2022-2023学年苏科版八年级数学上册1.3探索三角形全等的条件基础解答题专题训练(Word版含答案)

2022-2023学年苏科版八年级数学上册《1.3探索三角形全等的条件》
基础解答题专题训练（附答案）
1．如图AC平分∠BAD．且BC＝DC，AD＞AB，请判断∠B和∠D的关系并说明理由．
2．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC+AD，AE平分∠BAD交CD于点E．
求证：BE⊥AE．
3．如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝EC，BC＝DE，BC与DE交于点O．
求证：BC⊥DE．
4．如图：AM是△ABC的中线，AE、BC交于点M，F点在AM上，FM＝EM，求证：BE∥CF．
5．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于O，如果△ABC≌△DCB，请找出图中的一对全等三角形并加以证明．
6．如图，已知△ABC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，请你增加一个条件，写出一个三角形全等的结论，并证明你写出的结论．（不再增加辅助线）
你增加的一个条件是：　 　．
你给出的一个结论是：　 　．
证明．
7．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C．现有两个条件：①AD为△ABC的高；②AD为△ABC的中线，请从中选择一个条件，并解答下面的问题：
（1）选择条件　 　；（填所选条件的序号）
（2）比较图中线段可以发现：AB+BD＝　 　（填图中的某一线段）；证明你的结论．（下面两个图形供解题时选用）
8．已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE．
9．如图，点F是CD的中点，且AF⊥CD，BC＝ED，∠BCD＝∠EDC．
（1）求证：AB＝AE；
（2）连接BE，请指出BE与AF、BE与CD分别有怎样的关系．（只需写出结论，不必证明）
10．已知：如图，点C、D在BE上，BC＝DE，AB∥EF，AD∥CF．求证：AD＝CF．
11．如图，△ABC中，AB＝2AC，∠1＝∠2，DA＝DB，你能说明DC⊥AC吗？
12．如图，在△ABE中，AB＝AE，AD＝AC，∠BAD＝∠EAC，BC、DE交于点O．
求证：（1）△ABC≌△AED；
（2）OB＝OE．
13．如图，已知：BE＝CF，BE∥CF，AF＝DE．
（1）试说明AB∥CD；
（2）如果△CDF可以在直线AE上任意移动，那么AB∥CD是不是还一定成立？简要说明理由．
14．如图，点B、F、C、E在同一直线上，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，AC、DF相交于点G，且AC＝DF，BF＝CE．
求证：（1）△ABC≌△DEF；
（2）GF＝GC．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，AD＝AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G，
求证：（1）DF∥BC；
（2）FG＝FE．
16．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上．
（1）若∠ADE＝∠B，求证：
①∠BAD＝∠CDE；
②BD＝CE；
（2）若BD＝CE，∠BAC＝70°，求∠ADE的度数．
17．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F．若EF＝5cm，求AE和CF的长．
18．如图，四边形ABCD中，∠ABC+∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD．
试说明：（1）△CBE≌△CDF；
（2）AB+DF＝AF．
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，
（1）若∠BAC＝60°，求∠ADB的度数；
（2）求证：BE＝（AC﹣AB）．
20．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，过D点作AB的垂线，交AC于E，交BC的延长线于F．
（1）∠1与∠B有什么关系？说明理由．
（2）若BC＝BD，请你探索AB与FB的数量关系，并且说明理由．
参考答案
1．解：∠B+∠D＝180°．理由如下：
如图，在AD上取一点E，使AE＝AB，连接CE．
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠EAC，
在△BAC和△EAC中，
，
∴△BAC≌△EAC（SAS），
∴BC＝CE，∠B＝∠AEC，
又∵BC＝CD，
∴CE＝CD，
∴∠CED＝∠D，
又∵∠AEC+∠CED＝180°，
∴∠B+∠D＝180°．
2．解：延长AE、BC交于点F，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠CFE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠CFE，
∴AB＝BF，
∵AB＝BC+AD，BF＝BC+CF，
∴AD＝CF，
∴△ADE≌△FCE，
∴AE＝FE，
∴BE⊥AE．
3．证明：∵AB∥CD，
∴∠A+∠DCA＝180°．
∵∠A＝90°，∴∠DCA＝90°．
在Rt△BAC和Rt△ECD中，
∴Rt△BAC≌Rt△ECD．（HL）
∴∠B＝∠2．
在Rt△ABC中，∠1+∠B＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
∴∠EOC＝90°，即BC⊥DE．
4．证明：∵AM是△ABC的中线，
∴BM＝CM，
又∵FM＝EM，∠BME＝∠CMF，
∴△BEM≌△CFM（SAS），
∴∠FCM＝∠EBM，
∴BE∥CF．
5．解：△ABO≌△DCO或△DAB≌△ADC（2分）
证明：∵△ABC≌△DCB
∴AB＝CD∠BAC＝∠CDB（6分）
在△ABO和△DCO中有：
AC＝BD∠BAC＝∠CDB∠AOB＝∠COD
∴△ABO≌△CDO（8分）
6．解：增加的一个条件是：AB＝AC．
给出的一个结论是：Rt△ABD≌Rt△ACE．
证明如下：
∵BD⊥AC，
∴△ABD是Rt△．
∵CE⊥AB，
∴△ACE是Rt△．
又∠A＝∠A，AB＝AC，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE．
7．解：若选①，AB+BD＝DC；
证明：在DC上截取DE＝DB，连接EA，
∵BD＝ED，∠ADB＝∠ADE＝90°，AD为公共边，
∴△ABD≌△AED，
∴AB＝AE，∠B＝∠AED；
又∵∠B＝2∠C，
∴∠AED＝2∠C＝∠C+∠EAC，
∴AE＝EC，
即AB＝AE＝EC，
∵CD＝DE+CE，
∴CD＝AB+BD．
8．证明：∵DE＝BF，
∴DE+EF＝BF+EF；
∴DF＝BE；
在Rt△ADF和Rt△BCE中
，
∴Rt△ADF≌Rt△BCE，
∴AF＝CE．
9．（1）证明：连接AC、AD，
∵点F是CD的中点，且AF⊥CD，
∴AC＝AD．
∴∠ACD＝∠ADC．
∵∠BCD＝∠EDC，
∴∠ACB＝∠ADE．
∵BC＝DE，AC＝AD，
∴△ABC≌△AED．
∴AB＝AE．
（2）解：AF⊥BE；BE∥CD．
10．证明：∵AB∥EF，AD∥CF，
∴∠E＝∠B，∠ADB＝∠ECF．
∵BC＝DE，
∴BC+CD＝DE+CD．
∴△ECF≌△BDA．
∴AD＝CF．
11．解：如图所示，作DE⊥AB于E，
∵DA＝DB，DE⊥AB，
∴AE＝EB＝AB，∠AED＝90°．
∵AB＝2AC，
∴AC＝AB．
∴AC＝AE．
在△ACD和△AED中，
∵AC＝AE，∠2＝∠1，AD＝AD，
∴△ACD≌△AED（SAS）．
∴∠ACD＝∠AED＝90°．
∴DC⊥AC．
12．证明：（1）∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC，
即∠BAC＝∠EAD．
在△ABC和△AED中
，
∴△ABC≌△AED（SAS）．
（2）∵由（1）知△ABC≌△AED
∴∠ABC＝∠AED，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABE﹣∠ABC＝∠AEB﹣∠AED，
∴∠OBE＝∠OEB．
∴OB＝OE．
13．（1）证明：∵BE∥CF，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°，
∴∠3＝∠4，
∵AF＝DE，
∴AF﹣EF＝DE﹣EF，
即AE＝DF，
在△ABE与△DCF中，，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠A＝∠D，
∴AB∥CD；
（2）不一定．
理由如下：当点A、D不重合时，根据（1）中结论，AB∥CD，
当点A、D重合时，AB、CD在同一直线上，AB与CD不平行，
∴不一定平行．
14．证明：（1）∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，即BC＝EF
又∵AB⊥BE，DE⊥BE，即∠B＝∠E＝90°
又∵AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF（HL）
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE
∴GF＝GC
15．（1）证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAF．
在△ACF和△ADF中，
∵，
∴△ACF≌△ADF（SAS）．
∴∠ACF＝∠ADF．
∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，∠CAE+∠B＝90°，
∴∠ACF＝∠B，
∴∠ADF＝∠B．
∴DF∥BC．
②证明：∵DF∥BC，BC⊥AC，
∴FG⊥AC．
∵FE⊥AB，
又AF平分∠CAB，
∴FG＝FE．
16．（1）证明：①∵在△ABC中，∠BAD+∠B+∠ADB＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，
又∵∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，
且∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠CDE；
②由①得：∠BAD＝∠CDE，
在△ABD与△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE；
（2）解：在△ABD与△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CDE，
又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，
∴∠ADE＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝∠B，
在△ABC中，∠BAC＝70°，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×110°＝55°，
∴∠ADE＝55°．
17．解：∵CD⊥AB，EF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴∠CEF＝∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，∠F+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠F，
在△ACB和△FEC中
∴△ACB≌△FEC（AAS），
∴AC＝EF，
∵EF＝5cm，
∴AC＝5cm，
∵BC＝CE＝2cm，
∴AE＝AC﹣CE＝5cm﹣2cm＝3cm，
在Rt△FEC中，由勾股定理得：CF＝＝＝（cm）．
18．（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD
∴CE＝CF
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠EBC＝180°
∴∠EBC＝∠D
∵∠CEB＝∠CFD＝90°
∴△CBE≌△CDF
（2）证明：∵CE＝CF，AC＝AC
∴△ACE≌△ACF
∴AE＝AF
∴AB+DF＝AB+BE＝AE＝AF
19．（1）解：如图：延长BE交AC于点F，
∵BF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEF．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠FAE，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（ASA），
∴∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF．
∵∠C+∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，
∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝3∠C，
∴∠C+2∠CBF＝3∠C，
∴∠CBF＝∠C．
∵∠BAC＝60°，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠AFB＝60°，
∴∠CBF＝∠C＝30°．
∴∠ADB＝90°﹣30°＝60°；
（2）证明：由（1）知：∠CBF＝∠C．
∴BF＝CF，
∴BE＝BF＝CF．
∵CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB，
∴BE＝（AC﹣AB）．
20．解：（1）∠1＝∠B
理由：由∠ACB＝90°，知∠1+∠F＝90°
又DF⊥AB，所以∠B+∠F＝90°
则∠1＝∠B
（2）AB＝FB
理由：在△ABC和△FBD中，
∵∠ACB＝∠FDB＝90°，BC＝BD，∠B＝∠B，
∴△ABC≌△FBD，
∴AB＝FB．