(共33张PPT)
21.1 二次根式
第21章 二次根式
1
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见习题
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新知笔记
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B
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见习题
见习题
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见习题
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见习题
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A
见习题
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－1
15
B
15
见习题
16
17
18
19
2 032
3m－18
20
1 002
n
B
21
见习题
22
见习题
23
见习题
1．形如________(a≥0)的式子叫做二次根式．
2. 具有双重非负性，即________≥0，________≥0.
a
－a
a
1．下列代数式中，不是二次根式的是( )
D
2．下列各式中，一定是二次根式的是( )
D
3.已知x－2＞0，则下列二次根式一定有意义的是( )
B
A．x≥－2
B．x≠－2
C．x≥2
D．x≠2
C
6．【教材改编题】求下列二次根式中x的取值范围：
解：(1)由题意得，－2－3x≥0，解得
∵x2≥0，∴x2＋4≥4，∴x取全体实数．
由题意得，3－x≥0且3x－6≥0，解得x≤3且x≥2，∴ 2≤x≤3.
7．当x＝________时，代数式 有最小值．
－1
9．下列计算正确的是( )
A
10．【中考·无锡】下列等式成立的是( )
A
11．把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：
(1)5＝________；
(2)2.5＝________；
12．已知正方形ABCD的边长为 ，则正方形ABCD的面积为________．
15
13．化简下列各式．
＝4.
＝π－3.
14．代数式 中，x的取值范围在数轴上表示为( )
A.
B.
C.
D.
A
A．2
B．1
C．0
D．－1
B
16．【2021·宜宾叙州区期末模拟】当1
＋|1－a|的值是( )
A．－1
B．1
C．2a－3
D．3－2a
B
17．一次函数y＝mx＋n的图象如图所示，化简|m－n|－
＝________．
n
【点拨】根据一次函数的图象，可知m＜0，n＞0，所以m－n＜0，则|m－n|－ ＝－(m－n)＋m＝n.
18．若3，m，5为某三角形三边长，化简 －2
＝________．
3m－18
19．【2020·金昌】已知y＝ －x＋5，当x分别取1，2，3，…，2 020时，所对应y值的总和是_______________．
2 032
20．【中考·内江】若|1 001－a|＋ ＝a，则a－
1 0012＝________．
1 002
【点拨】∵a－1 002≥0，∴a≥1 002.
∴a－1 0012＝1 002.
(1)当m＜－3时；
当m＜－3时，m－2＜0，m＋3＜0，
∴原式＝－(m－2)－(m＋3)＝－m＋2－m－3＝－2m－1.
(2)当－3≤m≤2时；
(3)当m＞2 时．
当－3≤m≤2时，m－2≤0，m＋3≥0，
∴原式＝－(m－2)＋(m＋3)＝－m＋2＋m＋3＝5.
当m＞2时，m－2＞0，m＋3＞0，
∴原式＝m－2＋m＋3＝2m＋1.(共22张PPT)
第21章 二次根式
21.1 二次根式
第1课时 二次根式的定义
4
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6
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C
C
C
A
D
C
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B
C
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10
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12
9
D
13
B
1
A
x，y的值分别为－1，3.
15
16
14
(1)1.(2)3.
2
C
A
C
C
D
C
C
B
1
D
B
A
【点拨】本题易错在漏掉分母不为0这个条件，由题意知x－1≥0且x－2≠0，解得x≥1且x≠2.
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第21章 二次根式
21.1 二次根式
第2课时 二次根式的性质
4
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6
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A
D
D
B
a≤2
2
8
B
B
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10
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B
13
C
(1)－1.(2)1.
15
14
3a－3b.
A
B
D
D
a≤2
2
B
B
C
B
＝5－6＝－1.
解：由数轴上点的位置可知，a＞b，0＜a＜1，b＜－1，
∴a－b＞0，b－1＜0，a－1＜0.
∴原式＝a－b＋(a－b)－(b－1)＋(a－1)＝3a－3b.
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21.1二次根式
一、二次根式的概念
2. a可以是数,也可以是式.
1.二次根式的两个特征：
（1）根指数为2
（2）被开方数大于等于零
形
质
如
都是二次根式
说一说:
下列各式是二次根式吗
二、二次根式中字母的取值范围
被开方数a≥0
有意义 ，
被开方数a可以是数也可以是式
例1 x取何值时,下列根式有意义
解 (1)由２x－１≥０ 得x≥０.５
所以，当x ≥０.５时， 有意义
(2)由２－x≥０ 得x≤２
所以，当x ≤ ２时， 有意义
(3)由 ≥０及x≠０ 得x＞０
所以当x＞０时， 有意义
(4)不论x为何实数，都有１＋x 2＞０
所以，当x取任何实数时， 有意义
求二次根式中字母的取值范围的基本依据是什么？
①被开方数大于等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
说一说
练习： x取何值时,下列二次根式有意义
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数大于等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
解：由３－x≥０ 得 x≤３
由｜x｜－４≠０ 得 x≠±４
所以当
有意义
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数大于等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
③多个条件组合时，应用不等式组求解
x ≤３且x≠－４时，
三、二次根式的双重非负性
二次根式的双重非负性
经常作为隐含条件，是解题的关键
例 已知 ，求x＋y的值
解：∵ ≥０， ≥０，
＝０， ＝０
∴
∴x＝１，y＝－３
∴x＋y＝－２
≥０
≥０
初中阶段的三个非负数：
≥０
(a≥０)
归纳：
练习
１.已知 ，求x、y的值.
x=2，y=3
a≥4
２.已知 ，求a的值.
a-4=9，则 a=13
四、二次根式的性质
二次根式的两个简单性质：
-a (a＜0)
a (a>0)
=
0 (a=0)
合作探究:
2.从取值范围来看,
a≥0
a取任何实数
1:从运算顺序来看,
先开方,后平方
先平方,后开方
区别:
3.从运算结果来看:
=a
a (a≥ 0)
-a (a＜0)
=
=∣a∣
例 求下列二次根式的值
解：(1)
∵
∴
(2)
当x＝ 时，x－１<０
∴
∴当x＝ 时，
练习:算一算:
5
7
18
(x﹤y)
硕果累累
今天我们学习了很多新知识，你能谈谈自己的收获吗？说一说，让大家一起来分享。
二次根式的概念:
二次根式中字母的取值范围
①被开方数大于等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
③多个条件组合时，应用不等式组求解
二次根式的双重非负性
a (a>0)
-a (a＜0)
=∣a∣
=
二次根式的性质
0 (a=0)
作业
1、练习册16.1
2、一课一练P1-2
已知 有意义,那A(a, )
在 象限.
二
试试你的反应
∵由题意知a＜0
∴点A(－,＋)
试试你的反应
2x+6≥0
-2x＞0
∴
x≥-3
x＜0
∵
试试你的反应
n≤12
n = 3，8，11，12
若a.b为实数,且
求 的值
解:
试试你的反应
实数p在数轴上的位置如图所示，化简
试试你的反应
试试你的反应
在实数范围内分解因式:
∵
∴
解:
拓展：
１．已知０＜x＜１，化简
2．已知
求 的值
x=5，y=11(共19张PPT)
二次根式
目标二 二次根式的性质
21.1
第21章 二次根式
A
D
1
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3
4
5
3
A
6
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D
B
D
答 案 呈 现
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C
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认知基础练
1
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D
认知基础练
2
认知基础练
3
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认知基础练
4
3
认知基础练
5
C
认知基础练
6
A
认知基础练
B
认知基础练
7
认知基础练
8
D
思维发散练
9
思维发散练
10
思维发散练
思维发散练
思维发散练
【点拨】先将原式化简成含绝对值的式子，然后令绝对值符号内式子的值为0，求出x的值，再将所有表示x的值的点标在数轴上，最后根据数轴上分成的几段(x的取值范围)化简原式，这种解题方法叫做零点分段法．
思维发散练
思维发散练
在数轴上标出表示－1和2的点，如图所示，数轴被分成三段，即x＜－1，－1≤x＜2，x≥2.
当x＜－1时，原式＝－(x＋1)－(x－2)＝－x－1－x＋2＝－2x＋1；
当－1≤x＜2时，原式＝(x＋1)－(x－2)
＝x＋1－x＋2＝3；
当x≥2时，原式＝(x＋1)＋(x－2)
＝x＋1＋x－2＝2x－1.
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只
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拓展
姿料
课件
①
-10
2
2
1
2
3(共14张PPT)
二次根式
目标一 二次根式的定义
21.1
第21章 二次根式
C
A
1
2
3
4
5
D
C
6
7
8
A
B
D
答 案 呈 现
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9
B
C
认知基础练
1
A
认知基础练
2
认知基础练
3
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认知基础练
D
认知基础练
4
B
认知基础练
5
C
认知基础练
6
B
【点拨】由x－1≥0，得x≥1.x－2随着x的增大而增大，当x＝1时，x－2取得最小值，为－1.
认知基础练
7
【点拨】本题易错在漏掉分母不为0这个条件，由题意知x－1≥0且x－2≠0，解得x≥1且x≠2.
A
认知基础练
8
思维发散练
－1
3
解：由题意得a－2≥0，且2－a≥0，
∴a－2＝0，∴a＝2，∴b＝7，
∴a＋2b＝2＋2×7＝16，
∴a＋2b的平方根为±4.
9
思维发散练
解：根据题意得a－2≥0，且2－a≥0，
∴a－2＝0，∴a＝2，b＝4.
分两种情况：
10
思维发散练
①当a＝2是腰长时，三角形的三边长分别为2，2，4.
∵2＋2＝4，
∴不能组成三角形；
②当a＝2是底边长时，三角形的三边长分别为2，4，4，能组成三角形，2＋4＋4＝10，
∴此等腰三角形的周长为10.(共14张PPT)
第二十一章 二次根式
21.1.2 二次根式的性质
情景导入
观察下图，你能推测出 和a有什么关系吗？
面积a
获取新知
面积a
参考右图,完成以下填空:
2
7
你能发现什么规律？
猜想：
面积a
一般地，二次根式有下面的性质:
填空
2
2
5
5
0
0
请比较左右两边的式子，议一议: 与 有什么关系？
当a≥0时， ＝________;当a<0， ＝________ .
a
-a
a (a≥0)
-a (a<0)
比较分析 和
读法
运算顺序
a的取值范围
运算结果
先开方，后平方
先平方，后开方
a≥0
a取全体实数
a
∣a∣
根号a的平方
根号下a的平方
例题精讲
例1 计算:
解：
例2 计算:
解：
随堂演练
D
随堂演练
A
a<=0
4
课堂小结
a
≥0
|a|
a
-a
二次根式的性质
二次根式的性质1：
二次根式的性质2：(共26张PPT)
第21章 二次根式
21.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
4
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6
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5
B
B
A
C
B
B
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B
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14
B
B
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B
C
B
A
B
B
D
B
B
【答案】D
B
B
＝4－3＋1＋3＝5.
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21.2 二次根式的乘除
1.二次根式的乘法
2.积的算术平方根
第21章 二次根式
1
2
见习题
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新知笔记
1
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见习题
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见习题
见习题
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见习题
见习题
10
见习题
11
答案显示
见习题
见习题
1．二次根式的乘法法则： ＝________(a≥0，b≥0)．这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根．
2．积的算术平方根： ＝________(a≥0，b≥0)．这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的________．
积
B
2．等式 成立的条件是( )
A．x≥1
B．x≥－1
C．－1≤x≤1
D．x≥1或x≤－1
A
4．若 成立，则( )
A．a≥0，b≥0
B．a≥0，b≤0
C．ab≥0
D．ab≤0
B
5．【教材改编题】化简：
6．若 ，则a＋b的值为( )
A．13
B．17
C．24
D．40
B
7．【2020·益阳】若计算 ×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是________________(写出一个符合条件的即可)．
9．计算：
10．已知矩形花坛与圆形花坛面积相等，矩形花坛的长为
m，宽为 m．求圆形花坛的半径．
解：设圆形花坛的半径为r m.
所以圆形花坛的半径是 m.
11．已知 ＝a， ＝b，用含a、b的式子表示 .(共24张PPT)
第21章 二次根式
21.2 二次根式的乘除
第2课时 二次根式的除法
4
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6
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C
B
B
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A
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11
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D
A
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D
3
B
C
B
D
C
D
D
【点拨】由题意得1－a≥0且a＞0，解得0＜a≤1.此题容易忽略1－a≥0这个条件．
D
A
A
D
D
B
解：都正确．
【答案】D
居
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21.2 二次根式的乘除
3.二次根式的除法
第21章 二次根式
1
2
见习题
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新知笔记
1
2
3
4
B
C
4
5
D
见习题
见习题
3
分母
6
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9
C
B
见习题
10
A
11
12
13
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A
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见习题
2
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见习题
见习题
20
见习题
见习题
见习题
21
见习题
22
见习题
1．二次根式的除法法则： ＝________(a≥0，b＞0)．这就是说，两个算术平方根的商，等于被开方数商的____________．
算术平方根
2．商的算术平方根： ＝________(a≥0，b>0)．这就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根________除式的算术平方根．
除以
3．最简二次根式：化简后的二次根式被开方数中不含________，并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式．
分母
1．化简 的结果是( )
A．9
B．3
C．
D．
D
2．【中考·绵阳】等式 成立的x的取值范围在数轴上可表示为( )
A.
B.
C.
D.
B
3．计算 (a＞0，b＞0)的结果是( )
A.
B.
C．2a
D．2a2
C
4．如果一个三角形的面积为 ，一边长为 ，那么这条边上的高为________．
4
5．计算：
6．能使等式 成立的x的取值范围是( )
A．x≠2
B．x≥0
C．x＞2
D．x≥2
C
7．下列计算正确的是( )
B
C
10．【2020·济宁】下列各式是最简二次根式的是( )
A
11．若二次根式 是最简二次根式，则最小的正整数a为________．
2
12．化简：
13．【2021·上海浦东新区期末】下列二次根式中，最简二次根式是( )
D
A
15．下列计算中，正确的是( )
B
17．化简二次根式 (a＜0)＝____________．
18．若 都是最简二次根式，则m＝________，n＝________．
19．下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？把不是最简二次根式的进行化简．
解：(3)是最简二次根式，(1)(2)(4)不是最简二次根式，化简如下：
20.计算：
22．【教材改编题】先观察下列一组等式，然后解答后面的问题．
(1)观察以上规律，请写出第n个等式：________________________(n为正整数)；(共16张PPT)
二次根式的乘除
目标二 二次根式的除法
21.2
第21章 二次根式
C
A
1
2
3
4
5
D
6
7
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答 案 呈 现
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解：都正确．
(2)请你再给出一种不同于上面两人的解法．
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二次根式的乘除
目标一 二次根式的乘法
21.2
第21章 二次根式
B
C
1
2
3
4
5
A
6
7
8
B
答 案 呈 现
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9
A
1
B
C
2
【2020·邵阳】在如图所示的方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格中的实数之积为________．
3
4
5
A
6
A
B
7
8
＝4－3＋1＋3
＝5.
9
【点拨】对于两个正数a，b，如果a2＞b2，那么a＞b.
10
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二次根式的乘法
1、什么叫二次根式？下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
复习
2、填空
3、计算
4、请同学们根据以上例子讨论、归纳总结出一般规律
（a≥0,b≥0)
二次根式乘法运算规律公式
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
问题1： ？
×
（a≥0,b≥0)
问题2： ？
×
×
×
注意：
（a≥0,b≥0)
例题：计算
练习：
（a≥0,b≥0)
二次根式乘法运算规律公式的应用
例题：化简：
如何化简二次根式
关键：将被开方数因式分解或
因数分解，使出现“完全平方数”
或“偶次方因式”
化简：
由上例可得以下规律：
（a≥0,b≥0)
练习:
例题 化简：
练习:
练习
1、化简
如何化简二次根式
关键：将被开方数因式分解或
因数分解，使出现“完全平方数”
或“偶次方因式”
先计算，再化简
化简：
试一试
2、化简
例题3
如图，在△ABC中, ∠C=900, AC=10 cm, BC=24cm, AB2=AC2+BC2。求 : AB.
A
B
C
练习3
一个直角三角形的两条直角边分别长 与 ，求这个直角三角形的面积。
练习4 （综合练习）
1、 的成立的条件是（ ）
2、如果：
求 的值：
（a≥0,b≥0)
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
乘法规律公式推广式：(共21张PPT)
积的算术平方根
被开方数a≥0；
根指数为2
二次根式
（a≥0）
复习回顾
当x为怎样的实数时，下列各式有意义？
x≥3
x≤6
∴3≤x≤6
x≥1
x≤1
∴x=1
x为任何实数
x为任何实数
复习回顾
这个结果能否化简？如何化简？
你发现了什么？用你发现的规律填空：
讨论
10
10
计算:
=
=
探究
不成立！
一般情况下，a≥0，b≥0时， 与
有什么关系？
（a≥0,b≥0）
一般地，对于二次根式的乘法，有：
例题讲解
计算：
解：
（a≥0，b≥0）
根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数。
二次根式的乘法：根式和根式按公式相乘。
分析
练习
计算：
解：
把 反过来，就可以得到:
（a≥0，b≥0）
利用它可以对二次根式进行化简。
探究
例题讲解
化简:
化简二次根式，就要把被开方数中的平方数（或平方式）从根号里开出来。
解:
解：由二次根式的意义可知：
计算：
梳理
（a≥0，b≥0）
最简二次根式。
（a≥0，b≥0）
巩固练习
1、化简：
2
2
3
2
2
2
2
2
8
7
9
4
4
6
4
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21
29
4
4
3
3
125
9
2
24
1
c
b
a
c
b
a
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
-
+
×(共17张PPT)
21.3 二次根式的除法
第21章 二次根式
知识回顾
1. 二次根式的两个基本性质:
=a
a (a≥0)
-a (a＜0)
=∣a∣=
(a≥0)
2.二次根式的乘法：
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
3. 积的算术平方根：
互逆
积的算术平方根等于各因式的算术平方根的积.
获取新知
讨论
两个二次根式相除，怎样进行运算呢？
商的算术平方根又等于什么？试参考前面二次根式乘法的研究，和同伴讨论，提出你的见解．
探究：计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
(1) ___÷___=____;
= _____;
计算下列各式:
(2) ___÷___=____;
(3) ___÷___=____;
= _____;
= _____.
2
3
4
5
6
7
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
特殊
一般
参照前面的知识，你能说明这个结论成立的原理吗？试试吧
归纳
两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根
一般的，有
_________
注意这里要求
例题讲解
解：
例1 计算：
(1) (2)
题(2)也可先将分子化简为 ，从而容易算得结果．
例2 化简 使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含分母．
解：（方法一）
二次根式的除法的逆运算
分数的基本性质
二次根式的除法
解：（方法二）
解：（方法二）
分数的基本性质
二次根式的定义
像 这样的数，具有下面的特点：
（1）被开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式)；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
（3）另外还要具备分母中不含二次根式．
我们把满足上述几个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
解：(1)
(2)
(3)
(4)
例3 计算：(1) (2) (3) ； (4)
常用的分母有理化形式有：
随堂演练
1. 使 成立的x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2
C
2. 二次根式： , , , , , ,
其中是最简二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
3.下列各式计算正确的是( )
A. B.
C. D.
C
4. 计算：
解：(1)
(2)
5.计算：
解：
课堂小结
二次根式除法
法则
性质
根号下不含分母，即为整数或整式
最简二次根式
根号下不含开的尽方的数或式
分母中不含根号(共16张PPT)
复习回顾：二次根的乘除
积的算术平方根的性质
二次根式的乘法法则
二次根式的除法法则
商的算术平方根的性质
最简二次根式的两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
分母含有二次根式
被开方数含有小数或分数
分子分母可约分
判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
练习：把下列二次根式化为最简二次根式。
(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两列火车共运多少？_______________
2x +3x=5x吨
(2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两列火车共运多少？_______________
(2x +3y)吨
以下问题你能用同样的方法计算吗？
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
(1)说出 的三个同类二次根式;
(2)试举出一组同类二次根式。
(3)下列各式中哪些是同类二次根式
二次根式加减运算的步骤:
(1)把各个二次根式化成最简二次根式
(2)把各个同类二次根式合并。
注意:不是同类二次根式的二次根式
(如 与 不能合并
1.判断:下列计算是否正确 为什么
练习
2.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）
A . B .
D.
4.如果最简二次根式 与 是同类二次根式,求m、n 的值。
B
125
3. 与 是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
D
练习
5.计算:
例3 计算：
（1） ；
（2） ．
练习:
1.同类二次根式的定义
2.二次根式加减运算的步骤
3.如何合并同类二次根式
合并同类二次根式与合并同类项类似。(共30张PPT)
21.3 二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减
第21章 二次根式
1
2
最简二次根式；相同
提示：点击 进入习题
答案显示
新知笔记
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C
B
B
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见习题
3(答案不唯一)
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D
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C
见习题
见习题
16
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见习题
见习题
见习题
4
1．同类二次根式：将几个二次根式化成______________，如果被开方数________，那么这样的二次根式称为同类二次根式．
最简二次根式
相同
2．二次根式的加减，与整式的加减类似，关键是将____________合并．其步骤为先将二次根式化为____________，再将同类二次根式合并．
同类二次根式
最简二次根式
1．下列各式中，与 是同类二次根式的是( )
C
2.下列二次根式中，与 是同类二次根式的是( )
C
3.下列二次根式中，与 是同类二次根式的是( )
B
4．【中考·曲靖】下列二次根式中，能与 合并的是( )
B
5．【2021·上海仙霞第二中学期末】若二次根式与
是同类二次根式，则整数a可以等于________________．(写出一个即可)
3(答案不唯一)
6．【2020·包头】 的计算结果是( )
C
7．【2020·重庆】下列计算中，正确的是( )
C
8．【中考·营口】化简 的结果为( )
A．0
B．2
C．－2
D．2
D
9．计算 的结果是( )
B
10．一个三角形的三边长分别是 ，
则此三角形的周长为( )
A
12．计算：
13．下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是( )
C
14．下列说法正确的是( )
A．两个无理数的和一定是无理数
B．两个无理数的差一定是无理数
C．两个无理数的积一定是无理数
D．一个有理数与一个无理数的和一定是无理数
D
15．等腰三角形的两条边长分别为 ，则这个三角形的周长为( )
【答案】 C
16．若最简二次根式 是同类二次根式，则m＋n＝________．
4
17.计算：
18．已知m，n是有理数，且( ＋2)m＋(3－2 )n＋7＝0，求m，n的值．
19．观察下列各式：
请利用上面的规律计算：(共22张PPT)
第21章 二次根式
21.3 二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减
4
提示：点击 进入习题
答案显示
6
7
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2
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B
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C
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答案显示
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B
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21.3 二次根式的加减
第2课时 二次根式的混合运算
第21章 二次根式
HS版 九年级上
1
(1)乘方
(3)从左到右
提示：点击 进入习题
答案显示
新知笔记
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见习题
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A
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见习题
C
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见习题
见习题
见习题
2
二次根式混合运算的运算顺序与整式运算相同，即：
(1)先算________，再算乘除，最后算加减；
(2)有括号的先算括号里面的；
(3)同级运算___________ 依次计算．
乘方
从左到右
A
2．下列运算正确的是( )
D
3．【2021·重庆沙坪坝区期末】估计
的值在( )
A．0到1之间
B．1到2之间
C．2到3之间
D．3到4之间
B
4．【中考·南京】计算 的结果是________．
5．【中考·南京】计算 的结果是________．
0
6．计算：
7．【中考·常州】下列各数中与 的积是有理数的是( )
D
8．【2020·山西】计算： ＝________．
5
9．当x＝ 时，(x＋1)2－x的值为________．
11. 【教材改编题】计算：
12．【中考·聊城】下列各式不成立的是( )
【答案】 C
13．现将某一长方形纸片的长增加3 cm，宽增加6 cm，就成为一个面积为128 cm2的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为( )
A．18 cm2
B．20 cm2
C．36 cm2
D．48 cm2
【答案】 B
14.【中考·益阳】观察下列等式：
…
请你根据以上规律，写出第6个等式：
____________________________．
15．若规定符号“*”的意义是a*b＝ab－b2，则2*( －1)的值是________．
16．【中考·莱芜】如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是2 和2，则图中阴影部分的面积是________．
2
17.计算：
18．【2020·襄阳】先化简，再求值：(2x＋3y)2－(2x＋y)(2x－y)－2y(3x＋5y)，其中x＝ ，y＝ －1.
解：原式＝4x2＋12xy＋9y2－4x2＋y2－6xy－10y2＝6xy，
19．恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．如当x＝ ＋1时，求 x3－x2－x＋2的值，为解答这题，若直接把x＝ ＋1代入所求的式子中进行计算，显然很麻烦．我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．
方法一 将条件变形．由x＝ ＋1，得x－1＝ .再把所求的代数式变形为含有(x－1)的式子．
原式＝ (x3－2x2－2x)＋2＝ [x2(x－1)－x(x－1)－3x]＋2＝ [x(x－1)2－3x]＋2＝ (3x－3x)＋2＝2；
方法二 先将条件变形，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．由x－1＝ ，可得x2－2x－2＝0，即x2－2x＝2，x2＝2x＋2.
原式＝ x(2x＋2)－x2－x＋2＝x2＋x－x2－x＋2＝2.
解决问题：若a2－3a＋1＝0，求2a3－5a2－3＋
的值．
解：∵a2－3a＋1＝0，
∴a2－3a＝－1，a2＋1＝3a，a＋ ＝3，(共21张PPT)
第21章 二次根式
21.3 二次根式的加减
第2课时 二次根式的混合运算
4
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2
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C
A
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B
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8
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11
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13
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5
C
B
A
【答案】B
＝4－3＋4＋1＝6.
D
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第21章 二次根式
21.3 二次根式的加减
第3课时 二次根式运算常见的题型
4
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6
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2
3
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【点拨】在进行二次根式的混合运算时，灵活运用乘法公式可简化计算过程．
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导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第21章 二次根式
21.3 二次根式的加减
1.探索二次根式加减运算的步骤和方法;（重点）
2.了解二次根式的混合运算可类比整式的混合运算及数的混合运算;（重点）
3.准确熟练地进行二次根式的混合运算.（难点）
学习目标
二次根式计算、化简的结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
导入新课
回顾思考
观察下列二次根式有什么共同特征：
（1） …
， ， ，
（2） …
， ， ，
每组的二次根式的被开方数相同
讲授新课
同类二次根式
探究归纳
， ， ， ， ，
（3）
…
经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被称为同类二次根式.
下列根式又有什么共同特征？
(1)说出 的三个同类二次根式;
(2)下列各式中哪些是同类二次根式
巩固概念：
答案不唯一，如
先化成最简二次根式，再作判断.
答：
问题 现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
7.5dm
5dm
二次根式的加减法则及运用
（化成最简二次根式）
（逆用分配律）
∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板．
解：列式如下：
思考:如何合并同类二次根式？
合并同类二次根式的方法是：
（1）化为最简二次根式
（2）系数相加减
（3）二次根式不变
二次根式的加减法则
类比合并同类项，说说计算过程有什么规律？
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式（同类二次根式）进行合并.
一化
二找
三合并
知识要点
例 计算
提示
按照二次根式的加减法则进行，即先化简,后判定,再合并.
典例精析
解：
比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？
二次根式的加减实质是合并同类二次根式（被开方数相同）. 整式的加减的实质是合并同类项．
（1）
（2）
计算：
思考：（1）中，先计算什么？后计算什么，最后的目标是什么？（2）呢？
二次根式的混合运算方法
典例精析
与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，
后加减；
对于（1）：先算乘，再化简，若有相同的二次根
式进行合并，最后的目标是二次根式是最简二次根式；
对于（2）：先算除，再化简，若有相同的二次根
式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式．
解：
（1）
思考：（1）中，每一步的依据是什么？
第一步的依据是：分配律或多项式乘单项式；
第二步的依据是：二次根式乘法法则；
第三步的依据是：二次根式化简．
解：
（2）
思考：（2）中，每一步的依据是什么？
第一步的依据是：多项式除以单项式法则；
第二步的依据是：二次根式除法法则．
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则、乘法公式仍然适用.
平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2;
（a+b）2=a2+2ab+b2;
（a-b）2=a2-2ab+b2;
完全平方公式
知识要点
1.计算
解：
解：
解题反思：（1）有括号的先去括号再进行运算；
（2）被开方数不相同的最简二次根式是不能合并的.
当堂练习
2. 计算：
（1）
（2）
（3）
提示
把二次根式看成“项”，（1）、（2）、（3）分别可以看成整式乘法中“单项式×多项式”、“多项式÷单项式”、“多项式×多项式”的运算.
看看和你做的一样吗？
（1）
解：
（2）
（3）
3. 计算：
用了公式（a+b）（a-b）
=a2-b2.
用了公式（a+b）2
=a2+2ab+b2.
1.同类二次根式的定义.
2.二次根式加减运算的步骤:
(1)把各个二次根式化成最简二次根式；
(2)把各个同类二次根式合并.
3.如何合并同类二次根式
与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,作为结果的系数,根号及根号内部都不变.
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.
课堂小结
谈一谈本节课自己的收获和感受？
（1） 以前学过的运算法则在二次根式的混合运算中依然成立；
（2）计算结果最后一定要化成最简形式；
（3）二次根式的混合运算与整式的运算非常类似，即运算性质
和运算律是一致的，体现了数式通性的特点；
（4）计算时要做到准确熟练.(共17张PPT)
二次根式的加减
目标二 二次根式的混合运算
21.3
第21章 二次根式
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总
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九组
只
习
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器翻到九物理固
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授课
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拓展
姿料
课件(共14张PPT)
二次根式的加减
目标三 二次根式运算常见的 题型
21.3
第21章 二次根式
D
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答 案 呈 现
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【点拨】若将x，y的值直接代入计算，则计算量较大，而且容易出错，通过观察已知条件和欲求值的式子可以发现x－y，xy的值是一个常数，故可将x－y，xy作为一个整体代入求值．
7
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第21章二次根式单元复习
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一、二次根式概念
1、二次根式定义：
形如 的式子叫做二次根式。
2、最简二次根式：
3、同类二次根式：
如果被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数的幂的指数都小于2，那么这样的二次根式就叫做最简二次根式。
几个根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个根式就叫做同类二次根式。
1、下列式子哪些是二次根式？
2、取何值时，下列二次根式有意义？
3、
4、下列各组二次根式中，每一组都有一个二次根式与其他的二次根式不同，你能把这个二次根式找出来吗？
5、下列各组二次根式中，同类二次根式是（ ）
二、二次根式性质
二次根式性质
1、
2、化简下列各式：
3、
4、
5、
b a 0 c
6、
7、
8、
9、
三、二次根式运算
二次根式运算
加减法：合并同类二次根式
混合
运算
1、计算
2、化简
3、计算(共18张PPT)
第21章 二次根式 复习课件
本章总结提升
整合提升
知识框架
知识框架
本章总结提升
加减法
乘法公式仍适用
乘法
除法
混合运算
同类二次根式
二次根式
最简二次根式
有关概念
有意义的条件
运算
性质
二次根式
a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零。
当a是正数时， 表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根；
当a是零时， 等于0，也叫零的算术平方根；
当a是负数时， 没有意义。
一、二次根式定义与性质
重点回顾
二、二次根式的计算
二次根式的化简要求满足以下两条：
1.被开方数的因数是整数，因式是整式，也就是说“被开方数不含分母”。
2.被开方数中不含能开得尽的因数或因式，也就是说“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”。像这样的二次根式称为最简二次根式。
三、二次根式的化简
二次根式运算的步骤：
先把各个二次根式化成最简二次根式；再把同类二次根式合并。（注意：被开方数不相同的二次根式不能合并）
。
。
2.从取值范围来看，
a≥0
a取任何实数
1.从运算顺序来看，
先开方，后平方
先平方，后开方
3.从运算结果来看：
=a
a(a≥0)
-a(a≤0)
=
=∣a∣
本章总结提升
【归纳总结】根据二次根式的定义，只有被开方数为非负数时二次根式才有意义，据此列出不等式（组）即可求出被开方数中所含字母的取值范围，但还要注意题中的其他限制条件，如分母不为0等。
本章总结提升
二次根式的性质
本章总结提升
c＋a－1
本章总结提升
[解析]由图可知：a＜0，a＋c＞0，a－b＜0，1－b＜0，
故原式＝－a＋a＋c＋a－b＋b－1
＝c＋a－1。
二次根式的运算
本章总结提升
二次根式的运算种类及各自的法则是什么？它的混合运算的顺序如何？乘法公式在运算时起了什么作用？
5
【归纳总结】二次根式可以进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算，其混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，还是先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果能用乘法公式，就要使用乘法公式，以使运算简便。
本章总结提升
与二次根式有关的代数式求值
[解析]先按分式的运算法则计算化简，再代入求值。
本章总结提升
化简求值问题的一般要求是什么？分母有理化的依据是什么？
本章总结提升
【归纳总结】二次根式可以进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算，其混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，还是先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果能用乘法公式，就要使用乘法公式，以使运算简便。
本章总结提升
谢 谢(共27张PPT)
测素质
二次根式
华师版 九年级上
第21章 二次根式
集训课堂
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解：∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a＋b＋c＞0，b＋c－a＞0，c－b－a＜0.
∴原式＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(a＋b－c)＝3a＋b－c.
17
18
(2)长方体盒子的体积．
19
m2＋3n2
2mn
12
6
3
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(答案不唯一)
解：由b＝2mn，得4＝2mn，则mn＝2.
因为a，m，n均为正整数，
所以mn＝1×2或mn＝2×1，
即m＝1，n＝2或m＝2，n＝1.
当m＝1，n＝2时，a＝m2＋3n2＝12＋3×22＝13；
当m＝2，n＝1时，a＝m2＋3n2＝22＋3×12＝7.
因此a的值为13或7.(共13张PPT)
练素养
1．利用二次根式的性质解题的技巧
华师版 九年级上
第21章 二次根式
集训课堂
x≥－1
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解：由题意得x－5≥0，5－x≥0，
所以x的值为5.
所以(x＋y)2＝0，即(5＋y)2＝0.
所以y＝－5.
所以x－y＝5－(－5)＝10.
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A
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【方法点拨】涉及二次根式的最小(大)值问题时，要根据题目的具体情况来决定用什么方法．一般情况下利用二次根式的非负性求解．
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九组
只
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题提分练习册
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课件(共18张PPT)
练素养
2．常见二次根式化简求值的十一种方法
第21章 二次根式
集训课堂
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【点拨】解此类题，应先考虑字母取值的正负情况，再进行二次根式的化简，同时运用整体思想代入求值，应避免执着于单一字母的求值，从而导致问题复杂化，甚至无法求解．
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