2022-2023学年高一年级北师大版（2019）数学必修一6.4.2 分层随机抽样的均值与方差[课时练习]（Word含答案）

6.4.2 分层随机抽样的均值与方差
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共5小题，共25.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
在考察某中学的学生身高时，采用分层随机抽样的方法，得到了男生身高的平均数为170，女生身高的平均数为165，现知道抽取的样本中，男生有20人，女生有15人，则可估计该校学生的身高平均数为（ ）（结果精确到
A. B. C. D.
某房地产公司为了了解某小区业主对户型结构（平层与复式）的满意度，采用比例分配的分层随机抽样的方法对该小区的业主进行问卷调查．20位已购买平层户型的业主对户型结构的满意度的平均分为8，30位已购买复式户型的业主对户型结构的满意度的平均分为9，用样本平均数估计该小区业主对户型结构的满意度的平均分为（ ）
A. 8.4 B. 8.5 C. 8.6 D. 8.7
在一次分层随机抽样中,可分两层进行抽样,通过计算,已知第一层抽取m个数,其平均数为a,第二层抽取n个数其平均数为b,则抽取的总样本的平均数为( )
A. B. C. D.
某校学生的男女人数之比为2 : 3 ，按照男女比例通过分层随机抽样的方法抽到一个样本，样本中男生每天运动时间的平均值为100 分钟、女生为80 分钟．结合此数据，估计该校全体学生每天运动时间的平均值为( )
A. 98 分钟 B. 90 分钟 C. 88 分钟 D. 85 分钟
为了了解某校甲、乙两个班某次数学考试的成绩，用分层随机抽样的方法从两个班抽取25人进行成绩统计，得到如下结果：
甲班：46 58 61 64 69 71 72 74 76 77 78 84 84 87 96
乙班：57 62 65 72 75 77 81 84 84 92
已知甲、乙两个班共有100人，则估计甲、乙两个班该次数学考试的平均成绩为 （ ）
A. 73.2 B. 73.8 C. 74.1 D. 74.9
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
某学校共有学生2000人,其中高一800人,高二、高三各600人,学校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计,全体学生每天的读书时间的平均数为=3小时,方差为=1.966,其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为=2.7,=3.1,=3.3,又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为=1,=2,则高三学生每天读书时间的方差= .
我校高一某组合分为A,B,C三个部，共500名学生，A部有50人，B部有100人，C部有350人。为了对某次月考的数学成绩（满分150分）作出客观的评估，从中抽取一个总样本量为100的样本，拟通过分层随机抽样的方法，且在各层中按比例分配样本。若A部样本的平均分为120分，B部样本的平均分为90分，C部样本的平均分为70分.试估计该组合学生的数学平均成绩为 分．（用数字作答）
高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的比例分配的方法抽取了160个样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则
（1）高一、高二抽取的样本量分别为 ；
（2）高一和高二数学竞赛的平均分约为 ．
某校有选修物化、物生、政史三种不同类别课程的学生共900人（假设每人只选修一种类别的课程），按照分层随机抽样的方法从中抽取20人参加数学调研检测．已知在这次检测中20人的数学平均成绩为119分，其中选修物化和物生类别课程学生的数学平均成绩为120分，选修政史类课程学生的数学平均成绩为115分，则该校选修政史类课程的学生人数为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题12.0分)
某学校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况，从甲、乙、丙3个班中，按分层随机抽样的比例分配的方法获得了部分学生一周的锻炼时间 （单位：h），数据如下，
甲 6 6.5 7 7.5 8
乙 6 7 8 9 10 11 12
丙 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5
（1）求三个班中学生人数之比；
（2）估计这个学校高一年级学生中，一周的锻炼时间超过10h的百分比；
（3）估计这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间.
(本小题12.0分)
在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有800名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从800名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将800名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为000-799．
（1）若采用随机数法抽样，并按照以下随机数表，以第2行的第18列的数字9为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端，写出样本编号；
05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74
07 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 51
51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48
26 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 94
14 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43
（2）求出（1）中抽取的样本编号对应的数的极差与中位数；
（3）若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．用样本估计800名考生的选做题得分的平均数与方差．
(本小题12.0分)
在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分为10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答，某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名学生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名学生的选做题成绩随机编号为001，002，…，900.若采用分层随机抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中选择A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中选择B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.试用样本估计该校900名学生的选做题得分的平均数与方差.
(本小题12.0分)
某学校有高中学生500人，其中男生320人，女生180人.有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03.
（1）根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗？为什么？
（2）如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？
（3）如果已知男、女的样本量都是25，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？它们分别作为总体均值和方差的估计合适吗？为什么？
(本小题12.0分)
在分层抽样时，如果总体分为k层，而且第j层抽取的样本量为，第j层的样本均值为，样本方差为 .记.求证：所有数据的样本均值和方差分别为:.
(本小题12.0分)
某学校在上报《国家学生体质健康标准》高一年级学生的肺活量单项数据中，采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法.如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其肺活量平均数，方差为10；抽取了女生30人，其肺活量平均数为，方差为20，估计高一年级全体学生肺活量的平均数与方差.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】3
7.【答案】79
8.【答案】（1）90，70 ；

（2）84.375

9.【答案】180
10.【答案】解：（1）三个班中学生人数之比为.
（2）样本中一周的锻炼时间超过10h的有5个，
因此一周的锻炼时间超过10h的百分比为.
估计该校高一年级学生中，一周的锻炼时间超过10h的百分比为25%.
（3）样本中甲、乙、丙三个班级的平均锻炼时间分别为7h，9h，8.25h，
则样本平均数为.
估计该校高一年级学生一周的平均锻炼时间为8.2h.

11.【答案】解：（1）根据题意，读出的编号依次是：
964（超界），617，162，991（超界），506，512，916（超界），935（超界），805（超界），770，951（超界），512（重复），687，858（超界），554，876（超界），647，547，332，故抽取的样本编号为617，162，506，512，770，687，554，647，547，332．
（2）将（1）中有效的编号从小到大排列，得162，332，506，512，547，554，617，647，687，770，所以（1）中抽取的样本编号对应的数的极差为770-162＝608，中位数为．
（3）记样本中8个A题目成绩分别为x1，x2，…，x8；
2个B题目成绩分别为y1，y2，
由题意可知，，，，
故样本平均数为，
样本方差为
．
所以估计该校800名考生的选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56．

12.【答案】解：设样本中选择 A题目的成绩的平均数为，方差为；
样本中选择B题目的成绩的平均数为，方差为，
则，
所以样本的平均数为，
方差为.
故该校900名学生的选做题得分的平均数约为7.2，方差约为3.56.

13.【答案】解：（1）不能，因为本题没有给出男、女生的样本量，或者男、女生样本量的比例，故无法计算出总样本的均值和方差.
（2）总样本的均值为.
总样本的方差.
（3）总样本的均值为.
总样本的方差为.
不能作为总体均值和方差的估计，因为分层抽样中未按比例抽样，总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，因而样本的代表性差.

14.【答案】解：=,=.
样本均值为=()=().
又=,=.
计算总体==+2(-)(-)+
又(-)=-=-=0.
=+.

15.【答案】解：把男生样本记为,其平均数记为,方差记为；
把女生样本记为,其平均数记为,方差记为；
把总样本数据的平均数记为,方差记为.
由,,根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系,可得总样本平均数为.
根据方差的定义,总样本方差为
=[+]
=[+
由,
可得..
同理可得.
因此
据此估计高一年级全体学生肺活量的平均数为,方差为60280.

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