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黑龙江省哈尔滨市第十七中学2021-2022学年八年级下学期开学考试数学试题
一、单选题
1．（2022八下·哈尔滨开学考）下列运算一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022八下·哈尔滨开学考）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022八下·哈尔滨开学考）下列代数式中，，，，，分式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022八下·哈尔滨开学考）多项式能用完全平方公式分解因式，则a的值是（ ）
A．4 B．-4 C．2或-2 D．4或-4
5．（2022八下·哈尔滨开学考）在中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．（2022八下·哈尔滨开学考）满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（ ）
①有两个角是60°的三角形；②有两个外角相等的等腰三角形：③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等的三角形；④一边上的高也是这边中线的等腰三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2022八下·哈尔滨开学考）将下列二次根式化为最简二次根式后，被开方数与的被开方数不同的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022八下·哈尔滨开学考）在中，AB=AC，中线BD将的周长分为15和12两部分，则底边BC的长为（ ）
A．7 B．11 C．7或11 D．7或10
9．（2022八下·哈尔滨开学考）若，则的值是（ ）
A．2 B．4 C．1 D．8
10．（2022八下·哈尔滨开学考）如图，在中，分别以AB、AC为边作等边三角形ABD与等边三角形ACE，连接BE、CD、BE的延长线与BE交于点F，连接AF．下列结论：①BE=CD；②；③FA平分；④．其中一定正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2022八下·哈尔滨开学考）把0.00000075用科学记数法表示为 ．
12．（2022八下·哈尔滨开学考）若式子有意义，则实数x的取值范围是 ．
13．（2021九上·乐清期末）分解因式： .
14．（2022八下·哈尔滨开学考）在中，，，若，则AB边上的高为 ．
15．（2022八下·哈尔滨开学考）如果与互为相反数，则x＝ ．
16．（2022八下·哈尔滨开学考）计算： ．
17．（2022八下·哈尔滨开学考）已知，，则 ．
18．（2022八下·哈尔滨开学考）如图，在中，AB=AC，，BD平分交AC于点D，点E在BC上，连接DE，若，则的度数为 ．
19．（2022八下·哈尔滨开学考）如图，在中，，，点D为AB中点，过点B作交CD的延长线于点E，BE=2，CD=5，则DE= ．
20．（2022八下·哈尔滨开学考）如图，等边中，点D、点E在AB上，连接CD、CE，，点F在CE的延长线上，连接DF，点G在DF的延长线上，且，若BE=2AD，，，则GF= ．
三、解答题
21．（2022八下·哈尔滨开学考）
（1）计算：
（2）解方程：
22．（2022八下·哈尔滨开学考）先化简，再求值：，其中
23．（2022八下·哈尔滨开学考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）面出关于y轴的对称图形（点A与、B与、C与对应）：
（2）连接、，直接写出的面积为 ．
24．（2022八下·哈尔滨开学考）中，AB=AC，点E、F分别在AB、AC上，且AE=AF，BF与CE相交于点P．
（1）如图1，求证：PB=PC；
（2）如图2，当时，BF平分，在不添加任何辅助线的情况下直接写出图2中的等腰三角形．（，除外）
25．（2022八下·哈尔滨开学考）某药店计划从一口罩厂购买同一品牌的防雾霾口罩和普通口罩，已知购买一个雾霾口罩比购买一个普通口罩多用20元，若用400元购买防雾霾口型和用160元购买普通口罩，则购买防雾霾口罩的个数是购买普通口罩个数的一半．
（1）购买该品牌一个防雾霾口罩、一个普通口罩各需要多少元？
（2）经商谈，口罩厂给该药店购买一个该品牌防雾霾口罩即赠送一个该品牌普通口罩的优惠．如果药店需要普通口罩的个数是防雾霾口罩个数的2倍还多8个，且该药店购买防雾霾口罩和普通口罩的总费用不超过670元，那么该药站最多可以购买多少个该品牌的防雾霾口罩？
26．（2022八下·哈尔滨开学考）已知：中，，D为AB上一点，连接CD，．
（1）如图1，求证：BC=BD；
（2）如图2，点E、点F分别在AC、BC上，CE=CF，连接DE、DF，，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE，当，，求AD的长．
27．（2022八下·哈尔滨开学考）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，A（0，4），点B在x轴负半轴上，且
（1）如图1，求B点坐标；
（2）如图2，点C与点B关于y轴对称，点P从点B出发沿射线BC方向以每秒1个单位的速度运动，到点C停止运动，设动点P的运动时间为t（秒），连接AP，的面积为S，求用含t的式子表示S（不必写出t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，若点P在线段BO上，点D为第一象限一点，连接AD、BD、CD，BD与AP交于点E，连接EC，若，，，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：、，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，故此选项符合题意；
、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据整式的远算法则进行运算即可。
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，两边能够重合的图形是轴对称图形．
A．是轴对称图形；故此选项不符合题意；
B．不是轴对称图形；故此选项符合题意；
C．是轴对称图形；故此选项不符合题意；
D．是轴对称图形；故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的概念逐项判断。
3．【答案】B
【知识点】分式的定义
【解析】【解答】，这2个式子分母中不含字母，所以是整式，不是分式，，，这两个式子分母中含有字母，所以是分式．
故答案为：B
【分析】根据分式的概念逐个判断即可。
4．【答案】C
【知识点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】∵能用完全平方公式分解因式，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据能用完全平方公式分解因式，首项和末项分别是x、2，则中间项是加上或减去首项x和末项2的2倍之积。
5．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=70°，
∵MN垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=40°，
即：∠DBC=∠ABC-∠ABD=30°．
故答案为：A．
【分析】根据等腰三角形的性质可求得∠ABC=∠C=70°，再根据垂直平分线的性质可求得∠A=∠ABD=40°，再求出∠DBC=∠ABC-∠ABD=30°。
6．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：①若两个角都是60°，则第三个角也是60°，是等边三角形；
②有两个外角相等的三角形只能证明为等腰三角形，无法判断是否为等边三角形；
③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等，则三个内角都相等，是等边三角形；
④一边上的高也是这边中线的等腰三角形，可能是底边上的高与中线，等腰三角形有“三线合一”，不能判定为等边三角形．
以上能得到等边三角形的有2个，
故答案为：B．
【分析】根据等边三角形的判定方法逐个分析即可。
7．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A： = 与的被开方数相同，故A不符合题意；
B： =，与的被开方数相同，故B不符合题意；
C：=，与的被开方数相同，故C不符合题意；
D：=，与的被开方数不相同，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用实数的运算法则逐个化为最简二次根式，找出被开方数与的被开方数不同的二次根式 。
8．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】如图，设底边长为x，腰长为AB=AC=2a，
当a+x=12，2a+a=15时，a=5，x=7，三边为10，10，7，三角形存在，
故BC=7；
当a+x=15，2a+a=12时，a=4，x=11，三边为8，8，11，三角形存在，
故BC=11；
故答案为：C．
【分析】设底边长为x，腰长为AB=AC=2a，分为：当a+x=12，2a+a=15时、当a+x=15，2a+a=12时两种情况进行求解。
9．【答案】A
【知识点】代数式求值；非负数之和为0
【解析】【解答】∵
∴，
∴，
∴，
将所求a、b、c的值，代入，得：．
故答案为：A．
【分析】利用非负数之和为0的性质求出a、b、c的值，再将a、b、c的值代入计算即可。
10．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：如图所示，在AF作点G，使FG=CF，FD交AB于H，
∵、均为等边三角形，
∴AB=AD，AE=AC，，
∴，
∴≌，
∴BE=CD，
故①符合题意；
∵≌，
∴，
∵
∴在与中，，
故②符合题意；
∵≌，
∴，
∵，
∴，
∴A、E、F、C四点共圆，
∴
∵AE=AC，
∴，
∴FA平分∠EFC，
故③符合题意；
由③得：，
∵FG=CF，，
∴是等边三角形，
∴CF=CG，
∵，
∴，
∴≌，
∴AG=EF，
∴AF=CF+EF，
故④符合题意．
故答案为：D．
【分析】在AF作点G，使FG=CF，FD交AB于H，证明≌，得出BE=CD，故①符合题意；在与中，，故②符合题意；证出A、E、F、C四点共圆，根据FA平分∠EFC，故③符合题意；由③得：，证出是等边三角形，得出CF=CG，AF=CF+EF，故④符合题意．
11．【答案】
【知识点】科学记数法—表示绝对值较小的数
【解析】【解答】解：0.00000075=．
故答案为：．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
12．【答案】x＞1
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：式子有意义，
，解得x＞1，
故答案是：x＞1．
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
13．【答案】4（m+2n）（m-2n）
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：原式=4(m -4n )=4（m+2n）（m-2n）.
故答案为：4（m+2n）（m-2n）
【分析】原式提取4后，再利用平方差公式分解即可.
14．【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图示，中，，，是边上的高，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴CD=4，
故答案为：4．
【分析】先利用三角形的内角和求出，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CD=4。
15．【答案】0
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】由题意得+=0，
解得：x=0，
经检验x=0是原方程的解，
故答案为0.
【分析】根据题意列出方程+=0，再求解并检验即可。
16．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】
故答案为：．
【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算即可。
17．【答案】
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵，
∴，即．
将代入上式，得：，
解得：．
∵，
∴可将、代入上式，得：．
∴
故答案为：
【分析】将变形为，求出，再将、代入求解即可。
18．【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
，
∴
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=
=20°，
∵
∴
又
，且
∴
故答案为：40°
【分析】先利用三角形的内角和求出
，再利用角平分线的定义求出∠DBC=
=20°，再利用三角形的内角和求出
，最后利用三角形的外角可得
。
19．【答案】1
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵D为AB中点，
∴．
∴在
中，
，即
解得：
．
∴．
∴在
中，
，
故答案为：1．
【分析】先根据题意可得
，再利用勾股定理可得
，即
，求出AD的长，最后再利用
计算即可。
20．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，将
绕点C逆时针旋转
，得到
，连接DH、EH，过点H作
交BA延长线于点P．
∵为等边三角形，
∴．
∴由旋转可知
，
，
，
．
∴，
为等边三角形，
∴，
，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，即
．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，即
，
∴，
∴．
即在
和
中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为：
．
【分析】将
绕点C逆时针旋转
，得到
，连接DH、EH，过点H作
交BA延长线于点P，再利用等边三角形的性质和“ASA”证明
，再利用全等三角形的性质可得
，结合
可得
，再结合
，即可得到
。
21．【答案】（1）解：
= -2ab．
（2）解：解方程：∵
去分母，两边同时乘以(x-2)(x+2)，得
x(x+2)-1=，
去括号，得
移项，合并同类项，得
2x= -3，
系数化为1，得
，
经检验，是原方程的根．
【知识点】整式的混合运算；解分式方程
【解析】【分析】（1）利用整式的混合运算计算即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
22．【答案】解：
∵
把代入上式，得原式．
【知识点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
23．【答案】（1）解：如图，即为所作；
（2）
【知识点】作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：(2)如图，可知
，
∵，
，
，
，
∴
故答案为：
．
【分析】（1）根据轴对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用割补法求出三角形的面积即可。
24．【答案】（1）证明：在△AEC和△AFB中，
，
∴△AEC≌△AFB（SAS），
∴∠ABF=∠ACE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠PBC=∠PCB，
∴PB=PC．
（2）解：图2中的等腰三角形为：，，，和
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：(2)∵
∴
∵
∴
又
∴
∴
∴
∵BF平分
，
∴
∴
∴是等腰三角形；
由（1）可知，
∴
∴是等腰三角形；
又
∴
∴和
均为等腰三角形，
∵
∴
∴是等腰三角形，
所以，图2中的等腰三角形为：
，
，
，
和
【分析】（1）先利用“SAS”证明△AEC≌△AFB，可得∠ABF=∠ACE，再利用角的运算可得∠PBC=∠PCB，所以PB=PC；
（2）利用角的运算再结合等腰三角形的判定求解即可。
25．【答案】（1）解：设购买该品牌一个普通口罩元，则防雾霾口罩为元．
可得：
解得
经检验：是原方程的解，
5+20=25（元）．
答：购买一个防雾霾口罩25元，一个普通口罩5元；
（2）解：设购买个防雾霾口罩，则购买个普通口罩，
解得≤21，
∵为整数，
∴最多取21．
答：该药店最多可购买21个该品牌的防雾霾口罩
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设购买该品牌一个普通口罩元，则防雾霾口罩为元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设购买个防雾霾口罩，则购买个普通口罩，根据题意列出不等式求解即可。
26．【答案】（1）证明：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴
∴．
（2）解：如图，过点C作交DE延长线于点G，作交DF于点H．
∵，即，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴CD平分，
∵，
∴．
（3）解：如图，过点分别作的垂线，交于点，连接交于点，与交于点，过点C作交DE延长线于点G，作交DF于点H．
，
，
，
，
在中，设，则
连接如图，
，
，
设
在中，
设，则，
即
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据题意知
，，得出．从而得出，由此得出结论；
（2）过点C作交DE延长线于点G，作交DF于点H．证出，得出，从而得出CD平分，再根据，即可得出的度数；
（3）过点分别作的垂线，交于点，连接交于点，与交于点，过点C作交DE延长线于点G，作交DF于点H．先得出，再得出
，从而得出
，在中，设，则，得出a的值，连接，证出
，得出
，设，得出
，在
中，
设
，则
，
，利用勾股定理得出x的值即可。
27．【答案】（1）解：∵A(0，4），
∴OA=4，
∵∠AOB=90°，∠ABO=45°，
∴∠BAO=45°，
∴AO=OB=4，
∵点B在x轴的负半轴上，
∴B(-4，0) ．
（2）解：∵点C与点B关于y轴对称，
∴C(4，0) ，
∵点P从点B出发沿射线BC方向以每秒1个单位的速度运动，到点C停止运动，
∴PB=t，
当分0≤t≤4时，
∵OB=4，PB=t，
∴PO=4-t，
∴S=
=；
当4＜t≤8时，
∵OB=4，PB=t，
∴PO=t-4，
∴S=
=；
∴．
（3）解：过点E作EH⊥BO，垂足为H，设AD交AO于点G，
∵∠ADE=∠EAG，∠AEG=∠DEA，
∴∠AGE=∠DAE，
∴90°+∠DBC=∠GAD+∠ADB=∠OAC+∠DAC+∠ADB，
∵OA=OB=OC，
∴∠OAC=45°，
∵，
∴∠DBC+∠ADB=45°，
∵∠BAP+∠PAO=45°，∠ADB=∠PAO，
∴∠DBC=∠BAP，
∴△PBE∽△PAB，
∴，
∵，
∴，
∴PA=2PB，PB=2PE，PA=4PE，
∵EH∥AO，
∴，
∴EH=1，
∵CB=8，
∴的面积为=4．
【知识点】分段函数；相似三角形的判定与性质；根据实际问题列一次函数表达式
【解析】【分析】（1）根据点A的坐标，得出OA的值，再根据∠AOB=90°，∠ABO=45°，得出∠BAO的度数，从而得出AO=OB=4，由此得出点B的坐标；
（2）由点C与点B关于y轴对称，得出点C的坐标，再由点P从点B出发沿射线BC方向以每秒1个单位的速度运动，到点C停止运动，得出PB=t，当分0≤t≤4时，当4＜t≤8时，分两种情况讨论即可得解；
（3）过点E作EH⊥BO，垂足为H，设AD交AO于点G，由，得出∠DBC=∠BAP，证出△PBE∽△PAB，得出，PA=2PB，PB=2PE，PA=4PE，再根据三角形面积公式求解即可。
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黑龙江省哈尔滨市第十七中学2021-2022学年八年级下学期开学考试数学试题
一、单选题
1．（2022八下·哈尔滨开学考）下列运算一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：、，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，故此选项符合题意；
、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据整式的远算法则进行运算即可。
2．（2022八下·哈尔滨开学考）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，两边能够重合的图形是轴对称图形．
A．是轴对称图形；故此选项不符合题意；
B．不是轴对称图形；故此选项符合题意；
C．是轴对称图形；故此选项不符合题意；
D．是轴对称图形；故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的概念逐项判断。
3．（2022八下·哈尔滨开学考）下列代数式中，，，，，分式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】分式的定义
【解析】【解答】，这2个式子分母中不含字母，所以是整式，不是分式，，，这两个式子分母中含有字母，所以是分式．
故答案为：B
【分析】根据分式的概念逐个判断即可。
4．（2022八下·哈尔滨开学考）多项式能用完全平方公式分解因式，则a的值是（ ）
A．4 B．-4 C．2或-2 D．4或-4
【答案】C
【知识点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】∵能用完全平方公式分解因式，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据能用完全平方公式分解因式，首项和末项分别是x、2，则中间项是加上或减去首项x和末项2的2倍之积。
5．（2022八下·哈尔滨开学考）在中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=70°，
∵MN垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=40°，
即：∠DBC=∠ABC-∠ABD=30°．
故答案为：A．
【分析】根据等腰三角形的性质可求得∠ABC=∠C=70°，再根据垂直平分线的性质可求得∠A=∠ABD=40°，再求出∠DBC=∠ABC-∠ABD=30°。
6．（2022八下·哈尔滨开学考）满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（ ）
①有两个角是60°的三角形；②有两个外角相等的等腰三角形：③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等的三角形；④一边上的高也是这边中线的等腰三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：①若两个角都是60°，则第三个角也是60°，是等边三角形；
②有两个外角相等的三角形只能证明为等腰三角形，无法判断是否为等边三角形；
③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等，则三个内角都相等，是等边三角形；
④一边上的高也是这边中线的等腰三角形，可能是底边上的高与中线，等腰三角形有“三线合一”，不能判定为等边三角形．
以上能得到等边三角形的有2个，
故答案为：B．
【分析】根据等边三角形的判定方法逐个分析即可。
7．（2022八下·哈尔滨开学考）将下列二次根式化为最简二次根式后，被开方数与的被开方数不同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A： = 与的被开方数相同，故A不符合题意；
B： =，与的被开方数相同，故B不符合题意；
C：=，与的被开方数相同，故C不符合题意；
D：=，与的被开方数不相同，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用实数的运算法则逐个化为最简二次根式，找出被开方数与的被开方数不同的二次根式 。
8．（2022八下·哈尔滨开学考）在中，AB=AC，中线BD将的周长分为15和12两部分，则底边BC的长为（ ）
A．7 B．11 C．7或11 D．7或10
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】如图，设底边长为x，腰长为AB=AC=2a，
当a+x=12，2a+a=15时，a=5，x=7，三边为10，10，7，三角形存在，
故BC=7；
当a+x=15，2a+a=12时，a=4，x=11，三边为8，8，11，三角形存在，
故BC=11；
故答案为：C．
【分析】设底边长为x，腰长为AB=AC=2a，分为：当a+x=12，2a+a=15时、当a+x=15，2a+a=12时两种情况进行求解。
9．（2022八下·哈尔滨开学考）若，则的值是（ ）
A．2 B．4 C．1 D．8
【答案】A
【知识点】代数式求值；非负数之和为0
【解析】【解答】∵
∴，
∴，
∴，
将所求a、b、c的值，代入，得：．
故答案为：A．
【分析】利用非负数之和为0的性质求出a、b、c的值，再将a、b、c的值代入计算即可。
10．（2022八下·哈尔滨开学考）如图，在中，分别以AB、AC为边作等边三角形ABD与等边三角形ACE，连接BE、CD、BE的延长线与BE交于点F，连接AF．下列结论：①BE=CD；②；③FA平分；④．其中一定正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：如图所示，在AF作点G，使FG=CF，FD交AB于H，
∵、均为等边三角形，
∴AB=AD，AE=AC，，
∴，
∴≌，
∴BE=CD，
故①符合题意；
∵≌，
∴，
∵
∴在与中，，
故②符合题意；
∵≌，
∴，
∵，
∴，
∴A、E、F、C四点共圆，
∴
∵AE=AC，
∴，
∴FA平分∠EFC，
故③符合题意；
由③得：，
∵FG=CF，，
∴是等边三角形，
∴CF=CG，
∵，
∴，
∴≌，
∴AG=EF，
∴AF=CF+EF，
故④符合题意．
故答案为：D．
【分析】在AF作点G，使FG=CF，FD交AB于H，证明≌，得出BE=CD，故①符合题意；在与中，，故②符合题意；证出A、E、F、C四点共圆，根据FA平分∠EFC，故③符合题意；由③得：，证出是等边三角形，得出CF=CG，AF=CF+EF，故④符合题意．
二、填空题
11．（2022八下·哈尔滨开学考）把0.00000075用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】科学记数法—表示绝对值较小的数
【解析】【解答】解：0.00000075=．
故答案为：．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
12．（2022八下·哈尔滨开学考）若式子有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】x＞1
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：式子有意义，
，解得x＞1，
故答案是：x＞1．
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
13．（2021九上·乐清期末）分解因式： .
【答案】4（m+2n）（m-2n）
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：原式=4(m -4n )=4（m+2n）（m-2n）.
故答案为：4（m+2n）（m-2n）
【分析】原式提取4后，再利用平方差公式分解即可.
14．（2022八下·哈尔滨开学考）在中，，，若，则AB边上的高为 ．
【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图示，中，，，是边上的高，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴CD=4，
故答案为：4．
【分析】先利用三角形的内角和求出，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CD=4。
15．（2022八下·哈尔滨开学考）如果与互为相反数，则x＝ ．
【答案】0
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】由题意得+=0，
解得：x=0，
经检验x=0是原方程的解，
故答案为0.
【分析】根据题意列出方程+=0，再求解并检验即可。
16．（2022八下·哈尔滨开学考）计算： ．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】
故答案为：．
【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算即可。
17．（2022八下·哈尔滨开学考）已知，，则 ．
【答案】
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵，
∴，即．
将代入上式，得：，
解得：．
∵，
∴可将、代入上式，得：．
∴
故答案为：
【分析】将变形为，求出，再将、代入求解即可。
18．（2022八下·哈尔滨开学考）如图，在中，AB=AC，，BD平分交AC于点D，点E在BC上，连接DE，若，则的度数为 ．
【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
，
∴
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=
=20°，
∵
∴
又
，且
∴
故答案为：40°
【分析】先利用三角形的内角和求出
，再利用角平分线的定义求出∠DBC=
=20°，再利用三角形的内角和求出
，最后利用三角形的外角可得
。
19．（2022八下·哈尔滨开学考）如图，在中，，，点D为AB中点，过点B作交CD的延长线于点E，BE=2，CD=5，则DE= ．
【答案】1
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵D为AB中点，
∴．
∴在
中，
，即
解得：
．
∴．
∴在
中，
，
故答案为：1．
【分析】先根据题意可得
，再利用勾股定理可得
，即
，求出AD的长，最后再利用
计算即可。
20．（2022八下·哈尔滨开学考）如图，等边中，点D、点E在AB上，连接CD、CE，，点F在CE的延长线上，连接DF，点G在DF的延长线上，且，若BE=2AD，，，则GF= ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，将
绕点C逆时针旋转
，得到
，连接DH、EH，过点H作
交BA延长线于点P．
∵为等边三角形，
∴．
∴由旋转可知
，
，
，
．
∴，
为等边三角形，
∴，
，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，即
．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，即
，
∴，
∴．
即在
和
中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为：
．
【分析】将
绕点C逆时针旋转
，得到
，连接DH、EH，过点H作
交BA延长线于点P，再利用等边三角形的性质和“ASA”证明
，再利用全等三角形的性质可得
，结合
可得
，再结合
，即可得到
。
三、解答题
21．（2022八下·哈尔滨开学考）
（1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）解：
= -2ab．
（2）解：解方程：∵
去分母，两边同时乘以(x-2)(x+2)，得
x(x+2)-1=，
去括号，得
移项，合并同类项，得
2x= -3，
系数化为1，得
，
经检验，是原方程的根．
【知识点】整式的混合运算；解分式方程
【解析】【分析】（1）利用整式的混合运算计算即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
22．（2022八下·哈尔滨开学考）先化简，再求值：，其中
【答案】解：
∵
把代入上式，得原式．
【知识点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
23．（2022八下·哈尔滨开学考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）面出关于y轴的对称图形（点A与、B与、C与对应）：
（2）连接、，直接写出的面积为 ．
【答案】（1）解：如图，即为所作；
（2）
【知识点】作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：(2)如图，可知
，
∵，
，
，
，
∴
故答案为：
．
【分析】（1）根据轴对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用割补法求出三角形的面积即可。
24．（2022八下·哈尔滨开学考）中，AB=AC，点E、F分别在AB、AC上，且AE=AF，BF与CE相交于点P．
（1）如图1，求证：PB=PC；
（2）如图2，当时，BF平分，在不添加任何辅助线的情况下直接写出图2中的等腰三角形．（，除外）
【答案】（1）证明：在△AEC和△AFB中，
，
∴△AEC≌△AFB（SAS），
∴∠ABF=∠ACE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠PBC=∠PCB，
∴PB=PC．
（2）解：图2中的等腰三角形为：，，，和
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：(2)∵
∴
∵
∴
又
∴
∴
∴
∵BF平分
，
∴
∴
∴是等腰三角形；
由（1）可知，
∴
∴是等腰三角形；
又
∴
∴和
均为等腰三角形，
∵
∴
∴是等腰三角形，
所以，图2中的等腰三角形为：
，
，
，
和
【分析】（1）先利用“SAS”证明△AEC≌△AFB，可得∠ABF=∠ACE，再利用角的运算可得∠PBC=∠PCB，所以PB=PC；
（2）利用角的运算再结合等腰三角形的判定求解即可。
25．（2022八下·哈尔滨开学考）某药店计划从一口罩厂购买同一品牌的防雾霾口罩和普通口罩，已知购买一个雾霾口罩比购买一个普通口罩多用20元，若用400元购买防雾霾口型和用160元购买普通口罩，则购买防雾霾口罩的个数是购买普通口罩个数的一半．
（1）购买该品牌一个防雾霾口罩、一个普通口罩各需要多少元？
（2）经商谈，口罩厂给该药店购买一个该品牌防雾霾口罩即赠送一个该品牌普通口罩的优惠．如果药店需要普通口罩的个数是防雾霾口罩个数的2倍还多8个，且该药店购买防雾霾口罩和普通口罩的总费用不超过670元，那么该药站最多可以购买多少个该品牌的防雾霾口罩？
【答案】（1）解：设购买该品牌一个普通口罩元，则防雾霾口罩为元．
可得：
解得
经检验：是原方程的解，
5+20=25（元）．
答：购买一个防雾霾口罩25元，一个普通口罩5元；
（2）解：设购买个防雾霾口罩，则购买个普通口罩，
解得≤21，
∵为整数，
∴最多取21．
答：该药店最多可购买21个该品牌的防雾霾口罩
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设购买该品牌一个普通口罩元，则防雾霾口罩为元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设购买个防雾霾口罩，则购买个普通口罩，根据题意列出不等式求解即可。
26．（2022八下·哈尔滨开学考）已知：中，，D为AB上一点，连接CD，．
（1）如图1，求证：BC=BD；
（2）如图2，点E、点F分别在AC、BC上，CE=CF，连接DE、DF，，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE，当，，求AD的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴
∴．
（2）解：如图，过点C作交DE延长线于点G，作交DF于点H．
∵，即，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴CD平分，
∵，
∴．
（3）解：如图，过点分别作的垂线，交于点，连接交于点，与交于点，过点C作交DE延长线于点G，作交DF于点H．
，
，
，
，
在中，设，则
连接如图，
，
，
设
在中，
设，则，
即
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据题意知
，，得出．从而得出，由此得出结论；
（2）过点C作交DE延长线于点G，作交DF于点H．证出，得出，从而得出CD平分，再根据，即可得出的度数；
（3）过点分别作的垂线，交于点，连接交于点，与交于点，过点C作交DE延长线于点G，作交DF于点H．先得出，再得出
，从而得出
，在中，设，则，得出a的值，连接，证出
，得出
，设，得出
，在
中，
设
，则
，
，利用勾股定理得出x的值即可。
27．（2022八下·哈尔滨开学考）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，A（0，4），点B在x轴负半轴上，且
（1）如图1，求B点坐标；
（2）如图2，点C与点B关于y轴对称，点P从点B出发沿射线BC方向以每秒1个单位的速度运动，到点C停止运动，设动点P的运动时间为t（秒），连接AP，的面积为S，求用含t的式子表示S（不必写出t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，若点P在线段BO上，点D为第一象限一点，连接AD、BD、CD，BD与AP交于点E，连接EC，若，，，求的面积．
【答案】（1）解：∵A(0，4），
∴OA=4，
∵∠AOB=90°，∠ABO=45°，
∴∠BAO=45°，
∴AO=OB=4，
∵点B在x轴的负半轴上，
∴B(-4，0) ．
（2）解：∵点C与点B关于y轴对称，
∴C(4，0) ，
∵点P从点B出发沿射线BC方向以每秒1个单位的速度运动，到点C停止运动，
∴PB=t，
当分0≤t≤4时，
∵OB=4，PB=t，
∴PO=4-t，
∴S=
=；
当4＜t≤8时，
∵OB=4，PB=t，
∴PO=t-4，
∴S=
=；
∴．
（3）解：过点E作EH⊥BO，垂足为H，设AD交AO于点G，
∵∠ADE=∠EAG，∠AEG=∠DEA，
∴∠AGE=∠DAE，
∴90°+∠DBC=∠GAD+∠ADB=∠OAC+∠DAC+∠ADB，
∵OA=OB=OC，
∴∠OAC=45°，
∵，
∴∠DBC+∠ADB=45°，
∵∠BAP+∠PAO=45°，∠ADB=∠PAO，
∴∠DBC=∠BAP，
∴△PBE∽△PAB，
∴，
∵，
∴，
∴PA=2PB，PB=2PE，PA=4PE，
∵EH∥AO，
∴，
∴EH=1，
∵CB=8，
∴的面积为=4．
【知识点】分段函数；相似三角形的判定与性质；根据实际问题列一次函数表达式
【解析】【分析】（1）根据点A的坐标，得出OA的值，再根据∠AOB=90°，∠ABO=45°，得出∠BAO的度数，从而得出AO=OB=4，由此得出点B的坐标；
（2）由点C与点B关于y轴对称，得出点C的坐标，再由点P从点B出发沿射线BC方向以每秒1个单位的速度运动，到点C停止运动，得出PB=t，当分0≤t≤4时，当4＜t≤8时，分两种情况讨论即可得解；
（3）过点E作EH⊥BO，垂足为H，设AD交AO于点G，由，得出∠DBC=∠BAP，证出△PBE∽△PAB，得出，PA=2PB，PB=2PE，PA=4PE，再根据三角形面积公式求解即可。
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