2022-2023学年高一年级北师大版（2019）数学必修一4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较[课时练习]（Word含答案）

4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
给出4个函数，，，，当时，其中增长速度最快的函数是( )
A. B.
C. D.
小明在调查某网店每月的销售额时，得到了下列一组数据：
（月份） 2 3 4 5 6 …
（万元） 1.40 2.56 5.31 11 21.30 …
现用下列函数模型中的一个近似地模拟这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
A. B. C. D.
假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是（）
A. 投资3天以内（含3天），采用方案一
B. 投资4天，不采用方案三
C. 投资6天，采用方案一
D. 投资12天，采用方案二
二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）
甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是()
A. 当x>1时，甲走在最前面
B. 当x>1时，乙走在最前面
C. 当01时，丁走在最后面
D. 如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（ ）
A. 随着的逐渐增大，增长速度越来越快于
B. 随着的逐渐增大，增长速度越来越快于
C. 当时，增长速度一直快于
D. 当时，增长速度有时快于
以下四种说法中，错误的是( )
A. 幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B. 对任意的x＞0，xa＞logax
C. 对任意的x＞0，ax＞logax
D. 不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xa＞logax
三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）
在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：
现准备用下列四个函数中的一个近似地描述这些数据的规律：
① ；②；③；④
其中最接近的一个是 （只填序号）
对指数函数、幂函数、对数函数增长的对比知：若，，那么当足够大时，一定要ax （填）．
四、解答题（本大题共7小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题12.0分)
如图,对数函数y=x的图象与一次函数y=f(x)的图象有A,B两个公共点.求一次函数y=f(x)的解析式.
(本小题12.0分)
举生活中与增长率有关的例子，并分析这种增长率符合一次函数、幂函数、指数函数中的哪一种．
(本小题12.0分)
人类已进入大数据时代.目前,数据量已经从TB(1TB=1024GB)级别跃升到PB(1PB=1024TB),EB(1EB=1024PB)乃至ZB(1ZB=1024EB)级别.国际数据公司(IDC)的研究结果表明,2008年全球产生的数据量为0.49ZB,2009年的数据量为0.8ZB,2010年增长到1.2ZB,2011年的数量更是高达1.82ZB,而到了2020年,预计全世界所产生的数据规模将达到2011年的44倍.
为了较好地描述2008年起全球产生的数据量与时间x(单位:年)的关系,根据上述数据信息,从函数f(x)=kx+b和g(x)=中选择一个,并求出解析式.
(本小题12.0分)
某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．
下列几个模拟函数中：
①y＝ax2＋bx；
②y＝kx＋b；
③y＝logax＋b；
④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．
用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由．
(本小题12.0分)
函数f(x)＝2x和g(x)＝x3(x≥0)的图象，如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2．
（1）请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
（2）结合函数图象，比较f(8)，g(8)，f(2015)，g(2015)的大小．
(本小题12.0分)
某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
(本小题12.0分)
函数f（x）=1.1x，g（x）=lnx+1，h（x）=的图象如下图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异（以1，e，a，b，c，d为分界点）．

1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】CD
5.【答案】BD
6.【答案】ABC
7.【答案】④
8.【答案】>
>

9.【答案】解：依题意，A（1，0），B（2，lg2），
设f（x）=kx+b，
则，解得，
∴f（x）=lg2 x-lg2．
10.【答案】解:假设年初有万元，银行定期存款一年利率.
若存款1年，则第年年底的资金有万元；
若存款年，第年年底资金万元，再存年，则第年年底的资金有万元；
…………
依次类推，第年年底的资金有万元.
这种增长符合指数函数.

11.【答案】解：从第2年起，计算每一年数据量与前一年数据量的比值，列表如下．
时间/年 2008 2009 2010 2011 … 2020
数据量/ZB 0.49 0.8 1.2 1.82 … 1.82×44
增长比例 1.63 1.50 1.52 …
以时间为横轴，数据量为纵轴作图如图一
从数据变化看，可选择指数型函数g(x)＝abx进行描述．
可以前4年增长比例的平均值作为函数的增长比例，
则，而初始量a＝0.49，
所以每一年全球产生的数据量可以表示为g(x)＝0.49×1.55x-2008．
画出函数y＝g(x)的图象（图（2）），与散点图吻合程度较好．
12.【答案】解：用①来模拟比较合适，因为二次函数可以先增后减，
而该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．
而②③④表示的函数在区间上都是单调函数，
所以②③④都不合适，
故用①来模拟比较合适．

13.【答案】解：（1）C1对应的函数为g(x)＝x3(x≥0)，C2对应的函数为f(x)＝2x．
（2）因为g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1000，f(10)＝1024，
所以 f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)．
所以1＜x1＜2，9＜x2＜10．
所以x1＜8＜x2＜2015．
从题中图象上知，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)；
当x＞x2时，f(x)＞g(x)，且g(x)在(0，+∞)上是增函数，
所以f(2015)＞g(2015)＞g(8)＞f(8)．
14.【答案】解：奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，所以是增函数，三个都满足，奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%，说明且，
借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02 x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02 x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5 x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．

15.【答案】解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得：
曲线C1对应的函数是f（x）=1.1x，曲线C2对应的函数是h（x）=，曲线C3对应的函数是g（x）=lnx+1．
由题图知，当0< x＜1时，f（x）＞h（x）＞g（x）；
当1＜x＜e时，f（x）＞g（x）＞h（x）；
当e＜x＜a时，g（x）＞f（x）＞h（x）；
当a＜x＜b时，g（x）＞h（x）＞f（x）；
当b＜x＜c时，h（x）＞g（x）＞f（x）；
当c＜x＜d时，h（x）＞f（x）＞g（x）；
当x＞d时，f（x）＞h（x）＞g（x）．
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