0，
∴x+2＝0或x+4＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．
3．解：原方程化为2x2﹣x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝1，x2＝﹣．
4．解：x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝6，
（x﹣1）2＝6，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
5．解：∵x2﹣3x﹣5＝0，
∴a＝1，b＝﹣3，c＝﹣5，
∴△＝9﹣4×（﹣5）＝29＞0，
∴x＝
6．解：分解因式得：（x﹣3）（x+1）＝0，
可得x﹣3＝0或x+1＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1．
7．解：∵（x﹣1）2﹣16＝0，
∴（x﹣1）2＝16，
∴x﹣1＝±4，
∴x1＝5，x2＝﹣3．
8．解：a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝36＞0，
方程有两个不等的实数根，x＝＝，
即x1＝+3，x2＝﹣3．
9．解：（1）∵2x2﹣4x﹣1＝0，
∴a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴△＝16+8＝24＞0，
∴x＝＝＝，
x1＝，x2＝
（2）∵x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝1或x2＝2．
10．（1）x2＝4x，
解：x2﹣4x＝0，
x（x﹣4）＝0，
∴x1＝0，x2＝4；
（2）2x2﹣4x﹣3＝0，
解：a＝2，b＝﹣4，c＝﹣3，
代入求根公式，得：，
∴，．
11．解：由原方程，得
（x﹣1）2＝，
直接开平方，得
x﹣1＝±，
解得x1＝，x2＝﹣．
12．解：（1）∵x2﹣10x+16＝0，
∴（x﹣2）（x﹣8）＝0，
∴x＝2或x＝8．
（2）∵2x（x﹣1）＝x﹣1，
∴（x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴x＝1或x＝．
13．解：（1）（x+1）2﹣25＝0，
（x+1）2＝25，
x+1＝±5，
x＝±5﹣1，
x1＝4，x2＝﹣6；
（2）x2﹣4x﹣2＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24＞0，
∴x＝＝2±，
即x1＝2+，x2＝2﹣．
14．解：（1）∵（x﹣1）2＝2（x﹣1），
∴（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（x﹣1﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣1﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝3．
（2）∵2x2﹣5x﹣2＝0，
∴a＝2，b＝﹣5，c＝﹣2，
∴△＝25﹣4×2×（﹣2）＝41＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
15．解：（1）（2x+3）2＝81，
2x+3＝±9，
所以x1＝3，x2＝﹣6；
（2）（y﹣1）（y﹣6）＝0，
y﹣1＝0或y﹣6＝0，
所以y1＝1，y2＝6．
16．解：（1）∵x2+2x﹣5＝0，
∴x2+2x＝5，
∴x2+2x+1＝6，
∴（x+1）2＝6，
∴x＝﹣1±，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣
（2）∵（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣2+x）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣2+x＝0，
∴x1＝2，x2＝1．
17．解：（1）∵3x2﹣2x﹣1＝0，
∴（x﹣1）（3x+1）＝0，
∴x＝1或x＝；
（2）∵（x﹣1）2﹣16＝0，
∴（x﹣1）2＝16，
∴x﹣1＝±4，
∴x＝5或x＝﹣3
18．解：（1）由题意可知：Δ＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2
∵（m﹣2）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）由题意可知：x＝m﹣1或x＝1
∵方程有一个根为负数，
∴m﹣1＜0．
∴m＜1．
19．解：（1）关于x的方程＝0有两个不相等的实数根
∴，
解得m＞﹣1且m≠0
（2）假设存在实数m，使方程两实数根的倒数和为2
设方程＝0的两根为x1、x2
∴，，，
∴x1+x2＝2x1x2
即，
解得
∴不存在实数m使方程两根的倒数和为2
20．解：（1）根据题意得k2≠0且Δ＝4（k+1）2﹣4k2＝8k+4≥0，
解得：k≥﹣且k≠0；
（2）∵k≥﹣且k≠0，k为符合条件的最小整数，
∴k＝1，
故x2﹣4x+1＝0，
则x2﹣4x+4＝﹣1+4，
故（x﹣2）2＝3，
则x﹣2＝±，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣．22.2.1.1 用直接开平方法和因式分解法解简单的一元二次方程
一、选择题
1．方程x2＝6的根是( )
A．6 B．± C. D．－
2．若关于x的一元二次方程mx2＝－n(n≠0)有实数解，则必须具备的条件是( )
A．m、n同号 B．m、n异号 C．(m＋n)为正数 D．n是m的整数倍
3．用直接开平方法解方程(x－3)2＝8，解得方程的解是( )
A．x1＝2，x2＝－2 B．x1＝－3＋2，x2＝－3－2
C．x1＝3＋2，x2＝－3－2 D．x1＝3＋2，x2＝3－2
4．关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1＝0的一根是0，则a的值为( )
A．1 B．－1 C．1或－1 D．
5．如果分式的值为0，则x的值为( )
A．－2 B．2 C．±2 D．不等于－2
二、填空题
6．小华在解一元二次方程x2－4x＝0时，只得出一个根是x＝4，则被他漏掉的一个根是 .
7．方程(x－2)2＝5的正根是 ；方程(x＋－3)2＝2的有理根是 .
8．若(x2＋y2－1)2＝4，则x2＋y2＝ .
9. 解一元二次方程x2－9＝0，用因式分解法首先要化为 ，再变为 ，进而得x1＝ ，x2＝ .
10. 我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是 ．
三、解答题
11. 用直接开平方法解下列方程．
(1)(x＋1)2＝16； (2)4(x＋1)2－9＝0.
12. 用因式分解法解下列方程．
(1)x(x＋1)－5x＝0； (2)(5x－1)(x＋1)＝(6x＋1)(x＋1)．
13．解下列方程：
(1)2(x－)2－6＝0； (2)x(x＋1)＝3(x＋1)；
(3)(x－3)2－4＝0； (4)16(x＋3)2－9(x－2)2＝0.
14．若一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是m＋1与2m－4，求的值．
15．如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
(1)用a、b、x表示纸片剩余部分的面积；
(2)当a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
参考答案
一、
1-5 BBDBA
二、
6. x＝0
7. 2＋ 3
8. 3
9. (x＋3)(x－3)＝0 x＋3＝0或x－3＝0 －3 3
10. 转化思想
三、
11. 解: (1)两边直接开平方，得x＋1＝±4，∴x1＝3，x2＝－5；
(2)原方程变形，得4(x＋1)2＝9，即(x＋1)2＝，两边直接开平方，得x＋1＝±，
由x＋1＝，得x＝.由x＋1＝－，得x＝－.∴x1＝，x2＝－.
12. 解: (1)x(x＋1－5)＝0，
x(x－4)＝0.∴x＝0或x－4＝0.∴x1＝0，x2＝4；
(2)(5x－1)(x＋1)－(6x＋1)(x＋1)＝0，(x＋1)(5x－1－6x－1)＝0，
(x＋1)(－x－2)＝0.∴x＋1＝0或－x－2＝0，∴x1＝－1，x2＝－2.
13. 解：(1)原方程可变为(x－)2＝3，
直接开平方得x－＝±，
∴x1＝＋，x2＝－；
(2) 原方程可变形为x(x＋1)－3(x＋1)＝0，即(x＋1)(x－3)＝0.
∴x＋1＝0或x－3＝0.∴x1＝－1，x2＝3；
(3) 移项，得(x－3)2＝4直接开平方，得x－3＝±2
即x＝3±2，解得x1＝10，x2＝2；
(4) 移项，得16(x＋3)2＝9(x－2)2
开平方，得4(x＋3)＝±3(x－2)
解得x1＝－18，x2＝－.
14. 解：由题意知m＋1＋2m－4＝0，∴m＝1，
∴方程的根为m＋1＝1＋1＝2或2m－4＝－2.当x＝±2时，4a＝b，∴＝4.
15. 解：(1)ab－4x2；
(2)依题意有：ab－4x2＝4x2，将a＝6，b＝4，代入上式，得x2＝3，
解得x1＝，x2＝－(舍去)，即正方形的边长为.22.2.2 配方法
一、选择题
1．下列二次三项式是完全平方式的是( )
A．x2－16x－64 B．x2＋16x＋64 C．x2－8x－64 D．x2＋8x＋64
2．将代数式x2＋6x＋2化成(x＋p)2＋q的形式为( )
A．(x－3)2＋11 B．(x＋3)2－7 C．(x＋3)2－11 D．(x＋2)2＋4
3．用配方法解方程x2＋x＝2，方程两边应都( )
A．加上 B．加上 C．加上1 D．减去
4．用配方法解方程x2－x－4＝0，配方后得到的方程是( )
A．(x－)2＝ B．(x－)2＝－ C．(x－)2＝ D．以上选项都不对
5．将代数式2x2－3x＋5配方后，正确的是( )
A．(x－)2＋ B．(x－)2－ C．2(x－)2＋ D．2(x－)2－
6．一元二次方程x2－2x－1＝0的解是( )
A．x1＝x2＝1； B．x1＝1＋，x2＝－1－；
C．x1＝1＋，x2＝1－； D．x1＝－1＋，x2＝－1－；
7．不论x、y为何实数，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值( )
A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数
二、填空题
8. 若x2＋(m－1)x＋4是完全平方式，则m＝ .
9. 对于一元二次方程x2＋bx＋c＝0通过配方可化为(x＋p)2＝q(q≥0)形式，求出方程的解为x1＝ ，x2＝ .
10. 解方程3x2－9x＋1＝0两边除以3得 ，配方得 .
11．已点P(x，y)满足x2－4x＋y2＋6y＋13＝0，且点P在函数y＝的图象上，则k的值为 .
三、解答题
12. 用配方法解下列方程：
(1)x2－2x－2＝0； (2)y(y－4)＝8y＋12.
13. 用配方法证明代数式2x2－x＋1的值不小于.
14．把方程x2－3x＋p＝0配方，得到(x＋m)2＝.
(1)求常数p与m的值；
(2)求此方程的解．
15．阅读下面的对话，解决后面的问题．
亲爱的同学，想出解决问题的好办法了吗？
16．已知A＝a＋2，B＝a2－a＋5，C＝a2＋5a－19，其中a＞2.
(1)求证：B－A＞0；
(2)指出A与C哪个大？并说明理由．
参考答案
一、
1-7 BBBCC CA
二、
8. 5或－3
9. －p＋ －p－
10. x2－3x＋＝0 (x－)2＝
11. －6
三、
12. 解: (1)方程变形得：x2－2x＝2，x2－2x＋1＝2＋1，(x－1)2＝3，x－1＝±，∴x1＝1＋，x2＝1－；
(2)方程变形得：y2－4y＝8y＋12，y2－12y＋62＝12＋62，(y－6)2＝48，y－6＝±4，∴y1＝6＋4，y2＝6－4.
13. 解: 2x2－x＋1＝2(x2－x)＋1＝2(x2－x＋－)＋1＝2(x－)2＋.
∵(x－)2≥0，∴2(x－)2＋≥.
∴代数式2x2－x＋1的值不小于.
14. 解：(1)∵2m＝－3，∴m＝－，∵p＝m2－，
∴p＝(－)2－＝－＝；
(2)∵(x－)2＝，∴x－＝±，∴x1＝，x2＝.
15. 解：∵5x2－6x＋11＝5(x－)2＋≥，∴原式的值恒大于0，最小值是.
16. (1)证明：B－A＝a2－a＋5－a－2＝a2－2a＋3＝(a－1)2 ＋2，又∵a＞2，
∴B－A＞0；
(2)解：C－A＝a2 ＋5a－19－a－2＝a2 ＋4a－21＝(a＋2)2－25，∵a＞2，
∴当2＜a＜3时C－A＜0，∴C＜A；当a＝3时，C－A＝0，∴C＝A；
当a＞3时，C－A＞0，∴C＞A.22.2.3 公式法
一、选择题
1．方程x2＋3x＝2的正根为( )
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
2．方程(－1)x2＝(1－)x的较简单解法是( )
A．因式分解法 B．公式法 C．配方法 D．直接开平方法
3．以x＝为根的一元二次方程可能是( )
A．x2＋bx＋c＝0 B．x2＋bx－c＝0 C．x2－bx＋c＝0 D．x2－bx－c＝0
4．为使x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的一个根为0，则m的值等于( )
A．1 B．2 C．1或2 D．0
5. 下列解方程不是最佳方法的是( )
A．3(2x＋5)2＝4(2x＋5)用直接开平方法 B．2x2－2x－1＝0用公式法
C．x2＋4x＋2＝0用配方法 D．x(x－2)＋x－2＝0用因式分解法
6. 三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2－13x＋40＝0的根，则该三角形的周长为( )
A．10 B．12 C．14 D．15
二、填空题
7．方程7x＝2x2－4中，a＝ ，b＝ ，c＝ ，b2－4ac＝ .
8．用公式法解方程3x2＋1＝2x，移项，得3x2 ＝0，这里a＝ ，b＝ ，c＝ ，b2－4ac＝ ，所以x1＝ ，x2＝ .
9. 请选择合适的方法填在横线上．
(1)解方程x2＝2x，用 法较合理；
(2)解方程7x2－12x＋2＝0，用 法较合理；
(3)解方程x2－2x－2019，用 法较合理；
(4)解方程16(x－1)2＝9，用 法较合理．
10．一元二次方程x2－2x＋3＝0，b2－4ac＝ ，方程的根为 .
11. 用求根公式求得方程x2－2x－8＝0的解为x1＝ ，x2＝ .
三、解答题
12. 用公式法解方程：
(1)3x2－4x＝2； (2)x(x－2)＋3＝0.
13. 用适当的方法解下列方程：
(1)x2＋2x－3＝0； (2)9(2x＋3)2－4(2x－5)2＝0；
(3)x2－x＋x－＝0.
14．解方程x2＋4x＝2，有一位同学解答如下：
解：∵a＝，b＝4，c＝2，∴b2－4ac＝(4)2－4××2＝32，∴x＝＝－±2，∴x1＝－＋2，x2＝－－2.
请你分析以上解答有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果．
15．阅读下面的例题：
[例]解方程：x2－|x|－2＝0.
解：(1)当x≥0时，原方程可化为x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－1(不合题意，舍去)；
(2)当x＜0时，原方程可化为x2＋x－2＝0，解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－2，∴原方程的解为x1＝2，x2＝－2.
请参照例题的解题思路和方法，解方程：x2－|x－1|－1＝0.
参考答案
一、
1-6 AADBA B
二、
7. 2 －7 －4 81
8. －2x＋1 3 －2 1 0
9. (1) 因式分解
(2) 公式
(3) 配方
(4) 直接开平方
10. 0 x1＝x2＝
11. 4 －2
三、
12. 解: (1)原方程可化为3x2－4x－2＝0，即a＝3，b＝－4，c＝－2.则b2－4ac＝(－4)2－4×3×(－2)＝40＞0.∴x＝＝＝.∴x1＝，x2＝；
(2)原方程可化为x2－2x＋3＝0.a＝1，b＝－2，c＝3.Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝0.方程有两个相等的实数根．x1＝x2＝＝＝.
13. 解: (1)原方程变形为(x＋1)2＝4，所以x1＝－3，x2＝1；
(2)∵9(2x＋3)2＝4(2x－5)2，∴3(2x＋3)＝±2(2x－5)，∴x1＝－，x2＝；
(3)方程变形为(x2－x)＋(x－)＝0，∴x(x－)＋(x－)＝0，∴(x－)(x＋)＝0，∴x1＝，x2＝－.
14. 解：这位同学的解答有错误，错在c＝－2，而不是c＝2，并且导致以后的计算都发生相应的错误．正确的解答是：将方程化为一般形式x2＋4x－2＝0，∴a＝，b＝4，c＝－2.∴b2－4ac＝(4)2－4××(－2)＝64，∴x＝，＝＝－±2.
∴x1＝－＋2，x2＝－－2.
15. 解：当x－1≥0，即x≥1时，原方程可化为x2－(x－1)－1＝0，∴x2－x＝0，解得x1＝0(舍去)，x2＝1；当x－1＜0，即x＜1时，原方程可化为x2＋(x－1)－1＝0，∴x2＋x－2＝0，解得x1＝－2，x2＝1(舍去)，∴原方程的解为x1＝1，x2＝－2.22.2.4 一元二次方程根的判别式
一、选择题
1．一元二次方程x2－x－1＝0的根的情况为( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．下列关于x的一元二次方程有实数根的是( )
A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0 C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0
3．关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值为( )
A．k＝－4 B．k＝4 C．k≥－4 D．k≥4
4．一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是( )
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．若关于x的一元二次方程x2－3x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A．k＞－ B．k＞0 C．k≥0 D．k≥－
6．关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
二、填空题
7．方程x(x＋8)＝－16的根的判别式的值为 .
8．若方程x2－4x＋m＝0的根的判别式的值为4，则m＝ ，方程的根为 .
9．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a、b的值：a＝ ，b＝ .
10．若|b－1|＋＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有实数根，则k的取值范围是 .
三、解答题
11. 不解方程，判断下列方程的根的情况．
(1)2x2＋3x－4＝0； (2)x2－x＋＝0； (3)x2－x＋1＝0.
12．当m为何值时，关于x的一元二次方程2x2－(4m＋1)x＋2m2－1＝0.
(1)有两个不相等的实数根；
(2)有两个相等的实数根；
(3)没有实数根．
13. 已知关于x的方程(a＋2)x2－(2a－1)x＋a＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
14．.已知关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2＝0.
(1)当m取何值时，方程有两个实数根？
(2)为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根．
15．关于x的一元二次方程a(1＋x2)＋2bx－c(1－x2)＝0有两个相等的实数根，那么以a、b、c为边的三角形是什么三角形(a、b、c均大于0)
16. 已知关于x的方程x2－(2k＋1)x＋4(k－)＝0.
(1)求证：这个方程总有两个实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
参考答案
一、
1-6 ADBBC A
二、
7. 0
8. 3 x1＝1，x2＝3
9. 1 1
10. k≤4且k≠0
三、
11. 解: (1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0，∴方程有两个不相等的实数根；
(2)x2－x＋＝0，a＝1，b＝－1，c＝，∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×＝1－1＝0，∴方程有两个相等的实数根；
(3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1，∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0，∴方程没有实数根．
12. 解：∵Δ＝b2－4ac＝[－(4m＋1)]2－4×2×(2m2－1)＝8m＋9.
(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，∴8m＋9＞0，∴m＞－；
(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，∴8m＋9＝0，∴m＝－；
(3)∵方程没有实数根，∴Δ＜0，∴8m＋9＜0，∴m＜－.
13. 解: ∵方程有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＞0，且a＋2≠0，即[－(2a－1)]2－4(a＋2)a＞0，且a＋2≠0.解得a＜且a≠－2.
14. 解：(1)依题意得[－2(m＋1)]2－4m2≥0,4m2＋8m＋4－4m2≥0，∴m≥－，∴当m≥－时，方程有两个实数根；
(2)取m＝0，则原方程为x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝2.
15. 解：原方程可化为(a＋c)x2＋2bx＋a－c＝0.
∵Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝4b2－4(a2－c2)＝0，∴b2＝a2－c2，b2＋c2＝a2，∴此三角形是以a为斜边的直角三角形．
16. (1)证明：∵Δ＝[－(2k＋1)]2－4×4(k－)＝4k2＋4k＋1－16k＋8＝4k2－12k＋9＝(2k－3)2≥0，故这个方程总有两个实数根；
(2)解：若底边为a＝4，则b＝c，Δ＝(2k－3)2＝0，∴k＝，x1＝x2＝2，有b＋c＝a不能构成三角形；若腰为a＝4时，显然4是该方程的一个根，代入可求k＝，从而解得x1＝2，x2＝4，∴三边为4,4,2，周长为10.22.2.4 一元二次方程根的判别式
知识点 1 不解方程,判断一元二次方程的根的情况
1.在一元二次方程x2+x+2=0中,因为a= ,b= ,c= ,所以Δ=b2-4ac=
= <0,所以此方程 实数根.
2.[2020·沈阳] 一元二次方程x2-2x+1=0的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
3.不解方程,判断下列一元二次方程根的情况:
(1)9x2+6x+1=0; (2)x(2x+3)=4x+6.
知识点 2 根据方程根的情况确定字母系数的值或取值范围
4.[2020·怀化] 已知一元二次方程x2-kx+4=0有两个相等的实数根,则k的值为 ( )
A.4 B.-4 C.±4 D.±2
5.[2020·黔西南州] 已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是 ( )
A.m<2 B.m≤2 C.m<2且m≠1 D.m≤2且m≠1
知识点 3 判断含有字母系数的一元二次方程根的情况
6.[教材练习第2题变式] 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.
(1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况;
(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根.
7.[2020·通辽] 若关于x的方程kx2-6x+9=0有实数根,则k的取值范围是 ( )
A.k<1且k≠0 B.k<1 C.k≤1且k≠0 D.k≤1
8.若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,则一次函数y=kx+b的大致图象可能是 ( )
9.若关于x的一元二次方程x2-2mx-4m+1=0有两个相等的实数根,则(m-2)2-2m(m-1)的值为 .
10.已知关于x的方程(a+b)x2+2cx-a+b=0,其中a,b,c分别是△ABC的三边长.
(1)若方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)若△ABC为等边三角形,试求出这个方程的根.
参考答案
1.1 1 2 12-4×1×2 -7 没有 2.B
3.解:(1)∵a=9,b=6,c=1,
∴b2-4ac=36-36=0,
∴此方程有两个相等的实数根.
(2)将一元二次方程化为一般形式,得2x2-x-6=0.
∵a=2,b=-1,c=-6,
∴b2-4ac=(-1)2-4×2×(-6)=49>0,
∴此方程有两个不相等的实数根.
4.C
5.D ∵关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根,
∴m-1≠0且Δ=22-4×1×(m-1)≥0,
解得m≤2且m≠1.
6.解:(1)∵ax2+bx+1=0,∴Δ=b2-4a.
∵b=a+2,
∴Δ=(a+2)2-4a=a2+4a+4-4a=a2+4.
∵a≠0,∴a2>0,则Δ>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)∵方程有两个相等的实数根,
∴Δ=b2-4a=0.
当b=2时,a=1,则方程变形为x2+2x+1=0,解得x1=x2=-1.
(答案不唯一,a,b的取值满足b2-4a=0即可)
7.D 当k=0时,原方程是一元一次方程,有实数根;
当k≠0时,原方程是一元二次方程,根据题意得,Δ=b2-4ac=(-6)2-4k×9≥0,解得k≤1且k≠0.
综上所述,k的取值范围是k≤1.
8.B ∵x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=4-4(kb+1)>0,解得kb<0.
A.k>0,b>0,即kb>0,故A不正确;
B.k>0,b<0,即kb<0,故B正确;
C.k<0,b<0,即kb>0,故C不正确;
D.k<0,b=0,即kb=0,故D不正确.
9. 由题意可知:Δ=4m2-2(1-4m)=4m2+8m-2=0,∴m2+2m=,∴(m-2)2-2m(m-1)=-m2-2m+4=-+4=.
10.解:(1)△ABC为直角三角形.
理由:∵方程有两个相等的实数根,
∴(2c)2-4(a+b)(b-a)=0,
∴4c2-4b2+4a2=0,
∴b2=a2+c2,
∴△ABC是直角三角形.
(2)∵△ABC是等边三角形,
∴a=b=c≠0,
∴原方程可化为2ax2+2ax=0,
即x2+x=0,
∴x(x+1)=0,
∴x1=0,x2=-1,
即这个方程的根为x1=0,x2=-1.22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系
一、选择题
1．下列一元二次方程两实根和为－4的是( )
A．x2＋2x－4＝0 B．x2－4x＋4＝0 C．x2＋4x＋10＝0 D．x2＋4x－5＝0
2．已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为( )
A．2 B．3 C．4 D．8
3．已知m、n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－6，则a的值为( )
A．－10 B．4 C．－4 D．10
4．若关于x的一元二次方程x2－4(m＋1)x＋4m－1＝0的两根互为相反数，则m的值是( )
A．m＝－ B．m＞ C．m＞－且m≠0 D．m＝－1
5．若x1、x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个根，则x－x1＋x2的值为( )
A．－1 B．0 C．2 D．3
6．解某个一元二次方程时，甲看错了方程的常数项，因而得出两根为8和2；乙看错了方程的一次项的系数，因而得出两根为－9或－1，那么正确的方程为( )
A．x2－10x＋9＝0 B．x2＋10x＋9＝0 C．x2－10x－9＝0 D．x2＋10x－9＝0
二、填空题
7．若m是方程2x2－3x－1＝0的一个根，则6m2－9m＋2015的值为 .
8．若x1、x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，且x1＋x2＝1－x1x2，则m的值为 .
9．已知实数m、n满足3m2＋6m－7＝0,3n2＋6n－7＝0，且m≠n，则＋＝ .
10. 设方程3x2＋9x＋1＝0的两个根是x1和x2，则x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
11. 设x1、x2是方程x2－4x＋m＝0的两个根，且x1＋x2－x1x2＝1，则x1＋x2＝ ，m＝ .
三、解答题
12. 关于x的方程3x2＋mx－8＝0有一个根是，求另一个根及m的值．
13. 已知关于x的方程x2＋2(a－1)x＋a2－7a－4＝0的两根为x1、x2，且满足x1x2－3x1－3x2－2＝0，求a的值．
14. 已知α、β是一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个实数根，求下列代数式的值：
(1)(α－β)2；
(2)＋；
(3)(α－2)(β－2)．
15．已知：关于x的方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若α、β是这个方程的两个实数根，求＋的值；
(3)根据(2)的结果你能得出什么结论？
16．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋(2m＋1)＝0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)如果方程的两个实数根为x1、x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范围．
17．已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．
(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．
参考答案
一、
1-6 DCCDD A
二、
7. 2018
8. 1
9. －
10. －3
11. 4 3
三、
12. 解: 设方程的另一个根为t，则根据一元二次方程根与系数的关系得t＝－，解得t＝－4.又＋t＝－，即－4＝－，解得m＝10.∴方程的另一个根为－4，m的值为10.
13. 解: ∵关于x的方程x2＋2(a－1)x＋a2－7a－4＝0有两根x1、x2，
∴，
由③，得a≥－1.∵x1x2－3x1－3x2－2＝0，x1·x2－3(x1＋x2)－2＝0，∴a2－7a－4－3(2－2a)－2＝0.解得a1＝－3，a2＝4，∵a≥－1，∴a＝4.
14. 解：∵α＋β＝，αβ＝－.
(1)(α－β)2＝(α＋β)2－4αβ＝＋4×＝；
(2)＋＝＝＝－；
(3)(α－2)(β－2)＝αβ－2(α＋β)＋4＝－－3＋4＝.
15. 解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝4＋4k＞0，即4＋4k＞0，∴k＞－1；
(2)由根与系数的关系可知α＋β＝－2，αβ＝－k，∴＋＝＝＝＝2；
(3)由(2)可知，k＞－1时，＋的值与k无关．
16. 解：(1)根据题意得Δ＝(－6)2－4(2m＋1)≥0，解得m≤4；
(2)根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2(2m＋1)＋6≥20，解得m≥3，而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4.
17. 解：(1)∵x1＋x2＝－，x1x2＝，∴由x1x2＝4＋x1＋x2得＝4－，∴a＝24，当a＝24时，a－6≠0，Δ＞0，∴存在实数a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立；
(2)∵(x1＋1)(x2＋1)＝(x1＋x2)＋x1x2＋1＝＋＋＝，∴要使其为负整数，则只需a为7,8,9,12.22.3 第1课时 用一元二次方程解决图形面积问题
知识点 1 一般图形的面积问题
1.用10米长的铝材制成一个矩形窗框,使矩形的面积为6平方米.若设它的一条边长为x米,则根据题意可列出关于x的方程为 ( )
A.x(5+x)=6 B.x(5-x)=6 C.x(10-x)=6 D.x(10-2x)=6
2.如图将一块正方形空地划出部分区域进行绿化,原空地一边减少了2 m,另一边减少了3 m,剩余一块面积为20 m2的矩形空地,则原正方形空地的边长是 ( )
A.7 m B.8 m C.9 m D.10 m
3.如图建造一个面积为130 m2的长方形养鸡场,养鸡场的一边靠墙,墙长为a m,另三边用竹篱笆围成,如果竹篱笆总长为33 m.
(1)求养鸡场的长与宽各为多少米;
(2)若10≤a<18,则(1)题中的解的情况如何
4.取一块长80厘米、宽60厘米的矩形铁片,在它的四个角上截去四个大小相同的正方形后,把四边折起来,做成一个无盖的长方体盒子.如果要做成底面积为1500平方厘米的长方体盒子,那么截下的正方形的边长是多少
知识点 2 边框与甬道问题
5.如图,某小区计划在一块长30 m、宽20 m的长方形ABCD土地上修建三条同样宽的甬道,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种植花草.要使每一块花草的面积都为78 m2,那么甬道的宽应设计成多少米 若设甬道的宽为x m,将6块草地平移拼成一个长方形,其一边长为(30-2x)m,另一相邻边长为 m,根据长方形的面积公式可列方程 , 化成一般形式为 ,解得x1= ,x2= (不合题意,舍去).
6. 如图在一块矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边,地毯中央的矩形图案长6米、宽3米,整个地毯的面积是40平方米.求花边的宽.
7.[2019·乐清期中] 如图,有一张边AB靠墙的长方形桌子ABCD,长120 cm,宽60 cm.有一块长方形台布EFMN的面积是桌面面积的2倍,并且如图所示铺在桌面上时,三边垂下的长度中有两边相等(AE=BF),另外一边(即CD与MN之间的距离)是AE的倍.求这块台布的长和宽.
8.扬帆中学有一块长30 m,宽20 m的矩形空地,计划在这块空地上划出四分之一的区域种花,小禹同学的设计方案如图所示,求花带的宽度.设花带的宽度为x m,则可列方程为 ( )
A.(30-x)(20-x)=×20×30 B.(30-2x)(20-x)=×20×30
C.30x+2×20x=×20×30 D.(30-2x)(20-x)=×20×30
9.如图,将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A'B'C',若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2,则它移动的距离AA'等于 ( )
A.0.5 cm B.1 cm C.1.5 cm D.2 cm
10.[教材“问题1”变式] 某学校为美化校园,准备在长35米、宽20米的长方形场地上修建若干条宽度相同的道路(道路均与长方形的两边平行),余下部分建草坪,并请全校学生参与方案设计,现有3名学生的设计方案分别如图①②③所示(阴影部分为草坪).
请你解决每种方案中的道路宽度问题(设道路的宽为x米):
(1)甲同学的设计方案为图①,设计草坪的总面积为600平方米,列方程为 ;
(2)乙同学的设计方案为图②,设计草坪的总面积为600平方米,列方程为 ;
(3)丙同学的设计方案为图③,设计草坪的总面积为540平方米,列方程为 .
11.一个矩形的周长为56厘米.
(1)当矩形的面积为180平方厘米时,它的长、宽分别为多少
(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗 请说明理由.
12.如图,已知矩形ABCD,长BC=12 cm,宽AB=8 cm,P,Q分别是AB,BC上的动点.若点P自点A出发以1 cm/s的速度沿AB方向运动,同时,点Q自点B出发以2 cm/s的速度沿BC方向运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动.问经过几秒,以P,B,Q为顶点的三角形面积占矩形面积的.
第2课时 用一元二次方程解决平均变化率、利润问题
知识点 1 平均变化率问题
1.[2019·赤峰] 某品牌手机三月份销售400万部,四月份、五月份销售量连续增长,五月份销售量达到900万部,求平均月增长率.设平均月增长率为x,根据题意可列方程为 ( )
A.400(1+x2)=900 B.400(1+2x)=900
C.900(1-x)2=400 D.400(1+x)2=900
2.[2019·哈尔滨] 某商品经过连续两次降价,售价由原来的每件25元降到每件16元,则平均每次降价的百分率为 ( )
A.20% B.40% C.18% D.36%
3.[教材练习第3题变式] 某地区2018年投入教育经费2500万元,2020年投入教育经费3025万元.
(1)求2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率;
(2)根据(1)所得的年平均增长率,预计2021年该地区将投入教育经费多少万元.
知识点 2 利润问题
4.某商店将进货单价为40元/个的商品按50元/个出售时,可售出500个.经市场调查发现:该商品每个每涨价1元,其销量就减少10个,商店计划赚8000元,则每个商品的售价应定为多少
解:设每个商品涨价x元,则每个商品的利润为 元,所售的个数为 个.
根据每个商品的利润×所售的个数=总利润可列方程: ,
解得x1= ,x2= ,
经检验,x的值符合题意,
所以每个商品的售价应定为 元或 元.
5.家乐商场销售某种衬衣,每件进价100元,售价160元,平均每天能售出30件.为了尽快减少库存,商场采取了降价措施.经调查发现,这种衬衣每件每降价1元,其每天的销量就增加3件.商场想要使这种衬衣的销售利润平均每天达到3600元,每件衬衣应降价 元.
6.某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品,该商店可自行定价,但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%.据市场调查发现,该商品的售价与销售量的关系是:若每件商品售价x元,则可卖出(320-10x)件.如果商店计划要获利400元,那么每件商品的售价应定为多少元 需要卖出这种商品多少件
7.某商店将每件进价为8元的商品按每件10元出售时,平均每天可销售200件,经市场调查发现:如果这种商品每件每涨0.5元,那么每天的销量就会减少10件.若要使平均每天的利润为640元,则需将每件商品的售价定为 ( )
A.16元 B.12元 C.16元或12元 D.14元
8.为应对金融危机,某工厂从2018年到2020年把某种产品的成本下降了19%,则平均每年下降的百分率为 .
9.“绿水青山就是金山银山”,为加快城乡绿化建设,某市2019年绿化面积约为1000万平方米,预计2021年绿化面积约为1210万平方米.假设每年绿化面积的平均增长率相同.
(1)求每年绿化面积的平均增长率;
(2)已知每平方米绿化面积的投资成本为60元,若2022年的绿化面积继续保持相同的增长率,则2022年的绿化投资成本需要多少元
10.成都放开地摊经济后,一夜之间增加近10万人就业.小王响应政府号召,摆地摊经销甲、乙两种商品.已知一件甲商品和一件乙商品进价之和为30元,每件甲商品的利润为4元,每件乙商品的售价比其进价的2倍少11元,小张在小王处购买8件甲商品和6件乙商品共用了262元.
(1)求一件甲商品和一件乙商品的进价各是多少元;
(2)小王统计发现平均每天可售出甲商品400件和乙商品300件,若将每件甲商品的售价每提高1元,则每天会少售出80件,于是小王决定将每件甲商品的价格提高a元,乙商品的售价不变,不考虑其他因素,预期每天的利润为2340元,求a的值.
11.某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间满足一次函数关系.销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如下表:
销售单价x(元/个) 85 95 105 115
日销售量y(个) 175 125 75 m
日销售利润w(元) 875 1875 1875 875
注:日销售利润=日销售量×(销售单价-成本单价)
(1)求y关于x的函数表达式(不要求写出x的取值范围)及m的值;
(2)当销售单价为多少元/个时,日销售利润w为2000元
(3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本,预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的函数关系.若想实现销售单价为90元/个时,日销售利润不低于3750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元/个
参考答案
1.B 一边长为x米,则另外一相邻边长为(5-x)米,由题意得x(5-x)=6.故选B.
2.A 设原正方形空地的边长为x m,依题意有(x-3)(x-2)=20,
解得x1=7,x2=-2(不合题意,舍去).
即原正方形空地的边长为7 m.
3.解:(1)设养鸡场垂直于墙的一边长为x m,则平行于墙的一边长为(33-2x)m.
依题意,得(33-2x)x=130,
解得x1=6.5,x2=10,
∴33-2x1=20,33-2x2=13.
答:养鸡场的长为20 m,宽为6.5 m或长为13 m,宽为10 m.
(2)∵10≤a<18,
∴33-2x1=20不符合题意,舍去,
∴养鸡场的长为13 m,宽为10 m.
4.解:设截下的正方形的边长为x厘米.
由题意,得(80-2x)(60-2x)=1500,
解得x1 =15,x2 =55.
当x=55时,80-2x=-30,不符合题意,舍去,
所以x=15.
答:截下的正方形的边长是15厘米.
5.(20-x) (30-2x)(20-x)=78×6 x2-35x+66=0 2 33
6.解:设花边的宽为x米.
根据题意得(2x+6)(2x+3)=40,
解得x1=1,x2=-(不合题意,舍去).
答:花边的宽为1米.
7.解:设垂下的长度BF为x cm,则AE=BF=x cm,
根据题意得(120+2x)(60+x)=2×120×60,
∴x2+100x-2400=0,
解得x1=20,x2=-120(不符合题意,舍去),
∴120+2x=120+2×20=160(cm),60+x=60+×20=90(cm).
答:这块台布的长为160 cm,宽为90 cm.
8.D 设花带的宽度为x m,根据空白区域的面积=×矩形空地的面积可列方程为(30-2x)(20-x)=×20×30.故选D.
9.B 设AC交A'B'于点H.
∵∠A=45°,∠AA'H=90°,
∴△A'HA是等腰直角三角形.
设AA'=x cm,则阴影部分的一边长A'H为x cm,此边上的高A'D=(2-x)cm,
∴x(2-x)=1,
解得x1=x2=1,即AA'=1 cm.故选B.
10.(1)(35-2x)(20-2x)=600
(2)(35-x)(20-x)=600
(3)(35-2x)(20-x)=540
11. (1)设出矩形的一边长,用周长公式表示出另一相邻边长,根据面积公式列出相应方程求解即可;
(2)同样列出方程,若方程有解,则可以,否则不可以.
解:(1)设矩形的一边长为x厘米,则另一相邻边长为(28-x)厘米,依题意有
(28-x)=180,解得x1=10,x2=18.
当x=10时,28-x=18;
当x=18时,28-x=10.
故矩形的长为18厘米,宽为10厘米.
(2)不能.理由:设矩形的一边长为y厘米,则另一相邻边长为(28-y)厘米,依题意有
y(28-y)=200,
即y2-28y+200=0.
因为Δ=282-4×200=-16<0,
所以原方程无解.
故不能围成面积为200平方厘米的矩形.
12.解:设经过x秒,以P,B,Q为顶点的三角形面积占矩形面积的.
根据题意,得×2x·(8-x)=12×8×,
解得x1=2,x2=6.
∵2x≤12且x≤8,
∴x≤6,∴x1=2或x2=6均符合题意.
答:经过2秒或6秒,以P,B,Q为顶点的三角形面积占矩形面积的.
答案
1.D
2.A 设平均每次降价的百分率为x,根据题意可列方程为25(1-x)2=16,解方程得x1=,x2=(不合题意,舍去),∴平均每次降价的百分率为20%.故选A.
3.解:(1)设2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率为x.根据题意,得2019年投入教育经费2500(1+x)万元,2020年投入教育经费2500(1+x)2万元,
则2500(1+x)2=3025,
解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去).
答:2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.
(2)3025×(1+10%)=3327.5(万元).
答:预计2021年该地区将投入教育经费3327.5万元.
4.(10+x) (500-10x) (10+x)(500-10x)=8000 30 10 80 60
5.30 设每件衬衣应降价x元,则平均每天能售出(30+3x)件,
依题意,得(160-100-x)(30+3x)=3600,
整理,得x2-50x+600=0,
解得x1=20,x2=30.
∵为了尽快减少库存,∴x=30.
故每件衬衣应降价30元.
6.解:根据每件售价x元,物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%,
得x≤18×(1+25%)=22.5(元).
根据等量关系:(每件商品的售价-每件商品的进价)×售出件数=利润可得方程
(x-18)(320-10x)=400,
解得x1=22,x2=28(不合题意,舍去),
卖出这种商品的件数是320-10x=320-10×22=100(件).
答:每件商品的售价应定为22元,需要卖出这种商品100件.
7.C 设每件商品的售价为x元,根据题意列方程得
(x-8)(200-×10)=640,
整理得x2-28x+192=0,
解得x1=12,x2=16.
故选C.
8.10% 设平均每年下降的百分率为x,原产品的成本为a.
由题意,得a(1-x)2=(1-19%)a,
解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意,舍去).
所以平均每年下降的百分率为10%.
故答案为10%.
9.解:(1)设每年绿化面积的平均增长率为x.
可列方程:1000(1+x)2=1210.
解方程,得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去).
所以每年绿化面积的平均增长率为10%.
(2)1210×(1+10%)=1331(万平方米),
13310000×60=798600000(元).
答:2022年的绿化投资成本需要798600000元.
10.解:(1)设一件甲商品的进价是x元,一件乙商品的进价是y元,则一件甲商品的售价为(x+4)元,一件乙商品的售价为(2y-11)元.
依题意,得
解得
答:一件甲商品的进价是16元,一件乙商品的进价是14元.
(2)依题意,得(4+a)(400-80a)+(2×14-11-14)×300=2340,
整理,得a2-a-2=0,
解得a1=2,a2=-1(不合题意,舍去).
答:a的值为2.
11.解:(1)设y关于x的函数表达式为y=kx+b(k≠0).
将(85,175),(95,125)代入y=kx+b,得
解得
∴y关于x的函数表达式为y=-5x+600.
当x=115时,y=-5×115+600=25,
即m=25.
(2)该产品的成本单价为85-875÷175=80(元/个).
当w=2000时,(x-80)(-5x+600)=2000,
整理,得x2-200x+10000=0,
解得x1=x2=100.
故当销售单价为100元/个时,日销售利润w为2000元.
(3)设该产品的成本单价为a元/个.
依题意,得(90-a)(-5×90+600)≥3750,
解得a≤65.
答:该产品的成本单价应不超过65元/个.22.3实践与探索-同步练习
（时间：60分钟）
一、单选题
1．已知a，b为实数，，则代数式的值为（ ）
A．2 B．3 C．-2 D．3或-2
2．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是43．若设主干长出x个支干，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
3．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事．一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x，则可以列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．从正方形的铁片上截去宽的一条长方形，余下面积是，设原来正方形边长为，下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数中较大的数为（ ）
A．62 B．44 C．53 D．35
6．将进货单价为40元/个的商品按50元/个出售时，每月可售出500个．经市场调查发现：该商品每个每涨价1元，其月销量减少10个，为了每月赚8000元，则销售单价应定为( )
A．60元/个 B．80元/个 C．60元/个或80元/个 D．70元/个
7．如图，在平面直角坐标系第一象限有一点P，其横坐标为3，在x轴上有一点A（﹣1，0）．已知PA两点间的距离为，则P的纵坐标为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．1
8．已知，则的值是（ ）
A．－2 B．3 C．－2或3 D．－2且3
二、填空题
9．若，则______.
10．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，应邀请_____个球队参加比赛．
11．某市前年PM2.5的年均浓度为50微克/立方米，去年比前年下降了10%，如果今年PM2.5的年均浓度比去年也下降10%，那么今年PM2.5的年均浓度将是____________微克/立方米．
12．如图，某小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花草区域占地面积为．设小路的宽度为，则下列方程：
①，
②，
③．
其中正确的是_________．（填序号）
13．如果两个数的和为7，积为12，那么这两个数是________．
14．某商店经销的某种商品，每件成本为30元，经市场调研，售价为40元，可销售150件，售价每上涨1元，销售量将减少10件，如果这种商品全部销售完，那么该商店可盈利1560元，设这种商品的售价上涨x元，根据题意，可列方程为_____．
15．如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________.
16．某物体在匀速运动时，路程s与时间t之间存在关系：s=15t+t2，当时间t=______时，该物体运动了250个单位长度．
三、解答题
17．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.
18．毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为多少？
19．某种商品的标价为500元/件，经过两次降价后的价格为320元/件，并且两次降价的百分率相同.
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该商品进价为280元/件，两次降价共售此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于8000元，则第一次降价后至少要售出这种商品多少件？
20．如图是宽为20m，长为32m的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路(互相垂直)，把耕地分成六块大小相等的试验地，要使试验地的面积为570m2，问：道路宽为多少米？
21．五个连续整数－2，－1，0，1，2满足下面关系：
（－2）2+（－1）2+02=12+22，即前三个连续整数的平方和等于后两个连续整数的平方和，你能否再找到五个连续整数，使它们也具有上面的性质？
22．某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可将垃圾处理变为新型清洁燃料．某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费360万元，购买乙型智能设备花费480万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为140万元．
（1）求甲、乙两种智能设备单价；
（2）垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售．已知每吨燃料棒的成本为100元．调查发现，若燃料棒售价为每吨200元，平均每天可售出350吨，而当销售价每降低1元，平均每天可多售出5吨．垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到36080元，且保证售价在每吨200元基础上降价幅度不超过8%，求每吨燃料棒售价应为多少元？
参考答案
1．B
【解析】设a2+b2=x，
原方程变形为，x2-x-6=0，
解得x=3或-2，
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2=3，
故选B．
2．D
【解析】解：设主干长出x个支干，则长出个小分支．
根据题意得．
故选D．
3．D
【解析】解：设增长率为x，由题意可得出，第二天的票房为3(1+x)，第三天的票房为3(1+x)2，
根据题意可列方程为．
故选：D．
4．C
【解析】解：设正方形的边长是xcm，根据题意得x（x-2）=48，
故选：C．
5．C
【解析】设个位数为x，则十位上的数为8-x,
由题意得[10×（8-x）+x] [10x+8-x]=1855,
解得x=3或5，
故较大的数为53，故选C.
6．C
【解析】设每个涨价x元，
由题意得：(10＋x)(500－10x)＝8000，
解得x1＝30，x2＝10，
经检验，x1＝30，x2＝10均符合题意，
所以售价为50＋30＝80(元/个)或50＋10＝60(元/个)．
故选C.
7．A
【解析】解：设P点的纵坐标为y（y＞0），则P（3，y），
依题意 得=2，
解得 y=2（舍去负值）．
故选：A．
8．B
【解析】根据题意，先移项得，即，然后根据“十字相乘法”可得 ，由此解得=-2（舍去）或.
故选B.
9．4或5
【解析】设x2+3x=y，方程变形得：y2﹣9y+20=0，即（y﹣4）（y﹣5）=0，解得：y=4或y=5，即x2+3x=4或x2+3x=5．
故答案为4或5．
10．7
【解析】设有x个球队参加，依题意得x(x-1)=21，
解得x1=7,x2=-6（舍去），
故填：7.
11．40.5
【解析】依题意有50×（1﹣10%）2=50×0.92=50×0.81=40.5（微克/立方米）．
答：今年PM2.5的年均浓度将是40.5微克/立方米．
12．①②
【解析】设小路的宽度为，那么花草区域的总长度和总宽度为，
根据题意即可得出方程为或．
13．3，4
【解析】解：设其中一个数为x，则另一个数为7－x，
由题意得：x(7-x)=12，
解得：x1=3，x2=4，
当x=3时，7-x=4，
当x=4时，7-x=3，
∴这两个数是3，4.
14．（40﹣30+x）（150﹣10x）＝1560．
【解析】售价上涨x元，则单件可得利润为（40－30＋x）元，销售量为（150－10x），因此根据单件利润×销售量＝总利润可得（40－30＋x）（150－10x）＝1560.故答案为（40－30＋x）（150－10x）＝1560.
15．4或8
【解析】设AA′=x,AC与A′B′相交于点E，
∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠A=45 ，
∴△AA′E是等腰直角三角形，
∴A′E=AA′=x，
A′D=AD AA′=12 x，
∵两个三角形重叠部分的面积为32，
∴x(12 x)=32，
整理得,x 12x+32=0，
解得x=4,x=8，
即移动的距离AA′等4或8.
16．10
【解析】解：由题意得方程，250＝15t＋，解之得，＝10，＝－25（不合题意舍去）
即＝10时，走了250个单位长度．故答案为：10．
17．原方程的解为x1＝2，x2＝，x3＝3，x4＝.
【解析】本题主要考查利用整体换元法解高次方程,先将方程两边同时除以x2，得6x2－35x＋62－＋＝0,然后分组提公因式可得: 6－35 ＋62＝0,此时设
y＝, 则＝y2－2,原方程可化为: 6(y2－2)－35y＋62＝0,解方程求出y,然后把求出的y值代入y＝,得到关于x的方程,然后解方程即可求解.
经验证x＝0不是方程的根，原方程两边同除以x2，得6x2－35x＋62－＋＝0，
即6－35 ＋62＝0.
设y＝，则＝y2－2，
原方程可变为6(y2－2)－35y＋62＝0.
解得y1＝，y2＝.
当＝时，解得x1＝2，x2＝；
当＝时，解得x3＝3，x4＝.
经检验，均符合题意．
原方程的解为x1＝2，x2＝，x3＝3，x4＝.
18．该兴趣小组的人数为6人．
【解析】解：设该兴趣小组的人数为x人，则每个同学需送出（x﹣1）件礼物，
依题意，得：x（x﹣1）＝30，
解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．
答：该兴趣小组的人数为6人．
19．（1）；（2）50件.
【解析】解：（1）设每次降价的百分率为，
则可得，
∴，或（舍），
∴该商品每次降低的百分率为.
（2）设第一次降价后售出件，则第二次售出件.
则第一次降价后单价为：（元/件），
，
解得：，
∴第一次降价后至少要售出50件.
20．1米
【解析】解：设道路宽为x米，依题意得：
解得（不合题意，舍去）
答：道路宽为1米．
21．10，11，12，13，14．
【解析】设这五个连续整数为x，x+1，x+2，x+3，x+4，
∴x2+（x+1）2+（x+2）2=（x+3）2+（x+4）2，
移项得x2=（x+3）2－（x+2）2+（x+4）2－（x+1）2，
∴整理得x2－8x－20=0，
∴x1=－2，x2=10，
∴这五个连续整数是10，11，12，13，14．
22．（1）甲设备60万元/台，乙设备80万元/台；（2）188元
【解析】解：（1）设甲智能设备单价x万元，则乙单价为（14﹣x）万元，
由题意得：＝，
解得：x＝60，
经检验x＝60是方程的解，
∴x＝60，140﹣x＝80，
答：甲设备60万元/台，乙设备80万元/台；
（2）设每吨燃料棒在200元基础上降价y元，
由题意得：，
解得：，，
∵，即，
∴y＝12，200﹣y＝188，
答：每吨燃料棒售价应为188元．22.3《实践与探索》同步练习卷
一、选择题
1.某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x，根据题意列方程为( )
A．400(1+x2)=900 B．400(1+2x)=900 C．900(1﹣x)2=400 D．400(1+x)2=900
2.在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．如果某一小组共有x个队，该小组共赛了90场，那么列出正确的方程是（ ）
A. B.x（x﹣1）=90 C. D.x（x+1）=90
3.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）
A.x(x-1)=10 B. =10 C.x(x+1)=10 D. =10
4.如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是（ ）
A.x2+9x﹣8=0 B.x2﹣9x﹣8=0 C.x2﹣9x+8=0 D.2x2﹣9x+8=0
5.城市“桃花节”观赏人数逐年增加,据有关部门统计,第1年约为20万人次，第3年年约为28.8万人次,设观赏人数年均增长率为x,则下列方程中正确的是（ ）
A.20（1+2x）=28.8 B.28.8（1+x）2=20
C.20（1+x）2=28.8 D.20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8
6.一种药品经两次降价，由每盒50元调至40.5元，平均每次降价的百分率是( )
A.5％ B.10％ C.15％ D.20％
7.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五.六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( )
A. B.
C.50(1+2x)=182 D.
8.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（ ）
A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm
9.如图,在宽为20米,长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（ ）
A.1米 B.1.5米 C.2米 D.2.5米
10.三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2－6x+8=0的解,则这个三角形的周长是（ ）．
A.8 B.8或10 C.10 D.8和10
二、填空题
11.有一根20 m长的绳子，怎样用它围成一个面积为24 m2的矩形？设矩形的长为x m，依题意可得方程为 .
12.学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为 ．
13.如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 ．
14.某工程生产一种产品，第一季度共生产了364个，其中1月份生产了100个，若2、3月份的平均月增长率为x，则可列方程为 ．
15.某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是 ．
16.有一张矩形风景画，长为90cm，宽为60cm，现对该风景画进行装裱，得到一个新的矩形，要求其长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同，且面积比原风景画的面积大44%.若装裱后的矩形的上、下边衬的宽都为acm，左、右边衬的宽都为bcm，那么ab= .
三、解答题
17.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111.求每个支干长出多少个小分支？
18.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
19.中国古代数学家杨辉所著的《田亩比类乘除捷法》中有这样一道题:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长及阔各几何 ”意思是:一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长和宽各多少步
20.如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动.
(1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33 cm2
(2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q之间的距离是10 cm
、参考答案
1.D.
2.B．
3.B
4.C
5.C
6.B
7.B
8.D
9.A
10.C
11.答案为：x(10－x)=24.
12.答案为:（35﹣2x）（20﹣x）=600（或2x2﹣75x+100=0）．
13.答案为：（9﹣2x）（5﹣2x）=12．
14.答案为：100+100（1+x）+100（1+x）2=364．
15.答案为：20%．
16.答案为：54cm.
17.解：设每个支干长出x个小分支，根据题意，得
1＋x＋x2=111.
解得x1=10，x2=-11(舍去)．
答：每个支干长出10个小分支．
18.解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x人，则
1＋x＋x(x＋1)=64.
解得x1=7，x2=-9(舍去)．
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．
(2)64×7=448(人)．
答：第三轮将又有448人被传染．
19.解：设矩形田地的长为x(x≥30)步,则宽为(60-x)步,
根据题意得x(60-x)=864,
整理得x2-60x+864=0,
解得x=36或x=24(舍去),
∴60-x=24.
答:该矩形田地的长为36步,宽为24步.
20.解：(1)设P，Q两点从出发开始到x s时，四边形PBCQ的面积为33 cm2，
则AP=3x cm，CQ=2x cm，所以PB=(16－3x)cm.
因为(PB＋CQ)×BC×=33，
所以(16－3x＋2x)×6×=33.解得x=5，
所以P，Q两点从出发开始到5 s时，四边形PBCQ的面积为33 cm2.
(2)设P，Q两点从出发开始到a s时，点P和点Q之间的距离是10 cm.
如图，过点Q作QE⊥AB于E，易得EB=QC，EQ=BC=6 cm，
所以PE=|PB－BE|=|PB－QC|=|16－3a－2a|=|16－5a|(cm).
在直角三角形PEQ中，PE2＋EQ2=PQ2，
所以(16－5a)2＋62=102，即25a2－160a＋192=0，解得a1=，a2=，
所以P，Q两点从出发开始到 s或 s时，点P和点Q之间的距离是10 cm.22.3实践与探索（1）-同步练习
时间：60分钟
一、单选题
1．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）=1035 B．x（x﹣1）=1035×2
C．x（x﹣1）=1035 D．2x（x+1）=1035
2．某厂改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品250元，降低到了每件160元，平均每月降低率为（ ）
A．15% B．20% C．5% D．25%
3．有一块长、宽的长方形纸片，要在它的四角截去四个全等的小正方形，拼成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为，为了有效利用材料，则截去的正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
4．两个相邻自然数的积是132．则这两个数中，较大的数是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
5．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ）
A．（3+x）（4-0．5x）=15 B．（x+3）（4+0．5x）=15
C．（x+4）（3-0．5x）=15 D．（x+1）（4-0．5x）=15
6．已知方程x2+3x﹣4=0的解是x1=1，x2=﹣4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4=0的解是（ ）
A．x1=﹣1，x2=﹣3.5 B．x1=1，x2=﹣3.5
C．x1=1，x2=3.5 D．x1=﹣1，x2=3.5
7．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
8．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P以3cm/s的速度沿AB，BC向点C运动，点Q以1cm/s的速度沿BC向点C运动．设P，Q运动的时间是t秒，当点P与点Q重合时t的值是( )
A． B．4 C．5 D．6
二、填空题
9．若时，则的值为_____
10．一个直角三角形三边长是三个连续整数，则它的周长为_______，面积为______．
11．长方形铁片四角各截去一个边长为5cm的正方形, 而后折起来做一个没盖的盒子,铁片的长是宽的2倍，作成的盒子容积为1.5立方分米，则铁片的长等于______，宽等于______.
12．有1个人得了传染病，传染2轮后共有100人患病，如果不加控制，5轮传染后共有___________人患病．
13．小王去年开了一家微店，今年1月份开始盈利，2月份盈利24000元，4月份盈利达到34560元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同试求每月盈利的平均增长率为__________．
14．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，设个位上的数字为，列出关于的方程：______.
15．某商店代销一批季节性服装，每套代销成本40元，第一个月每套销售定价为52元时，可售出180套；应市场变化调整第一个月的销售价，预计销售定价每增加1元，销售量将减少10套．若商店预计要在这两个月的代销中获利4160元，则第二个月销售定价每套_______元．
16．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝12 cm，点D从点A开始沿边AB以2 cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持四边形DFCE(点E，F分别在AC，BC上)为平行四边形，则出发________s时，四边形DFCE的面积为20 cm2.
三、解答题
17．某种爆竹点燃后，其上升高度和时间符合关系式：，其中g以计算．这种爆竹点燃后以的初速度上升，问：这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地面的高度为？
18．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略，某市汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2016年利润为2亿元，2018年利润为2.88亿元．
（1）求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率；
（2）若利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能否超过3.5亿元？
19．已知x=2是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，
（1）求m的值；
（2）求△ABC的周长．
20．已知关于x的方程有实根．
（1）求取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为，且，求的值．
21．2020年1月份以来，新型冠状病毒肺炎在我国蔓延，假如有一人感染新型冠状病毒肺炎，经过两轮传染后共有64人患病．
（1）求每轮传染中平均每个人传染了几个健康的人；
（2）如果不及时控制，第三轮传染将又有多少个健康的人患病？
22．如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，篱笆总长为24m，设平行于墙的BC边长为xm
（1）若围成的花圃面积为40m2时，求BC的长；
（2）如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50m2，请你判断能否成功围成花圃，如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由
23．一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动20m后小球停下来．
（1）小球滚动了多少时间
（2）平均每秒小球的运动速度减少多少
（3）小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到0.1s）
24．小王某月手机话费中的各项费用统计情况见下列图所示，其中月功能费为5元，请你根据统计图的信息完成下列各题：
（1）该月小王手机话费共有________元．
（2）扇形统计图中，表示短信费的扇形的圆心角______度．
（3）请将条形统计图补充完整．
（4）电信公司为让利给用户，从下月起每月将对长途话费进行打折优惠，如果小王每月长途电话的通话时间不变，那么两个月后，月长途花费将降至28.8元，那么长途话费的月平均折扣为多少？
参考答案
1．C
【解析】∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x﹣1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x﹣1）=1035．
故选：C．
2．B
【解析】解：如果设平均每月降低率为x，根据题意可得
250（1﹣x）2=160，
解得：x1=20%．x2=180%（舍去）．
故选B．
3．C
【解析】解：设截去的正方形的边长为xcm，则有底面长方形的长为cm，宽为cm，由题意得：
，
解得：（不符合题意，舍去），
故选C．
4．B
【解析】解：设这两个数中较大的数为x，则较小的数为（x﹣1），
依题意，得：x（x﹣1）＝132，
解得：x1＝12，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．
故选：B．
5．A
【解析】设每盆应该多植x株，由题意得
(x+3)(4-0.5x)=15，
故选：A．
6．A
【解析】∵x2+3x﹣4=0的解是x1=1，x2=﹣4，
（2x+3）2+3（2x+3）﹣4=0，
∴2x+3=1或2x+3=-4，
∴x1=-1，x2=-3.5，
故选A.
7．B
【解析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，第一轮过后有（1+x）个人感染，第二轮过后有（1+x）+x（1+x）个人感染，
由题意可知：1+x+x（1+x）=100，
整理得，，
解得x=9或-11， x=-11不符合题意，舍去．
那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人．
故选B．
8．C
【解析】解：设当点P与点Q重合时t的值是x秒，由题意得：3x﹣x=10，解得：x=5，故选C．
9．3
【解析】解：设＝t，
则原式可化为：t（t－1）＝6，即t2－t－6＝0，
解得：t1＝3，t2＝－2．
∵≥0
故＝3．
故答案为：3．
10．12 6
【解析】解：设该直角三角形较长的直角边长为x，则另外两边长分别为．
依题意，得，
解得（舍去），，
直角三角形的三边长分别为3，4，5，
三角形的周长为，三角形的面积为．
故答案为：12，6
11．40 cm 20 cm
【解析】1.5 立方分米=1500立方厘米，设铁片的宽为xcm，则长为2xcm，由题意得：
（x-10）（2x-10）×5=1500，解得：x1=20，x2=-5（不合题意，舍去），则铁片的长为2×20=40（cm），答：铁片的宽为20cm，长为40cm．故答案为：40cm；20cm．
12．100000
【解析】设一个患者一次传染给x人，
由题意，得，
解得（舍去），
即平均每轮传染中1个人传染了9个人．
如果不加控制，5轮传染后患病的人数是．
故答案为：．
13．
【解析】设该店每月盈利的平均增长率为x，
根据题意得：，
解得，（舍去）．
∴每月盈利的平均增长率为．
故答案为：
14．
【解析】∵个位上的数字为，个位上的数字比十位上的数字小4
∴十位上的数字为
所以这个两位数为
∵个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4
∴
化简得
故答案为.
15．50元或60元
【解析】设第二个月的销售定价为x元,则销售量为[180 10(x 52)]元，由题意，得
180×(52 40)+(x 40)[180 10(x 52)]=4160，
解得：x1=50,x2=60.
故答案为50元或60.
16．1或5
【解析】设点D从点A出发x s时，四边形DFCE的面积为20 cm2.
由题意，得－－＝20，
解得x1＝1，x2＝5，
故答案为1或5.
17．或
【解析】解：根据题意可得，
∴当这种爆竹离地面的高度为时，，
整理，得，
解得，，
故这种爆竹在地面上点燃后，经过或离地面的高度为．
答：经过或离地面的高度为．
18．（1）这两年该企业年利润平均增长率为；（2）该企业2019年的利润不能超过3.5亿元．
【解析】解：（1）设年利润平均增长率为x，
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去）．
答：这两年该企业年利润平均增长率为；
（2）．
答：该企业2019年的利润不能超过3.5亿元．
19．（1）m=2；（2）10
【解析】解：（1）把x=2代入方程x2-（m+4）x+4m=0得
4-2（m+4）+4m=0，
解得m=2，
（2）∵m=2，
∴方程为x2-6x+8=0，
解得x1=4，x2=2，
因为2+2=4，
所以等腰三角形ABC三边为4、4、2，
所以△ABC的周长为10．
20．（1）；（2）．
【解析】设，则原方程化为：
当方程（2）为一次方程时，
即a 2-1=0， a=±1．
若a=1，方程（2）的解为，原方程的解为满足条件；
若a=－1，方程（2）的解为，原方程的解为满足条件；
∴a=±1．
当方程为二次方程时，a 2-1≠0，则a≠±1，
要使方程有解，则
，
解得：，此时原方程没有增根，
∴取值范围是．
（2）设，，则
则是方程（a 2-1）y 2-（2a+7）y+1=0的两个实数根，
由韦达定理得：
∵， ∴，解得：
∴．
21．（1）每轮传染中平均每个人传染了7个健康的人；（2）第三轮传染将又有448个健康的人患病．
【解析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个健康的人．
依题意，得，
解得（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染了7个健康的人．
（2）（个）．
答：第三轮传染将又有448个健康的人患病．
22．（1）4；（2）不能，理由见详解．
【解析】解：（1）根据题意得，
AB=m，
则 x=40，
∴x1=20，x2=4，
因为20＞15，
所以x1=20舍去
答：BC的长为4米；
（2）不能围成花圃，
根据题意得，
x＝50，
方程可化为x2-24x+150=0
△=（-24）2-4×150＜0，
∴方程无实数解，
∴不能围成花圃；
23．(1)4s；(2) 2.5m/s；（3）4-2.
【解析】（1）小球滚动的平均速度==5（m/s）
小球滚动的时间：=4（s）
（2）=2.5（m/s）
（3）小球滚动到5m时约用了xs
平均速度==
依题意，得：x·=5，
整理得：
x2-8x+4=0
解得：x=4±2，所以x=4-2.
24．（1）125元；（2）72°；（3）见解析；（4）长途话费的月平均折扣为八折
【解析】（1）元
（2）.
（3）如图，
（4）解：设平均减少率为，据题意得
解得
答：长途话费的月平均折扣为八折.第22章一元二次方程达标检测卷
(限时: 120分钟 满分: 100分)
班级： 姓名： 得分：
一、选择题(每题3分，共24分)
1．下列关于x的方程中，是的为( )
A．(a－1)x2－2x＝0 B．x2＋＝－1
C．x2－4＝2y D．－2x2＋3＝0
2．方程(x－1)2＝0的根是( )
A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝0
C．x1＝－1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝－1
3．一元二次方程x2－2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2的值为( )
A．－2 B．1 C．2 D．0
4．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2－8x＋15＝0的一根，则该三角形的周长是( )
A．16 B．12 C．14 D．12或16
5．某商店销售某农产品，今年1月开始盈利，2月份盈利240 000元，4月份盈利290 400元，且从2月份到4月份每月盈利的平均增长率相同，则每月盈利的平均增长率是( )
A．8% B．9% C．10% D．11%
6．关于x的一元二次方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为( )
A．2 B．0 C．1 D．2或0
7．新定义运算：a?b＝a2＋b－ab，例如3?2＝32＋2－×3×2＝9＋2－3＝8，则方程x?4＝3的根的情况为( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
8．如图是一张长12 cm、宽10 cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为( )
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(第8题)
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
二、填空题(每题3分，共18分)
9．把方程3x2＝5x＋2化为一元二次方程的一般形式是______________．
10．写出一个二次项系数为1，且一个根是3的一元二次方程：________________．
11．当x＝__________时，代数式(x＋1)(x－5)与(3x－1)(x＋1)的值相等．
12．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了______人．
13. 两个相邻偶数的积是168，则这两个相邻偶数中较大的数是________．
14．对于一元二次方程x2＋bx＋c＝0，若b2－4ac≥0，则有x1＋x2＝－b，x1x2＝c.方程x2－3x＋2＝0①，y2－4y＋5＝0②所有根之和为________．
三、解答题(15题8分，16～17题每题9分，18～19题每题10分，20题12分，共58分)
15. 用适当的方法解下列方程：
(1)2x2－4x＝1； (2)(2x＋3)2－2(2x＋3)＝0.
16．已知关于x的方程2x2－kx＋1＝0的一个根与方程＝4的根相同．求：
(1)k的值；
(2)方程2x2－kx＋1＝0的另一个根．
17．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋k＋1＝0有两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，且＋＝x1x2－4，求实数k的值．
18. 请阅读下面解方程(x2＋1)2－2(x2＋1)－3＝0的过程．
解：设x2＋1＝y，则原方程可变形为y2－2y－3＝0.
解得y1＝3，y2＝－1.
当y＝3时，x2＋1＝3，∴x＝±.当y＝－1时，x2＋1＝－1，x2＝－2，此方程无实数根．
∴原方程的根为x1＝，x2＝－.
我们将上述解方程的方法叫做换元法．
请用换元法解方程：－2－15＝0.
19．某宾馆有客房200间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房恰好全部住满；如果每间客房每天的定价每增加10元，就会减少4间客房出租．设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)如果某天宾馆客房收入38 400元，那么这天每间客房的价格是多少元？
20. 阅读材料：各类方程的解法．
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似地，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3＋x2－2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x(x2＋x－2)＝0，解方程x＝0和x2＋x－2＝0，可得方程x3＋x2－2x＝0的根．
(1)问题：方程x3＋x2－2x＝0的根是x1＝0，x2＝________，x3＝________；
(2)拓展：用“转化”思想求方程 ＝x的根；
(3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8 m，宽AB＝3 m，小华先把一根长为10 m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边缘BA，AD走到点P处，把绳子PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边缘PD，DC走到点C处，把绳子剩下的一段拉直，绳子的另一端恰好落在点C处．求AP的长．
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(第20题)
参考答案
一、1.D 2.A 3.D 4.A 5.C 6.B 7.B
8．B 点拨：设长方体铁盒底面的长为a cm，宽为b cm，剪去的正方形的边长为x cm，根据题意，得
∴a＝10－2x，b＝6－x，
∴(10－2x)(6－x)＝24，
整理，得x2－11x＋18＝0，解得x＝2或x＝9(舍去)．
∴剪去的正方形的边长为2 cm.
二、9.3x2－5x－2＝0
10．x2－3x＝0(答案不唯一) 11.－1或－2 12.10
13．14或－12 点拨：设这两个相邻偶数中较大的数是x，则另一个偶数为x－2，依题意得x(x－2)＝168，整理，得x2－2x－168＝0，解得x1＝14，x2＝－12.
14．3
三、15.解：(1)二次项系数化为1，得x2－2x＝.
配方，得x2－2x＋1＝＋1，即(x－1)2＝.
直接开平方，得x－1＝±.故x1＝，x2＝.
(2)原方程可化为(2x＋3)(2x＋3－2)＝0，
即(2x＋3)(2x＋1)＝0.可得2x＋3＝0或2x＋1＝0.
解得x1＝－，x2＝－.
16．解：(1)解方程＝4，得x＝.经检验，x＝是分式方程的根，且符合题意．将x＝代入方程2x2－kx＋1＝0，有2×－k＋1＝0，解得k＝3.
(2)当k＝3时，一元二次方程即为2x2－3x＋1＝0，解得x1＝，x2＝1，故另一个根为x＝1.
17．解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－4x＋k＋1＝0有两个实数根，∴Δ≥0，即(－4)2－4×1×(k＋1)≥0，
解得k≤3，∴k的取值范围为k≤3.
(2)由根与系数的关系可得x1＋x2＝4，x1x2＝k＋1，
由＋＝x1x2－4可得＝x1x2－4，
代入x1＋x2和x1x2的值，可得＝k＋1－4，
解得k1＝－3，k2＝5(舍去)，
经检验，k＝－3是分式方程的根，
故实数k的值为－3.
18．解：设＝a，则原方程可变形为a2－2a－15＝0，
解得a1＝－3，a2＝5，
当a＝－3时，＝－3，解得x＝，
经检验，x＝是分式方程的根；
当a＝5时，＝5，解得x＝，
经检验，x＝是分式方程的根．
∴原方程的根是x1＝，x2＝.
19．解：(1)y＝－x＋200.
(2)根据题意，得(180＋x)＝38 400.
整理，得x2－320x＋6 000＝0，解得x1＝20，x2＝300.当x＝20时，x＋180＝200；当x＝300时，x＋180＝480，则这天每间客房的价格是200元或480元．
20．解：(1)－2；1
(2)方程的两边平方，得2x＋3＝x2，即x2－2x－3＝0，
∴(x－3)(x＋1)＝0，∴x1＝3，x2＝－1，
当x＝－1时，＝＝1≠－1，舍去，
当x＝3时，＝3＝x，
∴方程＝x的根是x＝3.
(3)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3 m.
设AP＝x m，则PD＝(8－x)m，
∵BP＋CP＝10 m，BP＝，
CP＝，∴＋＝10，
∴＝10－，
两边平方，得(8－x)2＋9＝100－20＋9＋x2，
整理，得5＝4x＋9，
两边平方并整理，得x2－8x＋16＝0，即(x－4)2＝0，∴x1＝x2＝4.经检验，x＝4是方程的根．
答：AP的长为4 m.
PAGE第2章一元二次方程》单元达标测试
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+（m﹣1）（m﹣3）＝0的常数项为0，则m的值等于（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．0
2．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A．20% B．40% C．18% D．36%
3．已知关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+k+3＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤ B．k＜ C．k≤且k≠1 D．k≥且k≠1
4．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
5．若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，且x1+x2＝1﹣x1x2，则m的值为（ ）
A．﹣1或2 B．1或﹣2 C．﹣2 D．1
6．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（ ）
A． B． C． D．0
7．关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣4 C．﹣4或1 D．﹣1或4
8．有种传染病蔓延极快，据统计，在某城市人群密集区，每人一天能传染若干人，现有一人患有此病，开始两天共有225人患上此病，平均每天一人传染了多少人？（ ）
A．14 B．15 C．16 D．25
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
10．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（ ）
A．7m B．8m C．9m D．10m
二．填空题（共7小题，满分35分）
11．方程2x2﹣1＝的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
12．已知a2﹣2a﹣1＝0，b2+2b﹣1＝0，且ab≠1，则的值为 ．
13．某足球比赛，要求每两支球队之间都要比赛一场，若共比赛45场，则有 支球队参加比赛．
14．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：每件商品降价 元时，商场日盈利可达到2100元．
15．如图，世纪广场有一块长方形绿地，AB＝18m，AD＝15m，在绿地中开辟三条宽为xm的道路后，剩余绿地的面积为144m2，则x＝ ．
16．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝ ．
17．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝8cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到 秒时，点P和点Q的距离是10cm．
三．解答题（共6小题，满分45分）
18．解方程：
（1）2x2﹣4x﹣1＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．
19．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．
20．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
21．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．
22．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元．
（1）每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．
（3）平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由．
23．阅读下列材料：
配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助，所谓配方就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的，例如解方程x2﹣4x+4＝0，则（x﹣2）2＝0，∴x＝2．
x2﹣2x+y2+4y+5＝0，求x、y的值．则有（x2﹣2x+1）+（y2+4y+4）＝0，
∴（x﹣1）2+（y+2）2＝0．解得x＝1，y＝﹣2．
程x2﹣2x﹣3＝0，则有x2﹣2x+1﹣1﹣3＝0，
∴（x﹣1）2＝4．解得x＝3或x＝﹣1．
根据以上材料解答下列各题：
（1）若a2+4a+4＝0，求a的值．
（2）x2﹣4x+y2+6y+13＝0．求（x+y）2023的值；
（3）若a，b，c表示△ABC的三边，且a2+b2+c2﹣ac﹣ab﹣bc＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：根据题意，知，
，
解方程得：m＝3．
故选：B．
2．解：设降价的百分率为x
根据题意可列方程为25（1﹣x）2＝16
解方程得，（舍）
∴每次降价的百分率为20%
故选：A．
3．解：当k﹣1＝0时，原方程为2x+4＝0，
解得：x＝﹣2，
∴k＝1符合题意；
当k﹣1≠0时，∵方程（k﹣1）x2+2kx+k+3＝0有实数根，
∴，
解得：k≤且k≠1．
综上所述：k的取值范围为k≤．
4．解：设参加酒会的人数为x人，
根据题意得：x（x﹣1）＝55，
整理，得：x2﹣x﹣110＝0，
解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
答：参加酒会的人数为11人．
故选：C．
5．解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，
∴x1+x2＝2m，x1 x2＝m2﹣m﹣1．
∵x1+x2＝1﹣x1x2，
∴2m＝1﹣（m2﹣m﹣1），即m2+m﹣2＝0，
解得：m1＝﹣2，m2＝1．
∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）＝4m+4≥0，
解得：m≥﹣1．
∴m＝1．
故选：D．
6．解：∵x1+x2＝4，
∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，
∴x2＝，
把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0，
解得：m＝，
故选：A．
7．解：∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根，
∴Δ＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝﹣4m+4≥0，
解得：m≤1．
∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴α+β＝﹣2（m﹣1），α β＝m2﹣m，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α β＝[﹣2（m﹣1）]2﹣2（m2﹣m）＝12，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m＝﹣1或m＝4（舍去）．
故选：A．
8．解：设平均每天一人传染了x人，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝225，
（1+x）2＝225，
解得：x1＝14，x2＝﹣16（舍去）．
答：平均每天一人传染了14人．
故选：A．
9．解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝15，
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故选：B．
10．解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣3）（x﹣2）＝20，
解得：x1＝7，x2＝﹣2（不合题意，舍去）
即：原正方形的边长7m．
故选：A．
二．填空题（共7小题，满分35分）
11．解：方程2x2﹣1＝化成一般形式是2x2﹣﹣1＝0，
二次项系数是2，一次项系数是﹣，常数项是﹣1．
12．解：∵b2+2b﹣1＝0，
∴b≠0，
方程两边同时除以b2，再乘﹣1变形为（）2﹣2 ﹣1＝0，
∵ab≠1，
∴a和可看作方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
∴a+＝2，
∴＝a+1+＝2+1＝3．
故答案为：3．
13．解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x﹣1），
∴共比赛了45场，
∴x（x﹣1）＝45，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（舍去），
故答案为：10
14．解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数＝50﹣x，
由题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2100，
化简得：x2﹣35x+300＝0，
解得：x1＝15，x2＝20，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴选x＝20，
故答案为：20．
15．解：设道路的宽为xm，根据题意得：（18﹣2x）（15﹣x）＝144，
解得：x＝21或3，
x＝21不合题意，舍去，
答：道路的宽为3m．
故答案为：3．
16．解：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，m2+2m＝2021，
则原式＝m2+2m+m+n
＝m2+2m+（m+n）
＝2021﹣2
＝2019．
故答案为：2019．
17．解：设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP＝3xcm，DQ＝（16﹣2x）cm，
根据题意得：（16﹣2x﹣3x）2+82＝102，
解得：x1＝2，x2＝．
答：当P、Q两点从出发开始到2秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．
故答案为：2或．
三．解答题（共6小题，满分45分）
18．解：（1）2x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣2x﹣＝0，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x，
3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x+2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x+2＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣．
19．解：（1）根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
解得m≥﹣，
所以m的最小整数值为﹣2；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，
∵（x1﹣x2）2+m2＝21，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝21，
∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，
整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，
∵m≥﹣，
∴m的值为2．
20．解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x＝﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，
∴a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形；
理由：∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴4b2﹣4a2+4c2＝0，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，可整理为：
2ax2+2ax＝0，
∴x2+x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1．
21．解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，
则PB＝（16﹣3x）cm，QC＝2xcm，
根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6＝33，
解之得x＝5，
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，
作QE⊥AB，垂足为E，
则QE＝AD＝6，PQ＝10，
∵PA＝3t，CQ＝BE＝2t，
∴PE＝AB﹣AP﹣BE＝|16﹣5t|，
由勾股定理，得（16﹣5t）2+62＝102，
解得t1＝4.8，t2＝1.6．
答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．
22．解：（1）设每件童装降价x元时，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40﹣x）元，
故答案为：（20+2x），（40﹣x）；
（2）根据题意，得：（20+2x）（40﹣x）＝1200．
解得：x1＝20，x2＝10，
∵扩大销售量，增加利润，
∴x＝20，
答：每件童装降价20元，平均每天盈利1200元；
（3）依题意，可列方程：
（40﹣x）（20+2x）＝2000，
化简，得x2﹣30x+600＝0，
Δ＝（﹣30）2﹣4×1×600＝﹣1500＜0．
故方程无实数根．
故平均每天销售利润不能达到2000元．
23．解：（1）∵a2+4a+4＝0，
∴（a+2）2＝0，
∴a+2＝0，
∴a＝﹣2；
（2）∵x2﹣4x+y2+6y+13＝0，
∴（x﹣2）2+（y+3）2＝0，
∵（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0，
∴x＝2，y＝﹣3，
∴（x+y）2023＝（2﹣3）﹣2023＝﹣1．
（3）△ABC为等边三角形．
理由：∵a2+b2+c2﹣ac﹣ab﹣bc＝0，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ac﹣2ab﹣2bc＝0，
即a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（c﹣a）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形．
