11.3.2 多边形的内角和 优质课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
11.3.2 多边形的内角和
人教版八年级上册
知识回顾
1. n边形有多少条对角线？
2. 什么是正多边形？
3. 三角形的内角和为多少度？
4. 三角形外角具有什么性质？
教学目标
1.了解并掌握多边形内角和与外角和公式.
2.理解多边形内角和与外角和公式的推导过程.
3.灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决实际问题.
新知导入
通过前面的学习我们知道了三角形的内角总为180°，那么多边形的内角和会有什么性质呢？
问题1：正方形内角和为多少度？矩形（长方形）内角和为多少度？
答：矩形和正方形的内角和都是360°.
问题2：矩形和正方形都属于四边形，是不是所有四边形的内角和都是360°呢？
答：矩形和正方形虽然都是四边形，但它们都具有特殊性，并不是每个四边形的内角都是90°，所以我们只能说四边形的内角和可能是360°，这还只是一个猜想。
新知探究
问题3：在探究三角形内角和时，我们首先用了什么方法进行探究？
探究：请大家任意画一个四边形，用量角器量出四个内角的大小，并计算出四个内角的和是多少？
多边形的内角和
知识点 1
新知探究
经过测量发现四边形的四个内角和为360°.
问题4 能不能证明四边形内角和为360°呢？上节课的这张图给了我们什么启发？
这张图说明，多边形可以被对角线分为若干个三角形，而每个三角形内角和的总和正好就是多边形所有内角的和。
新知探究
解：∵对角线AC将四边形分为△ACD和△ACB，
∴在△ACD中，∠D+∠DAC+∠DCA=180°，
在△ACB中，∠B+∠BAC+∠BCA=180°.
∴∠D+∠DAC+∠DCA+∠B+
∠BAC+∠BCA=360°，
∴∠D+∠DAB+∠B+∠BCD=360°.
即四边形ABCD的内角和为360°.
已知：如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，
求：四边形ABCD的内角和.
A
C
B
D
新知探究
解法二：如图，在AB边上任取一点E，连接CE，DE，
∵在△ADE中，∠A+∠AED+∠ADE=180°
在△CDE中，∠CED+∠ECD+∠CDE=180°
在△BCE中，∠B+∠BCE+∠CEB=180°
∴∠A+∠AED+∠ADE+∠CED+∠ECD+∠CDE+∠B+∠BCE+∠CEB=180°×3=540°
∵∠AED+∠CED+∠CEB=180°
∴∠A+∠B+∠BCD+∠ADC=∠A+∠AED+∠ADE+∠CDE+∠CED+∠ECD+∠BCE+∠B+∠BEC–(∠AED+∠CED+∠BEC)
=180°×3–180°=360° .即四边形ABCD的内角和为360°
E
A
C
B
D
∠ADC
∠BCD
新知探究
解法三：如图，在四边形ABCD内部取一点E，
连接AE，BE，CE，DE，
把四边形分成四个三角形：
△ABE，△ADE，△CDE，△CBE.
所以四边形ABCD内角和为：
180°×4–(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4–360°=360°.
A
B
C
D
E
新知探究
A
B
C
D
P
解法四：如图，在四边形外任取一点P，连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
∴四边形ABCD内角和=△PAD内角和+△PCD内角和+△PBC内角和-△PAB内角和=180°×3 –180°= 360°.
这四种方法都运用了化归思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.
小结：四边形内角和为360°
新知探究
问题5 类比四边形内角和的计算方法，请尝试计算下列多边形内角和
从五边形的一个顶点出发，可以作出（ ）条对角线，它们将五边形分成了（ ）个三角形，五边形的内角和等于180°×（ ）.从六边形的一个顶点出发，可以作出（ ）条对角线，它们将六边形分成了（ ）个三角形，六边形的内角和等于180°×（ ）.
2
3
3
3
4
4
新知探究
n 边形
六边形
五边形
四边形
三角形
多边形内角和
分割出三角形的个数
从多边形的一顶点引出的对角线条数
图形
边数
······
0
n –3
1
2
3
1
2
3
4
n –2
（ n –2 ）·180
1×180 =180
2×180 =360
3×180 =540
4×180 =720
······
······
······
······
由特殊到一般
新知小结
多边形的内角和公式：
n边形的内角和等于（n-2）×180°.
通过以上的探究，我们发现多边形的内角和与边数之间有密切的关系.从n边形的一个顶点出发，可以作出（n-3）条对角线，它们将n边形分成了（n-2）个三角形，
n边形的内角和等于（n-2）× 180°.
新知典例
例1 求下列图形中x的值．
解：图1：四边形的内角和为：（4﹣2） 180°＝360°，
则2x°+150°+80°＝360°，
解得x＝65；
图2：五边形的内角和为：（5﹣2） 180°＝540°，
则3x°+110°+160°+90°＝540°，
解得x＝60．
新知典例
例2．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，∠A﹣∠C＝20°，求∠B的度数．
解：∵∠B+∠D＝180°，
∴∠A+∠C＝360°﹣180°＝180°，
∵∠A﹣∠C＝40°，
∴2∠A＝200°，
∴∠A＝100°，
∴∠C＝80°．
由此题我们可以发现，当四边形中有两角互补时，另外两角也互补
课堂练习
1．如图，∠ABE是四边形ABCD的一个外角，且∠ABE＝∠D．那么∠A与∠C互补吗？为什么？
解：∠A与∠C互补．
∵∠ABE＝∠D，∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ABC+∠D＝180°，
又∵四边形内角和等于360°，
∴∠A+∠C＝180°．
新知探究
多边形的外角和
知识点 2
三角形有外角，由三角形组成的多边形当然也有外角，接下来我们就要探究一下多边形的外角。
如图所示，与三角形外角相同，∠ABE就是四边形ABCD的一个外角，显而易见，也与三角形相同，多边形的每一个外角与相邻的内角互补。
问题6 图中四边形有几个外角？（每个顶点只取一个），五边形呢？六边形呢？
答： 四边形有4个外角，五边形有5个外角，六边形有6个外角。
新知探究
也就意味着每个外角的度数是在变化的，外角的个数也是在随着多边形边数在变化，那么外角和是否会像内角和一样，与边数n存在某种数量关系呢？
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
思考：如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．求这个五边形的外角和
求五边形的外角和，也就是求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=？
新知探究
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
已知：五边形ABCDE
求：五边形ABCDE外角和
解：由题可知∠1+∠BAE=180°
∠2+∠ABC=180°
∠3+∠BCD=180°
∠4+∠CDE=180°
∠5+∠AED=180°
∴∠1+∠BAE+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠AED=180°×5
∵五边形内角和为180°×3
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°×5-180°×3
=180°×2
=360°
n边形的外角和为多少呢？
新知探究
在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．
n边形外角和
–(n–2) × 180°
=360 °
=n个平角–n边形内角和
= n×180 °
An
A2
A3
A4
1
2
3
4
n
A1
思考：n边形的外角和又是多少呢？
多边形外角和与边数n无关
多边形外角和等于360°
新知典例
例1 （1）已知一个多边形每一个外角都是40°，则它是 　 　边形
九
解：∵360°÷40°＝9，
∴这个多边形的边数是9．
（2）正八边形一个外角的大小为 　 　度．
45
解：∵多边形的外角和等于360°．
∴360°÷8＝45°，
故答案为：45．
正多边形每个外角都相等
新知练习
1.若一个多边形的内角和与外角和共1260°，则这个多边形的边数是 　 .　
7
解：多边形的内角和是：1260°﹣360°＝900°，
设多边形的边数是n，
则（n﹣2） 180°＝900°，
解得：n＝7，
2.一个正多边形的每一个内角比每一个外角的3倍还大20°，则这个正多边形的边数为 　 　．
9
解：设每个外角为x°，则内角为（3x+20）°，
∴x+3x+20＝180，
解得x＝40，
∴边数＝360°÷40°＝9
课堂归纳
多边形的内角和
内角和计算公式
(n–2) × 180 °(n ≥3的整数）① 边数增加1，内角和增加180°；②内角和是180°的整倍数.
外角和
多边形的外角和等于360°
特别注意：与边数无关.
正多
边形
内角= ，外角=
新知练习
1.若n边形的内角和是五边形的外角和的3倍，则n的值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
C
2.五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，如图，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P＝（　　）
A．45° B．60° C．90° D．120°
B
新知练习
3.如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，则n＝　 　．
4.如图，在五边形ABCDE中，AB∥ED，∠1，∠2，∠3分别是∠ABC，∠BCD，∠CDE的外角，则∠1+∠2+∠3的度数为 　 　．
解：延长BA，DE，
∵AB∥ED，
∴∠4+∠5＝180°，
根据多边形的外角和定理可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°
5
180°
新知练习
5.如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝　 　．
360°
解：∵∠7＝∠4+∠6，∠8＝∠1+∠5，
∠2+∠3+∠7+∠8＝360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．
新知练习
6．如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数
解：由三角形内角和定理得：∠1+∠5＝∠8+∠9，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝
∠1+∠5+∠2+∠3+∠4+∠6+∠7＝
∠8+∠9+∠2+∠3+∠4+∠6+∠7＝
180°×（5﹣2）＝540°
新知练习
7.如图，沿图中直线将一个多边形按图所示减掉一个角，所得多边形的内角和为1800°，求原多边形的边数
解：设多边形截去一个角的边数为n，则
（n﹣2） 180°＝1800°，
解得n＝12，
∵截去一个角后，边数增加1，
∴原来多边形的边数是12﹣1＝11
新知练习
8.如图所示，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
解：∵∠1是△CEG的外角，
∴∠1＝∠C+∠E，
同理可得∠AFB＝∠B+∠D，
在△AFG中，
∵∠A+∠1+∠AFB＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°
新知练习
9.已知一个多边形的内角和再加上一个外角共612° ，则这个多边形的边数是 　 　．
解：设多边形的边数是n，所加的多边形的外角为α，则
（n﹣2） 180°+α＝612°，
α＝972°﹣180°n，又0＜α＜180°，
即0＜972°﹣180°n＜180°，
解得：4.4＜n＜5.4，又n为正整数，
可得n＝5，
此时α＝60°满足0＜α＜180°，
∴这个多边形的边数是5
5
作业布置
谢谢
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