2022-2023学年高一年级北师大版（2019）数学必修一5.2.2 用函数模型解决实际问题[课时练习]（Word含答案）

5.2.2 用函数模型解决实际问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
小明在调查某网店每月的销售额时，得到了下列一组数据：
t（月份） 2 3 4 5 6 …
y（万元） 1.40 2.56 5.31 11 21.30 …
现用下列函数模型中的一个近似地模拟这些数据的规律，其中最接近的一个是（　　）
A. B. C. y=t D.
某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为（ ）
A. 13立方米 B. 14立方米 C. 18立方米 D. 26立方米
某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )
A. 16小时 B. 20小时 C. 24小时 D. 28小时
衡量病毒传播能力的一个重要指标叫做传播指数R0．它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫），一个感染某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是：R0=1+确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，某种传染病确诊病例的平均增长率为25%，两例连续病例的间隔时间的平均数为4天，根据以上数据计算，若甲得这种传染病，则经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（　　）
A. 30 B. 62 C. 64 D. 126
为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过12m3的部分 3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3
超过18m3的部分 9元/m3
若某户居民本月交纳的水费为66元，则此户居民本月用水量为
A. 17 m3 B. 18 m3
C. 19 m3 D. 20 m3
科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到．任画一条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”，用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n次构造”，就可以得到一条科赫曲线．若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是( )（取lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）

A. 16 B. 17 C. 24 D. 25
某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为P＝P0·e-kt（k为常数，P0为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为( )（参考数据：取log52≈0.43）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 14
为了提高资源利用率，全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为了新时代的要求.假设某地2020年全年用于垃圾分类的资金为500万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市用于垃圾分类的资金开始不低于1600万元的年份是（　　）（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
A. 2025年 B. 2026年 C. 2027年 D. 2028年
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元时，这个人应得稿费（扣税前）为 元．
用洗衣机洗衣服时，假设每次能洗去污垢的，则要使留在衣服上的污垢不超过衣服上最初污垢量的1％，则至少要洗 次．
某贫困地区现在人均年占有粮食为420kg，如果该地区人口平均每年增长1%，粮食总产量平均每年增长5%，那么x年后该地区人均年占有ykg粮食，则函数y关于x的解析式是 ．
李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共120.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题12.0分)
新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产x万箱，需另投入成本p（x）万元，当产量不足90万箱时，p（x）=+40x；当产量不小于90万箱时，p（x）=101x-2180，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．
（1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；
（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？
(本小题12.0分)
某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m2，凤眼莲的覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y=kax（k＞0，a＞1）与可供选择．
（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4711）．
(本小题12.0分)
候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量M之间的关系为：，(其中a,b是实数)，据统计，该种鸟类在静止的时间其耗氧量为45个单位，而其耗氧量为105个单位时，其飞行速度为1m/s.
(1)求出a，b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位.
(本小题12.0分)
地震是一种自然现象，地震的震级是震波最大振幅来确定的，震级单位是“里氏”，通常用字母M表示，其计算公式为：M=lg，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际地震中的距离造成的偏差），例如：用A8.0和A9.0分别表示震级为8.0和9.0的最大振幅．
（1）若一次地震中的最大振幅是50，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；
（2）2008年5月12日，我国汶川发生了8.0级地震；2011年3月11日在日本东北部太平洋海城发生了9.0级地震．试计算9.0级地震的最大振幅是8.0级地震的最大振幅的多少倍？（以下数据供参考：lg2≈0.3010）
(本小题12.0分)
2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品、让展商变投资商，交流创意和理念联通中国和世界，成为国际采购、投资促进、人文交流、开放合作的四大平台，成为全球共享的国际公共产品.
在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场已知该产品年固定研发成本150万元，每生产一台需另投入380元.设该企业一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为R（x）万元，且R（x）=.
（1）写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）
（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润.
(本小题12.0分)
自2018年9月6日美国对华2000亿美元的输美商品加征关税以来，中美贸易战持续升级，我国某种出口产品的关税税率为t，市场价格x（单位：千元）与市场供应量p（单位：万件）之间近似满足关系式：p=，其中k，b为常数.研究表明，当关税税率t=75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件.
(1)试确定k，b的值；
(2)市场需求量q（单位：万件）与市场价格x近似满足关系式：，当p=q时，市场价格称为平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值.
(本小题12.0分)
水葫芦原产于巴西，年作为观赏植物引入中国. 现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾，严重影响航道安全和水生动物生长. 某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过个月其覆盖面积为，经过个月其覆盖面积为. 现水葫芦覆盖面积（单位：）与经过时间个月的关系有两个函数模型与可供选择.
（参考数据：）
（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（Ⅱ）求原先投放的水葫芦的面积，并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.
(本小题12.0分)
经过长期发展，我国的脱贫攻坚成功走出了一条中国特色的扶贫开发道路.某个农村地区因地制宜，致力于建设“特色生态水果基地”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量L（单位：千克）与施肥量x（单位：千克）满足函数关系：，且单株水果树的肥料成本投入为20x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）为25x元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为f（x）（单位：元）.
（1）求f（x）的函数关系式；
（2）当单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
(本小题12.0分)
近年来，我国积极参与国际组织，承担国际责任，为国家进步、社会发展、个人成才带来了更多机遇，因此，面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值.其中，某位大学生带领其团队自主创业，通过直播带货的方式售卖特色农产品，下面为三年来农产品销售量的统计表：
年份 2016 2017 2018
销售量/万斤 41 55 83
结合国家支持大学生创业政策和农产品市场需求情况，该大学生提出了2019年销售115万斤特色农产品的目标，经过创业团队所有队员的共同努力，2019年实际销售123万斤，超额完成预定目标.
（1）将2016、2017、2018、2019年分别定义为第1年、第2年、第3年、第4年，现有两个函数模型：二次函数模型为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）；幂函数模型为g（x）=kx3+mx+n（k≠0）.请你通过计算分析确定：选用哪个函数模型能更好的反映该创业团队农产品的年销售量y与第x年的关系；
（2）依照目前的形势分析，你能否预测出该创业团队在2020年度的农产品销售量吗？
(本小题12.0分)
小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】3800
10.【答案】5
11.【答案】(x∈N*)
12.【答案】130
15

13.【答案】解：（1）当0＜x＜90时，；
当x≥90时，，
∴．
（2）①当0＜x＜90时，≤1600，
②当x≥90时，，
当且仅当，即x=90时等号成立，
而1800＞1600，
所以当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1800万元．
14.【答案】解：（1）函数y=kax（k＞0，a＞1）与在（0，+∞）上都是增函数，
随着x的增加，函数y=kax（k＞0，a＞1）的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢，
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型y=kax（k＞0，a＞1）符合要求．
根据题意可知x=2时，y=24；x=3时，y=36，
∴，解得．
故该函数模型的解析式为，1≤x≤12，x∈N*；
（2）当x=0时，，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是m2，
由＞10×，得＞10，
∴x＞=≈5.9，
∵x∈N*，
∴x≥6，
即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．
15.【答案】解：（1）由题意可知，即，
解得：a=-1，b=1．
（2）由（1）可知：v=-1+log3，M＞15，
令-1+log3≥2，可得log3≥3，
即M-15≥270， M≥285，
∴若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，其耗氧量至少要285个单位．
16.【答案】解：（1）
因此，这次地震的震级约为里氏4.7级．
（2）由可得，
当M=8.0时，地震的最大振幅为
当M=9.0时，地震的最大振幅为
所以，两次地震的最大振幅之比是：
答：9.0级地震的最大振幅约为8.0级地震的最大振幅的10倍．
17.【答案】解：（1）当0＜x≤20时，S=xR （x）-（380x+150）
=500x-2x2-380x-150=-2x2+120x-150，
当x＞20时，S=xR （x）-（380x+150）
=370x+2140--380x-150=-10x-+1990，
∴年利润S的解析式为S（x）=．
（2）当0＜x≤20时，S=-2x2+120x-150=-2（x-30）2+1650，
∴函数S在（0，20]上单调递增，
∴当x=20时，S取得最大值，为1450，
当x＞20时，S=-10x-+1990=-（10x+）+1990
≤-2+1990=-500+1990=1490，
当且仅当10x=，即x=25时，等号成立，此时S取得最大值，为1490，
∵1490＞1450，
∴当年产量为25万台时，该企业获得的利润最大，最大利润为1490万元．
18.【答案】解：（1）由已知可得,
所以,
解得k=1,b=5;
（2）当p=q时，,所以,
故,
而在（0,4]上单调递减，
所以当x=4时，f(x)有最小值，
此时取得最大值5，
故当x=4时，关税税率的最大值为500%.
19.【答案】解：(1)因为y=(k>0,a>1)的增长速度越来越快,
y=+q(p>0)的增长速度越来越慢,
所以依题意应选函数模型y=(k>0,a>1),
则有,解得,
所以y=8(xN).
(2)由(1),知y=8(xN),
当x=0时,y=8,即原先投放的水葫芦的面积为.
设经过x个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍,
则8=81000,
所以x=1000==17.04,
所以约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.

20.【答案】解：（1）f（x）=15L（x）-20x-25x，
所以f（x）=；
（2）当0≤x≤2时，f（x）=75x2-45x+450=75（x-）2+443.25，
由二次函数性质得当x=2时，f（x）取最大值为f（2）=660元；
当2＜x≤5时，f（x）==，
而，
即，
当且仅当即x=4时取等号，
所以f（x）=≤1170-450=720元，
综上所述，当单株施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是720元．
21.【答案】解：（1）若选择二次函数模型，将前三年数据分别代入f（x）=ax2+bx+c（a≠0），
得，即，解得，
所以f（x）=7x2-7x+41，
将x=4代入f（x），得f（4）=7×42-7×4+41=125，
所以，此与2019年实际销售量误差为125-123=2（万斤），
若选择幂函数模型，将前三年数据分别代入g（x）=kx3+mx+n（k≠0），
得，即，解得，
所以g（x）=，
将x=4代入g（x），得g（4）==132，
所以，此与2019年销售量的实际误差为132-123=9（万斤），
显然2＜9，
因此，选用二次函数f（x）=7x2-7x+41模型能更好的反映该创业团队农产品的年销售量y与第x年的关系．
（2）依据（1），选用二次函数模型f（x）=7x2-7x+41 进行预测，
得f（5）=7×52-7×5+41=181（万斤），
即预测该创业团队在2020年的农产品销售量为181万斤．
22.【答案】解：（1）因为每件产品售价为5元，则x（万件）商品销售收入为5x万元，依题意得：
当0＜x＜8时，L（x）=5x-（）-3=-x2+4x-3，
当x≥8时，L（x）=5x-（6x+-38）-3=35-（x+），
∴L（x）=．
（2）当0＜x＜8时，L（x）=-（x-6）2+9，此时，当x=6时，L（x）取得最大值9；
当x≥8时，L（x）=35-（x+）≤35-2=15，
此时，当x=即x=10时，L（x）取得最大值15；
∵9＜15，
∴年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元．
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