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3．4 函数的应用(一)
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准
(1)了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．(2)能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．
教 材 要 点
要点 常见的函数模型
常用函数模型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(4)分段函数模型 y＝
助 学 批 注
批注 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．可利用配方法、换元法、单调性法等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
批注 建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．
基 础 自 测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．( )
(2)解决某一实际问题的函数模型是唯一的．( )
(3)对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模拟效果越好．( )
(4)在实际问题中，若变量间的对应关系不能用一个关系式给出，则需构建分段函数模型．( )
√
×
√
√
2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A. 200副 B．400副
C. 600副 D．800副
答案：D
解析：利润z＝10x－y＝10x－(5x＋4 000)≥0.
解得x≥800.
3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A. 45.606万元 B．45.6万元
C. 45.56万元 D．45.51万元
答案：B
解析：依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，总利润S＝L1＋L2，则总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0.15×10.22＋30(0≤x≤15且x∈N)，所以当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．
4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝
其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为________．
25
解析：令y＝60，
若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．
故拟录用人数为25人．
题型探究·课堂解透
题型 1 一次函数、二次函数模型
例1 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．
(1)分别写出两种产品的收益和投资的函数关系；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大的收益，其最大收益为多少万元？
解析：(1)设f(x)＝k1x(x≥0)，g(x)＝k2.
由题意可得：f(1)＝k1＝，g(1)＝k2＝，
所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝，
(2)设投资债券类产品x万元，则股票类投资为20－x万元，年收益为y万元,
依题意得y＝f(x)＋g(20－x),即y＝(0≤x≤20)．
令t＝则x＝20－t2，t∈[0，2]，
则y＝＝－(t－2)2＋3，t∈[0，2]
所以当t＝＝2即x＝16时，收益最大为3万元，
所以投资债券类产品16万元，股票类投资为4万元，收益最大值为3万元．
方法归纳
解二次函数模型应用的一般步骤
巩固训练1 某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数y＝－x＋100的关系．设商店获得的利润(利润＝销售总收入－总成本)为S元．
(1)试用销售单价x表示利润S；
(2)试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？
解析：(1)S(x)＝xy－40y＝(x－40)y＝(x－40)(－x＋100)
＝－x2＋140x－4000(40≤x≤80)．
(2)S(x)＝－(x－70)2＋900(40≤x≤80)，
∴当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件．
题型 2 分段函数模型
例2 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．旅行社需付给航空公司包机费每团15 000元．
(1)写出飞机票的价格y(单位：元)关于人数x(单位：人)的函数关系式；
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解析：(1)由题意，得y＝
即y＝.
(2)设旅行社获利S(x)元，
则S＝，
即S＝
因为S(x)＝900x－15 000在区间(0，30]上为增函数，所以当x＝30时，S(x)取最大值12 000元，
又S(x)＝－10(x－60)2＋21 000在区间(30，75]上，当x＝60时，S(x)取得最大值21 000.
故当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润．
方法归纳
应用分段函数时的三个关注点
巩固训练2 某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g(x)万元与每月垃圾处理量x(万吨)满足关系：g(x)＝(注：总收益＝总成本＋利润)
(1)写出每台设备每月处理垃圾获得的利润f(x)关于每月垃圾处理量x的函数关系；
(2)该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润．
解析：(1)由题意可得：
因为每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，
则每月成本为(5＋x)万元，又因为：利润＝总收益－总成本，
所以，每台设备每月处理垃圾获得的利润f(x)关于每月垃圾处理量x的函数关系为：
f(x)＝
(2)由(1)可得：当0≤x≤10时，f(x)＝－2(x－8)2＋23
当x＝8时，f(x)max＝f(8)＝23；
当x＞10时，f(x)＝30－x为减函数，则f(x)＜20
∴当x＝8时，每台设备每月处理垃圾所获利润最大
最大利润为：w＝23×10＝230(万元)
题型 3 幂函数模型的应用
例3 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．
(1)写出函数解析式(可带参数)；
(2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的表达式．
(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量(结果保留整数)．
解析：(1)由题意得R＝kr4(k是大于0的常数)．
(2)由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400，∴k＝，∴流量R的表达式为R＝·r4.
(3)∵R＝·r4，
∴当r＝5 cm时，R＝×54≈3 086(cm3/s)．
方法归纳
解幂函数模型应用题的步骤
巩固训练3 某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．
125
解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数解析式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝125.3．4 函数的应用(一)
课程标准
(1)了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．(2)能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点 常见的函数模型
常用函数模型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(4)分段函数模型 y＝
助学批注
批注 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．可利用配方法、换元法、单调性法等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
批注 建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．( )
(2)解决某一实际问题的函数模型是唯一的．( )
(3)对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模拟效果越好．( )
(4)在实际问题中，若变量间的对应关系不能用一个关系式给出，则需构建分段函数模型．( )
2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A.200副 B．400副
C.600副D．800副
3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A.45.606万元B．45.6万元
C.45.56万元D．45.51万元
4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝
其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 一次函数、二次函数模型
例1 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．
(1)分别写出两种产品的收益和投资的函数关系；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大的收益，其最大收益为多少万元？
方法归纳
解二次函数模型应用的一般步骤
巩固训练1 某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数y＝－x＋100的关系．设商店获得的利润(利润＝销售总收入－总成本)为S元．
(1)试用销售单价x表示利润S；
(2)试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？
题型 2 分段函数模型
例2 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．旅行社需付给航空公司包机费每团15000元．
(1)写出飞机票的价格y(单位：元)关于人数x(单位：人)的函数关系式；
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
方法归纳
应用分段函数时的三个关注点
巩固训练2 某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g(x)万元与每月垃圾处理量x(万吨)满足关系：g(x)＝(注：总收益＝总成本＋利润)
(1)写出每台设备每月处理垃圾获得的利润f(x)关于每月垃圾处理量x的函数关系；
(2)该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润．
题型 3 幂函数模型的应用
例3 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．
(1)写出函数解析式(可带参数)；
(2)假设气体在半径为3cm的管道中的流量为400cm3/s，求该气体通过半径为rcm的管道时，其流量R的表达式．
(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量(结果保留整数)．
方法归纳
解幂函数模型应用题的步骤
巩固训练3 某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．
3．4 函数的应用(一)
[基础自测]
1．答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．解析：利润z＝10x－y＝10x－(5x＋4000)≥0.
解得x≥800.
答案：D
3．解析：依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，总利润S＝L1＋L2，则总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0.15×10.22＋30(0≤x≤15且x∈N)，所以当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．
答案：B
4．解析：令y＝60，
若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．
故拟录用人数为25人．
答案：25
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)设f(x)＝k1x(x≥0)，g(x)＝k2.
由题意可得：f(1)＝k1＝，g(1)＝k2＝，
所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝，
(2)设投资债券类产品x万元，则股票类投资为20－x万元，年收益为y万元
依题意得y＝f(x)＋g(20－x)
即y＝(0≤x≤20)．
令t＝则x＝20－t2，t∈[0，2]，
则y＝＝－(t－2)2＋3，t∈[0，2]
所以当t＝＝2即x＝16时，收益最大为3万元，
所以投资债券类产品16万元，股票类投资为4万元，收益最大值为3万元．
巩固训练1 解析：(1)S(x)＝xy－40y＝(x－40)y＝(x－40)(－x＋100)
＝－x2＋140x－4000(40≤x≤80)．
(2)S(x)＝－(x－70)2＋900(40≤x≤80)，
∴当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件．
例2 解析：(1)由题意，得y＝
即y＝.
(2)设旅行社获利S(x)元，
则S＝，
即S＝
因为S(x)＝900x－15000在区间(0，30]上为增函数，所以当x＝30时，S(x)取最大值12000元，
又S(x)＝－10(x－60)2＋21000在区间(30，75]上，当x＝60时，S(x)取得最大值21000.
故当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润．
巩固训练2 解析：(1)由题意可得：
因为每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，
则每月成本为(5＋x)万元，又因为：利润＝总收益－总成本，
所以，每台设备每月处理垃圾获得的利润f(x)关于每月垃圾处理量x的函数关系为：
f(x)＝
(2)由(1)可得：当0≤x≤10时，f(x)＝－2(x－8)2＋23
当x＝8时，f(x)max＝f(8)＝23；
当x＞10时，f(x)＝30－x为减函数，则f(x)＜20
∴当x＝8时，每台设备每月处理垃圾所获利润最大
最大利润为：w＝23×10＝230(万元)
例3 解析：(1)由题意得R＝kr4(k是大于0的常数)．
(2)由r＝3cm，R＝400cm3/s，得k·34＝400，∴k＝，∴流量R的表达式为R＝·r4.
(3)∵R＝·r4，
∴当r＝5cm时，R＝×54≈3086(cm3/s)．
巩固训练3 解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数解析式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝125.
答案：125
1
