2022-2023学年高一年级北师大版（2019）数学必修一第五章 函数应用[单元测试]（Word含答案）

第五章函数应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
函数f(x)＝ex-5的零点所在区间为 （ ）
A. (-3，-2) B. (-1，0) C. (0，1) D. (1，2）
下列图象对应的函数中，能用二分法求零点的是 （ ）
A. B.
C. D.
已知函数f(x)＝ex+x，g(x)＝ln x+x，h(x)＝ln x-1的零点依次为a，b，c，则 （ ）
A. a＜b＜c B. c＜b＜a C. c＜a＜b D. b＜a＜c
设a是函数的零点，若x0＞a，则 （ ）
A. f(x0)＝0 B. f(x0)＞0
C. f(x0)＜0 D. f(x0)的符号不确定
环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号电动汽车，在一段平坦的国道上进行测试，国道限速80 km/h（不含80 km/h）．经多次测试，得到该电动汽车每小时耗电量M(v)（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据：
v 0 10 40 60
M(v) 0 1325 4400 7200
为了描述国道上该电动汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下几种函数模型供选择，则当0≤v＜80时，最符合表格所列数据的函数模型为 （ ）
A. B.
C. M(v)＝300logav+b D. M(v)＝av
设函数，若f(-4)＝f(0)，f(-2)＝-2，则函数y＝f(x)-x的零点个数为 （ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 3
物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是T0，t min后的温度是T，则，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯88℃的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要（参考数据：lg 11≈1.04，lg 2≈0.30） （ ）
A. 24 min B. 25 min C. 26 min D. 27 min
设实数x1，x2是函数的两个零点，则 （ ）
A. 0＜x1x2＜1 B. x1x2＜0 C. x1x2＞1 D. x1x2＝1
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
下列函数中，有零点且能用二分法求零点的近似值的是 （ ）
A. B.
C. y＝x2-3x+3 D. y＝|x-2|
已知函数，若函数g(x)＝f(x)+x-m不存在零点，则实数m的可能取值是 （ ）
A. 2 B. 3 C. D. 4
已知函数f(x)和g(x)的零点所构成的集合分别为M，N，若存在α∈M，β∈N，使得|α-β|≤1，则称f(x)与g(x)互为“零点伴侣”．若函数与g(x)＝x2-ax-a+3互为“零点伴侣”，则实数a的取值不能是 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
已知函数，且k≠0，则下列关于函数y＝f(f(x))+1的零点个数的判断正确的是 （ ）
A. 当k＞0时，有3个零点 B. 当k＜0时，有2个零点
C. 当k＞0时，有4个零点 D. 当k＜0时，有1个零点
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知a是函数f(x)＝2-log2x的零点，则a的值为 ．
如图，将桶1中的水缓慢注入空桶2中，开始时桶1中有a升水，t min后剩余的水量=,那么桶2中的水量就是= ．假设经过5 min，桶1和桶2中的水量相等，再经过m min，桶1中的水只有升，则m的值为 ．
已知函数的图象过点，且函数g(x)＝f(x)-k有三个零点，则实数k的取值范围是 ．
函数f(x)的定义域为[-1，1]，图象如图1所示，函数g(x)的定义域为[-2，2]，图象如图2所示，若方程f(g(x))＝0有m个实数根，则m＝ ．若方程g(f(x))＝0有n个实数根，则n＝ ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题12.0分)
已知函数在区间上单调，且有一个零点．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若，用二分法求方程f(x)＝0在区间上的根．
(本小题12.0分)
已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)是二次函数，其图象与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于C(0，6)．
（1）求f(x)的解析式；
（2）若方程f(x)-2a+2＝0有两个不同的实数根，求a的取值范围．
(本小题12.0分)
某化工企业致力于改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为r0 mg/m3，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为r1 mg/m3，第n次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为rn mg/m3，则可建立函数模型rn=r0-(r0-r1)50.5+p(p∈R，n∈N*)，其中n是指改良工艺的次数．现已知r0＝2，r1＝1.94．
（1）试求改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；
（2）若该地环保部门要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08 mg/m3，试问至少进行多少次改良工艺才能使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？
（参考数据：lg 2≈0.3）
(本小题12.0分)
已知函数f(x)=(+4)+kx-1是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）设，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．
(本小题12.0分)
已知函数．
（1）用单调性的定义证明：f(x)在定义域上是减函数；
（2）证明：f(x)有零点；
（3）设f(x)的零点在区间内，求正整数n．
(本小题12.0分)
已知函数f(x)＝ax2+bx+c(a＞0)，且．
（1）求证：函数f(x)有两个不同的零点；
（2）设x1，x2是函数f(x)的两个不同的零点，求|x1-x2|的取值范围；
（3）求证：函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】AB
10.【答案】BC
11.【答案】AD
12.【答案】CD
13.【答案】4
14.【答案】10
15.【答案】
16.【答案】7
7

17.【答案】解:(1)若a=0,则f(x)=-,与题意不符,a0.
由题意得f(-)f()=(15a-1)(a-1)<0,
即或，,
∴ 实数a的取值范围为{a|}.
(2)若a=,则f(x)=-x+,
f(-)=>0,f(0)=>0,f()=-<0,
函数f(x)的零点在(0,)上,又f()=0,
方程f(x)=0在区间(-,)上的根为.
18.【答案】解:(1)依题意可设,当x0时,f(x)=k(x-1)(x-3).
由f(0)=6,得3k=6,k=2,
f(x)=2(x-1)(x-3)=-8x+6(x0).
当x<0时,-x>0, 则f(-x)=+8x+6.
又f(x)是偶函数,
f(-x)=f(x),f(x)=+8x+6(x<0).
f(x)=.
(2)依题意知f(x)=2a-2有两个不同的实数根,即y=f(x)与y=2a-2在同一坐标系中的图象有两个不同的交点.
作出函数f(x)的图象,如图所示.
由图,可知只需满足条件2a-2=-2或2a-2>6,
a=0或a>4,即实数a的取值范围是{0}(4,+).
19.【答案】解:(1)由题意知，，，所以当n=1时,r1=r0-(r0-r1)50.5+p,
即1.94=2-(2-1.94),解得p=-0.5,
所以rn=2-0.06(n),
故改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为rn=20.06(n).
(2)由题意可得,=2-0.060.08,整理得32,
两边同时取对数,得0.5n-0.5,
整理得n2+1,
将20.3代入,得2+15.3,
又n,所以n6.
所以至少进行6次改良工艺才能使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
20.【答案】解:(1)因为f(x)=(+4)+kx-1(kR),所以f(x)=(
由函数f(x)是偶函数可知f(x)=f(-x),
=(,
=x=-2kx,即x=-2kx对一切xR恒成立,
k=-.
(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,
即方程(+1)-x=[a(-)]有且只有一个实根.
化简得方程+=a-a有且只有一个实根.
令t=
则方程(a-1)-at-1=0有且只有一个正实根.
当a=1时, t=-,不符合题意;
当a>1时,函数y=(a-1)-ax-1的图象是开口向上的抛物线,且恒过点(0,-1),
所以方程(a-1)-at-1=0恒有一个正实根;
当a<1时, 要使方程(a-1)-at-1=0有且只有一个正实根,
只需,解得a=-3.
综上，实数a的取值范围是{-3}(1,+).
21.【答案】解:(1)显然f(x)的定义域为(0,+),设,是(0,+)内的任意两个不相等的实数,且<,则
f()-f()=(-)+(-),因为->0,>0,所以,
-=>0,所以f()>f(),故f(x)在定义域(0,+)上是减函数.
(2)因为f(1)=0+-=-8<0,f()=4+8-=>0,所以f(1)f()<0,所以f(x)有零点.
(3)f()=+-=11-3>8-3=0,
f()=+5-=10-=5-=-<0,
所以f()f()<0,
又f(x)在(0,+)上为减函数,所以f(x)的零点在区间(,)内,
故n=10.
22.【答案】解:(1)f(1)=a+b+c=-,c=--b.
f(x)=+bx--b.对于方程f(x)=0,
=-4a(--b)=++4ab=+,
>0恒成立.
又a>0,函数f(x)有两个不同的零点.
(2)由,是函数f()的两个不同的零点,得,是方程f(x)=0的两个根.
+=-,=--.
===.
的取值范围是[,+).
(3)f(0)=c,f(2)=4a+2b+c
由(1)知3a+2b+2c=0,f(2)=a-c.
(i)当c>0时,有f(0)>0,又a>0,f(1)=-<0,函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点.
(ii)当c0时,f(2)=a-c>0,f(1)<0,函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点.
综上所述,函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.
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