一般数列通项公式及前n项和专题（Word无答案）

一般数列通项公式及前n项和专题
一、温故知新 夯实基础
1.数列通项公式的求法
（1）知Sn求型
型
常规方法是将递推成,然后令消去递推公式中的项（n≥2）.但是在一些特殊情况下，将改写成后可消去项，先求，再求。
（2）
在数列的递推公式中，
(1)若型如,则应采用累加法；
(2)若型如,则应采用累乘法；
（3）
型如（p1，q0）(n）的递推式，两边同时加上x可构造出等比数列(n）,其中.
（4）
对于如（p0、1且q0、1）的数列求通项公式，有以下两种方法：
两边同时除以,再累加求通项；
（5）倒数法
2.数列求和的常用方法
(1)公式法
等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和．
(2)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(3)倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(4)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
常见的裂项公式
＝－；
＝；
＝－=－+。
＝loga(n＋1)－logan=－logan+loga(n＋1)
(5)错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．
三、典例剖析 举一反三
考点一　数列通项公式
典例剖析
知Sn求型
1.已知数列的前项和为，则数列的通项公式＝_____.
2.已知数列的前项和，则数列的通项公式是________________．
累加法
例1.若，，则数列的通项公式＝________.
例2.在数列中, ,,则该数列的通项公式= ．
累乘法
例1.若，，则数列的通项公式＝________.
构造法
例1.已知数列满足,且=2,则=__________．
例2.若，，则通项公式＝________.
倒数法
例1.若，，则＝________.
6.利用Sn和的关系 ( an＝Sn－Sn－1 (n≥2) )
例1.设数列的前项和为，且，则通项_________
例2.在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an.
(1)求Sn的表达式；
(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.
（二）举一反三
1.数列{an}满足a1＝1,a2＝2,an＋2＝2an＋1－an＋2.
(1)设bn＝an＋1－an,证明{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
2．已知递增等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2a3＝15，S4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式以及Sn的表达式；
(2)若数列{bn}满足：b1＝1，bn＋1－bn＝，求数列{bn}的通项公式．
3.已知数列的前项和为,且满足．
（1）求；
（2）设,数列的前项和为,求证：．
4.已知数列{an}前n项和为Sn,满足Sn=2an— 2n(n∈N*)．
（I）证明：{an+2}是等比数列,并求{an}的通项公式；
（Ⅱ）数列{bn}满足bn=log2(an+2),Tn为数列{}的前n项和,若对正整数n都成立,求a的取值范围．
考点二 数列求和
典例剖析
1.分组转化法
例1.已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．
2．已知等差数列和等比数列满足，，.
(1)求的通项公式；
(2)求和：.
3．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于_________
3.裂项相消法
例1已知等差数列{an}满足a3＝7，a5＋a7＝26.
(1)求等差数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Tn.
2. 设数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
4.错位相减法
例1.已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列的前n项和Tn.
2．已知数列{an}中，a1＝3，a2＝5，且{an－1}是等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
（二）举一反三
1.已知数列{an}是公差不为0的等差数列，首项a1＝1，且a1，a2，a4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn＝an＋2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
2.设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.
(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2) 当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
3．已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为(　　)
A．1 121 B．1 122
C．1 123 D．1 124
4.已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 017＝________.
考点三 数列的综合应用
（一）典例剖析
例1.某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 (　　)．
A．5年 B．6年 C．7年 D．8年
例2．在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝ (　　)．
A．7 B．8 C．9 D．10
例3.记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
（二）举一反三
1.已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和为Sn.若直线y＝a1x＋m与圆x2＋(y－1)2＝1的两个交点关于直线x＋2y－d＝0对称，则数列{}的前100项和为________．
2．已知数列{an}满足：a1＝2，且对任意n，m∈N*，都有am＋n＝am·an，Sn是数列{an}的前n项和，则＝(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
3.已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（　　）
A. B. C. D. 不存在
四、分层训练 能力进阶
【基础】
1．若数列满足,,,则（ ）
A. B. C. D.
2.已知a1＝8,an＝n(an＋1－an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式是(　　)
A．2n－1 B. C．n2 D．n
3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2 016，且an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，则S2 016等于(　　)
A．0 B．2 016 C．2 015 D．2 014
4.已知，令，求数列的前项和.
5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝时，求数列的前n项和Tn.
6．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
【巩固】
1．数列满足：,且对任意的都有：,则 ．
2．已知函数f(n)＝，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于(　　)
A．0 B．100 C．－100 D．200
3．若已知数列的前四项是，，，，则数列的前n项和为______________．
4.已知Sn和Tn分别为数列{an}与数列{bn}的前n项和，且a1＝e4，Sn＝eSn＋1－e5，an＝ebn(n∈N*)，则当Tn取得最大值时，n的值为(　　)
A．4 B．5 C．4或5 D．5或6